Test: Patrulaterul convex și paralelogramul

Unitatea: Patrulaterul convex. Paralelogramul · Clasa a VII-a · Timp de lucru: 50 de minute

Exerciții

Exercițiul 1 (5 puncte)

Un patrulater convex $ABCD$ are trei dintre unghiuri de măsuri $80^{\circ }$, $95^{\circ }$ și $100^{\circ }$.

a) Calculează măsura celui de-al patrulea unghi. (3p)

b) Un alt patrulater convex are toate unghiurile congruente. Cât are fiecare unghi? (2p)

Exercițiul 2 (5 puncte)

Completează enunțurile cu proprietatea corectă a paralelogramului:

a) Într-un paralelogram, laturile opuse sunt ................ și ................ .

b) Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt ................ , iar unghiurile alăturate (consecutive) sunt ................ .

c) Într-un paralelogram, diagonalele ................ reciproc.

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt:

a) Într-un paralelogram, două unghiuri opuse sunt suplementare.

b) Diagonalele oricărui paralelogram sunt congruente.

c) Un patrulater în care laturile opuse sunt congruente două câte două este paralelogram.

Exercițiul 4 (5 puncte)

În paralelogramul $ABCD$ se cunoaște $m(\angle A)=110^{\circ }$. Calculează măsurile unghiurilor $\angle B$, $\angle C$ și $\angle D$, justificând scurt fiecare rezultat.

Exercițiul 5 (6 puncte)

În paralelogramul $ABCD$, măsura unghiului $A$ este de trei ori mai mare decât măsura unghiului $B$.

a) Scrie o relație (ecuație) între $m(\angle A)$ și $m(\angle B)$ folosind o proprietate a paralelogramului. (2p)

b) Determină măsurile tuturor unghiurilor paralelogramului. (4p)

Exercițiul 6 (5 puncte)

În paralelogramul $ABCD$ se cunosc $AB=7$ cm și $BC=5$ cm.

a) Precizează lungimile laturilor $DC$ și $AD$, justificând. (2p)

b) Calculează perimetrul paralelogramului. (3p)

Exercițiul 7 (6 puncte)

În paralelogramul $ABCD$, diagonalele se intersectează în punctul $O$. Se știe că $AC=16$ cm și $BD=10$ cm.

a) Calculează lungimile segmentelor $OA$, $OC$, $OB$ și $OD$. (4p)

b) Ce proprietate a paralelogramului ai folosit? (2p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

Asociază fiecărei condiții din coloana A afirmația corectă din coloana B, astfel încât să obții un criteriu prin care un patrulater convex este paralelogram.

Coloana A (ipoteza asupra patrulaterului $ABCD$):

1. laturile opuse sunt congruente două câte două;
2. două laturi opuse sunt, în același timp, paralele și congruente;
3. diagonalele au același mijloc.

Coloana B:

• (a) ... atunci diagonalele se înjumătățesc reciproc, deci $ABCD$ este paralelogram;
• (b) ... atunci laturile opuse sunt paralele și congruente, deci $ABCD$ este paralelogram;
• (c) ... atunci și cealaltă pereche de laturi este paralelă și congruentă, deci $ABCD$ este paralelogram.

Notează asocierile sub forma $1\to \dots$, $2\to \dots$, $3\to \dots$ .

Exercițiul 9 (5 puncte)

Fie triunghiul $ABC$, în care $M$ este mijlocul laturii $AB$, iar $N$ este mijlocul laturii $AC$.

a) Cum se numește segmentul $MN$ și în ce relație este el cu latura $BC$? (2p)

b) Dacă $BC=14$ cm, calculează $MN$. (1,5p)

c) Dacă $MN=6$ cm, calculează $BC$. (1,5p)

Exercițiul 10 (6 puncte)

În triunghiul $ABC$, $M$ este mijlocul laturii $AB$, iar $N$ este mijlocul laturii $AC$. Se cunosc $AB=12$ cm, $AC=16$ cm și $BC=18$ cm.

a) Calculează lungimea liniei mijlocii $MN$. (2p)

b) Calculează perimetrul triunghiului $AMN$. (2p)

c) Arată că perimetrul triunghiului $AMN$ este jumătate din perimetrul triunghiului $ABC$. (2p)

