Test: Proprietăți ale funcțiilor — modul, parte întreagă, paritate

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Proprietăți ale funcțiilor și compunerea lor

Exerciții

Partea I – Egalitate, imagine, modul, parte întreagă

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Partea întreagă a numărului $-3,7$ este: A. $-3$; B. $-4$; C. $3$; D. $4$.

b) Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-x$, este: A. pară; B. impară; C. și pară, și impară; D. nici pară, nici impară.

c) Imaginea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|-3$, este: A. $\mathbb{R}$; B. $[0,+\infty )$; C. $[-3,+\infty )$; D. $(-3,+\infty )$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

a) Stabilește dacă funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|$, și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\sqrt{x^2}$, sunt egale. Justifică. (2 p) b) Stabilește dacă funcțiile $u:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $u(x)=x^2$, și $v:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $v(x)=x^2$, sunt egale; precizează ce relație există între ele. (2 p) c) Determină imaginea funcției $h:\{-2,-1,0,1,2\}\to \mathbb{R}$, $h(x)=x^2-1$. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Pentru orice număr real $x$ are loc $|x|\ge x$." b) „Pentru orice număr real $x$ are loc $[x]\le x<[x]+1$." c) „Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+x$, este pară." d) „Dacă o funcție $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este simultan pară și impară, atunci $f(x)=0$ pentru orice $x$ real."

Exercițiul 4 (6 puncte)

Calculează, arătând pașii (câte 2 puncte): a) $|-5|+|3-7|-|-2|$; b) $[2,7]+[-1,5]+[4]$; c) $\{3,2\}+\{-0,8\}+\{5\}$.

Partea a II-a – Ramuri, ecuații, paritate, mărginire

Exercițiul 5 (7 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x-2|+|x+1|$. a) Scrie funcția $f$ pe ramuri, folosind tabelul de semne al expresiilor de sub modul. (3 p) b) Calculează $f(-3)$, $f(0)$ și $f(5)$, folosind forma pe ramuri, și verifică rezultatele direct din formula inițială. (2 p) c) Determină imaginea funcției $f$ și precizează valoarea ei minimă. (2 p)

Exercițiul 6 (7 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{R}$: a) $|2x-6|=4$; (2 p) b) $|x+3|=2x$; (3 p) c) $|x-1|<3$. (2 p)

Exercițiul 7 (7 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{R}$, scriind mulțimea soluțiilor: a) $[x]=3$; (2 p) b) $\{x\}=0,5$; (2 p) c) $[2x-1]=2$. (3 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

Studiază paritatea următoarelor funcții definite pe $\mathbb{R}$, calculând $f(-x)$ și comparând cu $f(x)$, respectiv cu $-f(x)$ (câte 2 puncte): a) $f(x)=x^4-3x^2+1$; b) $f(x)=x\cdot |x|$; c) $f(x)=2x+5$.

Exercițiul 9 (6 puncte)

a) Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3-x^2$, este mărginită superior, precizează cea mai mică margine superioară și punctul în care este atinsă; explică de ce funcția nu este mărginită inferior. (2 p) b) Arată că funcția parte fracționară $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\{x\}$, este mărginită, indicând două numere între care se află toate valorile ei. (2 p) c) În figura de mai jos sunt trasate graficele funcțiilor $u,v:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $u(x)=|x|$ și $v(x)=-|x|+2$. Precizează care dintre ele este convexă și care este concavă, justificând prin poziția graficului față de coarda care unește două puncte ale sale. (2 p)

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip examen

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ o funcție oarecare. Definim funcțiile $g,h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ prin $$g(x)=f(x)+f(-x),h(x)=f(x)-f(-x).$$ a) Demonstrează că $g$ este pară, iar $h$ este impară. (4 p) b) Deduce că orice funcție $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ se poate scrie ca sumă dintre o funcție pară și o funcție impară. (2 p) c) Aplică rezultatul pentru $f(x)=x^2+3x$: scrie explicit partea pară și partea impară și verifică suma. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează că, pentru orice număr real $x$ și pentru orice număr întreg $k$, are loc $[x+k]=[x]+k$. (4 p) b) Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\left[\frac{x}{2}\right]=3$. (2 p) c) Folosind punctul a), arată că $\{x+k\}=\{x\}$ pentru orice $x$ real și orice $k$ întreg, adică funcția parte fracționară se repetă din unitate în unitate. (2 p)

