Test: Paralelograme particulare (dreptunghi, romb, pătrat)

Unitatea: Paralelograme particulare și trapezul · Clasa a VII-a · Timp de lucru: 50 de minute

Exerciții

Exercițiul 1 (6 puncte)

Completează definițiile cu termenii potriviți:

a) Dreptunghiul este paralelogramul care are ................ .

b) Rombul este paralelogramul care are ................ .

c) Pătratul este dreptunghiul care are ................ (echivalent: rombul care are un unghi drept).

Exercițiul 2 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt:

a) Diagonalele oricărui dreptunghi sunt congruente.

b) Diagonalele oricărui romb sunt congruente.

c) Orice pătrat este și romb, și dreptunghi.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Asociază fiecărui patrulater proprietatea corectă a diagonalelor:

Coloana A: (1) dreptunghi · (2) romb · (3) pătrat

Coloana B:

• (a) diagonalele sunt perpendiculare, dar nu neapărat congruente;
• (b) diagonalele sunt congruente, dar nu neapărat perpendiculare;
• (c) diagonalele sunt și congruente, și perpendiculare.

Completează și propoziția: „În toate cele trei figuri, diagonalele se ................ reciproc."

Exercițiul 4 (5 puncte)

În dreptunghiul $ABCD$ se cunosc $AB=8$ cm și $BC=6$ cm.

a) Calculează lungimea diagonalei $AC$. (3p)

b) Fie $O$ punctul de intersecție al diagonalelor. Calculează $OA$. (2p)

Exercițiul 5 (6 puncte)

În rombul $ABCD$, latura are 10 cm, iar diagonala $AC=12$ cm.

a) Calculează lungimea diagonalei $BD$. (4p)

b) Calculează perimetrul rombului. (2p)

Exercițiul 6 (5 puncte)

În rombul $ABCD$ se știe că $m(\angle A)=60^{\circ }$, iar latura are 8 cm. Justifică, folosind proprietățile figurii, faptul că diagonala $BD=8$ cm.

Exercițiul 7 (6 puncte)

Se dă un pătrat cu latura $l=5\sqrt{2}$ cm.

a) Calculează lungimea diagonalei pătratului. (3p)

b) Calculează aria pătratului. (3p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

Stabilește valoarea de adevăr (A/F) și justifică:

a) Orice romb este paralelogram.

b) Un paralelogram cu diagonalele perpendiculare este romb.

c) Un patrulater cu diagonalele congruente este obligatoriu dreptunghi.

Exercițiul 9 (5 puncte)

a) Completează: un patrulater cu exact o pereche de laturi paralele se numește ................ . (2p)

b) Un trapez care are un unghi drept (deci o latură neparalelă perpendiculară pe baze) se numește trapez ................ . (1,5p)

c) Un trapez care are laturile neparalele congruente se numește trapez ................ . (1,5p)

Exercițiul 10 (6 puncte)

Se dă un trapez.

a) Bazele au 14 cm și 10 cm. Calculează lungimea liniei mijlocii a trapezului. (3p)

b) Linia mijlocie a unui trapez are 9 cm, iar baza mică are 7 cm. Află lungimea bazei mari. (3p)

Exercițiul 11 (5 puncte)

În trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ (baza mare $AB$), se cunoaște $m(\angle A)=72^{\circ }$. Calculează măsurile unghiurilor $\angle B$, $\angle C$ și $\angle D$, justificând scurt fiecare rezultat.

Exercițiul 12 (6 puncte)

În trapezul dreptunghic $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ și $m(\angle A)=m(\angle D)=90^{\circ }$, se cunosc $AB=10$ cm, $CD=4$ cm și $AD=8$ cm. Calculează lungimea laturii $BC$.

Exercițiul 13 (6 puncte)

Un paralelogram $ABCD$ are diagonalele congruente ($AC=BD$). Justifică, printr-un raționament, faptul că $ABCD$ este dreptunghi.

