Test: Perpendicularitate și proiecții în spațiu

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Perpendicularitate în spațiu. Proiecții și teorema celor trei perpendiculare

Exerciții

Partea I – Definiții și criterii

Exercițiul 1 (5 puncte)

Completează enunțurile despre dreapta perpendiculară pe un plan: a) O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe ______ drepte ______ din acel plan. b) Dacă o dreaptă $d$ este perpendiculară pe un plan $α$ , atunci ea este perpendiculară pe ______ dreaptă din planul $α$ . c) Distanța de la un punct $P$ la un plan $α$ este lungimea segmentului determinat de $P$ și ______ lui $P$ pe plan (piciorul perpendicularei).

Exercițiul 2 (5 puncte)

Completează enunțurile despre proiecții și plane perpendiculare: a) Teorema celor trei perpendiculare: dacă o dreaptă din plan este perpendiculară pe ______ unei oblice (piciorul + proiecția), atunci ea este perpendiculară și pe ______ . b) Două plane sunt perpendiculare dacă unul dintre ele conține o dreaptă ______ pe celălalt plan. c) Unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul format de dreaptă cu ______ ei pe acel plan.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Completează, alegând cuvântul potrivit (punct, dreaptă, segment): a) Proiecția unui punct pe un plan este un ______ . b) Proiecția unei drepte oblice (care nu e perpendiculară pe plan) pe acel plan este o ______ . c) Proiecția pe un plan a unui segment perpendicular pe plan este un ______ . d) Lungimea proiecției unui segment pe un plan este mai mică sau egală cu lungimea ______ . e) Dacă un segment este paralel cu un plan, proiecția lui pe plan este un segment ______ cu el (congruent).

Partea a II-a – Proiecții și adevărat/fals

Exercițiul 4 (6 puncte)

Se dă cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Se consideră proiecțiile pe planul bazei $(A B C D)$ .

a) Care este proiecția pe $(A B C D)$ a punctului $A^{'}$ ? Dar a punctului $C^{'}$ ? b) Care este proiecția pe $(A B C D)$ a muchiei $A^{'} B^{'}$ ? Dar a diagonalei feței de sus $A^{'} C^{'}$ ? c) Care este proiecția pe $(A B C D)$ a muchiei laterale $B B^{'}$ ? Justifică.

Exercițiul 5 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt. a) Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte concurente dintr-un plan, atunci este perpendiculară pe plan. b) Dacă o dreaptă este perpendiculară pe o singură dreaptă dintr-un plan, atunci este perpendiculară pe plan. c) Proiecția unui segment pe un plan poate fi mai lungă decât segmentul. d) Dacă un segment este paralel cu un plan, proiecția lui pe plan este congruentă cu segmentul.

Exercițiul 6 (6 puncte)

Rezolvă, folosind relația dintre un segment, proiecția lui și unghiul $u$ pe care îl face cu planul $(proiec ț ie = segment \cdot cos u)$ : a) Un segment de $12$ cm face un unghi de $6 0^{\circ}$ cu un plan. Cât este lungimea proiecției lui pe plan? b) Proiecția unui segment pe un plan are $9$ cm, iar segmentul face cu planul un unghi de $3 0^{\circ}$ . Cât este lungimea segmentului? c) Un segment de $10$ cm are pe un plan proiecția de $52$ cm. Ce unghi face segmentul cu planul?

Partea a III-a – Unghiul dintre o dreaptă și un plan

Exercițiul 7 (6 puncte)

Se dă cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cu muchia de $5$ cm. Se consideră diagonala feței laterale $A B^{'}$ .

a) Determină proiecția pe planul $(A B C D)$ a punctului $B^{'}$ și a segmentului $A B^{'}$ . b) Determină măsura unghiului dintre dreapta $A B^{'}$ și planul $(A B C D)$ . c) Calculează lungimile $A B^{'}$ și a proiecției ei pe $(A B C D)$ ; verifică relația $proiec ț ie = A B^{'} \cdot cos 4 5^{\circ}$ .