Exercițiul 12 (9 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x-1|-2$. a) Scrie funcția pe ramuri și trasează graficul ei într-un reper cartezian. (3 p) b) Determină imaginea funcției, $\mathrm{Im}f$. (2 p) c) Discută, după valorile parametrului real $m$, numărul soluțiilor ecuației $f(x)=m$ și, în cazurile în care există soluții, determină-le. (4 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|2x-4|$. a) Calculați $f(1)+f(3)$. (2 p) b) Determinați numerele reale $x$ pentru care $f(x)=6$. (3 p) c) Arătați că $f(4-x)=f(x)$ pentru orice număr real $x$ și interpretați geometric egalitatea. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B. Partea întreagă este cel mai mare întreg mai mic sau egal cu numărul dat. Cum $-4\le -3,7<-3$, avem $[-3,7]=-4$. (Greșeala tipică este „se taie zecimalele", care ar da $-3$ — corect doar pentru numere pozitive.) b) B. $f(-x)=(-x{)}^3-(-x)=-x^3+x=-(x^3-x)=-f(x)$ pentru orice $x$ real, deci funcția este impară (graficul este simetric față de origine). c) C. Cum $|x|\ge 0$ pentru orice $x$, avem $f(x)\ge -3$, iar valoarea $-3$ este atinsă pentru $x=0$. Orice $y\ge -3$ este atins: din $|x|-3=y$ rezultă $|x|=y+3\ge 0$, deci $x=y+3$ este soluție. Așadar $\mathrm{Im}f=[-3,+\infty )$.

Exercițiul 2. (6 p)

a) (2 p) Da, sunt egale. Două funcții sunt egale dacă au același domeniu, același codomeniu și aceeași lege de corespondență (0,5 p). Domeniile și codomeniile coincid ($\mathbb{R}$ și $\mathbb{R}$), iar pentru orice $x$ real avem $\sqrt{x^2}=|x|$ (1 p) — radicalul de ordin par este, prin definiție, nenegativ, deci nu poate fi $x$ atunci când $x<0$; de exemplu $\sqrt{(-3{)}^2}=\sqrt{9}=3=|-3|$ (0,5 p).

b) (2 p) Nu sunt egale, pentru că au domenii diferite: $\mathbb{R}\ne [0,+\infty )$ (1 p). Legea de calcul este aceeași, deci $v$ este restricția funcției $u$ la mulțimea $[0,+\infty )$, adică $v=u{|}_{[0,+\infty )}$ (1 p).

c) (2 p) Calculăm valorile: $h(-2)=3$, $h(-1)=0$, $h(0)=-1$, $h(1)=0$, $h(2)=3$ (1 p). Imaginea este mulțimea valorilor distincte obținute: $$\mathrm{Im}h=\{-1,0,3\}\text{(1 p)}.$$ (Se scade 1 p dacă valorile repetate sunt scrise de două ori.)

Exercițiul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) A. Dacă $x\ge 0$, atunci $|x|=x$ și inegalitatea este egalitate. Dacă $x<0$, atunci $|x|=-x>0>x$. În ambele cazuri $|x|\ge x$. b) A. Este chiar caracterizarea părții întregi: $[x]$ este cel mai mare întreg $\le x$, deci $[x]\le x$; iar $[x]+1$ este un întreg mai mare decât $[x]$, deci nu poate fi $\le x$, ceea ce dă $x<[x]+1$. Echivalent: $x\in [[x],[x]+1)$. c) F. $f(-x)=(-x{)}^2+(-x)=x^2-x$, care nu coincide cu $f(x)=x^2+x$. Contraexemplu numeric: $f(1)=2$, dar $f(-1)=0\ne 2$. (Funcția nu este nici impară: $-f(1)=-2\ne 0$.) d) A. Din paritate $f(-x)=f(x)$, iar din imparitate $f(-x)=-f(x)$. Egalând: $f(x)=-f(x)$, deci $2f(x)=0$ și $f(x)=0$, pentru orice $x$ real. Singura funcție simultan pară și impară pe $\mathbb{R}$ este funcția nulă.

