Test: Piramida regulată și tetraedrul regulat

Disciplina: Matematică · Clasa: a VIII-a · Unitatea: Piramida, tetraedrul și trunchiul de piramidă · An de Evaluare Națională

Exerciții

Exercițiul 1 (4 puncte)

Completează, pe foaie, denumirea corectă a elementelor notate pe piramida patrulateră regulată $VABCD$ cu centrul bazei $O$.

a) Segmentul $VO$ se numește ………………… . b) Punctul $V$ se numește ………………… . c) Segmentul $VM$ (cu $M$ mijlocul laturii $BC$) se numește ………………… . d) Segmentul $VB$ se numește ………………… .

Exercițiul 2 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt răspunsul.

a) Înălțimea unei piramide regulate cade în centrul poligonului de la bază. (2p) b) Toate fețele laterale ale oricărei piramide regulate sunt triunghiuri echilaterale. (2p) c) Tetraedrul regulat are 4 fețe, 4 vârfuri și 6 muchii. (2p) d) Apotema unei piramide regulate este întotdeauna mai mare decât înălțimea ei. (2p)

Exercițiul 3 (4 puncte)

Referitor la desfășurarea (desfășurata) în plan:

a) Desfășurarea unei piramide patrulatere regulate este formată dintr-un ………… și din ………… triunghiuri isoscele congruente. (2p) b) Desfășurarea unui tetraedru regulat este formată din ………… triunghiuri ……………… congruente. (2p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

O piramidă patrulateră regulată $VABCD$ are latura bazei $\ell =6$ cm și înălțimea $h=4$ cm.

a) Calculează apotema piramidei $a_p$. (2p) b) Calculează aria laterală ${\mathcal{A}}_{\ell }$. (2p) c) Calculează aria totală ${\mathcal{A}}_t$. (2p) d) Calculează volumul $V$. (2p)

Exercițiul 5 (6 puncte)

O piramidă patrulateră regulată are latura bazei de $10$ cm, iar apotema piramidei de $13$ cm.

a) Arată că înălțimea piramidei este de $12$ cm. (2p) b) Calculează aria laterală. (2p) c) Calculează volumul. (2p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se dă un tetraedru regulat de muchie $a=6$ cm.

a) Calculează aria totală a tetraedrului. (2p) b) Calculează înălțimea tetraedrului. (2p) c) Calculează volumul tetraedrului. (2p)

Exercițiul 7 (6 puncte)

O piramidă hexagonală regulată are latura bazei de $6$ cm și apotema piramidei de $6$ cm.

a) Arată că înălțimea piramidei este de $3$ cm. (3p) b) Calculează volumul piramidei. (3p)

(Reamintire: aria unui hexagon regulat de latură $\ell$ este $\mathcal{A}=\frac{3\sqrt{3}}{2}{\ell }^2$.)

Exercițiul 8 (6 puncte)

O piramidă triunghiulară regulată (baza este triunghi echilateral) are latura bazei de $12$ cm și apotema piramidei de $4\sqrt{3}$ cm.

a) Calculează înălțimea piramidei. (2p) b) Calculează aria laterală. (2p) c) Calculează aria totală. (2p)

(Reamintire: apotema unui triunghi echilateral de latură $\ell$ este $a_b=\frac{\ell \sqrt{3}}{6}$.)

Exercițiul 9 (7 puncte)

Acoperișul unui foișor are forma unei piramide patrulatere regulate. Latura pătratului de la bază este de $8$ m, iar apotema piramidei (lungimea pantei de la streașină până la vârf, măsurată pe mijlocul laturii) este de $5$ m.

a) Câți metri pătrați de țiglă sunt necesari pentru a acoperi cele patru fețe (aria laterală)? (3p) b) Dacă țigla costă $45$ de lei pe metru pătrat, cât costă acoperirea? (2p) c) Arată că înălțimea acoperișului este de $3$ m și calculează volumul podului (spațiul de sub acoperiș). (2p)

Exercițiul 10 (5 puncte)

O piramidă patrulateră regulată are înălțimea de $6$ cm și volumul de $200{\text{cm}}^3$.

