Test: Progresii aritmetice — termen general

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Progresii aritmetice

Exerciții

Partea I – Șiruri, rație, recunoaștere

Exercițiul 1 (6 puncte)

Se consideră șirul $(a_n{)}_{n\ge 1}$ definit prin formula termenului general $$a_n=3n-2.$$ Rezolvă cerințele (câte 1 punct): a) Calculează $a_1$. b) Calculează $a_2$. c) Calculează $a_{10}$. d) Determină rangul termenului egal cu $58$. e) Este $75$ termen al șirului? Justifică. f) Este șirul progresie aritmetică? Dacă da, precizează rația.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Stabilește care dintre șirurile de mai jos sunt progresii aritmetice. Pentru cele care sunt, scrie rația; pentru celelalte, arată printr-un calcul de ce nu sunt (câte 1 punct): a) $2,5,8,11,\dots$ b) $1,2,4,8,\dots$ c) $7,7,7,7,\dots$ d) $10,6,2,-2,\dots$ e) $1,4,9,16,\dots$ f) șirul cu $b_n=5-2n$.

Exercițiul 3 (6 puncte)

Completează termenii care lipsesc, știind că în fiecare caz numerele sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice (câte 2 puncte; se cere și rația): a) $4,\underline{},12,\underline{},20$; b) $\underline{},9,14,\underline{}$; c) $-3,\underline{},\underline{},9$.

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Într-o progresie aritmetică cu $a_1=5$ și $r=3$, termenul $a_{10}$ este: A. $32$; B. $35$; C. $38$; D. $30$.

b) Dacă într-o progresie aritmetică $a_1=7$ și $a_2=4$, atunci rația este: A. $3$; B. $-3$; C. $11$; D. $-11$.

c) Într-o progresie aritmetică se știe că $a_5=17$ și $r=4$. Atunci $a_1$ este: A. $1$; B. $33$; C. $5$; D. $-3$.

d) Care dintre numerele de mai jos este termen al progresiei aritmetice $3,7,11,\dots$? A. $100$; B. $101$; C. $102$; D. $103$.

Partea a II-a – Formula termenului general

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră progresia aritmetică $(a_n{)}_{n\ge 1}$ cu $a_1=-4$ și rația $r=5$. a) Scrie formula termenului general $a_n$, adusă la forma cea mai simplă. (2 p) b) Calculează $a_{12}$. (2 p) c) Determină rangul termenului egal cu $96$. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Într-o progresie aritmetică $(a_n{)}_{n\ge 1}$ se cunosc $a_3=11$ și $a_7=27$. a) Determină rația $r$ și primul termen $a_1$. (4 p) b) Calculează $a_{20}$. (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt, printr-un calcul sau printr-un contraexemplu (câte 2 puncte): a) „Într-o progresie aritmetică, diferența dintre un termen și cel dinaintea lui este aceeași, oricare ar fi termenul ales." b) „Șirul numerelor prime $2,3,5,7,11,\dots$ este progresie aritmetică." c) „Dacă rația unei progresii aritmetice este negativă, atunci progresia este descrescătoare." d) „Șirul cu termenul general $a_n=2n^2+1$ este progresie aritmetică."

Exercițiul 8 (6 puncte)

Determină numărul real $x$ pentru care numerele $x-1$, $2x+1$ și $x+7$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. a) Scrie condiția pe care trebuie să o îndeplinească cele trei numere. (2 p) b) Rezolvă ecuația obținută. (2 p) c) Scrie cei trei termeni și rația progresiei. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Un rezervor conține $250$ de litri de apă, iar printr-o fisură se scurg $12$ litri în fiecare oră. Notăm cu $a_n$ cantitatea de apă rămasă (în litri) după $n$ ore, deci $a_0=250$. a) Arată că șirul $(a_n{)}_{n\ge 0}$ este progresie aritmetică cu rația $-12$ și scrie formula lui $a_n$. (2 p) b) Câtă apă rămâne după $8$ ore? (2 p) c) După câte ore întregi rămân în rezervor mai puțin de $100$ de litri? (2 p)

Partea a III-a – Raționament și probleme

Exercițiul 10 (8 puncte)

