Test: Radicali, funcția putere și ecuații cu radicali

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Funcția radical și funcții obținute prin operații

Exerciții

Partea I – Funcția putere și calcule cu radicali

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Domeniul maxim de definiție al funcției putere cu exponent întreg $f(x)=x^{-3}$ este: A. $\mathbb{R}$; B. $\mathbb{R}\setminus \{0\}$; C. $(0,+\infty )$; D. $[0,+\infty )$.

b) Valoarea numărului $\sqrt[3]{-27}$ este: A. $-3$; B. $3$; C. $\pm 3$; D. nu există în $\mathbb{R}$.

c) După raționalizarea numitorului, fracția $\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ devine: A. $\sqrt{5}+2$; B. $\sqrt{5}-2$; C. $\frac{\sqrt{5}+2}{9}$; D. $\frac{\sqrt{5}+2}{3}$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4$ și $g(x)=x^5$. a) Stabilește paritatea fiecăreia dintre cele două funcții, justificând prin calcul. (2 p) b) Precizează intervalele de monotonie ale fiecăreia. (2 p) c) Care dintre cele două funcții este injectivă pe $\mathbb{R}$? Justifică răspunsul, dând un contraexemplu pentru cealaltă. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „$\sqrt{a^2}=a$ pentru orice număr real $a$." b) „$\sqrt[3]{a^3}=a$ pentru orice număr real $a$." c) „$\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$ pentru orice numere reale $a$ și $b$." d) „Ecuația $\sqrt{f(x)}=g(x)$ este echivalentă cu $f(x)=(g(x){)}^2$, oricare ar fi funcțiile $f$ și $g$."

Exercițiul 4 (6 puncte)

Calculează, aducând rezultatul la forma cea mai simplă (câte 2 puncte): a) $\sqrt{50}-\sqrt{18}+\sqrt{8}$; b) $\left(2\sqrt{3}-1\right)\left(2\sqrt{3}+1\right)$; c) $\sqrt[3]{24}-\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{3}$.

Partea a II-a – Conjugate, funcția putere ca funcție inversabilă, radicalul de ordinul 3

Exercițiul 5 (8 puncte)

a) Raționalizează numitorul fracției $\frac{6}{\sqrt{7}+2}$. (3 p) b) Raționalizează numitorul fracției $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$. (3 p) c) Arată că $\sqrt{4+2\sqrt{3}}=1+\sqrt{3}$. (2 p)

Exercițiul 6 (8 puncte)

a) Arată că funcția $f:[0,+\infty )\to [0,+\infty )$, $f(x)=x^2$, este bijectivă. (3 p) b) Precizează inversa funcției $f$ și explică ce legătură are acest rezultat cu funcția radical de ordin 2. (2 p) c) Arată că funcția $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^3$, este bijectivă și precizează inversa ei. De ce nu a fost nevoie, aici, să restrângem domeniul? (3 p)

Exercițiul 7 (7 puncte)

Se consideră funcția $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $h(x)=\sqrt[3]{x-1}$. a) Explică de ce domeniul maxim de definiție este $\mathbb{R}$, spre deosebire de cazul radicalului de ordin 2. (2 p) b) Calculează $h(-7)$, $h(1)$, $h(9)$ și $h(28)$. (3 p) c) Rezolvă ecuația $h(x)=-3$. (2 p)

Exercițiul 8 (7 puncte)

Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $$\sqrt{x+7}=x-5.$$ a) Scrie condițiile pe care trebuie să le îndeplinească $x$ (existența radicalului și semnul membrului drept). (2 p) b) Ridică la pătrat și rezolvă ecuația de gradul al doilea obținută. (3 p) c) Verifică fiecare valoare găsită în ecuația inițială și precizează care este soluție și care este soluție străină. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Rezolvă în mulțimea numerelor reale inecuația $$\sqrt{2x-3}<3.$$ a) Scrie condiția de existență a radicalului. (2 p) b) Justifică echivalența folosită și rezolvă inecuația obținută. (2 p) c) Scrie mulțimea soluțiilor ca interval și verifică pe câte o valoare din interior și de la capăt. (2 p)

Partea a III-a – Ecuații cu radicali, demonstrații și item de tip examen

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Rezolvă în mulțimea numerelor reale: a) ecuația $\sqrt{x+6}=x$, discutând explicit soluțiile străine; (4 p) b) ecuația $x-5\sqrt{x}+6=0$, folosind substituția $t=\sqrt{x}$. (4 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3$. a) Demonstrează că $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. (5 p) b) Deduce că $f$ este injectivă. (3 p)

(Indicație pentru a): folosește descompunerea $b^3-a^3=(b-a)\left(b^2+ab+a^2\right)$ și arată că al doilea factor este strict pozitiv atunci când $a$ și $b$ nu sunt simultan nule.)

