Test: perpendicularitate și mediatoare — Clasa a VI-a

Exerciții

Exercițiul 1 (6 puncte) — Adevărat / Fals cu justificare

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică într-un rând.

a) Două drepte perpendiculare formează patru unghiuri drepte. (2p) b) Dacă două drepte care se intersectează formează un unghi de 80°, atunci ele sunt perpendiculare. (2p) c) Prin perpendiculara dintr-un punct exterior pe o dreaptă se obține cel mai scurt drum de la punct la dreaptă. (2p)

Exercițiul 2 (5 puncte) — Definiții și notație

Completează corect:

a) Două drepte se numesc perpendiculare dacă, intersectându-se, formează un unghi de ……… . (1p) b) Scrie cu simbolul matematic faptul că dreapta a este perpendiculară pe dreapta b: ……… . (1p) c) Distanța de la un punct P la o dreaptă d este lungimea segmentului ……… dus din P pe d. (1p) d) Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe segment care trece prin ……… lui. (2p)

Exercițiul 3 (6 puncte) — Calcul de unghiuri

Dreptele AB și CD sunt perpendiculare în punctul O. În interiorul unghiului ∠AOC se construiește semidreapta OE astfel încât m(∠AOE) = 35°.

a) Cât este m(∠AOC)? (2p) b) Calculează m(∠EOC). (2p) c) Calculează m(∠EOB). (2p)

Exercițiul 4 (5 puncte) — Distanța de la un punct la o dreaptă

Punctul M este exterior dreptei d. Din M se duc segmentele [MA], [MB], [MP], unde A, B, P sunt pe d, iar [MP] ⊥ d. Se cunosc: MP = 4 cm, MA = 5 cm, MB = 7 cm.

a) Care segment reprezintă distanța de la M la dreapta d? Cât este această distanță? (2p) b) Așază în ordine crescătoare lungimile MP, MA, MB. (2p) c) Poate exista pe dreapta d un punct T cu MT = 3 cm? Justifică. (1p)

Exercițiul 5 (6 puncte) — Aplicație: distanța cea mai scurtă

Un felinar este așezat în punctul F. O alee dreaptă din parc este reprezentată de dreapta d. Piciorul perpendicularei duse din F pe d este P, cu FP = 6 m. Un alt punct de pe alee este Q, cu FQ = 7,5 m.

a) Care este distanța de la felinar la alee? (2p) b) Pe care drum ajunge mai repede lumina la alee: pe FP sau pe FQ? Justifică prin comparație. (2p) c) Adevărat sau fals: orice alt punct de pe alee, diferit de P, se află la mai mult de 6 m de felinar. Motivează. (2p)

Exercițiul 6 (6 puncte) — Mediatoarea: proprietăți

Fie segmentul [AB] cu AB = 10 cm, M mijlocul său, iar d mediatoarea segmentului [AB].

a) Cât este AM? (2p) b) Ce măsură are unghiul format de dreapta d cu segmentul [AB]? (2p) c) Punctul P se află pe mediatoarea d și PA = 6,5 cm. Cât este PB? Justifică. (2p)

Exercițiul 7 (6 puncte) — Puncte egal depărtate

Pe o foaie, punctele X și Y sunt cunoscute. Trei elevi marchează fiecare câte un punct:

Ana marchează R cu RX = RY = 4 cm;
Bogdan marchează S cu SX = 5 cm și SY = 3 cm;
Carla marchează T cu TX = TY = 6 cm.

a) Care dintre punctele R, S, T se află pe mediatoarea segmentului [XY]? (3p) b) Care punct sigur nu se află pe mediatoare? De ce? (2p) c) Ce figură geometrică formează toate punctele egal depărtate de X și Y? (1p)

Exercițiul 8 (5 puncte) — Construcția mediatoarei

Descrie, în pași clari, cum construiești cu rigla și compasul mediatoarea unui segment [CD]. Precizează ce deschidere folosești la compas și de ce dreapta obținută este chiar mediatoarea.

