Test: paralelism și unghiuri formate cu o secantă
Exerciții
Partea I — Itemi cu răspuns scurt (calcul direct)
Exercițiul 1 (5 puncte)
Completați spațiile libere cu termenul potrivit.
a) Două drepte din plan care nu au niciun punct comun se numesc drepte ………… .
b) Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce ………… paralelă la dreapta dată (axioma paralelelor).
c) Două unghiuri alterne interne formate de două drepte paralele cu o secantă sunt ………… .
d) Două unghiuri interne de aceeași parte a secantei, formate de două drepte paralele, sunt ………… .
e) Dacă a ∥ b și b ∥ c, atunci a ………… c.
Exercițiul 2 (5 puncte)
Calculați m(∠2) și precizați tipul perechii de unghiuri (∠1, ∠2).
Exercițiul 3 (6 puncte)
Calculați: a) m(∠CPD); b) m(∠CPE).
Exercițiul 4 (6 puncte)
Unghiurile unei perechi de unghiuri interne de aceeași parte a secantei, formate de două drepte paralele cu o secantă, au măsurile (3x + 10)° și (2x + 20)°.
a) Scrieți relația dintre cele două măsuri.
b) Determinați valoarea lui x și măsurile celor două unghiuri.
Partea a II-a — Itemi de raționament și justificare
Exercițiul 5 (6 puncte)
Justificați, folosind un criteriu de paralelism, dacă dreptele d₁ și d₂ sunt paralele. Numiți criteriul folosit.
Exercițiul 6 (6 puncte)
Stabiliți valoarea de adevăr a fiecărei afirmații și justificați răspunsul (o propoziție). a) Două drepte paralele tăiate de o secantă formează unghiuri alterne externe congruente. b) Dacă două unghiuri corespondente sunt suplementare, atunci dreptele tăiate de secantă sunt paralele. c) Printr-un punct exterior unei drepte există cel puțin două paralele la dreapta dată.
Exercițiul 7 (6 puncte)
Determinați valoarea lui x pentru care a ∥ b și calculați măsura comună a celor două unghiuri.
Exercițiul 8 (6 puncte)
a) Determinați x.
b) Calculați măsura unghiului format la intersecția cu q.
Partea a III-a — Probleme aplicate
Exercițiul 9 (7 puncte)
Pe un panou de orientare, două traseuri rectilinii AB și CD sunt marcate paralel. O alee dreaptă le intersectează pe amândouă, fiind secantă. La intersecția cu traseul AB, aleea formează cu acesta un unghi de 53°.
a) Calculați măsura unghiului altern intern format la intersecția aleei cu traseul CD.
b) Calculați măsura unghiului suplementar acestuia, format de aceeași parte pe traseul CD.
Exercițiul 10 (7 puncte)
Folosind proprietățile unghiurilor formate de drepte paralele cu o secantă, calculați:
a) măsura unghiului corespondent format la intersecția cu bara b;
b) măsura unghiului altern extern față de unghiul de 70°, format la intersecția cu bara c.
Exercițiul 11 (7 puncte)
În trapezul ABCD cu AB ∥ CD, diagonala AC este secantă pentru laturile paralele.
a) Precizați ce fel de unghiuri sunt ∠BAC și ∠ACD.
b) Calculați m(∠ACD).
Exercițiul 12 (7 puncte)
Două unghiuri alterne externe formate de dreptele paralele x și y cu secanta z au măsurile (7a − 5)° și (5a + 25)°.
a) Determinați valoarea lui a.
b) Calculați măsura fiecărui unghi și verificați că dreptele pot fi paralele.
Partea a IV-a — Itemi cu subpuncte (sinteză)
Exercițiul 13 (8 puncte)
Se știe că a ∥ b și m(∠1) = 116°, unde ∠1 este unul dintre unghiurile formate la intersecția secantei c cu dreapta a.
a) Calculați măsura unghiului opus la vârf cu ∠1.
b) Calculați măsura unghiului suplementar cu ∠1 (adiacent lui pe dreapta a).
c) Calculați măsura unghiului corespondent lui ∠1, format la intersecția cu dreapta b.
d) Calculați măsura unghiului altern intern al lui ∠1 (presupunând ∠1 unghi intern).
Exercițiul 14 (8 puncte)
În triunghiul ABC se duce prin A o dreaptă d paralelă cu BC. Laturile AB și AC sunt secante pentru d și BC.
a) Folosind unghiurile alterne interne, exprimați unghiurile pe care le formează dreapta d cu AB, respectiv cu AC, în funcție de unghiurile triunghiului.
b) Calculați măsura unghiului ∠BAC.
c) Verificați că suma măsurilor unghiurilor triunghiului ABC este 180°.
