Test: Probleme rezolvate cu sisteme și conținut practic

Clasa a VII-a · Matematică · Unitatea „Probleme rezolvate cu ecuații și sisteme"

Exerciții

Exercițiul 1 — Etapele rezolvării unei probleme (4 puncte)

Mai jos sunt, în ordine amestecată, etapele prin care se rezolvă o problemă cu ajutorul unei ecuații sau al unui sistem. Ordonează-le corect, scriind literele în ordinea potrivită:

• A. Alegerea necunoscutei (necunoscutelor) și notarea ei/lor cu litere.
• B. Verificarea rezultatului în enunț și interpretarea lui (răspunsul cu unitate de măsură).
• C. Transcrierea condițiilor din enunț într-o ecuație sau într-un sistem.
• D. Rezolvarea ecuației/sistemului.
• E. Citirea atentă și înțelegerea enunțului (ce se dă, ce se cere).

Exercițiul 2 — Adevărat / Fals despre modelare (4 puncte)

Stabilește A sau F pentru fiecare afirmație și motivează pe scurt:

a) La o problemă cu două necunoscute avem nevoie, în general, de două condiții (ecuații) pentru a le determina. b) După ce am rezolvat ecuația, rezultatul este întotdeauna răspunsul la întrebarea problemei, fără a mai fi nevoie de interpretare. c) O soluție a unui sistem trebuie să verifice ambele ecuații ale acestuia. d) Dacă la o problemă de vârste obținem o vârstă negativă, rezultatul se acceptă ca atare.

Exercițiul 3 — Ecuație de gradul I: preț (5 puncte)

Prețul unui produs a crescut cu $15\%$ și a ajuns la $92$ lei.

a) Notează cu $x$ prețul inițial și scrie ecuația care modelează situația. b) Află prețul inițial. c) Verifică rezultatul.

Exercițiul 4 — Ecuație de gradul I cu numitori (5 puncte)

Treimea unui număr, mărită cu $7$, este egală cu jumătatea aceluiași număr, micșorată cu $1$.

a) Notează numărul cu $x$ și scrie ecuația. b) Rezolvă ecuația (elimină întâi numitorii). c) Verifică rezultatul în enunț.

Exercițiul 5 — Alegerea metodei la un sistem (6 puncte)

Se dă sistemul $$\{\begin{array}{l}y=2x-3\\ 3x+2y=8\end{array}$$

a) Ce metodă (substituție sau reducere) este mai comodă aici? Justifică. b) Rezolvă sistemul cu metoda aleasă. c) Verifică soluția în ambele ecuații.

Exercițiul 6 — Problemă de vârste (6 puncte)

În prezent, suma vârstelor unui tată și a fiului său este de $44$ de ani. Peste $5$ ani, tatăl va avea de două ori vârsta fiului.

a) Notează cu $x$ vârsta actuală a tatălui și cu $y$ vârsta actuală a fiului; scrie sistemul. b) Află vârstele actuale. c) Verifică ambele condiții din enunț.

Exercițiul 7 — Problemă cu bani (6 puncte)

Ana și Bogdan au împreună $250$ de lei. Dacă Ana îi dă lui Bogdan $20$ de lei, cei doi vor avea sume egale.

a) Notează cu $a$ suma Anei și cu $b$ suma lui Bogdan; scrie sistemul. b) Află câți lei are fiecare. c) Verifică rezultatul.

Exercițiul 8 — Mișcare: întâlnire (5 puncte)

Două localități sunt situate la $210$ km una de cealaltă. În același moment, din prima localitate pleacă un autoturism cu viteza de $70$ km/h, iar din a doua, în sens contrar, pleacă altul cu viteza de $35$ km/h (se deplasează unul spre celălalt).

a) Notează cu $t$ (în ore) timpul până la întâlnire și scrie ecuația (folosește faptul că suma distanțelor parcurse este $210$ km). b) După cât timp se întâlnesc? c) Ce distanță a parcurs fiecare autoturism până la întâlnire?

Exercițiul 9 — Mișcare: vapor pe râu (6 puncte)

Un vapor parcurge $60$ km la vale (în sensul curentului) în $2$ ore, iar $60$ km împotriva curentului în $3$ ore.

a) Notează cu $v$ viteza proprie a vaporului și cu $c$ viteza curentului; scrie sistemul (viteza la vale este $v+c$, iar împotriva curentului $v-c$). b) Află viteza proprie a vaporului și viteza curentului. c) Verifică rezultatul.

