Test: Prisma, paralelipipedul și cubul – descriere, elemente și desfășurare

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Prisma, paralelipipedul dreptunghic și cubul

Exerciții

Partea I – Descriere, elemente și desfășurare

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se dă o prismă dreaptă.

Completează, folosind cuvintele: poligoane egale, dreptunghiuri, muchie laterală, perpendiculare, paralele. a) Cele două baze ale unei prisme drepte sunt ______ , situate în plane ______ . b) Fețele laterale ale unei prisme drepte sunt ______ . c) La prisma dreaptă, muchiile laterale sunt ______ pe planele bazelor. d) Înălțimea prismei drepte este egală cu lungimea unei ______ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

O prismă triunghiulară dreaptă are baza un triunghi echilateral cu latura de $6$ cm și înălțimea prismei de $10$ cm. Prisma se „taie" pe muchii și se desfășoară pe un plan.

a) Din câte și ce figuri geometrice este alcătuită desfășurarea suprafeței totale? b) Ce dimensiuni are fiecare dreptunghi din suprafața laterală? c) Câte dreptunghiuri și câte triunghiuri conține desfășurarea?

Exercițiul 3 (5 puncte)

Se dă un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Completează cu numărul sau cu răspunsul corect. a) Paralelipipedul dreptunghic are ______ vârfuri, ______ muchii și ______ fețe. b) Fiecare față a paralelipipedului dreptunghic este un ______ . c) Paralelipipedul dreptunghic are ______ diagonale (interioare), toate ______ (egale/diferite). d) Dacă dimensiunile sunt $L$, $l$, $h$, diagonala se calculează cu formula $d=\underline{}$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

Se dă un cub cu muchia $a$.

a) Câte muchii are cubul și cum sunt ele între ele (ca lungime)? b) În ce figuri se desface suprafața cubului? Câte și de ce fel? c) Adevărat sau fals: orice aranjament de 6 pătrate egale, lipite latură lângă latură, se poate plia într-un cub. (A/F) d) Scrie formula diagonalei unei fețe și formula diagonalei cubului, în funcție de $a$.

Partea a II-a – Diagonală, arie și volum

Exercițiul 5 (6 puncte)

Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile $L=6$ cm, $l=3$ cm și $h=2$ cm.

a) Calculează diagonala $d$ a paralelipipedului. b) Calculează aria totală ${\mathcal{A}}_t$. c) Calculează volumul $V$.

Exercițiul 6 (6 puncte)

Un cub are muchia $a=5$ cm. a) Calculează diagonala unei fețe a cubului. b) Calculează diagonala cubului. c) Calculează aria totală și volumul cubului.

Exercițiul 7 (6 puncte)

O prismă dreaptă are baza un triunghi echilateral cu latura de $4$ cm, iar înălțimea prismei este $H=10$ cm.

a) Calculează aria bazei ${\mathcal{A}}_b$ (lasă rezultatul cu radical). b) Calculează aria laterală ${\mathcal{A}}_{\ell }$. c) Calculează volumul $V$.

Exercițiul 8 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt. a) Orice paralelipiped dreptunghic este cub. b) La o prismă dreaptă, muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze. c) La un cub cu muchia $a$, diagonala cubului este $a\sqrt{2}$. d) Două prisme drepte cu aceeași bază și aceeași înălțime au același volum.

Partea a III-a – Secțiuni diagonale, distanțe și unghiuri

Exercițiul 9 (7 puncte)

Un paralelipiped dreptunghic are baza un dreptunghi cu laturile $L=4$ cm și $l=3$ cm, iar înălțimea $h=12$ cm.

a) Calculează diagonala bazei. b) Secțiunea diagonală a paralelipipedului este un dreptunghi. Ce dimensiuni are și care este aria lui? c) Calculează diagonala paralelipipedului și observă legătura ei cu secțiunea diagonală.

Exercițiul 10 (7 puncte)

Un cub are muchia $a=6$ cm.

a) Calculează aria totală și volumul cubului. b) Calculează diagonala unei fețe. c) Secțiunea diagonală (planul care trece prin două muchii opuse) este un dreptunghi. Ce dimensiuni are și care este aria lui? d) Calculează diagonala cubului.