Exercițiul 15 (5 puncte)
Două unghiuri interne de aceeași parte a secantei au măsurile 102° și 82°. Stabiliți, justificând, dacă dreptele a și b sunt paralele.
Exercițiul 16 (5 puncte)
Scrieți o justificare riguroasă (demonstrație scurtă) pentru afirmația:
„Dacă două drepte sunt tăiate de o secantă astfel încât două unghiuri corespondente sunt congruente, atunci dreptele sunt paralele." Indicați explicit ce criteriu/axiomă folosiți.
Barem și răspunsuri
Total: 100 de puncte (suma punctajelor itemilor; fără punctaj din oficiu).
Exercițiul 1. (5p — câte 1p)
a) paralele;
b) o singură (exact una) — axioma paralelelor (a lui Euclid);
c) congruente (egale);
d) suplementare (suma 180°);
e) este paralelă cu (a ∥ c) — tranzitivitatea paralelismului.
Exercițiul 2. (5p) Unghiurile ∠1 și ∠2 sunt corespondente (2p). Două unghiuri corespondente formate de drepte paralele cu o secantă sunt congruente, deci m(∠2) = 64° (3p).
Exercițiul 3. (6p)
a) ∠AOB și ∠CPD sunt alterne interne → congruente, deci m(∠CPD) = 115° (3p).
b) ∠CPE este suplementul lui ∠CPD (unghiuri adiacente suplementare pe dreapta n): m(∠CPE) = 180° − 115° = 65° (3p).
Exercițiul 4. (6p)
a) Unghiurile interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare:
(3x + 10) + (2x + 20) = 180 (2p).
b) 5x + 30 = 180 ⟹ 5x = 150 ⟹ x = 30 (2p).
Măsurile: 3·30 + 10 = 100° și 2·30 + 20 = 80°. Verificare: 100° + 80° = 180°. ✓ (2p)
Răspuns: 100° și 80°.
Exercițiul 5. (6p)
Cele două unghiuri date sunt corespondente și au aceeași măsură (78° = 78°), deci sunt congruente (2p). Conform criteriului de paralelism cu unghiuri corespondente („dacă o secantă formează cu două drepte unghiuri corespondente congruente, atunci dreptele sunt paralele"), rezultă d₁ ∥ d₂ (4p).
Exercițiul 6. (6p — câte 2p) a) Adevărat. Unghiurile alterne externe formate de drepte paralele cu o secantă sunt congruente (proprietate a paralelelor). b) Fals. Criteriul cere ca unghiurile corespondente să fie congruente (egale), nu suplementare. Dacă ar fi suplementare (și diferite de 90°), dreptele nu ar fi paralele. c) Fals. Conform axiomei paralelelor, printr-un punct exterior unei drepte există o singură paralelă la dreapta dată.
Exercițiul 7. (6p)
Pentru ca a ∥ b, unghiurile alterne interne trebuie să fie congruente:
5x − 8 = 4x + 12 (2p) ⟹ x = 20 (2p).
Măsura comună: 5·20 − 8 = 92° (verificare: 4·20 + 12 = 92° ✓). Răspuns: x = 20, unghiurile au 92° (2p).
Exercițiul 8. (6p)
Unghiurile corespondente formate de paralele cu o secantă sunt congruente:
a) 2x + 30 = 4x − 10 ⟹ 40 = 2x ⟹ x = 20 (3p).
b) 2·20 + 30 = 70° (sau 4·20 − 10 = 70°). Unghiul la intersecția cu q: 70° (3p).
Exercițiul 9. (7p)
a) Unghiul de 53° de la AB și cel cerut de la CD sunt alterne interne → congruente: 53° (4p).
b) Suplementul pe dreapta CD: 180° − 53° = 127° (3p).
Exercițiul 10. (7p)
a) Unghiul corespondent format cu bara b este congruent cu cel de 70°: 70° (3p).
b) Unghiul altern extern față de cel de 70°, format cu bara c, este congruent cu acesta (paralele tăiate de secantă): 70° (4p).
(Se acceptă și observația că unghiul adiacent suplementar ar fi 110°, dar cel altern extern este 70°.)
Exercițiul 11. (7p)
a) AB ∥ CD și AC secantă ⟹ ∠BAC și ∠ACD sunt alterne interne (3p).
b) Fiind alterne interne ale unor drepte paralele, sunt congruente: m(∠ACD) = 38° (4p).
