Test: Predicate, cuantificatori și reguli de negare

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Elemente de logică matematică

Exerciții

Partea I – Recunoaștere și valori de adevăr

Exercițiul 1 (6 puncte)

Pentru fiecare enunț, precizează dacă este propoziție sau predicat (enunț cu variabilă) și justifică în câteva cuvinte (câte 1 punct): a) $p(x)$: „$x+3=7$", unde $x\in \mathbb{R}$; b) „$5+3=7$"; c) „Pentru orice $x\in \mathbb{R}$, $x^2\ge 0$"; d) $q(n)$: „$n$ este număr prim", unde $n\in \mathbb{N}$; e) „Există $x\in \mathbb{R}$ astfel încât $x^2=-1$"; f) $r(x,y)$: „$x<y$", unde $x,y\in \mathbb{R}$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Determină mulțimea de adevăr a fiecărui predicat (câte 2 puncte): a) $p(x)$: „$2x-6=0$", $x\in \mathbb{R}$; b) $q(x)$: „$x^2=9$", $x\in \mathbb{Z}$; c) $r(n)$: „$n$ este divizor al lui $12$", $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Exercițiul 3 (6 puncte)

Precizează valoarea de adevăr (A sau F) a fiecărei propoziții cuantificate (câte 1 punct): a) $\forall x\in \mathbb{R},x^2\ge 0$; b) $\exists x\in \mathbb{R},x^2=2$; c) $\forall n\in \mathbb{N},n^2>n$; d) $\exists n\in \mathbb{N},n+5=2$; e) $\forall x\in \mathbb{R},x^2>0$; f) $\exists x\in \mathbb{Q},x^2=2$.

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Negația propoziției $\forall x\in M,p(x)$ este: A. $\forall x\in M,\neg p(x)$; B. $\exists x\in M,\neg p(x)$; C. $\exists x\in M,p(x)$; D. $\forall x\notin M,p(x)$.

b) Negația propoziției $p\wedge q$ este: A. $\neg p\wedge \neg q$; B. $\neg p\vee \neg q$; C. $p\vee \neg q$; D. $\neg (p)\wedge q$.

c) Negația propoziției $p\Rightarrow q$ este: A. $\neg p\Rightarrow \neg q$; B. $q\Rightarrow p$; C. $p\wedge \neg q$; D. $\neg p\vee q$.

d) Pentru a arăta că propoziția „$\forall x\in \mathbb{R},x^2>x$" este falsă, este suficient: A. să verifici cât mai multe valori ale lui $x$; B. să găsești un contraexemplu; C. să demonstrezi că $\forall x\in \mathbb{R},x^2\le x$; D. nimic, propoziția este adevărată.

Partea a II-a – Reguli de negare

Exercițiul 5 (8 puncte)

Scrie negația fiecărei propoziții compuse, folosind legile lui De Morgan, și precizează valoarea de adevăr a negației (câte 2 puncte): a) „$2$ este număr par și $3$ este număr par."; b) „$5<3$ sau $\sqrt{4}=2$."; c) „$7$ este număr prim și $7$ este număr impar."; d) „$\sqrt{2}\in \mathbb{Q}$ sau $\pi \in \mathbb{Q}$."

Exercițiul 6 (8 puncte)

Scrie negația fiecărei propoziții cuantificate și precizează care dintre cele două (propoziția sau negația ei) este adevărată (câte 2 puncte): a) $\forall x\in \mathbb{R},x^2+1>0$; b) $\exists n\in \mathbb{N},n^2=20$; c) „Orice număr natural este par."; d) $\exists x\in \mathbb{R},x^2=-4$.

Exercițiul 7 (6 puncte)

Scrie negația fiecărei implicații (câte 2 puncte). La punctele b) și c) precizează și valoarea de adevăr a negației. a) „Dacă plouă, atunci iau umbrela."; b) „Pentru orice $n\in \mathbb{N}$: dacă $n$ este divizibil cu $4$, atunci $n$ este divizibil cu $8$."; c) „Pentru orice $x\in \mathbb{R}$: dacă $x>2$, atunci $x^2>4$."

Exercițiul 8 (6 puncte)

Arată, printr-un contraexemplu, că fiecare afirmație este falsă (câte 2 puncte): a) „Orice număr natural par este divizibil cu $4$."; b) „$\forall x\in \mathbb{R},x^2>x$"; c) „Orice număr prim este impar."

