Test: Paralelism în spațiu

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Puncte, drepte și plane. Paralelism în spațiu

Exerciții

Partea I – Noțiuni de bază

Exercițiul 1 (5 puncte)

Completează fiecare enunț de determinare, scriind cuvântul dreaptă sau plan: a) Două puncte distincte determină o ______ . b) Trei puncte necoliniare determină un ______ . c) O dreaptă și un punct exterior ei determină un ______ . d) Două drepte concurente determină un ______ . e) Două drepte paralele determină un ______ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Două drepte în spațiu pot avea trei poziții relative. a) Enumeră cele trei poziții relative posibile ale două drepte în spațiu. b) Pentru fiecare, precizează prin DA/NU dacă dreptele sunt coplanare (adică există un plan care le conține pe amândouă).

Exercițiul 3 (5 puncte)

Completează criteriile și proprietatea de paralelism: a) O dreaptă este paralelă cu un plan dacă este paralelă cu ______ din plan și nu este ______ în plan. b) Două plane sunt paralele dacă unul dintre ele conține două drepte concurente paralele, respectiv, cu ______ ______ din celălalt plan. c) Dacă un plan intersectează două plane paralele, atunci dreptele de intersecție sunt ______ între ele.

Exercițiul 4 (6 puncte)

Se dă cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

a) Enumeră toate muchiile paralele cu muchia $AB$. b) Enumeră toate muchiile paralele cu planul bazei $(ABCD)$. c) Precizează, justificat, poziția muchiei $A{A}^{\prime }$ față de planul $(ABCD)$.

Partea a II-a – Raționament

Exercițiul 5 (6 puncte)

În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, stabilește poziția relativă a fiecărei perechi de drepte, alegând dintre: paralele, concurente, necoplanare. a) $AB$ și $DC$; b) $AB$ și $A{A}^{\prime }$; c) $AB$ și $C{C}^{\prime }$; d) $A^{\prime }{B}^{\prime }$ și $DC$.

Exercițiul 6 (6 puncte)

În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, determină unghiul dintre dreptele: a) $A{A}^{\prime }$ și $DC$; b) $AB$ și $D{C}^{\prime }$; c) $BD$ și $AC$; d) $AB$ și $C^{\prime }{D}^{\prime }$. Justifică pe scurt fiecare răspuns (poți muta una dintre drepte prin paralelism).

Exercițiul 7 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt. a) Două drepte din spațiu care nu au niciun punct comun sunt paralele. b) Dacă o dreaptă este paralelă cu un plan, atunci ea este paralelă cu toate dreptele din acel plan. c) Dacă două plane distincte sunt paralele, atunci ele nu au niciun punct comun. d) Trei puncte oarecare din spațiu determină întotdeauna un plan unic.

Exercițiul 8 (6 puncte)

Se dă cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Arată, folosind criteriul de paralelism dintre o dreaptă și un plan, că dreapta $A^{\prime }{B}^{\prime }$ este paralelă cu planul bazei $(ABCD)$. (Indică cele trei condiții pe care le verifici.)

Partea a III-a – Secțiuni paralele cu baza

Exercițiul 9 (6 puncte)

O prismă patrulateră regulată are latura bazei de $6$ cm (baza este un pătrat). Un plan paralel cu baza taie prisma.

a) Ce fel de figură este secțiunea și în ce relație este ea cu baza? Justifică. b) Calculează perimetrul și aria secțiunii.

Exercițiul 10 (7 puncte)

O piramidă patrulateră regulată $VABCD$ are latura bazei de $12$ cm. Un plan paralel cu baza taie muchiile laterale exact la mijloacele lor, în punctele $M,N,P,Q$ (mijloacele muchiilor $VA,VB,VC,VD$).

a) Arată că secțiunea $MNPQ$ este un pătrat și calculează latura lui. b) Calculează perimetrul secțiunii. c) Calculează aria secțiunii și compar-o cu aria bazei.

Exercițiul 11 (7 puncte)

O piramidă patrulateră regulată $VABCD$ are latura bazei de $15$ cm. Un plan paralel cu baza taie muchia laterală $VA$ într-un punct $M$ astfel încât $\frac{VM}{VA}=\frac{2}{3}$. a) Determină latura secțiunii paralele cu baza. b) Calculează perimetrul și aria secțiunii. c) Ce fracție din aria bazei reprezintă aria secțiunii?