Exercițiul 4. (6 p) — câte 2 puncte.

a) $|-5|=5$, $|3-7|=|-4|=4$, $|-2|=2$, deci $5+4-2=7$.

b) $[2,7]=2$; $[-1,5]=-2$ (pentru că $-2\le -1,5<-1$); $[4]=4$. Suma este $2+(-2)+4=4$. (Greșeala tipică: $[-1,5]=-1$.)

c) $\{3,2\}=3,2-[3,2]=3,2-3=0,2$; $\{-0,8\}=-0,8-[-0,8]=-0,8-(-1)=0,2$; $\{5\}=5-5=0$. Suma este $0,2+0,2+0=0,4$. (Se observă că partea fracționară este mereu nenegativă, chiar și pentru numere negative.)

Exercițiul 5. (7 p)

a) (3 p) Expresiile de sub modul se anulează în $x=2$, respectiv $x=-1$; acestea împart axa în trei zone (1 p):

• pentru $x<-1$: $x-2<0$ și $x+1<0$, deci $f(x)=-(x-2)-(x+1)=-2x+1$;
• pentru $-1\le x<2$: $x-2<0$ și $x+1\ge 0$, deci $f(x)=-(x-2)+(x+1)=3$;
• pentru $x\ge 2$: ambele expresii sunt $\ge 0$, deci $f(x)=(x-2)+(x+1)=2x-1$.

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-2x+1,& x<-1\\ 3,& -1\le x<2\\ 2x-1,& x\ge 2\end{array}\text{(2 p, caˆte 0,5 p pe ramura˘ corecta˘ + 0,5 p pentru scrierea unitara˘)}$$

b) (2 p) $f(-3)=-2\cdot (-3)+1=7$; verificare: $|-3-2|+|-3+1|=5+2=7$ ✓. $f(0)=3$; verificare: $|-2|+|1|=2+1=3$ ✓. $f(5)=2\cdot 5-1=9$; verificare: $|3|+|6|=3+6=9$ ✓. (Câte 0,5 p pe valoare, 0,5 p pentru verificări.)

c) (2 p) Pe ramura din stânga, $-2x+1>3$ pentru $x<-1$; pe ramura din dreapta, $2x-1>3$ pentru $x>2$; pe intervalul din mijloc valoarea este constant $3$ (1 p). Prin urmare valoarea minimă este $3$, atinsă pentru orice $x\in [-1,2]$, iar $\mathrm{Im}f=[3,+\infty )$ (1 p). (Interpretare: $f(x)$ este suma distanțelor de la $x$ la $2$ și la $-1$; ea este minimă exact când $x$ se află între cele două puncte, iar minimul este distanța dintre ele, $3$.)

Exercițiul 6. (7 p)

a) (2 p) Cum $4>0$, ecuația $|2x-6|=4$ se desface în două cazuri (0,5 p): $2x-6=4$, de unde $x=5$; sau $2x-6=-4$, de unde $x=1$ (1 p). Verificare: $|10-6|=4$ ✓ și $|2-6|=4$ ✓. Deci $S=\{1,5\}$ (0,5 p).

b) (3 p) Membrul stâng este $\ge 0$, deci este necesară condiția $2x\ge 0$, adică $x\ge 0$ (1 p). Cazurile: $x+3=2x$, de unde $x=3$ (acceptabil, $3\ge 0$); sau $x+3=-2x$, de unde $3x=-3$ și $x=-1$, care nu verifică condiția $x\ge 0$ și se respinge (1,5 p). Verificare pentru $x=3$: $|3+3|=6=2\cdot 3$ ✓; pentru $x=-1$: $|-1+3|=2$, dar $2\cdot (-1)=-2\ne 2$ ✗. Deci $S=\{3\}$ (0,5 p).

c) (2 p) Cum $3>0$, inecuația $|x-1|<3$ este echivalentă cu dubla inegalitate $-3<x-1<3$ (1 p). Adunăm $1$ în toți membrii: $-2<x<4$, deci $S=(-2,4)$ (1 p). (Interpretare: numerele aflate la distanță mai mică decât $3$ de punctul $1$.)