Exercițiul 11 (5 puncte)

În triunghiul $ABC$, $AM$ este mediană ($M$ fiind mijlocul laturii $BC$), iar $G$ este centrul de greutate al triunghiului. Se știe că $AM=12$ cm.

a) Calculează lungimea $AG$. (3p)

b) Calculează lungimea $GM$. (2p)

Exercițiul 12 (6 puncte)

În triunghiul $ABC$, $BN$ este mediana din vârful $B$ ($N$ fiind mijlocul laturii $AC$), iar $G$ este centrul de greutate. Se cunoaște $GN=5$ cm.

a) Explică de ce punctul $G$ se află pe mediana $BN$. (2p)

b) Calculează lungimea segmentului $BG$. (2p)

c) Calculează lungimea întregii mediane $BN$. (2p)

Exercițiul 13 (6 puncte)

Se dă patrulaterul convex $ABCD$ ale cărui diagonale $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $O$, astfel încât $OA=OC$ și $OB=OD$ (diagonalele au același mijloc $O$).

Justifică, printr-un raționament, faptul că $ABCD$ este paralelogram.

Exercițiul 14 (6 puncte)

Un teren are forma unui paralelogram cu laturile alăturate de $45$ m și $30$ m, iar unul dintre unghiuri are măsura de $60^{\circ }$.

a) Ce lungime de gard este necesară pentru a împrejmui complet terenul? (3p)

b) Determină măsurile tuturor celor patru unghiuri ale terenului, justificând. (3p)

Exercițiul 15 (6 puncte)

Pentru a afla distanța $BC$ dintre două puncte situate pe malurile opuse ale unui lac (distanță ce nu poate fi măsurată direct), un topograf alege un punct $A$ pe uscat și marchează mijlocul $M$ al segmentului $AB$ și mijlocul $N$ al segmentului $AC$. El măsoară $MN=35$ m.

a) Explică pe ce proprietate geometrică se bazează metoda. (3p)

b) Calculează distanța $BC$ dintre cele două puncte. (3p)

Exercițiul 16 (6 puncte)

În paralelogramul $ABCD$, $M$ este mijlocul laturii $AB$, iar $N$ este mijlocul laturii $CD$.

Arată că patrulaterul $MBCN$ este paralelogram.

Barem și răspunsuri

Oficiu: 10 puncte.

Exercițiul 1 (5p)

a) (3p) Suma unghiurilor unui patrulater convex este $360^{\circ }$: $$m(\angle D)=360^{\circ }-(80^{\circ }+95^{\circ }+100^{\circ })=360^{\circ }-275^{\circ }=85^{\circ }.$$ b) (2p) Fiecare unghi are $\frac{360^{\circ }}{4}=90^{\circ }$.

Exercițiul 2 (5p)

a) laturile opuse sunt paralele și congruente (egale). b) unghiurile opuse sunt congruente (egale), iar unghiurile alăturate sunt suplementare (au suma $180^{\circ }$). c) diagonalele se înjumătățesc (se împart în părți congruente) reciproc.

Se acordă câte ~1,7p pe subpunct; se acceptă orice formulare echivalentă corectă.

Exercițiul 3 (6p — câte 2p: 1p răspuns + 1p justificare)

a) F — unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt congruente (egale), nu suplementare; suplementare sunt unghiurile alăturate.

b) F — diagonalele paralelogramului se înjumătățesc, dar în general nu sunt congruente; ele devin congruente doar în cazul particular al dreptunghiului (și al pătratului).

c) A — „laturile opuse congruente două câte două" este unul dintre criteriile prin care un patrulater convex este paralelogram.

Exercițiul 4 (5p)

$m(\angle C)=110^{\circ }$, deoarece unghiurile opuse sunt congruente (2p). $m(\angle B)=180^{\circ }-110^{\circ }=70^{\circ }$, fiindcă unghiurile alăturate sunt suplementare (2p). $m(\angle D)=70^{\circ }$, opus cu $\angle B$ (1p).

Verificare: $110+70+110+70=360^{\circ }$.