Într-o progresie aritmetică $(a_n{)}_{n\ge 1}$ se cunosc $a_4=14$ și $a_9=34$. a) Determină rația $r$ și primul termen $a_1$. (4 p) b) Scrie formula termenului general $a_n$. (2 p) c) Arată că $100$ nu este termen al progresiei, dar $102$ este, și precizează rangul lui. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Într-o sală de spectacole, primul rând are $18$ locuri, iar fiecare rând următor are cu $2$ locuri mai mult decât cel dinaintea lui. a) Câte locuri are rândul al $12$-lea? (3 p) b) Al câtelea rând are $54$ de locuri? (3 p) c) Câte rânduri au cel mult $50$ de locuri? (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Se consideră progresia aritmetică $(a_n{)}_{n\ge 1}$ cu $a_1=7$ și rația $r=5$. a) Scrie formula termenului general $a_n$. (2 p) b) Determină câți termeni ai progresiei sunt numere de două cifre. (4 p) c) Determină cel mai mic termen al progresiei care este mai mare decât $500$ și precizează rangul lui. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră progresia aritmetică $(a_n{)}_{n\ge 1}$ în care $a_1=3$ și $a_4=15$. a) Arată că rația progresiei este $r=4$. (2 p) b) Calculează $a_{10}$. (3 p) c) Determină numărul natural nenul $n$ pentru care $a_n=2027$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) $a_1=3\cdot 1-2=1$. b) $a_2=3\cdot 2-2=4$. c) $a_{10}=3\cdot 10-2=28$. d) $3n-2=58\Rightarrow 3n=60\Rightarrow n=20$ (termenul $58$ are rangul $20$). e) Nu. Din $3n-2=75$ rezultă $3n=77$, iar $77$ nu se divide cu $3$, deci $n\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$. f) Da, este progresie aritmetică: $a_{n+1}-a_n=(3(n+1)-2)-(3n-2)=3$, constant. Rația este $r=3$.

Exercițiul 2. (6 p) — câte 1 punct (clasificare + rație sau contraexemplu). a) Da, $r=3$ (diferențele: $5-2=8-5=11-8=3$). b) Nu: $2-1=1$, dar $4-2=2$; diferențele nu sunt constante (este progresie geometrică). c) Da, $r=0$ — o progresie aritmetică cu rația nulă are toți termenii egali. d) Da, $r=-4$ (diferențele: $6-10=2-6=-2-2=-4$); progresia este descrescătoare. e) Nu: $4-1=3$, dar $9-4=5$ (sunt pătratele perfecte, nu o progresie aritmetică). f) Da, $r=-2$: $b_{n+1}-b_n=(5-2(n+1))-(5-2n)=-2$.

Exercițiul 3. (6 p) — câte 2 puncte (1 p termenii, 1 p rația). a) Din $4$ și $12$ despărțite de un termen: $2r=12-4=8$, deci $r=4$. Șirul este $4,8,12,16,20$. b) $r=14-9=5$, deci termenul dinainte este $9-5=4$, iar cel de după este $14+5=19$: $4,9,14,19$. c) De la $-3$ la $9$ sunt trei „pași": $3r=9-(-3)=12$, deci $r=4$. Șirul este $-3,1,5,9$.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) A — $a_{10}=a_1+9r=5+9\cdot 3=32$. b) B — $r=a_2-a_1=4-7=-3$. c) A — $a_1=a_5-4r=17-16=1$. d) D — termenul general este $a_n=3+(n-1)\cdot 4=4n-1$; din $4n-1=103$ rezultă $n=26\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Pentru $100$, $101$, $102$ ecuațiile $4n-1=100$, $4n-1=101$, $4n-1=102$ nu au soluții naturale (termenii progresiei dau restul $3$ la împărțirea cu $4$).

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) $a_n=a_1+(n-1)r=-4+5(n-1)=5n-9$. b) (2 p) $a_{12}=5\cdot 12-9=51$. c) (2 p) $5n-9=96\Rightarrow 5n=105\Rightarrow n=21$.

Exercițiul 6. (6 p) a) (4 p) Din $a_7=a_3+4r$ obținem $27=11+4r$, deci $4r=16$ și $r=4$ (2 p). Apoi $a_1=a_3-2r=11-8=3$ (2 p). b) (2 p) $a_{20}=a_1+19r=3+19\cdot 4=3+76=79$.

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Este chiar definiția progresiei aritmetice: $a_{n+1}-a_n=r$ pentru orice $n$, deci diferența nu depinde de termenul ales. b) F. $3-2=1$, dar $5-3=2$; diferențele nu sunt constante. c) A. Dacă $r<0$, atunci $a_{n+1}=a_n+r<a_n$ pentru orice $n$, deci fiecare termen este mai mic decât cel dinaintea lui. d) F. $a_1=3$, $a_2=9$, $a_3=19$; diferențele sunt $6$ și $10$, deci nu sunt constante.

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) Condiția este ca diferențele consecutive să fie egale: $$(2x+1)-(x-1)=(x+7)-(2x+1).$$ b) (2 p) $x+2=-x+6\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2$. c) (2 p) Termenii sunt $x-1=1$, $2x+1=5$, $x+7=9$, adică $1,5,9$, cu rația $r=4$.