Exercițiul 8 (7 puncte)

Se dă cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cu muchia de $6$ cm. Se consideră diagonala spațială $A C^{'}$ .

a) Arată că proiecția diagonalei $A C^{'}$ pe planul bazei $(A B C D)$ este diagonala $A C$ și calculează $A C$ . b) Determină tangenta unghiului dintre dreapta $A C^{'}$ și planul $(A B C D)$ . c) Calculează lungimea diagonalei spațiale $A C^{'}$ .

Exercițiul 9 (7 puncte)

Piramida patrulateră regulată $V A B C D$ are latura bazei de $6$ cm și înălțimea $V O = 4$ cm, unde $O$ este centrul bazei. Fie $M$ mijlocul muchiei $B C$ .

a) Calculează apotema bazei $O M$ . b) Folosind teorema celor trei perpendiculare, arată că $V M ⊥ B C$ și calculează apotema piramidei $V M$ . c) Determină tangenta unghiului diedru dintre o față laterală și planul bazei.

Partea a IV-a – Plane perpendiculare, TCP și diedre

Exercițiul 10 (6 puncte)

Se dă cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Arată, folosind criteriul de perpendicularitate a două plane, că planul feței laterale $(B C C^{'} B^{'})$ este perpendicular pe planul bazei $(A B C D)$ . (Indică dreapta perpendiculară pe bază și cele două drepte concurente din bază pe care este perpendiculară.)

Exercițiul 11 (6 puncte)

Se dă cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Arată, folosind teorema celor trei perpendiculare, că diagonala spațială $A^{'} C$ este perpendiculară pe diagonala bazei $B D$ .

(Precizează: perpendiculara pe plan, proiecția oblicei pe bază și dreapta din bază.)

Exercițiul 12 (7 puncte)

Un catarg vertical $V O$ are înălțimea $V O = 12$ m și este fixat cu piciorul $O$ pe un teren orizontal. Din vârful $V$ se întinde un cablu $V A = 20$ m până la un punct de ancorare $A$ de pe teren.

a) Calculează distanța $O A$ de la piciorul catargului la punctul $A$ (proiecția cablului pe teren). b) Determină sinusul unghiului pe care îl face cablul $V A$ cu terenul. c) Un al doilea cablu $V B = 15$ m ancorează în punctul $B$ . Calculează $O B$ și stabilește care dintre cabluri ( $V A$ sau $V B$ ) face un unghi mai mare cu terenul.

Exercițiul 13 (6 puncte)

a) Explică, pe scurt, cum se măsoară un unghi diedru (cum se obține unghiul plan al diedrului, pornind de la muchia lui). b) Piramida patrulateră regulată $V A B C D$ are latura bazei de $8$ cm, iar apotema piramidei (distanța de la vârf la mijlocul unei laturi a bazei) $V M = 5$ cm. Calculează înălțimea $V O$ a piramidei și cosinusul unghiului diedru dintre o față laterală și baza piramidei.

Exercițiul 14 (7 puncte)

Un acoperiș are forma unei piramide patrulatere regulate $V A B C D$ cu latura bazei de $16$ m și înălțimea $V O = 6$ m. Fie $M$ mijlocul unei laturi a bazei.

a) Folosind teorema celor trei perpendiculare, arată că $V M$ este apotema piramidei (că $V M ⊥$ latura bazei) și calculează $V M$ . b) Calculează aria unei fețe laterale (un versant al acoperișului). c) Calculează aria totală a celor patru versanți (suprafața de acoperit cu țiglă).

Exercițiul 15 (5 puncte)

Se dă cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cu muchia de lungime $a$ . a) Numește o dreaptă (muchie a cubului) perpendiculară pe planul bazei $(A B C D)$ . b) Precizează proiecția pe baza $(A B C D)$ a diagonalei spațiale $A C^{'}$ . c) Este planul $(A B B^{'} A^{'})$ perpendicular pe planul bazei $(A B C D)$ ? Justifică pe scurt. d) Cât este distanța de la vârful $A^{'}$ la planul bazei $(A B C D)$ ?