Exercițiul 12 (6 puncte)

Rezolvă în mulțimea numerelor reale inecuația $$\sqrt{x+3}>x+1.$$ a) Scrie condiția de existență și explică de ce rezolvarea cere o discuție pe cazuri, după semnul membrului drept. (2 p) b) Rezolvă cazul $x+1<0$. (1 p) c) Rezolvă cazul $x+1\ge 0$. (2 p) d) Scrie mulțimea soluțiilor și verifică pe două valori. (1 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră funcția $f:[3,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x-3}$. a) Calculați $f(4)+f(12)+f(28)$. (2 p) b) Arătați că funcția $f$ este strict crescătoare pe $[3,+\infty )$. (2 p) c) Determinați numerele reale $x$ pentru care $f(x)=x-5$. (4 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B. Exponentul întreg negativ înseamnă, prin definiție, $x^{-3}=\frac{1}{x^3}$, iar fracția are sens doar dacă numitorul este nenul: $x^3\ne 0⟺x\ne 0$. Deci $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$. (Pentru exponent întreg pozitiv, în schimb, domeniul este întreg $\mathbb{R}$.) b) A. Radicalul de ordin impar este definit pentru orice număr real și păstrează semnul argumentului: $\sqrt[3]{-27}=-3$, pentru că $(-3{)}^3=-27$. Rezultatul este unic, deci varianta $\pm 3$ este greșită. c) A. Amplificăm cu conjugatul numitorului: $$\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2.$$ Control numeric: $\sqrt{5}\approx 2,236$, deci membrul stâng este $\frac{1}{0,236}\approx 4,24$, iar membrul drept $\approx 4,24$ ✓.

Exercițiul 2. (6 p)

a) (2 p) $f(-x)=(-x{)}^4=x^4=f(x)$, deci $f$ este pară (graficul este simetric față de axa $Oy$) (1 p). $g(-x)=(-x{)}^5=-x^5=-g(x)$, deci $g$ este impară (graficul este simetric față de origine) (1 p).

b) (2 p) $f(x)=x^4$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,0]$ și strict crescătoare pe $[0,+\infty )$, cu minimul $0$ atins în $x=0$ (1 p). $g(x)=x^5$ este strict crescătoare pe tot $\mathbb{R}$ (1 p).

c) (2 p) Injectivă este $g$: fiind strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, nu poate lua aceeași valoare de două ori (1 p). Funcția $f$ nu este injectivă: $f(-1)=(-1{)}^4=1=1^4=f(1)$, deși $-1\ne 1$ (1 p). (Regula generală: puterea cu exponent par nu este injectivă pe $\mathbb{R}$, cea cu exponent impar este.)

Exercițiul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Corect este $\sqrt{a^2}=|a|$. Contraexemplu: $a=-7$ dă $\sqrt{49}=7\ne -7$. Radicalul de ordin par este întotdeauna nenegativ. b) A. Radicalul de ordin impar este definit pe tot $\mathbb{R}$ și este inversa funcției $x\mapsto x^3$, care este bijectivă pe $\mathbb{R}$. Verificare pe un caz negativ: $\sqrt[3]{(-4{)}^3}=\sqrt[3]{-64}=-4$ ✓. Aici nu apare modulul, tocmai pentru că puterea impară păstrează semnul. c) F. Proprietatea cere $a\ge 0$ și $b\ge 0$. Contraexemplu: pentru $a=b=-4$, membrul drept este $\sqrt{16}=4$, dar membrul stâng nu are sens în $\mathbb{R}$, fiindcă $\sqrt{-4}$ nu există. d) F. Lipsește condiția de semn $g(x)\ge 0$. Echivalența corectă este $\sqrt{f(x)}=g(x)⟺f(x)=(g(x){)}^2$ și $g(x)\ge 0$. Fără ea apar soluții străine: de exemplu, ecuația $\sqrt{x+7}=x-5$ conduce, după ridicare la pătrat, la valoarea $x=2$, care nu verifică ecuația inițială ($3\ne -3$).