Exercițiul 7. (7 p)

a) (2 p) $[x]=3⟺3\le x<4$ (1 p), deci $S=[3,4)$ (1 p). (Capătul din stânga este inclus, cel din dreapta nu.)

b) (2 p) $\{x\}=x-[x]=0,5$ înseamnă că $x$ are partea întreagă un întreg oarecare $k$ și „coada" $0,5$ (1 p), deci $$S=\left\{k+\frac{1}{2}|k\in \mathbb{Z}\right\}=\left\{\dots ,-1,5,-0,5,0,5,1,5,\dots \right\}\text{(1 p)}.$$ (Se acceptă și scrierea $x=k+0,5$, $k\in \mathbb{Z}$. Un singur număr dat ca răspuns primește cel mult 1 p.)

c) (3 p) Folosim caracterizarea $[t]=2⟺2\le t<3$, cu $t=2x-1$ (1 p): $$2\le 2x-1<3⟹3\le 2x<4⟹\frac{3}{2}\le x<2\text{(1,5 p)}.$$ Deci $S=\left[\frac{3}{2},2\right)$ (0,5 p). Verificare: pentru $x=1,5$, $[2\cdot 1,5-1]=[2]=2$ ✓; pentru $x=2$, $[3]=3\ne 2$ ✗.

Exercițiul 8. (6 p) — câte 2 puncte (1,5 p calculul lui $f(-x)$ și comparația, 0,5 p concluzia).

a) $f(-x)=(-x{)}^4-3(-x{)}^2+1=x^4-3x^2+1=f(x)$, pentru orice $x$ real (puterile pare „înghit" semnul minus). Funcția este pară; graficul ei este simetric față de axa $Oy$.

b) $f(-x)=(-x)\cdot |-x|=-x\cdot |x|=-f(x)$, pentru orice $x$ real (am folosit $|-x|=|x|$). Funcția este impară; graficul ei este simetric față de origine.

c) $f(-x)=-2x+5$. Comparăm cu $f(x)=2x+5$ și cu $-f(x)=-2x-5$: niciuna dintre egalități nu are loc pentru orice $x$. Contraexemplu: $f(1)=7$, $f(-1)=3$, iar $3\ne 7$ și $3\ne -7$. Funcția nu este nici pară, nici impară. (O funcție afină este impară doar dacă $b=0$ și pară doar dacă $a=0$.)

Exercițiul 9. (6 p)

a) (2 p) Pentru orice $x$ real, $x^2\ge 0$, deci $-x^2\le 0$ și $f(x)=3-x^2\le 3$: funcția este mărginită superior de $3$ (1 p). Valoarea $3$ este chiar atinsă, pentru $x=0$, deci este cea mai mică margine superioară (maximul funcției). Funcția nu este mărginită inferior: pentru $x=10^n$ valorile $3-10^{2n}$ coboară sub orice număr fixat, deci nu există un $m$ real cu $f(x)\ge m$ pentru orice $x$ (1 p).

b) (2 p) Din definiția $\{x\}=x-[x]$ și din încadrarea $[x]\le x<[x]+1$ (1 p) rezultă, scăzând $[x]$ peste tot, $$0\le \{x\}<1\text{pentru orice }x\in \mathbb{R},$$ deci toate valorile funcției se află în intervalul $[0,1)$: funcția este mărginită (1 p).

c) (2 p) $u(x)=|x|$ este convexă: graficul ei are forma de „V", iar coarda care unește două puncte ale graficului (de exemplu $(-2,2)$ și $(2,2)$) se află deasupra graficului dintre ele (1 p). $v(x)=-|x|+2$ este concavă: graficul are forma „Λ", iar coarda care unește punctele $(-2,0)$ și $(2,0)$ se află sub grafic (1 p). (Regula de recunoaștere: convex = „ține apa", coarda deasupra; concav = „varsă apa", coarda dedesubt.)

Exercițiul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (4 p) Paritatea lui $g$. Fie $x$ un număr real oarecare. Înlocuim $x$ cu $-x$ în definiția lui $g$ (0,5 p): $$g(-x)=f(-x)+f(-(-x))=f(-x)+f(x)\text{(1 p)}.$$ Adunarea fiind comutativă, $f(-x)+f(x)=f(x)+f(-x)=g(x)$, deci $g(-x)=g(x)$ pentru orice $x$ real: $g$ este pară (0,5 p).