Exercițiul 12 (6 puncte)

O piesă decorativă are forma unei piramide patrulatere regulate $VABCD$ cu latura bazei de $20$ cm și înălțimea de $24$ cm. Pentru a monta o plăcuță de sticlă, se face o secțiune paralelă cu baza, la înălțimea de $6$ cm față de bază.

a) La ce distanță de vârful $V$ se află planul secțiunii? b) Determină latura plăcuței de sticlă (latura secțiunii).

Partea a IV-a – Justificare și sinteză

Exercițiul 13 (6 puncte)

Se dă cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Arată, folosind criteriul de paralelism a două plane, că planul feței de sus $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ este paralel cu planul bazei $(ABCD)$. (Precizează cele două perechi de drepte concurente pe care le folosești.)

Exercițiul 14 (7 puncte)

Se dă cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia de lungime $a$. Se consideră diagonalele fețelor $AC$, $A{B}^{\prime }$ și $C{B}^{\prime }$.

a) Arată că triunghiul $AC{B}^{\prime }$ are toate laturile egale (este echilateral). b) Deduce care este unghiul dintre dreptele $AC$ și $A{B}^{\prime }$.

Exercițiul 15 (6 puncte)

Se dă cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. a) Câte muchii ale cubului sunt paralele cu muchia $A{A}^{\prime }$? Numește-le. b) Precizează două plane paralele determinate de fețele cubului. c) Determină unghiul dintre dreptele $AB$ și $B^{\prime }{C}^{\prime }$. d) Numește o muchie a cubului care este necoplanară (strâmbă) cu dreapta $AB$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1 · 5 puncte — câte 1 p pentru fiecare completare corectă. a) dreaptă; b) plan; c) plan; d) plan; e) plan.

Exercițiul 2 · 5 puncte a) Cele trei poziții (3 p, câte 1 p): drepte concurente (se intersectează într-un punct), drepte paralele (nu se intersectează, dar sunt în același plan), drepte necoplanare (strâmbe — nu se intersectează și nu există un plan care să le conțină pe amândouă). b) Coplanaritate (2 p): concurente – DA; paralele – DA; necoplanare – NU.

Exercițiul 3 · 5 puncte a) paralelă cu o dreaptă din plan și nu este conținută în plan (2 p). b) paralele cu două drepte concurente din celălalt plan (2 p). c) dreptele de intersecție sunt paralele între ele (1 p).

Exercițiul 4 · 6 puncte a) Muchiile paralele cu $AB$: $\mathbf{DC}$, ${\mathbf{A}}^{\prime }{\mathbf{B}}^{\prime }$, ${\mathbf{D}}^{\prime }{\mathbf{C}}^{\prime }$ (2 p). b) Muchiile paralele cu planul $(ABCD)$ sunt muchiile feței de sus: ${\mathbf{A}}^{\prime }{\mathbf{B}}^{\prime }$, ${\mathbf{B}}^{\prime }{\mathbf{C}}^{\prime }$, ${\mathbf{C}}^{\prime }{\mathbf{D}}^{\prime }$, ${\mathbf{D}}^{\prime }{\mathbf{A}}^{\prime }$ (2 p). (Fiecare este paralelă cu o muchie a bazei și nu este conținută în planul bazei.) c) $A{A}^{\prime }$ intersectează (este secantă) planul $(ABCD)$: are cu el punctul comun $A$, dar nu este conținută în el (2 p).

Exercițiul 5 · 6 puncte — câte 1,5 p pentru fiecare pereche. a) $AB$ și $DC$ – paralele (laturi opuse ale pătratului $ABCD$). b) $AB$ și $A{A}^{\prime }$ – concurente (punctul comun $A$). c) $AB$ și $C{C}^{\prime }$ – necoplanare (nu se intersectează și nu sunt paralele; $AB$ e în baza jos-față, $C{C}^{\prime }$ e muchie verticală în partea din spate). d) $A^{\prime }{B}^{\prime }$ și $DC$ – paralele (ambele sunt paralele cu $AB$, deci paralele între ele; deși „arată" depărtate, două drepte paralele sunt întotdeauna coplanare).