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1 · 5 puncte a) perpendiculară pe două drepte concurente din plan (2 p). b) perpendiculară pe orice (pe fiecare) dreaptă din planul $α$ (2 p). c) proiecția lui $P$ pe plan (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) perpendiculară pe proiecția oblicei pe plan, atunci este perpendiculară și pe oblică (dreapta oblică) (2 p). b) o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan (2 p). c) unghiul format de dreaptă cu proiecția ei pe plan (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte — câte 1 p. a) punct; b) dreaptă; c) punct; d) segmentului (segmentul dat); e) congruent (egal cu segmentul).

Exercițiul 4 · 6 puncte a) Proiecția lui $A^{'}$ este $A$ ; proiecția lui $C^{'}$ este $C$ (2 p). (Fiecare vârf de sus se proiectează în vârful de sub el, deoarece muchiile laterale sunt perpendiculare pe bază.) b) Proiecția muchiei $A^{'} B^{'}$ este $AB$ ; proiecția diagonalei $A^{'} C^{'}$ este diagonala $AC$ (2 p). c) Proiecția muchiei $B B^{'}$ este punctul $B$ (2 p), deoarece $B B^{'} ⊥ (A B C D)$ : proiecția unui segment perpendicular pe plan este un punct (piciorul perpendicularei).

Exercițiul 5 · 6 puncte — câte 1,5 p (valoare + justificare). a) A. Este exact criteriul de perpendicularitate dreaptă–plan. b) F. Perpendicularitatea pe o singură dreaptă nu ajunge; sunt necesare două drepte concurente din plan. c) F. Întotdeauna $proiec ț ie = segment \cdot cos u \leq segment$ (deoarece $0 \leq cos u \leq 1$ ); proiecția nu poate depăși segmentul. d) A. Un segment paralel cu planul se proiectează într-un segment congruent cu el (unghiul cu planul este $0^{\circ}$ , $cos 0^{\circ} = 1$ ).

Exercițiul 6 · 6 puncte — câte 2 p. a) $proiec ț ie = 12 \cdot cos 6 0^{\circ} = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ cm. b) $segment = \frac{proiec ț ie}{cos 3 0 ^{\circ}} = \frac{9}{\frac{3}{2}} = \frac{18}{3} = 63$ cm $\approx 10, 39$ cm. c) $cos u = \frac{proiec ț ie}{segment} = \frac{5 2}{10} = \frac{2}{2} \Rightarrow u = 4 5^{\circ}$ .

Exercițiul 7 · 6 puncte — muchia cubului $= 5$ cm. a) Proiecția lui $B^{'}$ pe $(A B C D)$ este $B$ ; proiecția segmentului $A B^{'}$ este segmentul $AB$ (2 p). b) Unghiul dintre $A B^{'}$ și $(A B C D)$ este $∠ B^{'} A B$ — unghiul dintre diagonala feței pătrate $A B B^{'} A^{'}$ și latura $A B$ , deci $4 5^{\circ}$ (2 p). c) $A B^{'} = 52$ cm (diagonala feței pătrate de latură $5$ ), iar proiecția este $A B = 5$ cm (1 p). Verificare: $A B^{'} \cdot cos 4 5^{\circ} = 52 \cdot \frac{2}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5 = A B$ (1 p).

Exercițiul 8 · 7 puncte — muchia cubului $= 6$ cm. a) Proiecția lui $A$ pe bază este $A$ , iar a lui $C^{'}$ este $C$ (piciorul perpendicularei $C^{'} C$ ), deci proiecția diagonalei $A C^{'}$ este $AC$ . Cum $A C$ este diagonala pătratului de latură $6$ : $A C = 62$ cm (3 p). b) Unghiul dintre $A C^{'}$ și $(A B C D)$ este $∠ C^{'} A C$ . În triunghiul dreptunghic $A C C^{'}$ ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C C^{'} ⊥$ bază): $tan (∠ C^{'} A C) = \frac{C C ^{'}}{A C} = \frac{6}{6 2} = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ (2 p). c) $A C^{'} = A C^{2} + C C^{'2} = (62)^{2} + 6^{2} = 72 + 36 = 108 = 63$ cm (2 p).

