Test: Puncte, drepte și plane în spațiu

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Puncte, drepte și plane. Paralelism în spațiu

Exerciții

Partea I – Notații și noțiuni de bază

Exercițiul 1 (4 puncte)

Scrie, folosind simboluri matematice, fiecare propoziție: a) punctul $A$ aparține dreptei $d$; b) dreapta $d$ este inclusă în planul $\alpha$; c) punctul $B$ nu aparține planului $\alpha$; d) planele $\alpha$ și $\beta$ se intersectează după dreapta $d$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Completează, astfel încât fiecare enunț să devină adevărat: a) O dreaptă este determinată de ______ puncte distincte. Un plan este determinat de: b) trei puncte ______; c) o dreaptă și un punct ______ ei; d) două drepte ______ sau două drepte ______.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Se consideră cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Precizează poziția relativă a fiecărei perechi de drepte (concurente, paralele sau necoplanare): a) $AB$ și $CD$; b) $AB$ și $AD$; c) $AB$ și $C{C}^{\prime }$; d) $B{B}^{\prime }$ și $D{D}^{\prime }$.

Exercițiul 4 (4 puncte)

Se consideră tot cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Dă câte un exemplu concret (cu vârfuri sau muchii ale cubului) pentru fiecare mod de determinare a unui plan: a) trei puncte necoliniare; b) o dreaptă și un punct exterior ei; c) două drepte concurente; d) două drepte paralele.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt: a) O dreaptă este determinată de un singur punct. b) Trei puncte oarecare determină întotdeauna un plan. c) Printr-o dreaptă și un punct exterior ei trece un singur plan. d) Două plane distincte care se intersectează au în comun o dreaptă.

Partea a II-a – Raționament și paralelism

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se consideră cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Determină măsura unghiului dintre dreptele: a) $AB$ și $C{C}^{\prime }$; b) $A{A}^{\prime }$ și $BD$; c) $AC$ și $A^{\prime }{C}^{\prime }$; d) $AB$ și $A^{\prime }{C}^{\prime }$.

Exercițiul 7 (6 puncte)

O cameră are forma unui paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: podeaua este $ABCD$, tavanul este $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, iar pereții sunt fețele laterale. a) Numește două plane paralele din cameră. b) Dă exemplu de o muchie paralelă cu planul podelei $(ABCD)$ și explică de ce este paralelă. c) Precizează poziția relativă a muchiei $A{A}^{\prime }$ (colțul unei camere) față de planul tavanului $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$.

Exercițiul 8 (6 puncte)

Se consideră cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. a) Arată că dreapta $AB$ este paralelă cu planul $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$. b) Enumeră toate muchiile cubului care sunt paralele cu planul $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.

Exercițiul 9 (6 puncte)

Se consideră paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. a) Scrie toate perechile de fețe (plane) paralele ale paralelipipedului. b) Câte astfel de perechi ai obținut?

Exercițiul 10 (6 puncte)

Se consideră cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia de lungime $a$. Se unesc vârfurile $A$, $C$ și $B^{\prime }$. a) Arată că triunghiul $A{B}^{\prime }C$ este echilateral. b) Determină măsura unghiului dintre dreptele $A{B}^{\prime }$ și $C{B}^{\prime }$.

Partea a III-a – Secțiuni și aplicații

Exercițiul 11 (7 puncte)

Un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ are muchia de $6$ cm. Un plan paralel cu baza $(ABCD)$ intersectează cele patru muchii laterale ($A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $D{D}^{\prime }$). a) Ce fel de patrulater este secțiunea obținută? Justifică. b) Calculează perimetrul secțiunii. c) Calculează aria secțiunii.

Exercițiul 12 (6 puncte)

Se consideră piramida patrulateră $VABCD$ cu baza pătratul $ABCD$ de latură $12$ cm. Fie $M$, $N$, $P$, $Q$ mijloacele muchiilor laterale $VA$, $VB$, $VC$, respectiv $VD$. Planul $(MNPQ)$ este paralel cu baza. a) Ce fel de patrulater este secțiunea $MNPQ$? b) Determină latura secțiunii. c) Calculează aria secțiunii.