Exercițiul 6 · 6 puncte — câte 1,5 p (valoare + justificare). Se „mută" una dintre drepte prin paralelism. a) $A{A}^{\prime }$ și $DC$: cum $DC\parallel AB$, unghiul cerut este $\angle (A{A}^{\prime },AB)=\angle A^{\prime }AB$, care este unghiul dintre o muchie laterală și o muchie a bazei $=90^{\circ }$. b) $AB$ și $D{C}^{\prime }$: patrulaterul $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }D$ este paralelogram (deoarece $A{B}^{\prime }$ și $D{C}^{\prime }$ sunt paralele și egale, fiind diagonale ale fețelor opuse $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ și $DC{C}^{\prime }{D}^{\prime }$), deci $D{C}^{\prime }\parallel A{B}^{\prime }$. Atunci unghiul cerut este $\angle B^{\prime }AB$, adică unghiul dintre diagonala $A{B}^{\prime }$ și latura $AB$ în pătratul $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, deci $45^{\circ }$. c) $BD$ și $AC$: sunt diagonalele pătratului $ABCD$, care sunt perpendiculare $\Rightarrow 90^{\circ }$. d) $AB$ și $C^{\prime }{D}^{\prime }$: $C^{\prime }{D}^{\prime }\parallel AB$ (muchii paralele), deci sunt drepte paralele; prin convenție, unghiul a două drepte paralele este $0^{\circ }$.

Exercițiul 7 · 6 puncte — câte 1,5 p (valoare + justificare). a) F. Ele pot fi și necoplanare (strâmbe): drepte care nu se intersectează, dar nici nu sunt paralele. (Ex.: $AB$ și $C{C}^{\prime }$ în cub.) b) F. O dreaptă paralelă cu un plan este paralelă doar cu acele drepte din plan care au aceeași direcție; față de celelalte poate fi necoplanară. c) A. Prin definiție, două plane paralele (distincte) nu au niciun punct comun. d) F. Doar trei puncte necoliniare determină un plan unic; trei puncte coliniare aparțin unei infinități de plane.

Exercițiul 8 · 6 puncte — aplicarea criteriului dreaptă–plan. Verificăm cele trei condiții (câte 2 p):

1. $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ (laturi opuse ale feței pătrate $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$);
2. $AB\subset (ABCD)$ (este o dreaptă din planul bazei);
3. $A^{\prime }{B}^{\prime }\not\subset (ABCD)$ ($A^{\prime }{B}^{\prime }$ nu este conținută în planul bazei). Deoarece $A^{\prime }{B}^{\prime }$ este paralelă cu o dreaptă ($AB$) din plan și nu este conținută în plan, rezultă ${\mathbf{A}}^{\prime }{\mathbf{B}}^{\prime }\parallel (\mathbf{ABCD})$.

Exercițiul 9 · 6 puncte a) Secțiunea este un pătrat congruent cu baza (o secțiune paralelă cu baza a unei prisme este congruentă cu baza) (2 p). b) Latura secțiunii $=6$ cm; perimetrul $=4\cdot 6=24$ cm (2 p); aria $=6^2=36{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 10 · 7 puncte — se folosește latura bazei $12$ cm. a) În triunghiul $VAB$, $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $VA$, $VB$, deci $MN$ este linie mijlocie: $MN\parallel AB$ și $MN=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6$ cm. Analog pe fiecare față, deci $MNPQ$ este pătrat cu latura $6$ cm (3 p). b) Perimetrul $=4\cdot 6=24$ cm (2 p). c) Aria secțiunii $=6^2=36{\text{cm}}^2$; aria bazei $=12^2=144{\text{cm}}^2$, deci aria secțiunii este a patra parte din aria bazei ($36=\frac{144}{4}$) (2 p).

Exercițiul 11 · 7 puncte — latura bazei $15$ cm, raportul $\frac{VM}{VA}=\frac{2}{3}$. a) Secțiunea este asemenea cu baza, cu raportul de asemănare $\frac{2}{3}$, deci latura secțiunii $=\frac{2}{3}\cdot 15=10$ cm (3 p). b) Perimetrul $=4\cdot 10=40$ cm; aria $=10^2=100{\text{cm}}^2$ (2 p). c) Raportul ariilor $={\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$; verificare: aria bazei $=15^2=225$, iar $225\cdot \frac{4}{9}=100{\text{cm}}^2$. Aria secțiunii este $\frac{4}{9}$ din aria bazei (2 p).

Exercițiul 12 · 6 puncte — latura bazei $20$ cm, înălțimea $24$ cm, secțiune la $6$ cm de bază. a) Distanța de la vârf la planul secțiunii $=24-6=18$ cm (2 p). b) Latura secțiunii este proporțională cu distanța până la vârf: raportul de asemănare $=\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$, deci latura $=\frac{3}{4}\cdot 20=15$ cm (4 p). (La vârf latura este $0$, la bază – la distanța $24$ – latura este $20$; la distanța $18$ latura este $15$ cm.)