a) Calculează aria bazei. (2p) b) Determină latura bazei. (3p)

Exercițiul 11 (5 puncte)

O piramidă patrulateră regulată are latura bazei de $16$ cm și înălțimea de $6$ cm.

a) Calculează apotema bazei $a_b$ și apotema piramidei $a_p$. (3p) b) Calculează aria laterală. (2p)

Exercițiul 12 (5 puncte)

O piesă decorativă are forma unui tetraedru regulat cu muchia de $30$ cm.

a) Calculează aria totală a suprafeței care trebuie poleită. (3p) b) Calculează volumul piesei. (2p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are latura bazei mari $L=10$ cm, latura bazei mici $\ell =4$ cm și apotema trunchiului (apotema unei fețe laterale) $a_f=5$ cm.

a) Calculează aria laterală. (2p) b) Calculează aria totală. (2p) c) Arată că înălțimea trunchiului este de $4$ cm. (2p) d) Calculează volumul trunchiului. (2p)

(Reamintire: ${\mathcal{A}}_{\ell }=\frac{({\mathcal{P}}_B+{\mathcal{P}}_b)\cdot a_f}{2}$; $V=\frac{h}{3}({\mathcal{A}}_B+{\mathcal{A}}_b+\sqrt{{\mathcal{A}}_B\cdot {\mathcal{A}}_b})$.)

Exercițiul 14 (6 puncte)

O piramidă patrulateră regulată are latura bazei de $18$ cm și apotema piramidei de $15$ cm.

a) Calculează înălțimea piramidei. (2p) b) Calculează aria laterală. (2p) c) Calculează volumul piramidei. (2p)

Exercițiul 15 (6 puncte)

Andrei afirmă: „Dacă dublez muchia unui tetraedru regulat, aria totală se dublează și ea, iar volumul se dublează."

a) Verifică afirmația comparând tetraedrul de muchie $6$ cm cu cel de muchie $12$ cm (calculează pentru fiecare aria totală și volumul). (4p) b) Corectează afirmația lui Andrei: de câte ori cresc, de fapt, aria totală și volumul? (2p)

Barem și răspunsuri

Total: 90 p pe itemi + 10 p din oficiu = 100 p. La itemii cu rezolvare, se acordă punctajul integral pentru raționament corect + rezultat corect; rezultatele exacte (cu radical) sunt cele de referință.

Exercițiul 1 (4p — câte 1p)

a) înălțimea piramidei; b) vârful piramidei; c) apotema piramidei; d) muchie laterală.

Exercițiul 2 (8p)

a) A — prin definiție, la o piramidă regulată piciorul înălțimii este centrul poligonului regulat de la bază. (2p) b) F — fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente; sunt echilaterale doar în cazuri particulare (ex. tetraedrul regulat). (2p) c) A — tetraedrul regulat are 4 fețe (triunghiuri echilaterale), 4 vârfuri și 6 muchii. (2p) d) A — în triunghiul dreptunghic format din $h$, $a_b$ și $a_p$, apotema piramidei $a_p$ este ipotenuza ($a_p^2=h^2+a_b^2$), deci $a_p>h$. (2p)

Exercițiul 3 (4p)

a) un pătrat și 4 triunghiuri isoscele congruente. (2p) b) 4 triunghiuri echilaterale congruente. (2p)

Exercițiul 4 (8p)

Apotema bazei: $a_b=\frac{\ell }{2}=3$ cm. a) $a_p=\sqrt{h^2+a_b^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$ cm. (2p) b) ${\mathcal{P}}_{baz\breve{a}}=4\cdot 6=24$; ${\mathcal{A}}_{\ell }=\frac{24\cdot 5}{2}=60\mathbf{c}{\mathbf{m}}^2$. (2p) c) ${\mathcal{A}}_{baz\breve{a}}=6^2=36$; ${\mathcal{A}}_t=60+36=96\mathbf{c}{\mathbf{m}}^2$. (2p) d) $V=\frac{36\cdot 4}{3}=48\mathbf{c}{\mathbf{m}}^3$. (2p)

