Test: Rădăcina pătrată a pătratului unui număr

Clasa a VII-a · Matematică · Unitatea „Rădăcina pătrată. Estimări și aproximări"

Exerciții

Exercițiul 1 — Recunoașterea pătratelor perfecte (7 puncte)

Se dă lista de numere naturale: $$36,45,100,121,150,196,200,225,250,289,324.$$

Scrie numai pătratele perfecte din listă. Pentru fiecare pătrat perfect, indică numărul natural al cărui pătrat este (de exemplu $36=6^2$).

Exercițiul 2 — Rădăcina pătrată a unui pătrat perfect (6 puncte)

Calculează:

a) $\sqrt{0}$
b) $\sqrt{81}$
c) $\sqrt{169}$
d) $\sqrt{400}$
e) $\sqrt{625}$
f) $\sqrt{1225}$

Exercițiul 3 — Relația $\sqrt{a^2}=a$ pentru numere naturale (5 puncte)

Calculează, folosind legătura dintre pătrat și rădăcină:

a) $\sqrt{6^2}$
b) $\sqrt{11^2}$
c) ${\left(\sqrt{30}\right)}^2$
d) $\sqrt{100^2}$

Exercițiul 4 — $\sqrt{a^2}=|a|$ pentru numere negative (7 puncte)

Calculează, având grijă la semn:

a) $\sqrt{(-4{)}^2}$
b) $\sqrt{(-13{)}^2}$
c) $\sqrt{(-0,5{)}^2}$
d) $\sqrt{(-20{)}^2}$
e) $-\sqrt{(-9{)}^2}$

Exercițiul 5 — Adevărat / Fals cu motivare (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și motivează în una–două propoziții:

a) $\sqrt{a^2}=a$ pentru orice număr real $a$.
b) $\sqrt{a^2}=|a|$ pentru orice număr real $a$.
c) $\sqrt{(-7{)}^2}=-7$.
d) Dacă $a\ge 0$, atunci $\sqrt{a^2}=a$.

Exercițiul 6 — Tabel: pătrat, rădăcină, modul (7 puncte)

Copiază și completează tabelul. Observă, pe fiecare linie, egalitatea $\sqrt{a^2}=|a|$.

| $a$ | $a^2$ | $\sqrt{a^2}$ | $|a|$ | |:---:|:---:|:---:|:---:| | $5$ | | | | | $-8$ | | | | | $0$ | | | | | $-2,5$ | | | | | $11$ | | | | | $-11$ | | | |

Exercițiul 7 — Expresii în care semnul contează (5 puncte)

Calculează:

a) $\sqrt{(-12{)}^2}+\sqrt{5^2}$
b) $\sqrt{(-9{)}^2}-\left|-4\right|$
c) $\sqrt{(-0,6{)}^2}+\sqrt{(0,8{)}^2}$

Exercițiul 8 — Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate (6 puncte)

Folosind algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate, arată că numerele următoare sunt pătrate perfecte și extrage rădăcina:

a) $\sqrt{1369}$
b) $\sqrt{2916}$
c) $\sqrt{5041}$

(Verifică rezultatul prin ridicare la pătrat.)

Exercițiul 9 — Încadrarea între numere naturale consecutive (5 puncte)

Pentru fiecare număr, precizează între ce două numere naturale consecutive se află rădăcina, justificând prin ridicare la pătrat:

a) $\sqrt{50}$
b) $\sqrt{83}$
c) $\sqrt{130}$

Exercițiul 10 — Aproximare prin lipsă și prin adaos (5 puncte)

Se consideră numărul $\sqrt{30}$.

a) Între ce două numere naturale consecutive se află $\sqrt{30}$? Justifică prin ridicare la pătrat.
b) Scrie aproximarea prin lipsă și prin adaos, cu o zecimală.
c) Dă o valoare aproximativă a lui $\sqrt{30}$ cu două zecimale.

Exercițiul 11 — Ecuații de tip $x^2=a$ (5 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{R}$, precizând de fiecare dată câte soluții reale există:

a) $x^2=49$
b) $x^2=144$
c) $x^2=0$
d) $x^2=-25$
e) $x^2=10$

Exercițiul 12 — Problemă aplicată: placă pătrată (3 puncte)

O placă pătrată de gresie are aria de $169{\text{cm}}^2$.

a) Calculează lungimea laturii plăcii.
b) Calculează perimetrul plăcii.

Exercițiul 13 — Geometrie: ipotenuza unui triunghi dreptunghic (6 puncte)

Un triunghi dreptunghic are catetele de $9$ cm și $12$ cm.

a) Calculează lungimea ipotenuzei, folosind teorema lui Pitagora.
b) Este lungimea ipotenuzei un număr natural? Justifică.
c) Calculează perimetrul triunghiului.