Exercițiul 4. (6 p) — câte 2 puncte. a) Scoatem factorii de sub radical: $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$, $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$, $\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$. Deci $$\sqrt{50}-\sqrt{18}+\sqrt{8}=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}.$$ b) Este produsul a două expresii conjugate: ${\left(2\sqrt{3}\right)}^2-1^2=4\cdot 3-1=11$. c) $\sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{8\cdot 3}=2\sqrt[3]{3}$ și $\sqrt[3]{81}=\sqrt[3]{27\cdot 3}=3\sqrt[3]{3}$, deci $$2\sqrt[3]{3}-3\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{3}=0.$$ (La radicalul de ordin 3 se scot cuburile perfecte: $8$, $27$, $64$, …)

Exercițiul 5. (8 p)

a) (3 p) Amplificăm cu conjugatul $\sqrt{7}-2$ (1 p): $$\frac{6}{\sqrt{7}+2}=\frac{6\left(\sqrt{7}-2\right)}{\left(\sqrt{7}+2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)}=\frac{6\left(\sqrt{7}-2\right)}{7-4}=\frac{6\left(\sqrt{7}-2\right)}{3}=2\sqrt{7}-4.$$ (2 p) Control numeric: $\sqrt{7}\approx 2,646$, deci ambii membri valorează aproximativ $1,29$ ✓.

b) (3 p) Amplificăm cu conjugatul numitorului, $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ (1 p): $$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}^2}{{\left(\sqrt{5}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{5+2\sqrt{15}+3}{5-3}=\frac{8+2\sqrt{15}}{2}=4+\sqrt{15}.$$ (2 p) Control numeric: $\sqrt{15}\approx 3,873$, deci rezultatul este $\approx 7,873$, la fel ca fracția inițială ✓.

c) (2 p) Ambii membri sunt numere pozitive, deci egalitatea este echivalentă cu egalitatea pătratelor (0,5 p): $${\left(1+\sqrt{3}\right)}^2=1+2\sqrt{3}+3=4+2\sqrt{3}.$$ (1 p) Cum $1+\sqrt{3}>0$, rezultă $\sqrt{4+2\sqrt{3}}=1+\sqrt{3}$ (0,5 p). $■$ (Condiția de pozitivitate este esențială: radicalul este, prin definiție, numărul nenegativ cu pătratul dat.)

Exercițiul 6. (8 p)

a) (3 p) Injectivitatea: fie $x_1,x_2\ge 0$ cu $x_1^2=x_2^2$. Atunci $x_1^2-x_2^2=0$, adică $(x_1-x_2)(x_1+x_2)=0$. Dacă $x_1+x_2=0$, atunci, fiind ambele nenegative, rezultă $x_1=x_2=0$; altfel $x_1-x_2=0$. În ambele cazuri $x_1=x_2$ (1,5 p). Surjectivitatea: fie $y\ge 0$ arbitrar. Luând $x=\sqrt{y}\ge 0$, obținem $f(x)={\left(\sqrt{y}\right)}^2=y$, deci orice element al codomeniului este atins (1,5 p). Prin urmare $f$ este bijectivă. $■$

b) (2 p) Inversa este $f^{-1}:[0,+\infty )\to [0,+\infty )$, $f^{-1}(y)=\sqrt{y}$ (1 p). Aceasta este exact funcția radical de ordin 2: radicalul nu e o noțiune separată, ci „drumul înapoi" al ridicării la pătrat, iar toate proprietățile lui (monotonia, semnul, forma graficului) se justifică prin proprietățile funcției putere. Graficele celor două sunt simetrice față de dreapta $y=x$ (1 p).

c) (3 p) Funcția $g(x)=x^3$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci injectivă; și este surjectivă, pentru că orice $y$ real se obține luând $x=\sqrt[3]{y}$, iar ${\left(\sqrt[3]{y}\right)}^3=y$ (1,5 p). Inversa este $g^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}$, definită pe tot $\mathbb{R}$ (1 p). Nu a fost nevoie să restrângem domeniul pentru că exponentul este impar: puterea impară păstrează semnul și nu „pliază" numerele negative peste cele pozitive, cum face $x^2$ (0,5 p).