Imparitatea lui $h$. Analog (0,5 p): $$h(-x)=f(-x)-f(-(-x))=f(-x)-f(x)=-(f(x)-f(-x))=-h(x)\text{(1 p)},$$ pentru orice $x$ real, deci $h$ este impară (0,5 p). (Domeniul $\mathbb{R}$ este simetric față de $0$, condiție necesară pentru a putea vorbi despre paritate.) $■$

b) (2 p) Adunând definițiile lui $g$ și $h$ obținem $g(x)+h(x)=2f(x)$ (1 p), de unde $$f(x)=\underset{\text{parte para˘}}{\underbrace{\frac{g(x)}{2}}}+\underset{\text{parte impara˘}}{\underbrace{\frac{h(x)}{2}}}=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}.$$ Primul termen este o funcție pară (jumătate dintr-o funcție pară), al doilea este impar, deci descompunerea cerută există pentru orice $f$ (1 p).

c) (2 p) Pentru $f(x)=x^2+3x$ avem $f(-x)=x^2-3x$ (0,5 p), deci $$\frac{f(x)+f(-x)}{2}=\frac{2x^2}{2}=x^2\text{(partea para˘)},\frac{f(x)-f(-x)}{2}=\frac{6x}{2}=3x\text{(partea impara˘)}\text{(1 p)}.$$ Verificare: $x^2+3x=f(x)$ ✓; într-adevăr $x^2$ este pară și $3x$ este impară (0,5 p).

Exercițiul 11. (8 p) — redactare completă.

a) (4 p) Notăm $n=[x]$; din definiția părții întregi, $n$ este întreg și $n\le x<n+1$ (1 p). Adunăm $k$ (întreg) în toți membrii: $$n+k\le x+k<n+k+1\text{(1,5 p)}.$$ Numărul $n+k$ este întreg (suma a doi întregi) (0,5 p), iar $x+k$ se află în intervalul $[n+k,n+k+1)$. Cum partea întreagă a unui număr este unicul întreg $p$ cu $p\le x+k<p+1$, rezultă $$[x+k]=n+k=[x]+k\text{(1 p)}.■$$

b) (2 p) $\left[\frac{x}{2}\right]=3⟺3\le \frac{x}{2}<4$ (1 p). Înmulțind cu $2>0$ (sensul se păstrează): $6\le x<8$, deci $S=[6,8)$ (1 p). Verificare: pentru $x=6$, $[3]=3$ ✓; pentru $x=8$, $[4]=4\ne 3$ ✗.

c) (2 p) Din definiția părții fracționare și din punctul a) (1 p): $$\{x+k\}=(x+k)-[x+k]=(x+k)-([x]+k)=x-[x]=\{x\}\text{(1 p)},$$ pentru orice $x$ real și orice $k$ întreg. Graficul funcției parte fracționară se repetă identic pe fiecare interval $[k,k+1)$ — este format din segmente paralele, „scara" caracteristică. $■$

Exercițiul 12. (9 p)

a) (3 p) Expresia de sub modul se anulează în $x=1$ (0,5 p): $$f(x)=\{\begin{array}{ll}(x-1)-2=x-3,& x\ge 1\\ -(x-1)-2=-x-1,& x<1\end{array}\text{(1,5 p)}$$ Graficul este un „V" cu vârful în $V(1,-2)$; ramura din dreapta trece prin $(3,0)$ și $(4,1)$, iar cea din stânga prin $(-1,0)$ și $(-2,1)$ (1 p).

b) (2 p) Cum $|x-1|\ge 0$, avem $f(x)\ge -2$, cu egalitate pentru $x=1$ (1 p). Orice valoare $y\ge -2$ este atinsă (de exemplu de $x=3+y$), deci $\mathrm{Im}f=[-2,+\infty )$ (1 p).

c) (4 p) Ecuația $f(x)=m$ se citește ca intersecție dintre graficul în „V" și dreapta orizontală $y=m$ (0,5 p). Din forma $|x-1|=m+2$ distingem trei cazuri:

• $m<-2$: membrul drept este negativ, imposibil pentru un modul — nicio soluție (orizontala trece sub vârful „V"-ului) (1 p);
• $m=-2$: $|x-1|=0$, deci $x=1$ — o singură soluție (orizontala atinge vârful) (1 p);
• $m>-2$: $x-1=m+2$ sau $x-1=-(m+2)$, deci $x=m+3$ și $x=-m-1$, două valori distincte — două soluții (orizontala taie ambele ramuri) (1,5 p).