Exercițiul 13 (6 puncte)

Se consideră tetraedrul (piramida triunghiulară) $VABC$. Fie $M$ mijlocul muchiei $VA$ și $N$ mijlocul muchiei $VB$. Arată că dreapta $MN$ este paralelă cu planul $(ABC)$.

Exercițiul 14 (6 puncte)

Se consideră patru puncte $A$, $B$, $C$, $D$ care nu sunt coplanare, dintre care oricare trei sunt necoliniare (vârfurile unui tetraedru). a) Câte drepte distincte sunt determinate de aceste patru puncte? Numește-le. b) Câte plane distincte sunt determinate de aceste patru puncte? Numește-le.

Partea a IV-a – Sinteză

Exercițiul 15 (6 puncte)

Se consideră cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Pentru dreptele $A^{\prime }{B}^{\prime }$ și $C{C}^{\prime }$: a) precizează poziția relativă a celor două drepte; b) determină măsura unghiului dintre ele; c) dă exemplu de o dreaptă (muchie a cubului) paralelă cu $A^{\prime }{B}^{\prime }$.

Exercițiul 16 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică (la cele false, dă un contraexemplu, de preferință dintr-un cub): a) Dacă $a\parallel b$ și $b\parallel c$, atunci $a\parallel c$. b) Două drepte care nu au niciun punct comun sunt paralele. c) Două drepte paralele determină un plan. d) Dacă o dreaptă este paralelă cu un plan, atunci ea este paralelă cu orice dreaptă din acel plan.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1 · 4 puncte — câte 1 p pentru fiecare notație corectă. a) $A\in d$; b) $d\subset \alpha$; c) $B\notin \alpha$; d) $\alpha \cap \beta =d$.

Exercițiul 2 · 5 puncte — a) 1 p; b)–d) câte 1 p, ultima poziție (paralele/concurente) 1 p. a) două puncte distincte; b) trei puncte necoliniare; c) o dreaptă și un punct exterior (nesituat pe) ei; d) două drepte concurente sau două drepte paralele.

Exercițiul 3 · 5 puncte — a) 1 p; b)–d) câte punctele pentru fiecare răspuns corect (total 5 p). a) $AB$ și $CD$ sunt laturi opuse ale pătratului $ABCD$ $\Rightarrow$ paralele. b) $AB$ și $AD$ au punctul comun $A$ $\Rightarrow$ concurente. c) $AB$ și $C{C}^{\prime }$ nu au niciun punct comun și nu sunt paralele (nu sunt în același plan) $\Rightarrow$ necoplanare. d) $B{B}^{\prime }$ și $D{D}^{\prime }$ sunt muchii verticale $\Rightarrow$ paralele.

Exercițiul 4 · 4 puncte — câte 1 p pentru fiecare exemplu valid (se acceptă și alte exemple corecte). a) trei puncte necoliniare: $A$, $B$, $C$ (determină planul bazei $(ABC)$); b) o dreaptă și un punct exterior: dreapta $AB$ și punctul $C$ (care nu se află pe $AB$); c) două drepte concurente: $AB$ și $AD$ (concurente în $A$); d) două drepte paralele: $AB$ și $DC$.

Exercițiul 5 · 5 puncte — a) 1 p; b)–d) câte puncte pentru literă + justificare (total 5 p). a) F. Printr-un singur punct trec o infinitate de drepte; este nevoie de două puncte distincte. b) F. Dacă cele trei puncte sunt coliniare, ele nu determină un plan (unic); e nevoie ca ele să fie necoliniare. c) A. O dreaptă și un punct exterior ei determină un unic plan. d) A. Intersecția a două plane distincte care se taie este o dreaptă.