Exercițiul 9 · 7 puncte — latura bazei $6$ cm, $V O = 4$ cm. a) $M$ este mijlocul lui $B C$ , iar $O$ centrul pătratului; $O M$ este jumătate din latură: $O M = \frac{6}{2} = 3$ cm (2 p). b) $V O ⊥ (A B C D)$ (înălțimea piramidei), iar $O M ⊥ B C$ (deoarece $O M$ e perpendiculara din centru pe latură). Prin teorema celor trei perpendiculare, oblica $V M$ are proiecția $O M ⊥ B C$ , deci $VM ⊥ BC$ . Atunci $V M = V O^{2} + O M^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 16 + 9 = 5$ cm (3 p). c) Unghiul diedru dintre fața laterală $(V B C)$ și bază este $∠ V M O$ (ambele semidrepte $M V$ , $M O$ sunt perpendiculare pe muchia $B C$ ). $tan (∠ V M O) = \frac{V O}{O M} = \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$ (2 p).

Exercițiul 10 · 6 puncte — criteriul de perpendicularitate a două plane. Muchia $B B^{'}$ este perpendiculară pe bază: $B B^{'} ⊥ B C$ și $B B^{'} ⊥ B A$ , iar $B C$ , $B A$ sunt două drepte concurente (în $B$ ) din planul $(A B C D)$ , deci $B B^{'} ⊥ (A B C D)$ (3 p). Cum planul $(B C C^{'} B^{'})$ conține dreapta $B B^{'}$ , care este perpendiculară pe $(A B C D)$ , rezultă $(BC C^{'} B^{'}) ⊥ (ABCD)$ (3 p).

Exercițiul 11 · 6 puncte — teorema celor trei perpendiculare. $A A^{'} ⊥ (A B C D)$ , deci proiecția oblicei $A^{'} C$ pe baza $(A B C D)$ este $A C$ (piciorul lui $A^{'}$ este $A$ ) (2 p). În pătratul $A B C D$ , diagonalele sunt perpendiculare: $A C ⊥ B D$ (2 p). Prin TCP, deoarece proiecția $A C$ a oblicei $A^{'} C$ este perpendiculară pe dreapta $B D$ din plan, rezultă că și oblica este perpendiculară pe $B D$ : $A^{'} C ⊥ BD$ (2 p).

Exercițiul 12 · 7 puncte — $V O = 12$ m, $V A = 20$ m; $O A ⊥ V O$ (catarg vertical). a) În triunghiul dreptunghic $V O A$ ( $∠ O = 9 0^{\circ}$ ): $O A = V A^{2} - V O^{2} = 2 0^{2} - 1 2^{2} = 400 - 144 = 256 = 16$ m (3 p). b) Unghiul cablului cu terenul este $∠ V A O$ ; $sin (∠ V A O) = \frac{V O}{V A} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$ (2 p) (adică $\approx 3 7^{\circ}$ ). c) $O B = V B^{2} - V O^{2} = 1 5^{2} - 1 2^{2} = 225 - 144 = 81 = 9$ m. $sin (∠ V B O) = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0, 8 > \frac{3}{5} = 0, 6$ , deci cablul $V B$ face un unghi mai mare cu terenul (este mai înclinat) (2 p).

Exercițiul 13 · 6 puncte a) Se ia un punct pe muchia diedrului și, din el, se duc câte o semidreaptă perpendiculară pe muchie în fiecare dintre cele două fețe (semiplane); unghiul dintre aceste două semidrepte este unghiul plan al diedrului (măsura diedrului) (2 p). b) $O$ este centrul bazei, $M$ mijlocul unei laturi: $O M = \frac{8}{2} = 4$ cm. În triunghiul dreptunghic $V O M$ ( $∠ O = 9 0^{\circ}$ ): $V O = V M^{2} - O M^{2} = 5^{2} - 4^{2} = 25 - 16 = 3$ cm (2 p). Unghiul diedru dintre fața laterală și bază este $∠ V M O$ , iar $cos (∠ V M O) = \frac{O M}{V M} = \frac{4}{5} = 0, 8$ (2 p).