Exercițiul 13 · 6 puncte — aplicarea criteriului plan–plan. Alegem în fața de sus două drepte concurente în $A^{\prime }$: $A^{\prime }{B}^{\prime }$ și $A^{\prime }{D}^{\prime }$ (2 p). $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ și $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel AD$ (laturi opuse ale fețelor pătrate $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, respectiv $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$) (2 p); iar $AB$ și $AD$ sunt concurente în $A$. Cum două drepte concurente din $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ sunt paralele cu două drepte concurente din $(ABCD)$, rezultă $({\mathbf{A}}^{\prime }{\mathbf{B}}^{\prime }{\mathbf{C}}^{\prime }{\mathbf{D}}^{\prime })\parallel (\mathbf{ABCD})$ (2 p).

Exercițiul 14 · 7 puncte a) Fiecare dintre segmentele $AC$, $A{B}^{\prime }$, $C{B}^{\prime }$ este diagonală a unei fețe a cubului (fața $ABCD$, fața $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, respectiv fața $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$). Toate fețele sunt pătrate cu latura $a$, deci fiecare diagonală are lungimea $a\sqrt{2}$. Prin urmare $AC=A{B}^{\prime }=C{B}^{\prime }=a\sqrt{2}$, adică triunghiul $AC{B}^{\prime }$ este echilateral (4 p). b) Unghiul dintre dreptele $AC$ și $A{B}^{\prime }$ este chiar unghiul $\angle B^{\prime }AC$ al triunghiului echilateral $AC{B}^{\prime }$, deci $60^{\circ }$ (3 p).

Exercițiul 15 · 6 puncte a) Muchii paralele cu $A{A}^{\prime }$: $\mathbf{B}{\mathbf{B}}^{\prime }$, $\mathbf{C}{\mathbf{C}}^{\prime }$, $\mathbf{D}{\mathbf{D}}^{\prime }$ — deci 3 muchii (1,5 p). b) Două plane paralele, de exemplu $(ABCD)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ (sau $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\parallel (DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$; sau $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$) (1,5 p). c) $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$, iar $AB\perp BC$ (laturi alăturate ale pătratului $ABCD$), deci unghiul dintre $AB$ și $B^{\prime }{C}^{\prime }$ este $90^{\circ }$ (1,5 p). d) O muchie necoplanară cu $AB$: de exemplu $\mathbf{C}{\mathbf{C}}^{\prime }$ (sau $D{D}^{\prime }$, sau $A^{\prime }{D}^{\prime }$, sau $B^{\prime }{C}^{\prime }$... orice muchie care nu o intersectează pe $AB$ și nu îi este paralelă) (1,5 p).

Recomandare: dacă elevul greșește la itemii 6 sau 14 (unghiul a două drepte), reia ideea de bază — unghiul a două drepte în spațiu se obține „mutând" una dintre ele prin paralelism până se întâlnesc, apoi se măsoară unghiul din figura plană obținută. Pentru itemii 10, 11 și 12 (secțiuni paralele cu baza), reține: la prismă secțiunea este congruentă cu baza, iar la piramidă este asemenea cu baza, cu raportul de asemănare egal cu raportul dintre distanța de la vârf la secțiune și înălțimea totală.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică dacă elevul stăpânește noțiunile din unitatea „Puncte, drepte și plane. Paralelism în spațiu": convenții de notare și reprezentare, determinarea dreptei și a planului, relații între puncte, drepte și plane, pozițiile relative a două drepte în spațiu (concurente, paralele, necoplanare), unghiul a două drepte, dreapta paralelă cu un plan și criteriul ei, plane paralele cu criteriile și proprietățile lor, precum și secțiunile paralele cu baza în corpurile geometrice studiate (prismă, piramidă). Este potrivit pentru consolidare în an de Evaluare Națională.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe o foaie separată, cu creion și riglă pentru schițe. Corpurile geometrice pot fi desenate „în perspectivă" (cavalier), cu muchiile ascunse trasate punctat. La final, comparați rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea noțiunilor din unitate.
• Sfat: la geometrie în spațiu, unghiul a două drepte se măsoară „mutând" (prin paralelism) una dintre drepte până când se întâlnesc; o dreaptă este paralelă cu un plan dacă este paralelă cu o dreaptă din plan și nu este conținută în el.

Notă: marcajele 🖼️ [Imagine: ...] descriu figura care însoțește itemul; elevul o poate reface după descriere. La toate problemele cu cubul se folosește notația standard $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cu baza $ABCD$ și fața de sus $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, unde $A^{\prime }$ este deasupra lui $A$, $B^{\prime }$ deasupra lui $B$ etc.