Exercițiul 6 · 6 puncte — câte punctele pentru fiecare unghi (total 6 p). a) $AB$ este orizontală, $C{C}^{\prime }$ este verticală $\Rightarrow$ $90^{\circ }$. b) $A{A}^{\prime }$ este verticală (perpendiculară pe bază), iar $BD\subset (ABCD)$ este orizontală $\Rightarrow$ $90^{\circ }$. c) $AC\parallel A^{\prime }{C}^{\prime }$ (diagonale ale fețelor paralele $ABCD$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$), deci dreptele sunt paralele $\Rightarrow$ unghiul este $0^{\circ }$. d) Cum $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$, unghiul dintre $AB$ și $A^{\prime }{C}^{\prime }$ este egal cu unghiul $\angle B^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }$ din pătratul $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, adică unghiul dintre o latură și diagonală $\Rightarrow$ $45^{\circ }$.

Exercițiul 7 · 6 puncte — a) 2 p; b) 2 p; c) 2 p. a) De exemplu podeaua $(ABCD)$ și tavanul $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ sunt plane paralele (se acceptă și pereți opuși, ex. $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\parallel (DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$). b) De exemplu muchia $A^{\prime }{B}^{\prime }$ (a tavanului): $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$, iar $AB\subset (ABCD)$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }\not\subset (ABCD)$, deci $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel (ABCD)$. c) $A{A}^{\prime }$ „înțeapă" tavanul în $A^{\prime }$, deci are un punct comun cu planul $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ (dreapta este secantă, îl intersectează în $A^{\prime }$; nu este paralelă cu tavanul).

Exercițiul 8 · 6 puncte — a) 3 p; b) 3 p. a) $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$ (muchii opuse ale feței $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$); cum $A^{\prime }{B}^{\prime }\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ și $AB\not\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, rezultă $AB\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ (o dreaptă paralelă cu o dreaptă din plan și nesituată în plan este paralelă cu planul). b) Muchiile paralele cu planul $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ sunt cele patru muchii ale feței opuse $DC{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: $DC$, $C{C}^{\prime }$, $C^{\prime }{D}^{\prime }$ și $D{D}^{\prime }$. (Ex.: $DC\parallel AB\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$; $D{D}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.)

Exercițiul 9 · 6 puncte — câte 1,5 p pe fiecare pereche corectă; b) inclus. a) Perechile de fețe paralele sunt: $(ABCD)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$; $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\parallel (DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$; $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })\parallel (AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$. b) Sunt 3 perechi de plane paralele.

Exercițiul 10 · 6 puncte — a) 4 p; b) 2 p. a) $A{B}^{\prime }$ este diagonala feței $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, $C{B}^{\prime }$ este diagonala feței $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, iar $AC$ este diagonala feței (bazei) $ABCD$. Toate fețele sunt pătrate congruente de latură $a$, deci fiecare diagonală are lungimea $a\sqrt{2}$: $$A{B}^{\prime }=C{B}^{\prime }=AC=a\sqrt{2}.$$ Cele trei laturi fiind egale, triunghiul $A{B}^{\prime }C$ este echilateral. b) Într-un triunghi echilateral toate unghiurile au $60^{\circ }$, deci unghiul dintre dreptele $A{B}^{\prime }$ și $C{B}^{\prime }$ este $\angle A{B}^{\prime }C=60^{\circ }$.

Exercițiul 11 · 7 puncte — a) 3 p; b) 2 p; c) 2 p. a) O secțiune paralelă cu baza într-un cub (prismă) este congruentă cu baza, deci secțiunea este un pătrat de latură $6$ cm (egală cu latura bazei). b) Perimetrul: $P=4\cdot 6=24$ cm. c) Aria: $\mathcal{A}=6^2=36{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 12 · 6 puncte — a) 2 p; b) 2 p; c) 2 p. a) Secțiunea $MNPQ$ este un pătrat (secțiune paralelă cu baza pătrată, asemenea cu ea). b) $M$, $N$, $P$, $Q$ sunt mijloacele muchiilor laterale, deci raportul de asemănare față de bază este $\frac{1}{2}$. Latura: $\frac{12}{2}=6$ cm. c) Aria: $\mathcal{A}=6^2=36{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 13 · 6 puncte $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $VA$, respectiv $VB$ ale triunghiului $VAB$, deci $MN$ este linie mijlocie în triunghiul $VAB$ $\Rightarrow$ $MN\parallel AB$ (3 p). Cum $AB\subset (ABC)$ și $MN\not\subset (ABC)$, rezultă că $MN\parallel (ABC)$ (dreapta $MN$ e paralelă cu o dreaptă din plan și nu e conținută în plan) (3 p).