Exercițiul 14 · 7 puncte — latura bazei $16$ m, $V O = 6$ m. a) $V O ⊥$ bază și $O M ⊥$ latura bazei (perpendiculara din centru), $O M = \frac{16}{2} = 8$ m. Prin TCP, oblica $V M$ are proiecția $O M ⊥$ latură, deci $VM ⊥$ latura bazei — adică $V M$ este apotema piramidei. $V M = V O^{2} + O M^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 10$ m (3 p). b) Un versant este un triunghi isoscel cu baza $= 16$ m și înălțimea $= V M = 10$ m: aria $= \frac{16 \cdot 10}{2} = 80 m^{2}$ (2 p). c) Aria totală a celor patru versanți $= 4 \cdot 80 = 320 m^{2}$ (2 p).

Exercițiul 15 · 5 puncte a) O dreaptă perpendiculară pe $(A B C D)$ : de exemplu $A A^{'}$ (sau $B B^{'}$ , $C C^{'}$ , $D D^{'}$ ) (1 p). b) Proiecția diagonalei spațiale $A C^{'}$ pe baza $(A B C D)$ este diagonala $AC$ (1,5 p). c) Da. $A A^{'} ⊥ (A B C D)$ (muchie laterală, perpendiculară pe $A B$ și $A D$ din bază), iar $A A^{'} \subset (A B B^{'} A^{'})$ ; un plan care conține o dreaptă perpendiculară pe alt plan este perpendicular pe acel plan, deci $(AB B^{'} A^{'}) ⊥ (ABCD)$ (1,5 p). d) Distanța de la $A^{'}$ la planul $(A B C D)$ este lungimea perpendicularei $A^{'} A$ , adică $a$ (1 p).

Recomandare: dacă elevul greșește la itemii 8, 9 sau 13 (unghiul dreptei cu planul / unghiul diedru), reia triunghiul dreptunghic „ajutător": unghiul dintre o oblică și plan se citește în triunghiul format de oblică, proiecția ei și perpendiculara pe plan, iar unghiul diedru se citește în triunghiul $V O M$ (înălțime – apotema bazei – apotema corpului). Pentru itemii 11 și 14 (teorema celor trei perpendiculare), reține schema: o perpendiculară pe plan + proiecția oblicei pe plan + o dreaptă din plan — dacă proiecția e perpendiculară pe dreapta din plan, atunci și oblica este.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică dacă elevul stăpânește noțiunile din unitatea „Perpendicularitate în spațiu. Proiecții și teorema celor trei perpendiculare": drepte perpendiculare în spațiu, dreapta perpendiculară pe un plan (definiție și criteriu), plane perpendiculare, proiecția unui punct, a unei drepte și a unui segment pe un plan, lungimea proiecției unui segment, unghiul dintre o dreaptă și un plan, unghiul diedru / unghiul a două plane, teorema celor trei perpendiculare (TCP) și distanțe și înălțimi în corpuri. Este potrivit pentru consolidare în an de Evaluare Națională.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute.
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe o foaie separată, cu creion și riglă pentru schițe. Corpurile se desenează „în perspectivă" (cavalier), cu muchiile ascunse punctate. La final, comparați rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea noțiunilor din unitate.
Sfaturi cheie: o dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte concurente din plan; proiecția unui segment pe un plan este întotdeauna mai scurtă sau egală cu segmentul, iar lungimea ei se calculează cu $proiec ț ie = segment \cdot cos u$ , unde $u$ este unghiul dintre dreaptă și plan; teorema celor trei perpendiculare leagă o oblică, proiecția ei pe plan și o dreaptă din plan.

Notă: marcajele 🖼️ [Imagine: ...] descriu figura care însoțește itemul; elevul o poate reface după descriere. La toate problemele cu cubul se folosește notația standard $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , cu baza $A B C D$ și fața de sus $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , unde $A^{'}$ este deasupra lui $A$ , $B^{'}$ deasupra lui $B$ etc. La piramida patrulateră regulată $V A B C D$ , punctul $O$ este centrul bazei (piciorul înălțimii $V O$ ).