Exercițiul 9 (4 puncte)

Scrie simbolic, folosind cuantificatori, fiecare propoziție (câte 2 puncte): a) „Orice număr natural este mai mic decât succesorul său."; b) „Există un număr natural care este soluție a ecuației $2x=6$."

Partea a III-a – Raționament și probleme

Exercițiul 10 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică (câte 2 puncte): a) „Un singur contraexemplu este suficient pentru a demonstra că o propoziție de forma $\forall x\in M,p(x)$ este falsă." b) „Pentru a demonstra că o propoziție de forma $\exists x\in M,p(x)$ este adevărată, este suficient să găsim o singură valoare din $M$ care verifică $p$." c) „Negația propoziției «Toți elevii clasei au luat nota $10$» este «Niciun elev al clasei nu a luat nota $10$»." d) „Dacă propoziția $\exists x\in M,p(x)$ este adevărată, atunci și propoziția $\forall x\in M,p(x)$ este adevărată."

Exercițiul 11 (8 puncte)

Pentru fiecare raționament, precizează dacă este valid sau nevalid și justifică (câte 2 puncte): a) „Toate numerele divizibile cu $6$ sunt divizibile cu $3$. Numărul $n$ este divizibil cu $6$. Deci $n$ este divizibil cu $3$." b) „Dacă un patrulater este pătrat, atunci are toate laturile egale. Patrulaterul $ABCD$ are toate laturile egale. Deci $ABCD$ este pătrat." c) „Dacă un număr prim este mai mare decât $2$, atunci el este impar. Numărul $n$ este par. Deci $n$ nu este număr prim mai mare decât $2$." d) „Dacă plouă, atunci strada este udă. Nu plouă. Deci strada nu este udă."

Exercițiul 12 (8 puncte)

Pe mulțimea $\mathbb{Z}$ se consideră predicatele $p(x)$: „$x^2\le 9$" și $q(x)$: „$x$ este număr par". a) Determină mulțimea de adevăr $A$ a predicatului $p$. (2 p) b) Determină mulțimea de adevăr a predicatului $p(x)\wedge q(x)$. (2 p) c) Precizează valoarea de adevăr a propoziției „$\forall x\in A,q(x)$" și scrie negația acestei propoziții. (2 p) d) Precizează, cu justificare, valoarea de adevăr a propoziției „$\exists x\in A,x^2=4$". (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră propoziția $$P:\forall n\in \mathbb{N},n^2+n\text{ este numa˘r par}.$$ a) Verifică propoziția pentru $n=3$ și pentru $n=4$. (2 p) b) Scrie negația propoziției $P$, folosind cuantificatori. (2 p) c) Demonstrează că propoziția $P$ este adevărată. (4 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) Predicat — conține variabila liberă $x$; devine propoziție doar după înlocuirea lui $x$ (pentru $x=4$ este adevărat, pentru $x=1$ este fals). b) Propoziție, falsă ($5+3=8$). c) Propoziție — predicatul $x^2\ge 0$ a fost „închis" cu cuantificatorul $\forall$; este adevărată. d) Predicat — depinde de variabila $n$. e) Propoziție — predicatul a fost închis cu $\exists$; este falsă, deoarece pătratul oricărui număr real este nenegativ. f) Predicat cu două variabile — devine propoziție după înlocuirea ambelor (sau după cuantificarea lor).

Exercițiul 2. (6 p) — câte 2 puncte. a) $2x-6=0\Rightarrow x=3$, deci mulțimea de adevăr este $\{3\}$. b) $x^2=9\Rightarrow x\in \{-3,3\}$ (ambele sunt numere întregi). c) Divizorii naturali nenuli ai lui $12$: $\{1,2,3,4,6,12\}$.

Exercițiul 3. (6 p) — câte 1 punct. a) A — pătratul oricărui număr real este nenegativ. b) A — de exemplu $x=\sqrt{2}$ (sau $x=-\sqrt{2}$). c) F — contraexemple: $n=0$ ($0>0$ fals) și $n=1$ ($1>1$ fals). d) F — nu există număr natural $n$ cu $n+5=2$ (ar rezulta $n=-3\notin \mathbb{N}$). e) F — contraexemplu $x=0$: $0^2=0$, deci $x^2>0$ este fals. f) F — $\sqrt{2}$ este irațional, deci niciun număr rațional nu are pătratul egal cu $2$.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) B — negația lui „oricare" este „există cel puțin unul care nu". b) B — legea lui De Morgan pentru conjuncție. c) C — implicația este falsă exact când ipoteza este adevărată și concluzia falsă. d) B — un singur contraexemplu infirmă un enunț universal (de exemplu $x=1$: $1>1$ este fals).