Exercițiul 14 · 6 puncte — a) 3 p; b) 3 p. a) Fiecare pereche de puncte distincte determină o dreaptă; enumerăm toate perechile: $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$ — deci 6 drepte (muchiile tetraedrului). b) Fiecare grup de trei puncte determină un plan (orice trei dintre ele sunt necoliniare); enumerăm toate grupele de câte trei: $(ABC)$, $(ABD)$, $(ACD)$, $(BCD)$ — deci 4 plane (fețele tetraedrului).

Exercițiul 15 · 6 puncte — a) 2 p; b) 2 p; c) 2 p. a) $A^{\prime }{B}^{\prime }$ și $C{C}^{\prime }$ nu au niciun punct comun și nu sunt paralele $\Rightarrow$ necoplanare. b) $A^{\prime }{B}^{\prime }$ este orizontală (muchie a feței de sus), $C{C}^{\prime }$ este verticală $\Rightarrow$ unghiul dintre ele este $90^{\circ }$. c) O muchie paralelă cu $A^{\prime }{B}^{\prime }$: $AB$ (se acceptă și $DC$ sau $D^{\prime }{C}^{\prime }$).

Exercițiul 16 · 6 puncte — câte punctele pentru fiecare literă (valoare + justificare). a) A. Paralelismul dreptelor este tranzitiv: dacă $a\parallel b$ și $b\parallel c$, atunci $a\parallel c$. b) F. Ele pot fi și necoplanare (necoplanare = fără punct comun, dar nu în același plan). Contraexemplu: în cub, $AB$ și $C{C}^{\prime }$ nu au punct comun, dar nu sunt paralele. c) A. Două drepte paralele sunt coplanare și determină un unic plan. d) F. Dreapta este paralelă doar cu anumite drepte din plan (cele de aceeași direcție); față de altele poate fi necoplanară. Contraexemplu: $AB\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, dar $AB$ și $B^{\prime }{C}^{\prime }$ (dreaptă din acel plan) sunt necoplanare, nu paralele.

Recomandare: dacă elevul greșește la itemii 3, 6 sau 15, reluați clasificarea pozițiilor relative a două drepte (concurente / paralele / necoplanare) și modul de calcul al unghiului dintre drepte (se „mută" una dintre drepte paralel cu ea însăși până devine concurentă cu cealaltă). Pentru itemii 8, 11, 12 și 13, exersați criteriul de paralelism dreaptă–plan și proprietatea secțiunilor paralele cu baza.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică primele noțiuni de geometrie în spațiu: convențiile de notare și reprezentare a punctelor, dreptelor și planelor, determinarea dreptei (prin două puncte) și determinarea planului (prin trei puncte necoliniare; o dreaptă și un punct exterior ei; două drepte concurente; două drepte paralele), relațiile de apartenență și de incluziune ($\in$, $\notin$, $\subset$, $\cap$), pozițiile relative a două drepte în spațiu (concurente, paralele, necoplanare), unghiul a două drepte în spațiu, precum și dreapta paralelă cu un plan, plane paralele și secțiuni paralele cu baza în corpurile geometrice. Este potrivit pentru consolidare în an de Evaluare Națională.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe o foaie separată; pentru itemii cu figură se recomandă schițarea unui cub sau paralelipiped „în perspectivă", cu muchiile ascunse desenate punctat. La final, comparați rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea noțiunilor din unitate.
• Reamintim convențiile: punctele se notează cu litere mari ($A$, $B$), dreptele cu litere mici ($d$, $a$) sau prin două puncte ($AB$), iar planele cu litere grecești ($\alpha$, $\beta$) sau prin trei puncte necoliniare ($(ABC)$).

Notă: marcajele 🖼️ [Imagine: ...] descriu figura ce însoțește itemul; elevul o poate schița după descriere.