Exercițiul 9 (4 puncte) — Construcția perpendicularei

Se dau dreapta g și un punct A care nu se află pe g.

a) Descrie pe scurt cum cobori, cu echerul, perpendiculara din A pe dreapta g. (2p) b) Notează cu B piciorul perpendicularei. Ce reprezintă lungimea segmentului [AB]? (2p)

Exercițiul 10 (5 puncte) — Simetria față de o dreaptă

Punctul A' este simetricul punctului A față de dreapta d.

a) Ce poziție are dreapta d față de segmentul [AA']? (Folosește un cuvânt din unitate.) (2p) b) Dacă d taie segmentul [AA'] în M și AM = 3,5 cm, cât este A'M? Și cât este AA'? (2p) c) Dacă punctul A s-ar afla pe dreapta d, unde ar fi simetricul său A'? (1p)

Exercițiul 11 (6 puncte) — Simetria unei figuri față de o dreaptă

Segmentul [MN] are MN = 5 cm și se află în întregime de aceeași parte a dreptei d, fără să o atingă. Notăm cu M' și N' simetricele punctelor M și N față de dreapta d.

a) Descrie, în pași, cum construiești simetricul M' al punctului M față de dreapta d. (3p) b) Cât este lungimea segmentului [M'N']? Ce proprietate a simetriei față de o dreaptă folosești? (2p) c) Scrie o literă mare de tipar care are o axă de simetrie verticală. (1p)

Exercițiul 12 (6 puncte) — Raționament: triunghi isoscel

Triunghiul ABC are AB = AC = 8 cm și BC = 6 cm. Notăm cu M mijlocul laturii [BC].

a) Cât este BM? (1p) b) Justifică de ce vârful A se află pe mediatoarea segmentului [BC]. (3p) c) Ce poziție are dreapta AM față de latura [BC]? (2p)

Exercițiul 13 (6 puncte) — Adevărat / Fals cu motivare (mix)

Pentru fiecare afirmație scrie A sau F și motivează scurt.

a) Printr-un punct exterior unei drepte se pot duce două perpendiculare diferite pe acea dreaptă. (2p) b) Mediatoarea unui segment trece întotdeauna prin mijlocul segmentului. (2p) c) Un punct și simetricul său față de o dreaptă sunt egal depărtați de acea dreaptă. (2p)

Exercițiul 14 (6 puncte) — Aplicație: planul unei grădini

Pe planul unei grădini, gardul drept din față este reprezentat de dreapta g, iar un copac se află în punctul T. Se vrea o potecă dreaptă, cât mai scurtă, de la copac până la gard.

a) Pe ce direcție trebuie făcută poteca pentru a fi cea mai scurtă? (2p) b) Dacă piciorul perpendicularei este P și TP = 9 m, care este distanța de la copac la gard? (2p) c) O potecă oblică, de la T la un punct Q de pe gard, ar putea avea lungimea de 8 m? Justifică. (2p)

Exercițiul 15 (7 puncte) — Sinteză: perpendicularitate + mediatoare

Fie segmentul [AB] cu AB = 12 cm, M mijlocul său și d mediatoarea segmentului. Punctul P se află pe mediatoarea d, iar PA = 10 cm.

a) Cât este MB? (1p) b) Cât este PB? Justifică prin proprietatea mediatoarei. (3p) c) Calculează perimetrul triunghiului PAB. (2p) d) Ce fel de triunghi este PAB după lungimile laturilor? (1p)

Exercițiul 16 (5 puncte) — Item deschis: unde plasăm punctul?

Două case, A și B, sunt așezate la marginea unui drum. Proprietarii vor să sape o fântână care să fie la fel de depărtată de cele două case.

a) Pe ce linie geometrică trebuie să se afle fântâna? Numește-o. (2p) b) Explică de ce, folosind o proprietate din unitate. (2p) c) Dacă vor o singură poziție, cea mai apropiată de segmentul [AB], unde anume cade fântâna? (1p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 100 de puncte = 90 (itemi) + 10 puncte din oficiu. Răspunsurile parțial corecte se punctează proporțional, conform indicațiilor.