Exercițiul 5 (6p)

$a_b=5$ cm. a) $h=\sqrt{a_p^2-a_b^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$ cm. (2p) b) ${\mathcal{P}}_{baz\breve{a}}=40$; ${\mathcal{A}}_{\ell }=\frac{40\cdot 13}{2}=260\mathbf{c}{\mathbf{m}}^2$. (2p) c) ${\mathcal{A}}_{baz\breve{a}}=100$; $V=\frac{100\cdot 12}{3}=400\mathbf{c}{\mathbf{m}}^3$. (2p)

Exercițiul 6 (6p)

a) O față: $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$. ${\mathcal{A}}_t=4\cdot 9\sqrt{3}=36\sqrt{3}\mathbf{c}{\mathbf{m}}^2$. (2p) b) $h=\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{6\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{6}$ cm. (2p) c) $V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}=\frac{216\sqrt{2}}{12}=18\sqrt{2}\mathbf{c}{\mathbf{m}}^3$. (2p)

Exercițiul 7 (6p)

Apotema bazei (hexagon) $=\frac{\ell \sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ cm. a) $h=\sqrt{a_p^2-a_b^2}=\sqrt{6^2-(3\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{36-27}=\sqrt{9}=3$ cm. (3p) b) ${\mathcal{A}}_{baz\breve{a}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 6^2=54\sqrt{3}$; $V=\frac{54\sqrt{3}\cdot 3}{3}=54\sqrt{3}\mathbf{c}{\mathbf{m}}^3$. (3p)

Exercițiul 8 (6p)

Apotema bazei: $a_b=\frac{\ell \sqrt{3}}{6}=\frac{12\sqrt{3}}{6}=2\sqrt{3}$ cm. a) $h=\sqrt{a_p^2-a_b^2}=\sqrt{(4\sqrt{3}{)}^2-(2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{48-12}=\sqrt{36}=6$ cm. (2p) b) ${\mathcal{P}}_{baz\breve{a}}=3\cdot 12=36$; ${\mathcal{A}}_{\ell }=\frac{36\cdot 4\sqrt{3}}{2}=72\sqrt{3}\mathbf{c}{\mathbf{m}}^2$. (2p) c) ${\mathcal{A}}_{baz\breve{a}}=\frac{12^2\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}$; ${\mathcal{A}}_t=72\sqrt{3}+36\sqrt{3}=108\sqrt{3}\mathbf{c}{\mathbf{m}}^2$. (2p)

Exercițiul 9 (7p)

a) ${\mathcal{P}}_{baz\breve{a}}=4\cdot 8=32$ m; ${\mathcal{A}}_{\ell }=\frac{32\cdot 5}{2}=80{\mathbf{m}}^2$ de țiglă. (3p) b) $80\cdot 45=3600$ lei. (2p) c) $a_b=4$ m; $h=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$ m; $V=\frac{8^2\cdot 3}{3}=\frac{64\cdot 3}{3}=64{\mathbf{m}}^3$. (2p)

Exercițiul 10 (5p)

a) Din $V=\frac{{\mathcal{A}}_{baz\breve{a}}\cdot h}{3}$ rezultă ${\mathcal{A}}_{baz\breve{a}}=\frac{3V}{h}=\frac{3\cdot 200}{6}=100\mathbf{c}{\mathbf{m}}^2$. (2p) b) $\ell =\sqrt{100}=10$ cm. (3p)

Exercițiul 11 (5p)

a) $a_b=\frac{\ell }{2}=8$ cm; $a_p=\sqrt{a_b^2+h^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$ cm. (3p) b) ${\mathcal{P}}_{baz\breve{a}}=64$; ${\mathcal{A}}_{\ell }=\frac{64\cdot 10}{2}=320\mathbf{c}{\mathbf{m}}^2$. (2p)

Exercițiul 12 (5p)

a) ${\mathcal{A}}_t=a^2\sqrt{3}=30^2\sqrt{3}=900\sqrt{3}\mathbf{c}{\mathbf{m}}^2$. (3p) b) $V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}=\frac{27000\sqrt{2}}{12}=2250\sqrt{2}\mathbf{c}{\mathbf{m}}^3$. (2p)