Exercițiul 5. (8 p) — câte 2 puncte (1 p negația corect formulată, 1 p valoarea de adevăr). a) Negația: „$2$ nu este par sau $3$ nu este par." Este adevărată (a doua parte a disjuncției este adevărată: $3$ este impar). (Propoziția inițială era falsă.) b) Negația: „$5\ge 3$ și $\sqrt{4}\ne 2$." Este falsă (a doua parte este falsă: $\sqrt{4}=2$). (Propoziția inițială era adevărată.) c) Negația: „$7$ nu este prim sau $7$ nu este impar." Este falsă (ambele părți sunt false). (Propoziția inițială era adevărată.) d) Negația: „$\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$ și $\pi \notin \mathbb{Q}$." Este adevărată (ambele numere sunt iraționale). (Propoziția inițială era falsă.)

Exercițiul 6. (8 p) — câte 2 puncte (1 p negația, 1 p precizarea celei adevărate). a) Negația: $\exists x\in \mathbb{R},x^2+1\le 0$. Propoziția inițială este adevărată ($x^2\ge 0\Rightarrow x^2+1\ge 1>0$), negația este falsă. b) Negația: $\forall n\in \mathbb{N},n^2\ne 20$. Negația este adevărată: $4^2=16<20<25=5^2$, deci niciun pătrat perfect nu este $20$. c) Negația: „Există (cel puțin) un număr natural care nu este par", adică $\exists n\in \mathbb{N},n$ impar. Negația este adevărată (de exemplu $n=3$). d) Negația: $\forall x\in \mathbb{R},x^2\ne -4$. Negația este adevărată, deoarece pătratul unui număr real nu poate fi negativ.

Exercițiul 7. (6 p) — câte 2 puncte. Se folosește $\neg (p\Rightarrow q)\equiv p\wedge \neg q$. a) „Plouă și (totuși) nu iau umbrela." b) „Există $n\in \mathbb{N}$ care este divizibil cu $4$ și nu este divizibil cu $8$." Negația este adevărată: de exemplu $n=4$ ($4:4=1$, dar $4$ nu se divide cu $8$). (Deci implicația inițială este falsă.) c) „Există $x\in \mathbb{R}$ astfel încât $x>2$ și $x^2\le 4$." Negația este falsă: din $x>2>0$ rezultă $x^2>2^2=4$. (Deci implicația inițială este adevărată.)

Exercițiul 8. (6 p) — câte 2 puncte; se acceptă orice contraexemplu corect. a) $n=6$: este par, dar $6$ nu se divide cu $4$ (la fel $2$, $10$, $14$…). b) $x=1$: $1^2=1$, iar $1>1$ este fals. (Alt contraexemplu: $x=0,5$, cu $0,25>0,5$ fals.) c) $p=2$: este număr prim și este par.

Exercițiul 9. (4 p) — câte 2 puncte. a) $\forall n\in \mathbb{N},n<n+1$. (Propoziția este adevărată: succesorul lui $n$ este $n+1$.) b) $\exists x\in \mathbb{N},2x=6$. (Propoziția este adevărată: $x=3$.)

Exercițiul 10. (8 p) — câte 2 puncte (1 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Negația lui $\forall x\in M,p(x)$ este $\exists x\in M,\neg p(x)$; găsind un element care nu verifică $p$, am demonstrat negația, deci propoziția inițială este falsă. b) A. Un exemplu concret demonstrează direct existența — este chiar sensul cuantificatorului $\exists$. c) F. Negația corectă este: „Există cel puțin un elev al clasei care nu a luat nota $10$". Enunțul propus („niciun elev") spune mult mai mult decât negația: dacă într-o clasă un singur elev a luat $9$, iar toți ceilalți au luat $10$, atunci propoziția inițială este falsă, dar și enunțul propus este fals — deci cele două nu pot fi negații una alteia. d) F. Existența unui element cu proprietatea $p$ nu spune nimic despre celelalte; de exemplu, pe $\mathbb{N}$: există $n$ par ($n=2$), dar nu orice $n$ este par ($n=3$).