Exercițiul 7. (7 p)

a) (2 p) Radicalul de ordin 3 este definit pentru orice număr real, pentru că funcția $x\mapsto x^3$ este bijectivă de la $\mathbb{R}$ la $\mathbb{R}$: fiecare număr real, pozitiv sau negativ, este cubul unui unic număr real. Prin urmare nu apare nicio condiție de existență și $D=\mathbb{R}$. La radicalul de ordin 2 condiția $x-1\ge 0$ ar fi fost obligatorie, fiindcă niciun pătrat nu este negativ.

b) (3 p) $h(-7)=\sqrt[3]{-8}=-2$; $h(1)=\sqrt[3]{0}=0$; $h(9)=\sqrt[3]{8}=2$; $h(28)=\sqrt[3]{27}=3$. (Câte 0,75 p.)

c) (2 p) Folosim echivalența $\sqrt[3]{f(x)}=g(x)⟺f(x)=(g(x){)}^3$, valabilă fără condiție de semn (1 p): $$\sqrt[3]{x-1}=-3⟺x-1=(-3{)}^3=-27⟺x=-26.$$ Verificare: $\sqrt[3]{-26-1}=\sqrt[3]{-27}=-3$ ✓ (1 p). (La ordin impar nu apar soluții străine — de aceea echivalența nu are condiție suplimentară.)

Exercițiul 8. (7 p)

a) (2 p) Radicalul cere $x+7\ge 0$, adică $x\ge -7$ (1 p). Membrul stâng este nenegativ, deci și membrul drept trebuie să fie: $x-5\ge 0$, adică $x\ge 5$ (1 p). Cea de-a doua condiție o include pe prima, deci lucrăm pe $x\ge 5$.

b) (3 p) Ambii membri fiind nenegativi, ridicarea la pătrat este echivalență (0,5 p): $$x+7=(x-5{)}^2=x^2-10x+25⟹x^2-11x+18=0.$$ (1,5 p) Discriminantul este $\Delta =121-72=49$, deci $$x=\frac{11\pm 7}{2}⟹x_1=9,x_2=2.$$ (1 p)

c) (2 p) Verificarea în ecuația inițială: – pentru $x=9$: membrul stâng $\sqrt{9+7}=\sqrt{16}=4$, membrul drept $9-5=4$ ✓ — soluție (1 p); – pentru $x=2$: membrul stâng $\sqrt{2+7}=\sqrt{9}=3$, membrul drept $2-5=-3$; cum $3\ne -3$, valoarea nu verifică ecuația — este soluție străină, apărută pentru că ridicarea la pătrat „uită" semnul; ea încalcă tocmai condiția $x\ge 5$ (1 p). Concluzie: $S=\{9\}$.

Exercițiul 9. (6 p)

a) (2 p) Condiția de existență: $2x-3\ge 0⟺x\ge \frac{3}{2}$.

b) (2 p) Pe acest domeniu ambii membri sunt nenegativi ($3>0$), iar funcția radical este strict crescătoare, deci inegalitatea dintre radicali este echivalentă cu inegalitatea dintre radicanzi (scriind $3=\sqrt{9}$) (1 p): $$\sqrt{2x-3}<3⟺2x-3<9⟺2x<12⟺x<6.$$ (1 p)

c) (2 p) Intersectând cu condiția de existență: $$S=\left[\frac{3}{2},6\right).$$ (1 p) Verificare: pentru $x=2$ (din interior) avem $\sqrt{1}=1<3$ ✓; pentru $x=6$ (capătul din dreapta) avem $\sqrt{9}=3$, care nu este strict mai mic decât $3$, deci capătul se exclude corect ✓ (1 p).

Exercițiul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (4 p) Condiții. Radicalul cere $x+6\ge 0$, iar membrul drept trebuie să fie nenegativ: $x\ge 0$. Ultima condiție le include pe amândouă, deci lucrăm pe $x\ge 0$ (1 p). Ridicarea la pătrat. $$\sqrt{x+6}=x⟺x+6=x^2\text{ și }x\ge 0⟹x^2-x-6=0.$$ Discriminantul este $\Delta =1+24=25$, deci $x=\frac{1\pm 5}{2}$, adică $x_1=3$ și $x_2=-2$ (2 p). Verificarea. Pentru $x=3$: $\sqrt{3+6}=\sqrt{9}=3$ ✓ — soluție. Pentru $x=-2$: $\sqrt{-2+6}=\sqrt{4}=2$, dar membrul drept este $-2$; cum $2\ne -2$, valoarea este soluție străină (încalcă $x\ge 0$) (1 p). Concluzie: $S=\{3\}$.