Exercițiul 13 (8p)

a) ${\mathcal{P}}_B=40$, ${\mathcal{P}}_b=16$; ${\mathcal{A}}_{\ell }=\frac{(40+16)\cdot 5}{2}=\frac{56\cdot 5}{2}=140\mathbf{c}{\mathbf{m}}^2$. (2p) b) ${\mathcal{A}}_B=100$, ${\mathcal{A}}_b=16$; ${\mathcal{A}}_t=140+100+16=256\mathbf{c}{\mathbf{m}}^2$. (2p) c) Diferența apotemelor bazelor: $\frac{L-\ell }{2}=\frac{10-4}{2}=3$; $h=\sqrt{a_f^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$ cm. (2p) d) $V=\frac{4}{3}(100+16+\sqrt{100\cdot 16})=\frac{4}{3}(116+40)=\frac{4}{3}\cdot 156=208\mathbf{c}{\mathbf{m}}^3$. (2p)

Exercițiul 14 (6p)

$a_b=9$ cm. a) $h=\sqrt{a_p^2-a_b^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12$ cm. (2p) b) ${\mathcal{P}}_{baz\breve{a}}=72$; ${\mathcal{A}}_{\ell }=\frac{72\cdot 15}{2}=540\mathbf{c}{\mathbf{m}}^2$. (2p) c) ${\mathcal{A}}_{baz\breve{a}}=18^2=324$; $V=\frac{324\cdot 12}{3}=1296\mathbf{c}{\mathbf{m}}^3$. (2p)

Exercițiul 15 (6p)

a) Muchie $6$: ${\mathcal{A}}_t=36\sqrt{3}{\text{cm}}^2$, $V=18\sqrt{2}{\text{cm}}^3$. Muchie $12$: ${\mathcal{A}}_t=144\sqrt{3}{\text{cm}}^2$, $V=144\sqrt{2}{\text{cm}}^3$. (4p) b) $\frac{144\sqrt{3}}{36\sqrt{3}}=4$ și $\frac{144\sqrt{2}}{18\sqrt{2}}=8$: la dublarea muchiei, aria totală crește de 4 ori, iar volumul de 8 ori (nu se dublează). Afirmația lui Andrei este greșită. (2p)

Toate valorile numerice au fost verificate prin calcul. Rezultatele iraționale se lasă sub formă exactă.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică dacă elevul poate identifica elementele piramidei regulate și ale tetraedrului regulat (înălțime, apotema bazei, apotema piramidei, muchii, desfășurare) și poate calcula aria laterală, aria totală și volumul piramidei regulate, ale tetraedrului regulat și ale trunchiului de piramidă regulată.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute.
• Cum se aplică: se lucrează individual, cu figuri desenate de elev acolo unde este cazul. Rezultatele iraționale se lasă sub formă exactă (de exemplu $18\sqrt{2}$), fără aproximare zecimală, dacă nu se cere altfel. Se acceptă $\pi$ neevaluat — dar în acest test nu apar corpuri rotunde.

Formule utile (regăsite prin desen și teorema lui Pitagora, nu memorate mecanic):

• Piramidă regulată: ${\mathcal{A}}_{\ell }=\frac{{\mathcal{P}}_{baz\breve{a}}\cdot a_p}{2}$, unde $a_p$ = apotema piramidei; ${\mathcal{A}}_t={\mathcal{A}}_{\ell }+{\mathcal{A}}_{baz\breve{a}}$; $V=\frac{{\mathcal{A}}_{baz\breve{a}}\cdot h}{3}$.
• Legătura dintre elemente: $a_p^2=h^2+a_b^2$, unde $a_b$ = apotema bazei, $h$ = înălțimea piramidei.
• Tetraedru regulat de muchie $a$: fața este triunghi echilateral, ${\mathcal{A}}_t=a^2\sqrt{3}$, $h=\frac{a\sqrt{6}}{3}$, $V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.