Exercițiul 14 (6 puncte)

Un panou publicitar dreptunghiular are lățimea de 1,2 m și înălțimea de 1,6 m. Pentru rigidizare se montează cabluri de-a lungul diagonalelor.

a) Ce lungime are un cablu montat pe o diagonală? (4p)

b) Cele două cabluri se prind și în centrul panoului (intersecția diagonalelor). La ce distanță de un colț se află acest punct? (2p)

Exercițiul 15 (5 puncte)

În pătratul $ABCD$, diagonalele se intersectează în punctul $O$.

a) Cât este $m(\angle AOB)$? Justifică. (2p)

b) Cât este $m(\angle OAB)$ (unghiul dintre o diagonală și o latură)? Justifică. (3p)

Exercițiul 16 (6 puncte)

Un romb are perimetrul de 52 cm și una dintre diagonale de 10 cm.

a) Află lungimea laturii rombului. (1p)

b) Calculează lungimea celeilalte diagonale. (3p)

c) Calculează aria rombului. (2p)

Barem și răspunsuri

Oficiu: 10 puncte.

Exercițiul 1 (6p — câte 2p pe subpunct)

a) ... un unghi drept (un unghi de $90^{\circ }$). b) ... două laturi consecutive congruente (echivalent: toate laturile congruente). c) ... două laturi consecutive congruente (un dreptunghi cu laturi consecutive egale devine pătrat).

Se acceptă orice formulare echivalentă corectă.

Exercițiul 2 (6p — câte 2p: 1p răspuns + 1p justificare)

a) A — diagonalele dreptunghiului sunt congruente (proprietate caracteristică). b) F — diagonalele rombului sunt perpendiculare, nu congruente; ele sunt congruente doar la pătrat. c) A — pătratul are toate laturile congruente (deci este romb) și are un unghi drept (deci este dreptunghi).

Exercițiul 3 (5p)

Asocieri (câte 1p): 1 → b, 2 → a, 3 → c. Completare (2p): diagonalele se înjumătățesc (se împart în părți congruente) reciproc.

Exercițiul 4 (5p)

a) (3p) Cu teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $ABC$: $$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\text{ cm.}$$ b) (2p) Diagonalele dreptunghiului se înjumătățesc și sunt congruente, deci $OA=\frac{AC}{2}=\frac{10}{2}=5$ cm.

Exercițiul 5 (6p)

a) (4p) Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc. Fie $O$ intersecția lor: $AO=\frac{AC}{2}=6$ cm. În triunghiul dreptunghic $AOB$ ($m(\angle AOB)=90^{\circ }$): $$BO=\sqrt{A{B}^2-A{O}^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\text{ cm}\Rightarrow BD=2\cdot 8=16\text{ cm.}$$ b) (2p) $P=4\cdot 10=40$ cm.

Exercițiul 6 (5p)

Diagonala $BD$ împarte rombul în triunghiurile $ABD$ și $CBD$. În triunghiul $ABD$: $AB=AD=8$ cm (laturi ale rombului), deci triunghiul este isoscel, iar $m(\angle A)=60^{\circ }$ (2p). Un triunghi isoscel cu unghiul dintre laturile egale de $60^{\circ }$ este echilateral (2p), prin urmare $BD=AB=8$ cm (1p).

Exercițiul 7 (6p)

a) (3p) Diagonala pătratului: $d=l\sqrt{2}=5\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=5\cdot 2=10$ cm. b) (3p) Aria: $\mathcal{A}=l^2=(5\sqrt{2}{)}^2=25\cdot 2=50$ cm${}^2$.

Exercițiul 8 (6p — câte 2p)

a) A — rombul are laturile opuse paralele și congruente, deci este un caz particular de paralelogram (paralelogramul cu toate laturile congruente). b) A — un paralelogram cu diagonalele perpendiculare este romb (proprietate caracteristică a rombului). c) F — proprietatea „diagonale congruente" caracterizează dreptunghiul doar în cadrul paralelogramelor. De exemplu, trapezul isoscel are diagonalele congruente, dar nu este dreptunghi.

Exercițiul 9 (5p)

a) (2p) trapez. b) (1,5p) trapez dreptunghic. c) (1,5p) trapez isoscel.

Exercițiul 10 (6p)

a) (3p) Linia mijlocie = semisuma bazelor: $\ell =\frac{14+10}{2}=\frac{24}{2}=12$ cm. b) (3p) Din $\ell =\frac{B+b}{2}$ rezultă $B=2\ell -b=2\cdot 9-7=18-7=11$ cm.

Exercițiul 11 (5p)

Trapez isoscel cu $AB\parallel CD$: unghiurile alăturate aceleiași baze sunt congruente.