Exercițiul 11 (6 puncte)

O cutie are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile interioare $L=12$ cm, $l=4$ cm și $h=3$ cm.

a) Ce volum are cutia? b) Câți ${\text{cm}}^2$ de carton sunt necesari pentru a o confecționa (fără capac de închidere separat, adică toată suprafața totală)? c) Care este lungimea celei mai lungi tije drepte care încape complet în cutie?

Exercițiul 12 (6 puncte)

Un stâlp decorativ are forma unei prisme hexagonale regulate drepte (baza este un hexagon regulat) cu latura bazei de $2$ dm și înălțimea de $5$ dm.

a) Calculează aria bazei. b) Calculează aria laterală. c) Calculează volumul stâlpului.

Exercițiul 13 (6 puncte)

Se consideră cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia $a=4$ cm.

a) Calculează lungimea diagonalei cubului $A{C}^{\prime }$. b) Calculează distanța de la $A$ la $C$ (diagonala feței de jos). c) Calculează măsura unghiului dintre diagonala feței $A{B}^{\prime }$ și muchia $AB$.

Partea a IV-a – Probleme aplicative și raționament invers

Exercițiul 14 (7 puncte)

Un acvariu are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrat de latură $4$ dm și cu volumul $V=112{\text{dm}}^3$.

a) Determină înălțimea $h$ a acvariului. b) Calculează aria totală a suprafeței de sticlă (întreaga suprafață totală). c) Calculează diagonala acvariului.

Exercițiul 15 (7 puncte)

Un cort are forma unei prisme triunghiulare drepte așezate pe o latură: baza (capătul cortului) este un triunghi isoscel cu baza de $6$ m și laturile egale de $5$ m (înălțimea triunghiului este de $4$ m), iar lungimea cortului este de $10$ m.

a) Calculează aria bazei triunghiulare (capătul cortului). b) Calculează volumul de aer din cort. c) Se acoperă cu pânză cele două fețe înclinate și cele două capete triunghiulare (fără podea). Ce arie de pânză este necesară?

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1 · 5 puncte — a) 2 p (2×1 p), restul câte 1 p. a) poligoane egale, în plane paralele; b) dreptunghiuri; c) perpendiculare; d) muchie laterală.

Exercițiul 2 · 5 puncte — bază triunghi echilateral cu latura $6$, $H=10$. a) Din trei dreptunghiuri (fețele laterale) și două triunghiuri echilaterale (bazele) — în total 5 figuri (2 p). b) Fiecare dreptunghi are dimensiunile $6\text{cm}\times 10\text{cm}$ (latura bazei × înălțimea prismei) (2 p). c) 3 dreptunghiuri și 2 triunghiuri (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte — câte 1 p (a) are 3 completări = 1 p în total pe corectitudinea celor 3). a) 8 vârfuri, 12 muchii, 6 fețe; b) dreptunghi; c) 4 diagonale, toate egale; d) $d=\sqrt{{\mathbf{L}}^2+{\mathbf{l}}^2+{\mathbf{h}}^2}$.

Exercițiul 4 · 5 puncte a) 12 muchii, toate egale între ele (1 p). b) Suprafața cubului se desface în 6 pătrate egale (1 p). c) F. Nu orice aranjament de 6 pătrate se pliază în cub; doar anumite desfășurări valide (există exact 11 desfășurări posibile ale cubului) (1 p). d) Diagonala unei fețe $=\mathbf{a}\sqrt{2}$; diagonala cubului $=\mathbf{a}\sqrt{3}$ (2 p).

Exercițiul 5 · 6 puncte — $L=6$, $l=3$, $h=2$. a) $d=\sqrt{L^2+l^2+h^2}=\sqrt{36+9+4}=\sqrt{49}=7$ cm (2 p). b) ${\mathcal{A}}_t=2(Ll+Lh+lh)=2(18+12+6)=2\cdot 36=72{\text{cm}}^2$ (2 p). c) $V=L\cdot l\cdot h=6\cdot 3\cdot 2=36{\text{cm}}^3$ (2 p).

Exercițiul 6 · 6 puncte — $a=5$. a) Diagonala unei fețe $=a\sqrt{2}=5\sqrt{2}$ cm (2 p). b) Diagonala cubului $=a\sqrt{3}=5\sqrt{3}$ cm (2 p). c) ${\mathcal{A}}_t=6a^2=6\cdot 25=150{\text{cm}}^2$; $V=a^3=125{\text{cm}}^3$ (2 p).