b) (4 p) Condiția de existență: $x\ge 0$ (0,5 p). Notăm $t=\sqrt{x}$, cu $t\ge 0$; atunci $x=t^2$ și ecuația devine (1 p) $$t^2-5t+6=0.$$ Discriminantul este $\Delta =25-24=1$, deci $t_1=3$ și $t_2=2$ — ambele nenegative, deci ambele acceptabile (1,5 p). Revenim la $x$: din $\sqrt{x}=3$ obținem $x=9$, iar din $\sqrt{x}=2$ obținem $x=4$ (0,5 p). Verificare: $9-5\cdot 3+6=0$ ✓ și $4-5\cdot 2+6=0$ ✓. Concluzie: $S=\{4,9\}$ (0,5 p). (Observație: aici nu apare nicio soluție străină, dar condiția $t\ge 0$ rămâne obligatorie — dacă una dintre rădăcinile în $t$ ar fi ieșit negativă, ar fi trebuit eliminată, pentru că $\sqrt{x}$ nu poate fi negativ.)

Exercițiul 11. (8 p) — redactare completă.

a) Monotonia (5 p). Fie $a,b\in \mathbb{R}$ cu $a<b$; trebuie să arătăm că $a^3<b^3$ (0,5 p). Folosim descompunerea (1 p) $$b^3-a^3=(b-a)\left(b^2+ab+a^2\right).$$ Studiem al doilea factor. Scriindu-l ca sumă de pătrate (1 p): $$b^2+ab+a^2={\left(b+\frac{a}{2}\right)}^2+\frac{3a^2}{4}\ge 0,$$ cu egalitate doar dacă $a=0$ și $b+\frac{a}{2}=0$, adică doar dacă $a=b=0$ (1 p). Cum $a<b$, cele două nu pot fi simultan nule, deci $b^2+ab+a^2>0$ (0,5 p). Cum și $b-a>0$, produsul este strict pozitiv (0,5 p): $$b^3-a^3>0⟹a^3<b^3.$$ Prin urmare $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ (0,5 p). $■$

b) Injectivitatea (3 p). Fie $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ cu $x_1\ne x_2$ (0,5 p). Atunci sau $x_1<x_2$, sau $x_2<x_1$ (0,5 p). În primul caz, din stricta monotonie demonstrată la a), rezultă $f(x_1)<f(x_2)$; în al doilea caz, $f(x_2)<f(x_1)$ (1,5 p). În ambele situații $f(x_1)\ne f(x_2)$, deci $f$ este injectivă (0,5 p). $■$ (Se acceptă și varianta echivalentă: din $f(x_1)=f(x_2)$ se deduce, prin contrapoziție, $x_1=x_2$. Reține regula generală: orice funcție strict monotonă este injectivă.)

Exercițiul 12. (6 p)

a) (2 p) Condiția de existență: $x+3\ge 0⟺x\ge -3$ (1 p). Membrul stâng este mereu nenegativ, iar membrul drept își poate schimba semnul, deci nu putem ridica direct la pătrat: dacă $x+1<0$, inegalitatea este automat adevărată (un număr nenegativ este mai mare decât unul negativ), iar dacă $x+1\ge 0$, ambii membri sunt nenegativi și ridicarea la pătrat devine echivalență (1 p).

b) (1 p) Cazul $x+1<0$, adică $x<-1$: pe domeniul de existență avem $\sqrt{x+3}\ge 0>x+1$, deci inegalitatea este adevărată pentru toate aceste valori. Soluțiile din acest caz: $x\in [-3,-1)$.

c) (2 p) Cazul $x+1\ge 0$, adică $x\ge -1$ (aici condiția $x\ge -3$ este automat îndeplinită): ridicăm la pătrat (0,5 p) $$x+3>(x+1{)}^2=x^2+2x+1⟺0>x^2+x-2⟺(x+2)(x-1)<0.$$ (1 p) Rădăcinile sunt $-2$ și $1$, iar expresia (cu $a=1>0$) este negativă între ele: $x\in (-2,1)$. Intersectând cu $x\ge -1$, obținem $x\in [-1,1)$ (0,5 p).

d) (1 p) Reunind cele două cazuri: $$S=[-3,-1)\cup [-1,1)=[-3,1).$$ Verificare: pentru $x=0$ avem $\sqrt{3}\approx 1,73>1$ ✓; pentru $x=1$ avem $\sqrt{4}=2$, care nu este strict mai mare decât $2$, deci capătul se exclude corect ✓. (Un al treilea control util: pentru $x=2$, $\sqrt{5}\approx 2,24<3$, deci $2$ nu este soluție ✓.)