Exercițiul 5 (6p)

a) (2p) Unghiurile $A$ și $B$ sunt alăturate, deci suplementare: $$m(\angle A)+m(\angle B)=180^{\circ }.$$ b) (4p) Notând $m(\angle B)=x$, avem $m(\angle A)=3x$, deci: $$3x+x=180^{\circ }\Rightarrow 4x=180^{\circ }\Rightarrow x=45^{\circ }.$$ Prin urmare $m(\angle B)=m(\angle D)=45^{\circ }$ și $m(\angle A)=m(\angle C)=135^{\circ }$.

Verificare: $135+45+135+45=360^{\circ }$.

Exercițiul 6 (5p)

a) (2p) În paralelogram, laturile opuse sunt congruente, deci $DC=AB=7$ cm și $AD=BC=5$ cm. b) (3p) $P=2\cdot (AB+BC)=2\cdot (7+5)=2\cdot 12=24$ cm.

Exercițiul 7 (6p)

a) (4p) Diagonalele paralelogramului se înjumătățesc, deci $O$ este mijlocul fiecăreia: $$OA=OC=\frac{AC}{2}=\frac{16}{2}=8\text{ cm},OB=OD=\frac{BD}{2}=\frac{10}{2}=5\text{ cm}.$$ b) (2p) Proprietatea folosită: diagonalele unui paralelogram se înjumătățesc reciproc (au același mijloc).

Exercițiul 8 (6p — câte 2p pe asociere)

$$1\to b,2\to c,3\to a.$$

Fiecare asociere reprezintă un criteriu valabil prin care un patrulater convex este paralelogram.

Exercițiul 9 (5p)

a) (2p) Segmentul $MN$ se numește linie mijlocie a triunghiului $ABC$ (unește mijloacele a două laturi). El este paralel cu $BC$ și egal cu jumătatea lui $BC$. b) (1,5p) $MN=\frac{BC}{2}=\frac{14}{2}=7$ cm. c) (1,5p) $BC=2\cdot MN=2\cdot 6=12$ cm.

Exercițiul 10 (6p)

a) (2p) $MN$ este linie mijlocie: $MN=\frac{BC}{2}=\frac{18}{2}=9$ cm. b) (2p) $M$ mijloc al lui $AB$ $\Rightarrow AM=\frac{12}{2}=6$ cm; $N$ mijloc al lui $AC$ $\Rightarrow AN=\frac{16}{2}=8$ cm. Perimetrul: $$P_{AMN}=AM+AN+MN=6+8+9=23\text{ cm}.$$ c) (2p) $P_{ABC}=12+16+18=46$ cm, iar $\frac{P_{ABC}}{2}=\frac{46}{2}=23=P_{AMN}$. (Fiecare latură a triunghiului $AMN$ este jumătate din latura corespunzătoare a lui $ABC$, deci și perimetrul este jumătate.)

Exercițiul 11 (5p)

Centrul de greutate împarte mediana în raportul $2:1$ dinspre vârf, deci $AG=\frac{2}{3}AM$ și $GM=\frac{1}{3}AM$.

a) (3p) $AG=\frac{2}{3}\cdot 12=8$ cm. b) (2p) $GM=\frac{1}{3}\cdot 12=4$ cm. (Se poate obține și din $GM=AM-AG=12-8=4$ cm.)

Exercițiul 12 (6p)

a) (2p) Cele trei mediane ale unui triunghi sunt concurente într-un singur punct — centrul de greutate $G$. Deci $G$ se află pe fiecare mediană, în particular pe $BN$. b) (2p) $G$ împarte mediana în raportul $2:1$ dinspre vârf, deci $BG=2\cdot GN=2\cdot 5=10$ cm. c) (2p) $BN=BG+GN=10+5=15$ cm.

Exercițiul 13 (6p)

Comparăm triunghiurile $AOB$ și $COD$:

• $OA=OC$ (ipoteză);
• $OB=OD$ (ipoteză);
• $\angle AOB\equiv \angle COD$ (unghiuri opuse la vârf).