Exercițiul 7 · 6 puncte — triunghi echilateral cu latura $4$, $H=10$. a) ${\mathcal{A}}_b=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{16\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (2 p). b) Perimetrul bazei $P_b=3\cdot 4=12$; ${\mathcal{A}}_{\ell }=P_b\cdot H=12\cdot 10=120{\text{cm}}^2$ (2 p). c) $V={\mathcal{A}}_b\cdot H=4\sqrt{3}\cdot 10=40\sqrt{3}{\text{cm}}^3$ (2 p).

Exercițiul 8 · 6 puncte — câte 1,5 p (valoare + justificare). a) F. Paralelipipedul dreptunghic este cub doar dacă toate cele trei dimensiuni sunt egale; în general $L$, $l$, $h$ pot fi diferite. b) A. Este chiar definiția prismei drepte: muchiile laterale sunt perpendiculare pe planele bazelor. c) F. $a\sqrt{2}$ este diagonala unei fețe; diagonala cubului este $a\sqrt{3}$. d) A. $V={\mathcal{A}}_b\cdot H$; la bază și înălțime egale, volumele sunt egale (indiferent de forma bazei).

Exercițiul 9 · 7 puncte — $L=4$, $l=3$, $h=12$. a) Diagonala bazei $=\sqrt{L^2+l^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ cm (2 p). b) Secțiunea diagonală este un dreptunghi cu laturile egale cu diagonala bazei și cu înălțimea: $5\text{cm}\times 12\text{cm}$; aria $=5\cdot 12=60{\text{cm}}^2$ (3 p). c) $d=\sqrt{L^2+l^2+h^2}=\sqrt{16+9+144}=\sqrt{169}=13$ cm. Observație: $d$ este chiar diagonala dreptunghiului secțiune diagonală ($\sqrt{5^2+12^2}=13$) (2 p).

Exercițiul 10 · 7 puncte — $a=6$. a) ${\mathcal{A}}_t=6a^2=6\cdot 36=216{\text{cm}}^2$; $V=a^3=216{\text{cm}}^3$ (2 p). b) Diagonala unei fețe $=a\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ cm (1,5 p). c) Dreptunghi cu laturile $a=6$ și $a\sqrt{2}=6\sqrt{2}$; aria $=6\cdot 6\sqrt{2}=36\sqrt{2}{\text{cm}}^2$ (2 p). d) Diagonala cubului $=a\sqrt{3}=6\sqrt{3}$ cm (1,5 p).

Exercițiul 11 · 6 puncte — cutie $12\times 4\times 3$. a) $V=12\cdot 4\cdot 3=144{\text{cm}}^3$ (2 p). b) ${\mathcal{A}}_t=2(Ll+Lh+lh)=2(48+36+12)=2\cdot 96=192{\text{cm}}^2$ (2 p). c) Cea mai lungă tijă = diagonala cutiei: $d=\sqrt{12^2+4^2+3^2}=\sqrt{144+16+9}=\sqrt{169}=13$ cm (2 p).

Exercițiul 12 · 6 puncte — prismă hexagonală regulată, latura bazei $2$, $H=5$. a) ${\mathcal{A}}_b=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2}=\frac{3\cdot 4\cdot \sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}{\text{dm}}^2$ (2 p). b) Perimetrul bazei $P_b=6\cdot 2=12$; ${\mathcal{A}}_{\ell }=P_b\cdot H=12\cdot 5=60{\text{dm}}^2$ (2 p). c) $V={\mathcal{A}}_b\cdot H=6\sqrt{3}\cdot 5=30\sqrt{3}{\text{dm}}^3$ (2 p).

Exercițiul 13 · 6 puncte — cub $a=4$. a) $A{C}^{\prime }=a\sqrt{3}=4\sqrt{3}$ cm (2 p). b) $AC=a\sqrt{2}=4\sqrt{2}$ cm (diagonala pătratului de bază) (2 p). c) În triunghiul $AB{B}^{\prime }$, dreptunghic în $B$, catetele $AB=B{B}^{\prime }=a$ sunt egale, deci triunghiul este dreptunghic isoscel; unghiul dintre $A{B}^{\prime }$ și $AB$ este $45^{\circ }$ (2 p).

