Test: Progresii aritmetice — sume și probleme

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Progresii aritmetice

Exerciții

Partea I – Sume de bază

Exercițiul 1 (6 puncte)

Calculează, folosind formula sumei (câte 2 puncte; se cere și numărul de termeni): a) $1+2+3+\cdots +100$; b) $2+4+6+\cdots +100$; c) $50+51+52+\cdots +100$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră progresia aritmetică $(a_n{)}_{n\ge 1}$ cu $a_1=4$ și rația $r=6$. a) Calculează $a_{10}$. (2 p) b) Calculează $S_{10}$, suma primilor $10$ termeni. (2 p) c) Calculează $S_{20}$. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Suma primilor $20$ de termeni ai progresiei aritmetice $3,7,11,\dots$ este: A. $780$; B. $820$; C. $840$; D. $800$.

b) Dacă $1+2+3+\cdots +n=210$, atunci $n$ este: A. $14$; B. $15$; C. $20$; D. $21$.

c) Într-o progresie aritmetică se știe că $a_1=2$ și $a_{15}=44$. Suma primilor $15$ termeni este: A. $345$; B. $330$; C. $690$; D. $360$.

Exercițiul 4 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt, printr-un calcul sau printr-un contraexemplu (câte 2 puncte): a) „Suma primilor $n$ termeni ai unei progresii aritmetice se poate calcula cu formula $S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$." b) „Dacă rația unei progresii aritmetice este $0$, atunci $S_n=n\cdot a_1$." c) „Dacă rația unei progresii aritmetice este negativă, atunci $S_{10}$ este obligatoriu un număr negativ." d) „Dacă într-o progresie aritmetică $a_1+a_{10}=20$, atunci $S_{10}=100$."

Partea a II-a – Determinări cu sume

Exercițiul 5 (8 puncte)

Într-o progresie aritmetică $(a_n{)}_{n\ge 1}$ se cunosc $a_1=5$ și $S_{12}=258$. a) Determină rația $r$. (4 p) b) Calculează $a_{12}$. (2 p) c) Verifică rezultatul, recalculând $S_{12}$ cu formula $S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$. (2 p)

Exercițiul 6 (8 puncte)

Se consideră suma $$S=3+8+13+\cdots +158.$$ a) Arată că termenii formează o progresie aritmetică și determină numărul de termeni. (4 p) b) Calculează $S$. (4 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Se consideră numerele naturale de trei cifre divizibile cu $7$. a) Determină cel mai mic și cel mai mare dintre ele. (2 p) b) Determină câte sunt. (3 p) c) Calculează suma lor. (3 p)

Exercițiul 8 (8 puncte)

Se consideră șirul numerelor naturale impare $1,3,5,7,\dots$ a) Arată că este progresie aritmetică și scrie termenul general $a_n$. (2 p) b) Arată, folosind formula sumei, că $S_n=n^2$. (3 p) c) Determină $n$ pentru care $S_n=400$, apoi calculează $1+3+5+\cdots +201$. (3 p)

Partea a III-a – Probleme aplicate

Exercițiul 9 (8 puncte)

O sumă de $4000$ de lei este depusă la bancă cu dobândă simplă de $5\%$ pe an (dobânda se calculează în fiecare an la suma inițială depusă și se adaugă în cont). Notăm cu $S_n$ suma din cont după $n$ ani, deci $S_0=4000$ de lei. a) Calculează dobânda obținută într-un an. (2 p) b) Arată că șirul $(S_n{)}_{n\ge 0}$ este progresie aritmetică și scrie formula lui $S_n$. (2 p) c) Ce sumă se află în cont după $6$ ani? (2 p) d) După câți ani suma din cont ajunge la $6000$ de lei? (2 p)

Exercițiul 10 (8 puncte)

Într-o stivă de bușteni, rândul de jos are $30$ de bușteni, iar fiecare rând de deasupra are cu un buștean mai puțin decât rândul de sub el. Stiva are $20$ de rânduri. a) Câți bușteni are rândul de sus (al $20$-lea de jos în sus)? (2 p) b) Câți bușteni are stiva în total? (4 p) c) Câți bușteni se află în primele $10$ rânduri, numărate de jos? (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Un elev începe un program de alergare: în prima săptămână aleargă $3$ km, iar în fiecare săptămână următoare cu $0,5$ km mai mult decât în cea dinainte. a) Câți kilometri aleargă în săptămâna a $12$-a? (2 p) b) Câți kilometri aleargă în total în primele $12$ săptămâni? (3 p) c) În ce săptămână ajunge să alerge $10$ km? (3 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră progresia aritmetică $(a_n{)}_{n\ge 1}$ în care $a_1=2$ și $a_3=10$. a) Arată că rația progresiei este $r=4$. (2 p) b) Calculează $S_{10}$, suma primilor $10$ termeni. (3 p) c) Determină numărul natural nenul $n$ pentru care $S_n=1250$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte (1 p numărul de termeni, 1 p rezultatul). a) Sunt $100$ de termeni, $a_1=1$, $a_{100}=100$: $$S=\frac{(1+100)\cdot 100}{2}=\frac{101\cdot 100}{2}=5050.$$ b) Sunt numerele pare de la $2$ la $100$, deci $50$ de termeni ($r=2$): $$S=\frac{(2+100)\cdot 50}{2}=\frac{102\cdot 50}{2}=2550.$$ c) De la $50$ la $100$ sunt $100-50+1=51$ de termeni ($r=1$): $$S=\frac{(50+100)\cdot 51}{2}=\frac{150\cdot 51}{2}=75\cdot 51=3825.$$