Exercițiul 13. (8 p)

a) (2 p) $f(4)+f(12)+f(28)=\sqrt{1}+\sqrt{9}+\sqrt{25}=1+3+5=9$.

b) (2 p) Fie $3\le x_1<x_2$. Atunci $0\le x_1-3<x_2-3$ (1 p), iar funcția radical de ordin 2 este strict crescătoare pe $[0,+\infty )$, deci $\sqrt{x_1-3}<\sqrt{x_2-3}$, adică $f(x_1)<f(x_2)$ (1 p). $■$

c) (4 p) Condiții. Din domeniu, $x\ge 3$; în plus, membrul stâng fiind nenegativ, trebuie ca $x-5\ge 0$, adică $x\ge 5$ — condiție care o include pe prima (1 p). Ridicarea la pătrat. $$x-3=(x-5{)}^2=x^2-10x+25⟹x^2-11x+28=0.$$ Discriminantul este $\Delta =121-112=9$, deci $x=\frac{11\pm 3}{2}$, adică $x_1=7$ și $x_2=4$ (2 p). Verificarea. Pentru $x=7$: $\sqrt{7-3}=\sqrt{4}=2$ și $7-5=2$ ✓ — soluție. Pentru $x=4$: $\sqrt{4-3}=\sqrt{1}=1$, dar $4-5=-1$; cum $1\ne -1$, valoarea este soluție străină (încalcă $x\ge 5$) (1 p). Concluzie: $x=7$, adică $S=\{7\}$.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică partea de curriculum diferențiat (mate-info) a unității, cea care merge dincolo de lecturile grafice ale trunchiului comun. Sunt acoperite lecțiile Funcția putere cu exponent întreg, Radicali: proprietăți, operații și expresii conjugate, Funcția radical de ordinul 3 și Ecuații și inecuații cu radicali. Se evaluează patru lucruri: proprietățile funcției putere ($x^n$) — paritate, monotonie, injectivitate — și legătura ei de inversare cu radicalul; calculul cu radicali, inclusiv raționalizarea cu expresii conjugate; comportamentul radicalului de ordin impar, definit pe toată mulțimea numerelor reale; și, cel mai important, rezolvarea ecuațiilor și inecuațiilor cu radicali pe bază de echivalențe, cu verificarea obligatorie a soluțiilor. Trei itemi (8, 10 și 13) conțin ecuații la care ridicarea la pătrat produce soluții străine — valori care satisfac ecuația pătrată, dar nu și ecuația inițială; identificarea lor este punctată separat în barem.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La orice ecuație cu radicali, rezolvarea este completă doar dacă apar condițiile de existență, echivalența folosită și verificarea fiecărei valori găsite. O rezolvare care ajunge la valorile corecte, dar nu elimină soluția străină, primește cel mult jumătate din punctajul itemului.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe echivalențele de rezolvare și pe deosebirea dintre radicalul de ordin par și cel de ordin impar.
• Formule și condiții de reținut: pentru $a\ge 0$, $\sqrt{a}$ este unicul număr nenegativ cu pătratul $a$; de aceea $\sqrt{a^2}=|a|$, iar $\sqrt[3]{a^3}=a$ pentru orice $a$ real. Proprietăți (valabile pentru $a,b\ge 0$, respectiv $b>0$ la împărțire): $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$, $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, $\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}$. Expresii conjugate: $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b$ și $(\sqrt{a}-c)(\sqrt{a}+c)=a-c^2$ — instrumentul de raționalizare a numitorului. Funcția putere cu exponent întreg: pentru $n$ natural nenul, $f(x)=x^n$ este definită pe $\mathbb{R}$; pentru exponent negativ, $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$, definită pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ (numitorul nu are voie să se anuleze). Funcția $x^n$ este pară pentru $n$ par și impară pentru $n$ impar; pentru $n$ impar este strict crescătoare și bijectivă pe $\mathbb{R}$, cu inversa $\sqrt[n]{\cdot }$; pentru $n$ par este strict crescătoare doar pe $[0,+\infty )$, unde devine bijectivă pe $[0,+\infty )$, cu inversa radicalul de ordin $n$. Echivalențele de rezolvare (din programă): $$\sqrt{f(x)}=g(x)⟺f(x)=g(x{)}^2\text{ și }g(x)\ge 0;\sqrt[3]{f(x)}=g(x)⟺f(x)=g(x{)}^3.$$ Condiția $g(x)\ge 0$ este exact filtrul care elimină soluțiile străine.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".