Verificare pentru $m=0$: $x=3$ și $x=-1$, iar $f(3)=|2|-2=0$ ✓, $f(-1)=|-2|-2=0$ ✓.

Exercițiul 13. (8 p)

a) (2 p) $f(1)=|2\cdot 1-4|=|-2|=2$ și $f(3)=|2\cdot 3-4|=|2|=2$ (1 p), deci $f(1)+f(3)=4$ (1 p).

b) (3 p) Cum $6>0$, ecuația $|2x-4|=6$ se desface în două cazuri (1 p): $2x-4=6$, deci $x=5$; sau $2x-4=-6$, deci $2x=-2$ și $x=-1$ (1,5 p). Verificare: $|10-4|=6$ ✓ și $|-2-4|=|-6|=6$ ✓. Mulțimea soluțiilor este $\{-1,5\}$ (0,5 p).

c) (3 p) Calculăm (1,5 p): $$f(4-x)=|2(4-x)-4|=|8-2x-4|=|4-2x|=|-(2x-4)|=|2x-4|=f(x),$$ unde am folosit $|-t|=|t|$ (1 p). Interpretare geometrică: punctele $x$ și $4-x$ sunt simetrice față de $x=2$ (mijlocul lor este $\frac{x+(4-x)}{2}=2$), iar egalitatea arată că funcția ia valori egale în puncte simetrice față de $2$ — deci graficul este simetric față de dreapta verticală $x=2$, care trece prin vârful „V"-ului, $(2,0)$ (0,5 p). $■$

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică familia de proprietăți pe care programa de matematică-informatică le cere dincolo de trunchiul comun. Sunt evaluate patru direcții: egalitatea a două funcții, restricția și imaginea — elevul trebuie să știe că o funcție înseamnă domeniu, codomeniu și lege, și că schimbarea oricăruia dintre ele schimbă funcția; funcția modul — explicitarea pe ramuri, graficul în „V", ecuațiile și inecuațiile cu module, cu verificarea obligatorie a condițiilor de existență; partea întreagă și partea fracționară — încadrarea $[x]\le x<[x]+1$, care este cheia oricărei ecuații cu $[\cdot ]$; paritatea — verificarea algebrică a relației $f(-x)=f(x)$, respectiv $f(-x)=-f(x)$, și traducerea ei în simetria graficului. Ultima parte cere demonstrații redactate complet, așa cum se cer la Bacalaureatul M1: descompunerea unei funcții în parte pară și parte impară, proprietăți ale părții întregi și discuția, după parametru, a numărului de soluții ale unei ecuații cu modul.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La ecuațiile cu modul, soluțiile obținute prin ridicarea condiției de modul se verifică în ecuația inițială; soluțiile care nu trec verificarea se resping explicit. La itemii de tip „discută după $m$", răspunsul este complet doar dacă sunt tratate toate cazurile.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe explicitarea modulului pe ramuri și pe încadrarea părții întregi.
• Formule de reținut: modulul este $|x|=x$ pentru $x\ge 0$ și $|x|=-x$ pentru $x<0$; pentru orice $x$ real, $|x|\ge 0$, $|x|\ge x$, $|-x|=|x|$ și $\sqrt{x^2}=|x|$. Ecuația $|E(x)|=a$ are soluții doar dacă $a\ge 0$ și se scrie $E(x)=a$ sau $E(x)=-a$; inecuația $|E(x)|<a$ (cu $a>0$) este echivalentă cu $-a<E(x)<a$. Partea întreagă $[x]$ este cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu $x$; ea satisface $[x]\le x<[x]+1$, iar $[x]=k⟺x\in [k,k+1)$, pentru $k$ întreg. Partea fracționară este $\{x\}=x-[x]$ și verifică $0\le \{x\}<1$. Paritate: $f$ este pară dacă $f(-x)=f(x)$ pentru orice $x$ din domeniu (grafic simetric față de axa $Oy$) și impară dacă $f(-x)=-f(x)$ (grafic simetric față de origine); domeniul trebuie să fie simetric față de $0$. Mărginire: $f$ este mărginită dacă există $m$ și $M$ reale cu $m\le f(x)\le M$ pentru orice $x$ din domeniu.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".