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) După fiecare oră cantitatea scade cu aceeași valoare: $a_{n+1}-a_n=-12$, deci șirul este progresie aritmetică cu rația $-12$, având primul termen $a_0=250$ (indexarea începe de la $n=0$). Formula: $a_n=250-12n$. b) (2 p) $a_8=250-12\cdot 8=250-96=154$ litri. c) (2 p) $250-12n<100\iff 12n>150\iff n>12,5$, deci după $13$ ore. (Verificare: $a_{12}=106\ge 100$, iar $a_{13}=94<100$.)

Exercițiul 10. (8 p) a) (4 p) $a_9=a_4+5r\Rightarrow 34=14+5r\Rightarrow r=4$ (2 p); $a_1=a_4-3r=14-12=2$ (2 p). b) (2 p) $a_n=2+(n-1)\cdot 4=4n-2$. (Verificare: $a_4=14$, $a_9=34$.) c) (2 p) $4n-2=100\Rightarrow 4n=102\Rightarrow n=25,5\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$, deci $100$ nu este termen. $4n-2=102\Rightarrow 4n=104\Rightarrow n=26$, deci $102$ este termenul de rang 26.

Exercițiul 11. (8 p) Numărul de locuri din rândul $n$ formează o progresie aritmetică cu $a_1=18$ și $r=2$, deci $a_n=18+2(n-1)=2n+16$. a) (3 p) $a_{12}=2\cdot 12+16=40$ de locuri. b) (3 p) $2n+16=54\Rightarrow 2n=38\Rightarrow n=19$ — rândul al $19$-lea. c) (2 p) $2n+16\le 50\iff 2n\le 34\iff n\le 17$, deci 17 rânduri (rândul al $17$-lea are exact $50$ de locuri, iar al $18$-lea are $52$).

Exercițiul 12. (8 p) a) (2 p) $a_n=7+(n-1)\cdot 5=5n+2$. b) (4 p) Condiția „număr de două cifre" se scrie $10\le 5n+2\le 99$ (1 p), adică $8\le 5n\le 97$, deci $1,6\le n\le 19,4$ (1 p). Cum $n$ este natural nenul, $n\in \{2,3,\dots ,19\}$ (1 p), adică $19-2+1=18$ termeni (1 p). (Verificare: $a_2=12$, $a_{19}=97$, iar $a_1=7$ și $a_{20}=102$ nu au două cifre.) c) (2 p) $5n+2>500\iff 5n>498\iff n>99,6$, deci cel mai mic rang este $n=100$, iar termenul este $a_{100}=5\cdot 100+2=502$.

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) $a_4=a_1+3r\Rightarrow 15=3+3r\Rightarrow 3r=12\Rightarrow r=4$. b) (3 p) $a_{10}=a_1+9r=3+9\cdot 4=3+36=39$. c) (3 p) $a_n=3+(n-1)\cdot 4=2027$ (1 p) $\Rightarrow 4(n-1)=2024\Rightarrow n-1=506$ (1 p) $\Rightarrow n=507$ (1 p). (Verificare: $a_{507}=3+506\cdot 4=3+2024=2027$.)

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică primul strat al unității: ce este un șir (termen, rang, formulă a termenului general), ce este o progresie aritmetică și rația ei, cum se recunoaște o progresie într-un enunț și, mai ales, cum se folosește formula termenului general $a_n=a_1+(n-1)r$ în ambele sensuri — pentru a afla un termen când știm rangul și pentru a afla rangul când știm termenul. Sunt acoperite lecțiile de la Șiruri de numere: termen, rang, formula termenului general până la Termenul general al unei progresii aritmetice, plus recunoașterea progresiei într-o problemă. Sumele primilor $n$ termeni și aplicațiile financiare (dobânda simplă, costuri) se verifică în testul următor al unității.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator — toate numerele sunt alese astfel încât calculele să se facă în minte sau în scris. Se cere scrierea formulei folosite, nu doar a rezultatului. La final se compară rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, în special a formulei termenului general și a exercițiilor de aflare a rangului.
• Formule de reținut: un șir $(a_n{)}_{n\ge 1}$ este progresie aritmetică dacă diferența a doi termeni consecutivi este constantă: $a_{n+1}-a_n=r$ pentru orice $n$. Numărul $r$ se numește rație și se calculează ca $r=a_{n+1}-a_n$. Termenul general: $a_n=a_1+(n-1)r$. Formula „de la orice termen": $a_n=a_k+(n-k)r$, folositoare când nu se cunoaște $a_1$. Dacă $r>0$, progresia este crescătoare; dacă $r<0$, descrescătoare; dacă $r=0$, toți termenii sunt egali. Un număr $x$ este termen al progresiei dacă ecuația $a_1+(n-1)r=x$ are soluție $n$ număr natural nenul.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".