Observație: la punctul c), greșeala tipică este să se considere $50$ de termeni. Numărul de termeni se calculează mereu cu $n=\frac{a_n-a_1}{r}+1$, iar acel „$+1$" este cel care se uită cel mai des.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) $a_{10}=a_1+9r=4+9\cdot 6=58$. b) (2 p) $S_{10}=\frac{(4+58)\cdot 10}{2}=\frac{62\cdot 10}{2}=310$. c) (2 p) $a_{20}=4+19\cdot 6=118$, deci $S_{20}=\frac{(4+118)\cdot 20}{2}=122\cdot 10=1220$.

Exercițiul 3. (6 p) — câte 2 puncte. a) B — $a_{20}=3+19\cdot 4=79$, deci $S_{20}=\frac{(3+79)\cdot 20}{2}=82\cdot 10=820$. b) C — $\frac{n(n+1)}{2}=210\Rightarrow n(n+1)=420=20\cdot 21\Rightarrow n=20$. c) A — $S_{15}=\frac{(2+44)\cdot 15}{2}=\frac{46\cdot 15}{2}=23\cdot 15=345$.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte (1 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Este formula demonstrată prin „suma pe perechi": adunând suma scrisă crescător cu aceeași sumă scrisă descrescător, se obțin $n$ perechi de câte $a_1+a_n$, deci $2S_n=(a_1+a_n)\cdot n$. b) A. Dacă $r=0$, toți termenii sunt egali cu $a_1$, deci $S_n=\underset{n\text{ termeni}}{\underbrace{a_1+a_1+\cdots +a_1}}=n\cdot a_1$ (se obține și din formulă: $a_n=a_1$). c) F. Contraexemplu: $a_1=100$, $r=-1$ dau $a_{10}=91$ și $S_{10}=\frac{(100+91)\cdot 10}{2}=955>0$. Rația negativă înseamnă doar că termenii scad, nu că devin negativi în primii $10$ pași. d) A. $S_{10}=\frac{(a_1+a_{10})\cdot 10}{2}=\frac{20\cdot 10}{2}=100$.

Exercițiul 5. (8 p) a) (4 p) Folosim $S_{12}=\frac{[2a_1+11r]\cdot 12}{2}=6(10+11r)$ (2 p). Din $6(10+11r)=258$ rezultă $10+11r=43$, deci $11r=33$ și $r=3$ (2 p). b) (2 p) $a_{12}=a_1+11r=5+33=38$. c) (2 p) $S_{12}=\frac{(5+38)\cdot 12}{2}=43\cdot 6=258$ — coincide cu valoarea dată, deci rezultatul este corect.

Exercițiul 6. (8 p) a) (4 p) Diferențele sunt constante: $8-3=13-8=5$, deci este progresie aritmetică cu $a_1=3$ și $r=5$ (1 p). Termenul general: $a_n=3+5(n-1)=5n-2$ (1 p). Din $5n-2=158$ rezultă $5n=160$, deci $n=32$ termeni (2 p). b) (4 p) $S=\frac{(3+158)\cdot 32}{2}=161\cdot 16=2576$.

Exercițiul 7. (8 p) a) (2 p) Cel mai mic număr de trei cifre divizibil cu $7$: $105=7\cdot 15$ (deoarece $100:7$ dă câtul $14$ și rest $2$). Cel mai mare: $994=7\cdot 142$ (deoarece $999:7$ dă restul $5$, iar $999-5=994$). b) (3 p) Numerele formează o progresie aritmetică cu $a_1=105$ și $r=7$ (1 p). Din $105+7(n-1)=994$ rezultă $7(n-1)=889$, deci $n-1=127$ (1 p) și $n=128$ numere (1 p). c) (3 p) $S=\frac{(105+994)\cdot 128}{2}=1099\cdot 64=70336$.

Observație: ordinea pașilor este obligatorie — mai întâi capetele, apoi numărul de termeni, abia apoi suma. Un elev care sare direct la formula sumei nu are ce înlocui în ea.

Exercițiul 8. (8 p) a) (2 p) Diferența a doi termeni consecutivi este constantă: $3-1=5-3=7-5=2$, deci este progresie aritmetică cu $a_1=1$ și $r=2$ (1 p), iar $a_n=1+2(n-1)=2n-1$ (1 p). b) (3 p) $S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}=\frac{(1+(2n-1))\cdot n}{2}=\frac{2n\cdot n}{2}={\mathbf{n}}^2$. (Suma primelor $n$ numere impare este un pătrat perfect.) c) (3 p) $S_n=400\iff n^2=400\iff n=20$ (se reține doar soluția pozitivă, fiindcă $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) (1,5 p). Pentru a doua sumă: $2n-1=201\Rightarrow n=101$, deci $1+3+\cdots +201=101^2=10201$ (1,5 p).