Exercițiul 11. (8 p) — câte 2 puncte (1 p verdictul, 1 p justificarea). a) Valid — este modus ponens: din „$p\Rightarrow q$ adevărată" și „$p$ adevărată" rezultă $q$ adevărată. b) Nevalid — este eroarea numită afirmarea consecventului: din $p\Rightarrow q$ și $q$ nu rezultă $p$. Contraexemplu: un romb care nu este pătrat are toate laturile egale. c) Valid — este modus tollens: notând $p$: „$n$ este prim mai mare decât $2$" și $q$: „$n$ este impar", avem $p\Rightarrow q$ și $\neg q$ ($n$ este par, deci nu este impar), de unde rezultă $\neg p$. d) Nevalid — este eroarea numită negarea antecedentului: strada poate fi udă din alt motiv (a spălat-o mașina de stropit), deci din $\neg p$ nu rezultă $\neg q$.

Exercițiul 12. (8 p) a) (2 p) $x^2\le 9\iff -3\le x\le 3$, deci pe $\mathbb{Z}$: $A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$. b) (2 p) Elementele lui $A$ care sunt pare: $\{-2,0,2\}$. c) (2 p) Propoziția „$\forall x\in A,q(x)$" este falsă (de exemplu $x=1\in A$ nu este par). Negația ei: „$\exists x\in A$ astfel încât $x$ nu este par" — adevărată. d) (2 p) Adevărată: $x=2\in A$ verifică $x^2=4$ (la fel și $x=-2\in A$).

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) Pentru $n=3$: $3^2+3=12$, număr par ✓ (1 p). Pentru $n=4$: $4^2+4=20$, număr par ✓ (1 p). b) (2 p) $\neg P$: „$\exists n\in \mathbb{N}$ astfel încât $n^2+n$ este număr impar." (Se acceptă și scrierea $\exists n\in \mathbb{N},n^2+n$ nu este par.) c) (4 p) Descompunem: $n^2+n=n(n+1)$ (1 p) — produsul a două numere naturale consecutive (1 p). Dintre două numere consecutive, unul este obligatoriu par (1 p), iar un produs care are un factor par este par; deci $n^2+n$ este par pentru orice $n\in \mathbb{N}$ (1 p). Variantă acceptată (pe cazuri): dacă $n=2k$, atunci $n^2+n=2k(2k+1)$, par; dacă $n=2k+1$, atunci $n^2+n=(2k+1)(2k+2)=2(2k+1)(k+1)$, par.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică a doua jumătate a unității de logică: predicatele (enunțuri cu variabilă) și mulțimea lor de adevăr, cuantificatorul universal $\forall$ („oricare") și cel existențial $\exists$ („există"), legile lui De Morgan, negarea propozițiilor compuse, a implicațiilor și a propozițiilor cuantificate, precum și validarea logică a unui raționament (modus ponens, modus tollens și capcanele lor). Se presupun cunoscute operațiile logice și tabelele de adevăr, verificate în testul anterior al unității.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie. La negări se cere enunțul negat scris complet, nu doar simbolul $\neg$ pus în față. La final se compară rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor despre cuantificatori și negare.
• Reguli de reținut: un predicat $p(x)$ nu are valoare de adevăr până nu înlocuim variabila sau nu punem un cuantificator; mulțimea de adevăr este mulțimea valorilor care îl fac adevărat. De Morgan: $\neg (p\wedge q)\equiv \neg p\vee \neg q$ și $\neg (p\vee q)\equiv \neg p\wedge \neg q$ — negația „strică" parantezele și schimbă „și" cu „sau". Negația implicației: $\neg (p\Rightarrow q)\equiv p\wedge \neg q$ (nu este tot o implicație!). Negația cuantificatorilor: $\neg (\forall x\in M,p(x))\equiv \exists x\in M,\neg p(x)$ și $\neg (\exists x\in M,p(x))\equiv \forall x\in M,\neg p(x)$ — cuantificatorul se schimbă, iar negația trece asupra predicatului. Pentru a infirma un enunț universal ajunge un singur contraexemplu; pentru a confirma un enunț existențial ajunge un singur exemplu.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".