Exercițiul 14 — $\sqrt{a^2}=|a|$ cu expresii cu radical (5 puncte)

Scrie mai simplu, ținând cont de semnul expresiei din interior (fără calculator, folosind estimări):

a) $\sqrt{{\left(\sqrt{5}-3\right)}^2}$
b) $\sqrt{{\left(\sqrt{7}-2\right)}^2}$
c) $\sqrt{{\left(2-\sqrt{10}\right)}^2}$

Exercițiul 15 — Raționament cu contraexemplu (4 puncte)

Un elev scrie pe tablă: „$\sqrt{a^2}=a$ pentru orice număr $a$."

a) Este afirmația corectă întotdeauna? Dă un contraexemplu numeric.
b) Scrie forma corectă și completă a relației.

Exercițiul 16 — Ce nu poate fi pătrat perfect (4 puncte)

Se dau numerele: $$1024,2023,4356,6857,9801.$$

Folosind observația despre ultima cifră a unui pătrat perfect, stabilește care numere nu pot fi pătrate perfecte și justifică. Pentru celelalte, arată că sunt pătrate perfecte, indicând rădăcina.

Exercițiul 17 — Calcul cu rădăcini de pătrate (4 puncte)

Calculează valoarea expresiei: $$E=\sqrt{(-15{)}^2}-\sqrt{8^2}+\sqrt{(-0,2{)}^2}.$$

Barem și răspunsuri

Punctaj: 17 itemi = 90 p + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1 (7 p)

Pătrate perfecte (câte 1 p pe număr corect identificat): $$36=6^2,100=10^2,121=11^2,196=14^2,225=15^2,289=17^2,324=18^2.$$ Nu sunt pătrate perfecte: $45$, $150$, $200$, $250$.

Exercițiul 2 (6 p — câte 1 p)

a) $\sqrt{0}=0$
b) $\sqrt{81}=9$
c) $\sqrt{169}=13$
d) $\sqrt{400}=20$
e) $\sqrt{625}=25$
f) $\sqrt{1225}=35$ (deoarece $35^2=1225$)

Exercițiul 3 (5 p)

a) $\sqrt{6^2}=6$
b) $\sqrt{11^2}=11$
c) ${\left(\sqrt{30}\right)}^2=30$
d) $\sqrt{100^2}=100$

Explicație: ridicarea la pătrat și extragerea rădăcinii pătrate sunt operații inverse pentru numere nenegative.

Exercițiul 4 (7 p)

a) $\sqrt{(-4{)}^2}=\sqrt{16}=4=|-4|$ (1,5 p)
b) $\sqrt{(-13{)}^2}=\sqrt{169}=13$ (1,5 p)
c) $\sqrt{(-0,5{)}^2}=\sqrt{0,25}=0,5$ (1,5 p)
d) $\sqrt{(-20{)}^2}=\sqrt{400}=20$ (1,5 p)
e) $-\sqrt{(-9{)}^2}=-\sqrt{81}=-9$ (1 p)

Idee: $\sqrt{a^2}=|a|$, deci rezultatul este întotdeauna nenegativ; semnul „minus" din exterior (punctul e) se păstrează.

Exercițiul 5 (6 p — câte 1,5 p)

a) F — este adevărat doar pentru $a\ge 0$; pentru $a<0$, $\sqrt{a^2}=-a$ (ex.: $\sqrt{(-3{)}^2}=3\ne -3$).
b) A — aceasta este relația corectă, valabilă pentru orice $a\in \mathbb{R}$.
c) F — $\sqrt{(-7{)}^2}=\sqrt{49}=7$, nu $-7$ (rezultatul rădăcinii este nenegativ).
d) A — pentru $a\ge 0$ avem $|a|=a$, deci $\sqrt{a^2}=a$.

Exercițiul 6 (7 p)

| $a$ | $a^2$ | $\sqrt{a^2}$ | $|a|$ | |:---:|:---:|:---:|:---:| | $5$ | $25$ | $5$ | $5$ | | $-8$ | $64$ | $8$ | $8$ | | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ | | $-2,5$ | $6,25$ | $2,5$ | $2,5$ | | $11$ | $121$ | $11$ | $11$ | | $-11$ | $121$ | $11$ | $11$ |

(Câte ~1,15 p pe linie completă corect.) Se observă că pe fiecare linie $\sqrt{a^2}=|a|$, iar $a=11$ și $a=-11$ dau același rezultat.

Exercițiul 7 (5 p)

a) $\sqrt{(-12{)}^2}+\sqrt{5^2}=12+5=17$ (2 p)
b) $\sqrt{(-9{)}^2}-\left|-4\right|=9-4=5$ (1,5 p)
c) $\sqrt{(-0,6{)}^2}+\sqrt{(0,8{)}^2}=0,6+0,8=1,4$ (1,5 p)

Exercițiul 8 (6 p — câte 2 p)

a) $\sqrt{1369}=37$, deoarece $37^2=1369$.
b) $\sqrt{2916}=54$, deoarece $54^2=2916$.
c) $\sqrt{5041}=71$, deoarece $71^2=5041$.

(Se acordă punctajul dacă elevul aplică algoritmul pe grupe de câte două cifre și verifică prin ridicare la pătrat.)