Exercițiul 1 (6p)

a) A — două drepte perpendiculare se taie sub unghi de 90°, iar cele patru unghiuri din jurul punctului sunt toate drepte (90° fiecare). (2p)
b) F — perpendicularitatea cere exact 90°; un unghi de 80° înseamnă drepte oblice, nu perpendiculare. (2p)
c) A — perpendiculara este cel mai scurt segment de la un punct la o dreaptă (orice segment oblic este mai lung). (2p) (Doar A/F fără justificare: 1p din 2 pe subpunct.)

Exercițiul 2 (5p)

a) 90° (unghi drept). (1p)
b) a ⊥ b. (1p)
c) segmentul perpendicular (perpendicularei) dus din P pe d. (1p)
d) prin mijlocul segmentului. (2p)

Exercițiul 3 (6p)

a) m(∠AOC) = 90° (AB ⊥ CD). (2p)
b) m(∠EOC) = m(∠AOC) − m(∠AOE) = 90° − 35° = 55°. (2p)
c) ∠AOB este unghi alungit (180°), deci m(∠EOB) = 180° − m(∠AOE) = 180° − 35° = 145°. (2p)

Exercițiul 4 (5p)

a) Distanța este lungimea perpendicularei: segmentul [MP], deci 4 cm. (2p)
b) MP < MA < MB, adică 4 cm < 5 cm < 7 cm. (2p)
c) Nu. Distanța de la M la d este 4 cm, iar orice segment de la M la un punct de pe d este ≥ 4 cm; 3 cm < 4 cm este imposibil. (1p)

Exercițiul 5 (6p)

a) Distanța de la felinar la alee = lungimea perpendicularei FP = 6 m. (2p)
b) Pe FP, deoarece FP = 6 m < FQ = 7,5 m; perpendiculara este drumul cel mai scurt. (2p)
c) Adevărat — orice punct de pe alee, diferit de P, este capătul unui segment oblic din F, mai lung decât perpendiculara de 6 m. (2p)

Exercițiul 6 (6p)

a) AM = AB : 2 = 10 : 2 = 5 cm (M este mijloc). (2p)
b) 90° — mediatoarea este perpendiculară pe segment. (2p)
c) PB = 6,5 cm. Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului, deci PB = PA. (2p)

Exercițiul 7 (6p)

a) R și T se află pe mediatoare (RX = RY și TX = TY — egal depărtate de X și Y). (3p — câte 1,5p)
b) S nu se află pe mediatoare, pentru că SX ≠ SY (5 cm ≠ 3 cm). (2p)
c) Mediatoarea segmentului [XY] (o dreaptă). (1p)

Exercițiul 8 (5p)

Pași corecți (orice formulare echivalentă):

Se ia compasul cu o deschidere mai mare decât jumătatea lui CD. (1p)
Cu vârful în C se trasează un arc; cu aceeași deschidere, cu vârful în D, se trasează alt arc. (1p)
Cele două arce se taie în două puncte, E și F. (1p)
Dreapta EF este mediatoarea. (1p)
Justificare: E și F sunt egal depărtate de C și D (raze egale), deci se află pe mediatoare; dreapta lor este perpendiculară pe [CD] și trece prin mijloc. (1p)

Exercițiul 9 (4p)

a) Se așază un cateter al echerului pe dreapta g și se alunecă echerul până când cealaltă latură (perpendiculară) trece prin A; se trasează linia din A până la g. (2p)
b) [AB] este distanța de la punctul A la dreapta g (cel mai scurt segment). (2p)