Exercițiul 10 — Amestec: cafea (6 puncte)

Un magazin amestecă cafea de $40$ lei/kg cu cafea de $25$ lei/kg și obține $30$ kg de amestec care se vinde la $30$ lei/kg (valoarea amestecului este egală cu suma valorilor celor două sorturi).

a) Notează cu $x$ și $y$ numărul de kilograme din fiecare sort; scrie sistemul. b) Câte kilograme din fiecare sort s-au folosit? c) Verifică rezultatul.

Exercițiul 11 — Amestec: soluții (5 puncte)

Se amestecă o soluție de sare de concentrație $10\%$ cu o soluție de concentrație $30\%$ și se obțin $200$ g de soluție de concentrație $25\%$. (Cantitatea de sare din amestec este suma cantităților de sare din cele două soluții; $25\%$ din $200$ g înseamnă $50$ g de sare.)

a) Notează cu $x$ și $y$ masele (în grame) ale celor două soluții; scrie sistemul. b) Câte grame din fiecare soluție s-au amestecat? c) Verifică rezultatul.

Exercițiul 12 — Geometrie: teren dreptunghiular (6 puncte)

Un teren dreptunghiular are perimetrul de $160$ m, iar lungimea cu $20$ m mai mare decât lățimea.

a) Notează lungimea cu $L$ și lățimea cu $l$; scrie sistemul. b) Rezolvă prin metoda reducerii și află dimensiunile. c) Calculează aria terenului.

Exercițiul 13 — Geometrie: unghiuri complementare (5 puncte)

Două unghiuri sunt complementare (suma măsurilor lor este $90^{\circ }$), iar unul este de $4$ ori mai mare decât celălalt.

a) Notează măsurile cu $x$ și $y$ și scrie sistemul. b) Află cele două măsuri. c) Verifică rezultatul.

Exercițiul 14 — Geometrie: triunghi isoscel (5 puncte)

Un triunghi isoscel are perimetrul de $44$ cm, iar fiecare dintre laturile congruente este cu $7$ cm mai mare decât baza.

a) Notează cu $a$ lungimea unei laturi congruente și cu $b$ baza; scrie sistemul (perimetrul este $2a+b$). b) Află lungimile laturilor. c) Verifică inegalitatea triunghiului (fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două).

Exercițiul 15 — Interpretarea unui grafic distanță–timp (5 puncte)

Graficul de mai sus arată distanța parcursă de un biciclist în funcție de timp (mișcare cu viteză constantă).

a) Ce distanță parcurge biciclistul în $2$ ore? Dar în $3$ ore? b) Cu ce viteză (km/h) se deplasează? Explică cum ai citit-o din grafic. c) După cât timp va fi parcurs $60$ km, dacă își păstrează viteza?

Exercițiul 16 — Bani: bancnote (6 puncte)

Un elev are, într-un plic, bancnote de $5$ lei și de $10$ lei. În total sunt $12$ bancnote, cu valoare de $95$ lei.

a) Notează cu $x$ numărul bancnotelor de $5$ lei și cu $y$ numărul celor de $10$ lei; scrie sistemul. b) Câte bancnote de fiecare fel are elevul? c) Verifică rezultatul.

Exercițiul 17 — Număr de două cifre (5 puncte)

Un număr natural de două cifre are suma cifrelor egală cu $12$, iar cifra zecilor este cu $2$ mai mare decât cifra unităților.

a) Notează cu $z$ cifra zecilor și cu $u$ cifra unităților; scrie sistemul. b) Determină cele două cifre și scrie numărul. c) Verifică cele două condiții din enunț.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 17 itemi = 90 p + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1 (4 p)

Ordinea corectă a etapelor: E → A → C → D → B (citirea enunțului → alegerea necunoscutelor → scrierea ecuației/sistemului → rezolvarea → verificarea și interpretarea). Se acordă tot punctajul pentru ordinea integral corectă; câte $1$ p se poate scădea pentru fiecare inversare.

Exercițiul 2 (4 p — câte 1 p)

a) A — două necunoscute independente necesită, de regulă, două condiții (un sistem de două ecuații). b) F — după rezolvare urmează interpretarea: răspunsul se dă cu unitatea de măsură și se raportează la întrebarea problemei. c) A — o soluție a sistemului verifică simultan ambele ecuații. d) F — o vârstă negativă nu are sens; rezultatul se respinge (semn de eroare de calcul sau de model).