Exercițiul 9. (8 p) a) (2 p) Dobânda anuală este $5\%$ din $4000$, adică $\frac{5}{100}\cdot 4000=200$ de lei. b) (2 p) La dobândă simplă se adaugă în fiecare an aceeași sumă, $200$ de lei: $S_{n+1}-S_n=200$, deci $(S_n{)}_{n\ge 0}$ este progresie aritmetică cu rația $r=200$ și primul termen $S_0=4000$ (indexarea începe de la $n=0$). Formula: $S_n=4000+200n$. c) (2 p) $S_6=4000+200\cdot 6=4000+1200=5200$ de lei. d) (2 p) $4000+200n=6000\Rightarrow 200n=2000\Rightarrow n=10$ ani.

Observație: la dobândă simplă dobânda se calculează de fiecare dată la suma inițială, deci se adaugă mereu aceiași $200$ de lei — de aceea modelul este o progresie aritmetică. Dacă dobânda s-ar calcula la suma deja acumulată (dobândă compusă), sumele ar forma o progresie geometrică cu rația $1,05$, iar după $6$ ani în cont s-ar afla mai mult decât $5200$ de lei. Comparația celor două se face în unitatea Progresii geometrice.

Exercițiul 10. (8 p) Numărul de bușteni pe rânduri, numărate de jos în sus, formează o progresie aritmetică cu $a_1=30$ și $r=-1$, deci $a_n=30-(n-1)=31-n$. a) (2 p) $a_{20}=31-20=11$ bușteni. b) (4 p) $S_{20}=\frac{(a_1+a_{20})\cdot 20}{2}=\frac{(30+11)\cdot 20}{2}=41\cdot 10=410$ de bușteni. c) (2 p) $a_{10}=31-10=21$, deci $S_{10}=\frac{(30+21)\cdot 10}{2}=51\cdot 5=255$ de bușteni.

Exercițiul 11. (8 p) Distanțele săptămânale formează o progresie aritmetică cu $a_1=3$ și $r=0,5$, deci $a_n=3+0,5(n-1)$. a) (2 p) $a_{12}=3+0,5\cdot 11=3+5,5=8,5$ km. b) (3 p) $S_{12}=\frac{(3+8,5)\cdot 12}{2}=11,5\cdot 6=69$ km. c) (3 p) $3+0,5(n-1)=10\Rightarrow 0,5(n-1)=7\Rightarrow n-1=14\Rightarrow n=15$ — în săptămâna a $15$-a.

Observație: punctele a) și c) folosesc termenul general (distanța dintr-o singură săptămână), iar punctul b) folosește suma (kilometrii adunați în toate săptămânile). Confuzia dintre „cât aleargă în săptămâna a $n$-a" și „cât a alergat în total până în săptămâna a $n$-a" este cea mai frecventă greșeală de citire a enunțului la problemele acestei unități.

Exercițiul 12. (8 p) a) (2 p) $a_3=a_1+2r\Rightarrow 10=2+2r\Rightarrow 2r=8\Rightarrow r=4$. b) (3 p) $a_{10}=2+9\cdot 4=38$ (1,5 p), deci $S_{10}=\frac{(2+38)\cdot 10}{2}=40\cdot 5=200$ (1,5 p). c) (3 p) $S_n=\frac{[2\cdot 2+4(n-1)]\cdot n}{2}=\frac{4n\cdot n}{2}=2n^2$ (1,5 p). Din $2n^2=1250$ rezultă $n^2=625$, deci $n=25$ (se reține doar soluția pozitivă, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) (1,5 p).

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică al doilea strat al unității: suma primilor $n$ termeni ai unei progresii aritmetice, recunoașterea unei progresii aritmetice ascunse într-un enunț de problemă și aplicațiile ei din viața de zi cu zi — dobânda simplă, costurile care cresc cu o valoare fixă, planurile de antrenament. Sunt acoperite lecțiile Suma primilor $n$ termeni ai unei progresii aritmetice, Cum recunoști o progresie aritmetică într-o problemă și Progresii aritmetice în viața de zi cu zi: dobânda simplă și costurile. Se presupune cunoscută formula termenului general, verificată în testul precedent al unității.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La problemele aplicate se cere explicit modelul matematic (care este $a_1$, care este rația, ce reprezintă $n$), nu doar răspunsul numeric. La final se compară rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, în special a exercițiilor în care se cere mai întâi numărul de termeni și abia apoi suma.
• Formule de reținut: $S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$, formulă utilă când se cunoaște ultimul termen, și $S_n=\frac{[2a_1+(n-1)r]\cdot n}{2}$, utilă când se cunosc $a_1$ și $r$. Numărul de termeni se află din $a_n=a_1+(n-1)r$: $n=\frac{a_n-a_1}{r}+1$. Cazuri clasice: $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$ și $1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2$. Dobânda simplă se calculează mereu la suma inițială, deci sumele din cont formează o progresie aritmetică; dobânda compusă (progresie geometrică) se studiază în unitatea următoare.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".