Exercițiul 12. (7p)
Unghiurile alterne externe ale paralelelor sunt congruente:
a) 7a − 5 = 5a + 25 ⟹ 2a = 30 ⟹ a = 15 (3p).
b) 7·15 − 5 = 100° și 5·15 + 25 = 100°. Ambele au 100° (3p); fiind congruente, condiția de paralelism (unghiuri alterne externe congruente) este îndeplinită, deci dreptele pot fi paralele ✓ (1p).
Exercițiul 13. (8p — câte 2p)
Cu a ∥ b și m(∠1) = 116°:
a) Opus la vârf cu ∠1: 116° (unghiurile opuse la vârf sunt congruente).
b) Suplementar (adiacent) cu ∠1: 180° − 116° = 64°.
c) Corespondent cu ∠1 la dreapta b: 116° (corespondente congruente).
d) Altern intern cu ∠1: 116° (alterne interne congruente).
Exercițiul 14. (8p)
a) Dreapta d ∥ BC; cu secanta AB, unghiul dintre d și AB (de partea lui B) este altern intern cu ∠ABC, deci are 50°; cu secanta AC, unghiul dintre d și AC este altern intern cu ∠ACB, deci are 65° (3p).
b) În jurul punctului A, pe dreapta d, cele trei unghiuri (50°, ∠BAC, 65°) formează un unghi alungit (180°):
50° + m(∠BAC) + 65° = 180° ⟹ m(∠BAC) = 180° − 115° = 65° (3p).
c) Suma unghiurilor triunghiului: 50° + 65° + 65° = 180° ✓ (2p). (Acesta este, de fapt, modul în care paralelismul demonstrează teorema sumei unghiurilor unui triunghi.)
Exercițiul 15. (5p) Dacă dreptele ar fi paralele, unghiurile interne de aceeași parte a secantei ar fi suplementare (suma 180°). Dar 102° + 82° = 184° ≠ 180° (3p). Prin urmare, condiția nu este îndeplinită, deci dreptele NU sunt paralele (2p).
Exercițiul 16. (5p)
Demonstrație (model acceptat):
Fie dreptele a și b tăiate de secanta t, formând unghiurile corespondente ∠1 (la a) și ∠2 (la b), cu m(∠1) = m(∠2) (1p).
Presupunem prin reducere la absurd că a nu este paralelă cu b; atunci a și b s-ar intersecta într-un punct, formând un triunghi cu secanta, în care un unghi exterior ar fi egal cu un unghi interior neadiacent — contradicție cu teorema unghiului exterior (sau: prin punctul de pe a se poate duce o singură paralelă la b, care formează cu t un unghi corespondent congruent cu ∠2; dacă ∠1 ≡ ∠2, dreapta a coincide cu acea paralelă) (3p).
Așadar a ∥ b. Criteriul folosit: criteriul de paralelism cu unghiuri corespondente, bazat pe axioma paralelelor (unicitatea paralelei) (1p).
(Se punctează integral orice justificare corectă care invocă criteriul corespondentelor și unicitatea paralelei.)
Punctaj total: 100 de puncte (5 + 5 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 7 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 5 + 5 = 100).
Pentru părinți
Acest test verifică temeinic unitatea Paralelism din programa de matematică pentru clasa a VI-a: drepte paralele, axioma paralelelor, unghiurile formate de două drepte paralele tăiate de o secantă (corespondente, alterne interne, alterne externe, interne și externe de aceeași parte a secantei), criteriile de paralelism și aplicații în poligoane.
- Număr de itemi: 16
- Punctaj total: 100 de puncte (suma punctajelor itemilor; fără punctaj din oficiu)
- Timp recomandat: 50 de minute
- Materiale permise: instrument de scris, riglă, raportor; nu este permis calculatorul (calculele sunt simple, cu numere întregi).
Cum se aplică: elevul rezolvă itemii în ordine, scriind pe foaie atât rezultatul, cât și justificarea (proprietatea sau criteriul folosit). La geometrie, încurajați-l să deseneze figura și să noteze pe ea datele. După rezolvare, comparați cu secțiunea Barem și răspunsuri. Punctaje orientative pentru notă: 90–100 → nota 9–10; 75–89 → nota 8; 60–74 → nota 7; 45–59 → nota 5–6; sub 45 → este nevoie de recapitulare.
Reamintim notațiile:
AB ∥ CDse citește „dreapta AB este paralelă cu dreapta CD"; măsura unghiului se noteazăm(∠ABC); două unghiuri sunt suplementare dacă au suma 180°, complementare dacă au suma 90°.