Conform cazului L.U.L., $△AOB\equiv △COD$ (3p). Rezultă $AB=CD$ și $\angle OAB\equiv \angle OCD$ (2p). Unghiurile $\angle OAB$ și $\angle OCD$ sunt alterne interne față de secanta $AC$; fiind congruente, obținem $AB\parallel CD$ (1p). Cum $AB$ și $CD$ sunt, în același timp, paralele și congruente, patrulaterul $ABCD$ este paralelogram.

Alternativ: analog $△AOD\equiv △COB$ dă $AD=BC$ și $AD\parallel BC$; laturile opuse fiind paralele și congruente, $ABCD$ este paralelogram.

Exercițiul 14 (6p)

a) (3p) Într-un paralelogram laturile opuse sunt egale, deci perimetrul este: $$P=2\cdot (45+30)=2\cdot 75=150\text{ m de gard}.$$ b) (3p) Unghiurile alăturate sunt suplementare, iar cele opuse congruente. Dacă un unghi are $60^{\circ }$, atunci unghiul alăturat are $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$. Cele patru unghiuri sunt: $60^{\circ },120^{\circ },60^{\circ },120^{\circ }$ (unghiurile opuse fiind egale).

Verificare: $60+120+60+120=360^{\circ }$.

Exercițiul 15 (6p)

a) (3p) Deoarece $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$, respectiv $AC$ ale triunghiului $ABC$, segmentul $MN$ este linie mijlocie, deci $MN=\frac{BC}{2}$ (și $MN\parallel BC$). Astfel, măsurând $MN$ pe uscat, putem afla $BC$. b) (3p) $BC=2\cdot MN=2\cdot 35=70$ m.

Exercițiul 16 (6p)

Pentru patrulaterul $MBCN$ analizăm laturile opuse $MB$ și $NC$:

• $M$ este mijlocul lui $AB$, deci $MB=\frac{AB}{2}$; $N$ este mijlocul lui $CD$, deci $NC=\frac{CD}{2}$ (2p).
• În paralelogramul $ABCD$, $AB=CD$, prin urmare $MB=NC$ (2p).
• Segmentele $MB$ și $NC$ sunt părți ale laturilor $AB$, respectiv $CD$, care sunt paralele ($AB\parallel CD$), deci $MB\parallel NC$ (1p).

Patrulaterul $MBCN$ are laturile opuse $MB$ și $NC$ paralele și congruente, așadar, conform criteriului corespunzător, $MBCN$ este paralelogram (1p).

Total: 90 de puncte (itemi) + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Pentru părinți și profesori

• Ce verifică testul: suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex ($360^{\circ }$); definiția și proprietățile paralelogramului privind laturile, unghiurile și diagonalele; condițiile (criteriile) prin care un patrulater este paralelogram; linia mijlocie în triunghi și centrul de greutate (concurența medianelor); precum și probleme de sinteză care leagă paralelogramul de configurații din triunghi. Itemii cer calcul, raționament, scurte justificări și rezolvarea unor situații aplicative.
• Cum se aplică: testul se rezolvă individual, pe foaie, cu instrumente de geometrie (riglă, echer, compas). Nu este necesar calculatorul. Figurile sunt sugerate prin marcaje de imagine — elevul poate reface schița pe caiet înainte de a rezolva.
• Punctaj total: 100 de puncte = 10 puncte din oficiu + 90 de puncte distribuite pe cei 16 itemi.
• Timp recomandat: 50 de minute.
• Scara de notare orientativă:
  • 90–100 p → nota 9–10
  • 75–89 p → nota 8
  • 60–74 p → nota 7
  • 45–59 p → nota 5–6
  • sub 45 p → se reia unitatea, pornind de la proprietățile paralelogramului.
• Reper teoretic rapid: într-un patrulater convex suma unghiurilor este $360^{\circ }$. În paralelogram: laturile opuse sunt paralele și congruente, unghiurile opuse sunt congruente, unghiurile alăturate sunt suplementare ($180^{\circ }$), iar diagonalele se înjumătățesc reciproc. Linia mijlocie în triunghi este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătatea ei. Medianele unui triunghi sunt concurente în centrul de greutate $G$, care le împarte în raportul $2:1$ dinspre vârf.