Exercițiul 10 (5p)

a) Dreapta d este mediatoarea segmentului [AA'] (este perpendiculară pe el și trece prin mijloc). (2p) (Acceptă și „perpendiculară pe AA' prin mijloc".)
b) A'M = AM = 3,5 cm; AA' = 2 · 3,5 = 7 cm. (2p)
c) Simetricul ar coincide cu A însuși: A' = A (punctele de pe axă sunt propriile simetrice). (1p)

Exercițiul 11 (6p)

a) Pași corecți (orice formulare echivalentă): se duce perpendiculara din M pe dreapta d (1p); se notează cu P piciorul perpendicularei (1p); se prelungește dincolo de d cu un segment egal, PM' = PM — punctul obținut este M' (1p).
b) M'N' = MN = 5 cm — simetria față de o dreaptă păstrează lungimile segmentelor. (2p)
c) Orice literă corectă, de exemplu A (sau M, T, U, V, W, Y, H, I, O, X). (1p)

Exercițiul 12 (6p)

a) BM = BC : 2 = 6 : 2 = 3 cm. (1p)
b) Deoarece AB = AC, vârful A este egal depărtat de B și de C; orice punct egal depărtat de capetele unui segment se află pe mediatoarea acestuia, deci A ∈ mediatoarea lui [BC]. (3p)
c) Dreapta AM este perpendiculară pe [BC] (AM este chiar mediatoarea bazei: trece prin mijlocul M și prin A). (2p)

Exercițiul 13 (6p)

a) F — printr-un punct se poate duce o singură perpendiculară pe o dreaptă. (2p)
b) A — prin definiție, mediatoarea trece prin mijlocul segmentului (și este perpendiculară pe el). (2p)
c) A — față de o dreaptă, un punct și simetricul său sunt la distanțe egale de dreaptă (dreapta este mediatoarea segmentului dintre ele). (2p)

Exercițiul 14 (6p)

a) Pe direcția perpendicularei din T pe gardul g. (2p)
b) Distanța = lungimea perpendicularei TP = 9 m. (2p)
c) Nu — o potecă oblică (TQ) este mereu mai lungă decât perpendiculara; 8 m < 9 m este imposibil. (2p)

Exercițiul 15 (7p)

a) MB = AB : 2 = 12 : 2 = 6 cm. (1p)
b) PB = 10 cm. P este pe mediatoarea lui [AB], deci este egal depărtat de capete: PB = PA = 10 cm. (3p)
c) Perimetrul = PA + PB + AB = 10 + 10 + 12 = 32 cm. (2p)
d) Triunghi isoscel (PA = PB). (1p)

Exercițiul 16 (5p)

a) Pe mediatoarea segmentului [AB]. (2p)
b) Pentru că mediatoarea este formată din toate punctele egal depărtate de capetele segmentului; o fântână pe mediatoare are aceeași distanță până la A și până la B. (2p)
c) În mijlocul segmentului [AB] (punctul M, intersecția mediatoarei cu [AB]). (1p)

Din oficiu: 10 puncte. Total: 100 de puncte.

Pentru părinți

Acest test verifică temeinic unitatea „Perpendicularitate": drepte perpendiculare și construcția lor, distanța de la un punct la o dreaptă, mediatoarea unui segment cu construcția ei și simetria față de o dreaptă.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute.
Materiale permise: riglă negradată, compas, echer, creion. Nu este permis calculatorul.
Cum se aplică: elevul lucrează individual, fără ajutor. La itemii de construcție se cere doar schița și pașii, nu desenul perfect. Imaginile sunt descrise în text (marcaj 🖼️) pentru a putea fi redesenate pe foaie.
Cum se citește rezultatul: 90–100 = foarte bine; 75–89 = bine; 60–74 = satisfăcător; sub 60 = recapitulare necesară. Folosiți baremul pentru a discuta unde a greșit, nu doar cât a greșit.

Convenție de notație: „⊥" se citește perpendicular pe; m(∠AOB) este măsura unghiului AOB; [AB] este segmentul, iar AB este lungimea lui.