• $m(\angle B)=m(\angle A)=72^{\circ }$ (unghiuri de la baza mare, egale la trapezul isoscel) — 2p.
• $m(\angle D)=180^{\circ }-72^{\circ }=108^{\circ }$ (unghiuri interne de aceeași parte a laturii $AD$, cu $AB\parallel CD$) — 1,5p.
• $m(\angle C)=108^{\circ }$ (unghiuri de la baza mică, egale) — 1,5p.

Verificare: suma unghiurilor $=72+72+108+108=360^{\circ }$.

Exercițiul 12 (6p)

Ducem $CE\perp AB$, $E\in AB$. Atunci $AECD$ este dreptunghi, deci $AE=CD=4$ cm și $CE=AD=8$ cm (2p). Proiecția orizontală a laturii $BC$ este $EB=AB-AE=10-4=6$ cm (1p). În triunghiul dreptunghic $CEB$: $$BC=\sqrt{E{B}^2+C{E}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\text{ cm}(3p).$$

Exercițiul 13 (6p)

În paralelogramul $ABCD$: $AB=DC$ (laturi opuse) și latura $BC$ este comună triunghiurilor $ABC$ și $DCB$. Cum $AC=BD$ (ipoteză), triunghiurile $ABC$ și $DCB$ sunt congruente (cazul L.L.L.) (3p). Rezultă $m(\angle ABC)=m(\angle DCB)$. Dar $AB\parallel DC$, deci aceste unghiuri sunt interne de aceeași parte a secantei $BC$ și au suma $180^{\circ }$ (2p). Fiind și egale, fiecare are $90^{\circ }$; un paralelogram cu un unghi drept este dreptunghi (1p).

Exercițiul 14 (6p)

a) (4p) Diagonala dreptunghiului (teorema lui Pitagora): $$d=\sqrt{1,2^2+1,6^2}=\sqrt{1,44+2,56}=\sqrt{4}=2\text{ m.}$$ b) (2p) Diagonalele se înjumătățesc, deci centrul se află la $\frac{d}{2}=\frac{2}{2}=1$ m de fiecare colț.

Exercițiul 15 (5p)

a) (2p) $m(\angle AOB)=90^{\circ }$, deoarece diagonalele pătratului sunt perpendiculare. b) (3p) Diagonala pătratului este bisectoarea unghiului drept al vârfului, deci $m(\angle OAB)=\frac{90^{\circ }}{2}=45^{\circ }$. (Echivalent: triunghiul $AOB$ este dreptunghic isoscel, cu $OA=OB$.)

Exercițiul 16 (6p)

a) (1p) Latura: $l=\frac{52}{4}=13$ cm. b) (3p) Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc. Jumătatea diagonalei date este $\frac{10}{2}=5$ cm. În triunghiul dreptunghic format de semidiagonale și latură: $$\frac{d_2}{2}=\sqrt{l^2-5^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\Rightarrow d_2=24\text{ cm.}$$ c) (2p) Aria rombului $=\frac{d_1\cdot d_2}{2}=\frac{10\cdot 24}{2}=120$ cm${}^2$.

Total: 90 de puncte (itemi) + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Pentru părinți și profesori

• Ce verifică testul: definițiile și proprietățile dreptunghiului, rombului și pătratului (cu accent pe diagonale), relațiile de incluziune dintre aceste patrulatere, precum și clasificarea și proprietățile trapezului (inclusiv trapezul isoscel și linia mijlocie). Itemii cer recunoaștere în configurații, calcul cu unghiuri și lungimi și scurte justificări.
• Cum se aplică: testul se rezolvă individual, pe foaie, cu instrumente de geometrie (riglă, echer). Se admite folosirea calculului cu radicali; nu este permis calculatorul programabil. Figurile sunt sugerate prin marcaje de imagine — elevul poate reface schița pe foaie.
• Punctaj total: 100 de puncte = 10 puncte din oficiu + 90 de puncte distribuite pe cei 16 itemi.
• Timp recomandat: 50 de minute.
• Scara de notare orientativă:
  • 90–100 p → nota 9–10
  • 75–89 p → nota 8
  • 60–74 p → nota 7
  • 45–59 p → nota 5–6
  • sub 45 p → se reia unitatea, pornind de la proprietățile diagonalelor.
• Reper teoretic rapid: dreptunghiul are diagonalele congruente; rombul are diagonalele perpendiculare (și bisectoare ale unghiurilor); pătratul le are și congruente, și perpendiculare. În toate paralelogramele diagonalele se înjumătățesc reciproc.