Exercițiul 3 (5 p)

a) Ecuația: $x+15\%\cdot x=92$, adică $1,15x=92$. (2 p) b) $x=\frac{92}{1,15}=80$. Prețul inițial era de $80$ lei. (2 p) c) Verificare: $80+0,15\cdot 80=80+12=92$ lei ✓. (1 p)

Exercițiul 4 (5 p)

a) Ecuația: $\frac{x}{3}+7=\frac{x}{2}-1$. (1 p) b) Înmulțim cu $6$: $2x+42=3x-6\Rightarrow 42+6=3x-2x\Rightarrow x=48$. (3 p) c) Verificare: $\frac{48}{3}+7=16+7=23$ și $\frac{48}{2}-1=24-1=23$ ✓. Numărul este $48$. (1 p)

Exercițiul 5 (6 p)

a) Este mai comodă metoda substituției, fiindcă prima ecuație dă deja $y$ exprimat prin $x$. (1 p) b) Substituim $y=2x-3$ în a doua: $3x+2(2x-3)=8\Rightarrow 3x+4x-6=8\Rightarrow 7x=14\Rightarrow x=2$; $y=2\cdot 2-3=1$. Soluția: $(2,1)$. (4 p) c) Verificare: $y=2\cdot 2-3=1$ ✓ și $3\cdot 2+2\cdot 1=6+2=8$ ✓. (1 p)

Exercițiul 6 (6 p)

a) În prezent: $x+y=44$. Peste $5$ ani: $x+5=2(y+5)$, adică $x+5=2y+10\Rightarrow x-2y=5$. Sistem: $\{\begin{array}{l}x+y=44\\ x-2y=5\end{array}$. (2 p) b) Scădem a doua din prima: $(x+y)-(x-2y)=44-5\Rightarrow 3y=39\Rightarrow y=13$; $x=44-13=31$. Tatăl are $31$ de ani, fiul $13$ ani. (3 p) c) Verificare: $31+13=44$ ✓; peste $5$ ani $36$ și $18$, iar $36=2\cdot 18$ ✓. (1 p)

Exercițiul 7 (6 p)

a) $\{\begin{array}{l}a+b=250\\ a-20=b+20\end{array}$, iar a doua se scrie $a-b=40$. (2 p) b) Adunând $a+b=250$ cu $a-b=40$: $2a=290\Rightarrow a=145$; $b=250-145=105$. Ana are $145$ lei, Bogdan $105$ lei. (3 p) c) Verificare: după transfer, Ana are $145-20=125$ lei, Bogdan $105+20=125$ lei — sume egale ✓. (1 p)

Exercițiul 8 (5 p)

a) Distanța parcursă de primul este $70t$, a celui de-al doilea $35t$; ecuația: $70t+35t=210$, adică $105t=210$. (2 p) b) $t=\frac{210}{105}=2$. Se întâlnesc după $2$ ore. (2 p) c) Primul parcurge $70\cdot 2=140$ km, al doilea $35\cdot 2=70$ km. (Verificare: $140+70=210$ km ✓.) (1 p)

Exercițiul 9 (6 p)

a) Viteza la vale: $v+c=\frac{60}{2}=30$; împotriva curentului: $v-c=\frac{60}{3}=20$. Sistem: $\{\begin{array}{l}v+c=30\\ v-c=20\end{array}$. (2 p) b) Adunând: $2v=50\Rightarrow v=25$; $c=30-25=5$. Viteza proprie $25$ km/h, viteza curentului $5$ km/h. (3 p) c) Verificare: la vale $25+5=30$ km/h $\Rightarrow 60$ km în $2$ h ✓; contra $25-5=20$ km/h $\Rightarrow 60$ km în $3$ h ✓. (1 p)

Exercițiul 10 (6 p)

a) $\{\begin{array}{l}x+y=30\\ 40x+25y=30\cdot 30\end{array}$, adică $\{\begin{array}{l}x+y=30\\ 40x+25y=900\end{array}$. (2 p) b) Din prima $x=30-y$; substituim: $40(30-y)+25y=900\Rightarrow 1200-15y=900\Rightarrow 15y=300\Rightarrow y=20$; $x=10$. S-au folosit $10$ kg de $40$ lei/kg și $20$ kg de $25$ lei/kg. (3 p) c) Verificare: $10+20=30$ kg ✓; $40\cdot 10+25\cdot 20=400+500=900$ lei, adică $900:30=30$ lei/kg ✓. (1 p)

Exercițiul 11 (5 p)

a) Masa totală: $x+y=200$. Cantitatea de sare: $0,1x+0,3y=50$ (echivalent, după înmulțire cu $10$: $x+3y=500$). Sistem: $\{\begin{array}{l}x+y=200\\ x+3y=500\end{array}$. (2 p) b) Scădem prima din a doua: $2y=300\Rightarrow y=150$; $x=200-150=50$. Se amestecă $50$ g soluție de $10\%$ și $150$ g soluție de $30\%$. (2 p) c) Verificare: $0,1\cdot 50+0,3\cdot 150=5+45=50$ g sare, adică $50:200=25\%$ ✓. (1 p)