Exercițiul 9 (5 p)

a) $7^2=49<50<64=8^2\Rightarrow 7<\sqrt{50}<8$ (mai aproape de $7$). (~1,7 p)
b) $9^2=81<83<100=10^2\Rightarrow 9<\sqrt{83}<10$. (~1,7 p)
c) $11^2=121<130<144=12^2\Rightarrow 11<\sqrt{130}<12$. (~1,6 p)

Exercițiul 10 (5 p)

a) $5^2=25<30<36=6^2\Rightarrow 5<\sqrt{30}<6$. (2 p)
b) $5,4^2=29,16<30$ și $5,5^2=30,25>30\Rightarrow 5,4<\sqrt{30}<5,5$: aproximare prin lipsă $5,4$, prin adaos $5,5$. (2 p)
c) $\sqrt{30}\approx 5,48$. (1 p)

Exercițiul 11 (5 p)

a) $x^2=49\Rightarrow x=\pm 7$ (două soluții reale). (1 p)
b) $x^2=144\Rightarrow x=\pm 12$ (două soluții reale). (1 p)
c) $x^2=0\Rightarrow x=0$ (o singură soluție). (1 p)
d) $x^2=-25$ — nicio soluție reală (un pătrat nu poate fi negativ). (1 p)
e) $x^2=10\Rightarrow x=\pm \sqrt{10}$ (două soluții reale, iraționale). (1 p)

Exercițiul 12 (3 p)

a) latura $=\sqrt{169}=13$ cm. (2 p)
b) perimetrul $=4\cdot 13=52$ cm. (1 p)

Exercițiul 13 (6 p)

a) Cu teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ cm. (3 p)
b) Da, $15$ este număr natural, deoarece $225$ este pătrat perfect ($225=15^2$). (1,5 p)
c) perimetrul $=9+12+15=36$ cm. (1,5 p)

Exercițiul 14 (5 p)

a) $\sqrt{5}\approx 2,24<3\Rightarrow \sqrt{5}-3<0$, deci $\sqrt{{\left(\sqrt{5}-3\right)}^2}=\left|\sqrt{5}-3\right|=3-\sqrt{5}$. *(1,7 p)*
b) $\sqrt{7}\approx 2,65>2\Rightarrow \sqrt{7}-2>0$, deci $\sqrt{{\left(\sqrt{7}-2\right)}^2}=\sqrt{7}-2$. (1,7 p)
c) $\sqrt{10}\approx 3,16>2\Rightarrow 2-\sqrt{10}<0$, deci $\sqrt{{\left(2-\sqrt{10}\right)}^2}=\left|2-\sqrt{10}\right|=\sqrt{10}-2$. (1,6 p)

Exercițiul 15 (4 p)

a) Nu este corectă întotdeauna. Contraexemplu: pentru $a=-3$, $\sqrt{(-3{)}^2}=\sqrt{9}=3\ne -3$. (2 p)
b) Forma corectă: $\sqrt{a^2}=|a|$ pentru orice $a\in \mathbb{R}$ (egal cu $a$ dacă $a\ge 0$ și cu $-a$ dacă $a<0$). (2 p)

Exercițiul 16 (4 p)

Un pătrat perfect nu se poate termina în cifrele $2,3,7,8$.

• $2023$ se termină în $3$ $\Rightarrow$ nu este pătrat perfect. (1 p)
• $6857$ se termină în $7$ $\Rightarrow$ nu este pătrat perfect. (1 p)
• $1024=32^2$ — pătrat perfect. (0,7 p)
• $4356=66^2$ — pătrat perfect. (0,7 p)
• $9801=99^2$ — pătrat perfect. (0,6 p)

Exercițiul 17 (4 p)

$$E=\sqrt{(-15{)}^2}-\sqrt{8^2}+\sqrt{(-0,2{)}^2}=15-8+0,2=7,2.$$

(Câte ~1,3 p pe termen corect, cu rezultat final $7,2$.)

Total: 90 p (itemi) + 10 p (oficiu) = 100 p.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică dacă elevul recunoaște pătratele perfecte, calculează corect rădăcina pătrată a unui pătrat perfect, aplică relația fundamentală dintre puterea cu exponent $2$ și rădăcina pătrată — $\sqrt{a^2}=a$ pentru numere naturale și, mai general, $\sqrt{a^2}=|a|$ pentru orice număr real (inclusiv cazul numerelor negative) — și folosește estimarea și aproximarea (prin lipsă și prin adaos) pentru rădăcini care nu sunt numere întregi.

• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Punctaj total: 100 de puncte, dintre care 10 puncte din oficiu. Cele 17 cerințe însumează 90 de puncte.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, cu calcule scrise. Se punctează raționamentul acolo unde cerința cere „justifică", „arată că" sau „motivează". La itemii de geometrie se recomandă realizarea unei figuri.
• Interpretarea notei (aproximativ): 90–100 p → foarte bine; 70–89 p → bine; 45–69 p → satisfăcător; sub 45 p → se reia unitatea.

Notație folosită: $a^2$ este pătratul (puterea a doua) a lui $a$; $\sqrt{a}$ este rădăcina pătrată a lui $a\ge 0$; $|a|$ este modulul (valoarea absolută) a lui $a$. Relația-cheie a testului: $\sqrt{a^2}=|a|$.