Exercițiul 14 · 7 puncte — bază pătrat de latură $4$, $V=112$. a) $V={\mathcal{A}}_b\cdot h=4\cdot 4\cdot h=16h$; din $16h=112\Rightarrow h=\frac{112}{16}=7$ dm (3 p). b) ${\mathcal{A}}_t=2(Ll+Lh+lh)=2(4\cdot 4+4\cdot 7+4\cdot 7)=2(16+28+28)=2\cdot 72=144{\text{dm}}^2$ (2 p). c) $d=\sqrt{4^2+4^2+7^2}=\sqrt{16+16+49}=\sqrt{81}=9$ dm (2 p).

Exercițiul 15 · 7 puncte — cort = prismă triunghiulară dreaptă; capăt = triunghi isoscel cu baza $6$, laturile $5$ (înălțimea $4$), lungimea $10$. a) ${\mathcal{A}}_b=\frac{\text{baza˘}\cdot \text{ıˆna˘lțime}}{2}=\frac{6\cdot 4}{2}=12{\text{m}}^2$ (2 p). b) $V={\mathcal{A}}_b\cdot H=12\cdot 10=120{\text{m}}^3$ (2 p). c) Fiecare față înclinată este un dreptunghi $5\text{m}\times 10\text{m}$, arie $50{\text{m}}^2$; două fețe $=100{\text{m}}^2$. Cele două capete triunghiulare $=2\cdot 12=24{\text{m}}^2$. Total pânză $=100+24=124{\text{m}}^2$ (3 p). (Verificarea laturii înclinate: $\sqrt{3^2+4^2}=5$ m.)

Recomandare: dacă elevul greșește la diagonală, reține diferența dintre diagonala unei fețe (în plan, $a\sqrt{2}$ la cub) și diagonala corpului (prin interior, $a\sqrt{3}$ la cub, $\sqrt{L^2+l^2+h^2}$ la paralelipiped). Nu confunda aria laterală ($P_b\cdot H$) cu aria totală (${\mathcal{A}}_{\ell }+2{\mathcal{A}}_b$), iar la problemele reale (cutii, corturi) adună doar fețele care există fizic. Secțiunea diagonală este întotdeauna un dreptunghi cu o latură egală cu diagonala bazei și cealaltă egală cu înălțimea corpului.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică dacă elevul stăpânește corpurile geometrice din prima unitate de geometrie în spațiu de la clasa a VIII-a: recunoașterea prismei drepte, a paralelipipedului dreptunghic și a cubului, denumirea corectă a elementelor caracteristice (vârfuri, muchii, fețe, baze, înălțime), realizarea desfășurărilor în plan, precum și calculul diagonalei cu relațiile $d=\sqrt{L^2+l^2+h^2}$ (paralelipiped) și $d=a\sqrt{3}$ (cub). Sunt incluse aria laterală, aria totală și volumul, secțiunile diagonale și câteva distanțe și unghiuri în interiorul corpurilor. Problemele sunt în contexte reale (cutii, corturi, acvarii), potrivite pentru an de Evaluare Națională.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe o foaie separată, cu creion și riglă pentru schițe. Rezultatele iraționale se lasă în formă radicală (de exemplu $5\sqrt{3}$), nu se aproximează, dacă nu se cere altfel. La final, comparați rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea noțiunilor din unitate.
• Formule de reținut:
  • Prismă dreaptă (aria bazei ${\mathcal{A}}_b$, perimetrul bazei $P_b$, înălțimea $H$): ${\mathcal{A}}_{\ell }=P_b\cdot H$; ${\mathcal{A}}_t={\mathcal{A}}_{\ell }+2{\mathcal{A}}_b$; $V={\mathcal{A}}_b\cdot H$.
  • Paralelipiped dreptunghic (dimensiuni $L$, $l$, $h$): $d=\sqrt{L^2+l^2+h^2}$; ${\mathcal{A}}_t=2(Ll+Lh+lh)$; $V=L\cdot l\cdot h$.
  • Cub (muchia $a$): diagonala feței $=a\sqrt{2}$; diagonala cubului $=a\sqrt{3}$; ${\mathcal{A}}_t=6a^2$; $V=a^3$.

Notă: marcajele 🖼️ [Imagine: ...] descriu figura care însoțește itemul; elevul o poate reface după descriere.