Exercițiul 12 (6 p)

a) $\{\begin{array}{l}2(L+l)=160\\ L-l=20\end{array}$, adică $\{\begin{array}{l}L+l=80\\ L-l=20\end{array}$. (2 p) b) Adunând: $2L=100\Rightarrow L=50$; $l=80-50=30$. Dimensiuni: lungimea $50$ m, lățimea $30$ m. (3 p) c) Aria $=L\cdot l=50\cdot 30=1500{\text{m}}^2$. (Verificare perimetru: $2(50+30)=160$ m ✓.) (1 p)

Exercițiul 13 (5 p)

a) $\{\begin{array}{l}x+y=90\\ x=4y\end{array}$. (2 p) b) Substituim: $4y+y=90\Rightarrow 5y=90\Rightarrow y=18$; $x=4\cdot 18=72$. Măsurile sunt $72^{\circ }$ și $18^{\circ }$. (2 p) c) Verificare: $72^{\circ }+18^{\circ }=90^{\circ }$ ✓ și $72^{\circ }=4\cdot 18^{\circ }$ ✓. (1 p)

Exercițiul 14 (5 p)

a) $\{\begin{array}{l}2a+b=44\\ a=b+7\end{array}$. (2 p) b) Substituim $a=b+7$: $2(b+7)+b=44\Rightarrow 3b+14=44\Rightarrow 3b=30\Rightarrow b=10$; $a=17$. Laturile: $17$ cm, $17$ cm și baza $10$ cm. (2 p) c) Inegalitatea triunghiului: $10<17+17$, $17<17+10$ ✓ — triunghiul există. (Verificare perimetru: $17+17+10=44$ cm ✓.) (1 p)

Exercițiul 15 (5 p)

a) În $2$ ore parcurge $30$ km, iar în $3$ ore parcurge $45$ km (se citesc ordonatele punctelor $(2,30)$ și $(3,45)$). (2 p) b) Viteza $=\frac{45}{3}=15$ km/h (sau $\frac{30}{2}=15$): în fiecare oră distanța crește cu $15$ km, adică raportul distanță/timp este constant. (2 p) c) $60:15=4$; va fi parcurs $60$ km după $4$ ore. (1 p)

Exercițiul 16 (6 p)

a) $\{\begin{array}{l}x+y=12\\ 5x+10y=95\end{array}$. (2 p) b) Împărțim a doua ecuație cu $5$: $x+2y=19$; scădem prima: $(x+2y)-(x+y)=19-12\Rightarrow y=7$; $x=12-7=5$. Elevul are $5$ bancnote de $5$ lei și $7$ bancnote de $10$ lei. (3 p) c) Verificare: $5+7=12$ bancnote ✓; $5\cdot 5+10\cdot 7=25+70=95$ lei ✓. (1 p)

Exercițiul 17 (5 p)

a) $\{\begin{array}{l}z+u=12\\ z-u=2\end{array}$ (cu $z,u$ cifre, $z\ge 1$). (2 p) b) Adunând: $2z=14\Rightarrow z=7$; $u=12-7=5$. Numărul este $75$. (2 p) c) Verificare: $7+5=12$ ✓ și $7-5=2$ ✓ (ambele sunt cifre valide). (1 p)

Total: 90 p (itemi) + 10 p (oficiu) = 100 p.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică dacă elevul parcurge corect etapele rezolvării unei probleme cu ajutorul unei ecuații de gradul I sau al unui sistem de două ecuații liniare: citește enunțul, alege necunoscutele, modelează situația printr-o ecuație/un sistem, rezolvă și, la final, verifică și interpretează rezultatul în contextul problemei. Contextele sunt aplicative — vârste, bani, mișcare, amestecuri și geometrie în plan — iar accentul cade pe modelare și pe sensul răspunsului, nu doar pe calcul.

• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Punctaj total: 100 de puncte, dintre care 10 puncte din oficiu. Cei 17 itemi însumează 90 de puncte.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, cu toate calculele scrise. Se punctează modelul (alegerea necunoscutelor + ecuația/sistemul), rezolvarea și interpretarea (răspunsul dat cu unitatea de măsură și verificat în enunț). La itemii de geometrie se realizează o figură.
• Interpretarea notei (aproximativ): 90–100 p → foarte bine; 70–89 p → bine; 45–69 p → satisfăcător; sub 45 p → se reia unitatea.

Notație folosită: un sistem de două ecuații liniare cu necunoscutele $x$ și $y$ se scrie cu acolada $$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}$$ O soluție a sistemului este o pereche ordonată $(x,y)$ care transformă ambele ecuații în egalități adevărate. Scrierea $a,b$ folosește virgula ca separator zecimal (de ex. $3,5$).