Test: Radicali și operații cu numere reale

Clasa a VII-a · Matematică · Unitatea „Operații cu numere reale și radicali"

Exerciții

Exercițiul 1 — Scoaterea factorilor de sub radical (5 puncte)

Scrie sub forma $a\sqrt{b}$, cu $b$ număr natural cât mai mic (fără factori pătrați perfecți):

a) $\sqrt{72}$
b) $\sqrt{75}$
c) $\sqrt{128}$
d) $\sqrt{180}$
e) $\sqrt{288}$

Exercițiul 2 — Introducerea factorilor sub radical (4 puncte)

Scrie fiecare număr ca un singur radical $\sqrt{n}$, introducând factorul sub radical:

a) $3\sqrt{7}$
b) $2\sqrt{10}$
c) $5\sqrt{2}$
d) $4\sqrt{3}$

Exercițiul 3 — Adunarea și scăderea numerelor reale (8 puncte)

Calculează, reducând termenii asemenea (aduci mai întâi radicalii la forma simplificată acolo unde este necesar):

a) $2\sqrt{3}+5\sqrt{3}-\sqrt{3}$
b) $\sqrt{50}+\sqrt{8}$
c) $\sqrt{75}-\sqrt{12}$
d) $\sqrt{27}+\sqrt{48}-\sqrt{12}$
e) $3\sqrt{20}-\sqrt{45}+\sqrt{5}$

Exercițiul 4 — Înmulțirea numerelor reale cu radicali (6 puncte)

Efectuează înmulțirile și scrie rezultatul cât mai simplu:

a) $\sqrt{3}\cdot \sqrt{12}$
b) $2\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{2}$
c) $\sqrt{6}\cdot \sqrt{8}$
d) $5\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}$
e) $\sqrt{3}\cdot \left(\sqrt{3}+\sqrt{12}\right)$

Exercițiul 5 — Împărțirea numerelor reale cu radicali (6 puncte)

Efectuează împărțirile (folosește $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$):

a) $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}$
b) $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$
c) $\frac{6\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}$
d) $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}}$
e) $\frac{12\sqrt{15}}{3\sqrt{3}}$

Exercițiul 6 — Puteri cu exponent număr întreg (5 puncte)

Calculează, scriind rezultatul sub formă de fracție ireductibilă sau număr natural:

a) $2^{-3}$
b) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$
c) $5^0$
d) $(-2{)}^{-4}$
e) $2^{-2}+2^{-1}$

Exercițiul 7 — Ordinea efectuării operațiilor cu numere reale (8 puncte)

Respectând ordinea operațiilor (paranteze, puteri, înmulțiri/împărțiri, apoi adunări/scăderi), calculează:

a) $\sqrt{27}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}-\sqrt{12}$
b) ${\left(3\sqrt{2}\right)}^2-\sqrt{8}\cdot \sqrt{2}$
c) $\sqrt{20}:\sqrt{5}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}$

Exercițiul 8 — Raționalizarea numitorului de forma $a\sqrt{b}$ (8 puncte)

Raționalizează numitorul (amplifică fracția cu radicalul potrivit) și simplifică rezultatul:

a) $\frac{1}{\sqrt{3}}$
b) $\frac{6}{\sqrt{2}}$
c) $\frac{5}{2\sqrt{5}}$
d) $\frac{10}{3\sqrt{2}}$
e) $\frac{4}{\sqrt{8}}$

Exercițiul 9 — Media aritmetică ponderată (5 puncte)

La disciplina matematică, un elev are, într-un semestru, următoarele calificative cu ponderile stabilite de profesor:

Calculează media aritmetică ponderată a notelor și precizează cu ce notă întreagă se încheie elevul (rotunjire la întreg).

Exercițiul 10 — Media geometrică (5 puncte)

Media geometrică a două numere pozitive $a$ și $b$ este $\sqrt{a\cdot b}$. Calculează media geometrică a perechilor:

a) $4$ și $9$
b) $2$ și $8$
c) $3$ și $12$
d) $5$ și $20$

Exercițiul 11 — Ecuația de forma $x^2=a$ (6 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{R}$, precizând de fiecare dată câte soluții reale există (scrie soluțiile cu radicali, simplificați acolo unde e cazul):

a) $x^2=5$
b) $x^2=49$
c) $x^2=12$
d) $x^2=0$
e) $x^2=-9$
f) $2x^2=50$

Exercițiul 12 — Adevărat / Fals cu motivare (5 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și motivează pe scurt prin calcul:

a) $\sqrt{16}+\sqrt{9}=\sqrt{25}$
b) $\sqrt{8}\cdot \sqrt{2}=4$
c) $5\sqrt{2}>4\sqrt{3}$
d) $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
e) $(-3{)}^{-2}=-\frac{1}{9}$

Exercițiul 13 — Aplicație: diagonala unui teren (5 puncte)

Un teren dreptunghiular are lungimea de $6$ m și lățimea de $3$ m.

a) Folosind teorema lui Pitagora, calculează lungimea diagonalei terenului, exprimată sub formă de radical simplificat ($a\sqrt{b}$).
b) Dă o valoare aproximativă a diagonalei, în metri, cu două zecimale (folosește $\sqrt{5}\approx 2,24$).

Exercițiul 14 — Relații metrice în triunghiul dreptunghic (5 puncte)

În triunghiul dreptunghic $ABC$ (unghiul drept în $A$), înălțimea din $A$ împarte ipotenuza în două segmente (proiecțiile catetelor) de lungimi $BD=4$ cm și $DC=9$ cm.

a) Știind că înălțimea corespunzătoare ipotenuzei este media geometrică a celor două proiecții, calculează lungimea înălțimii $AD$.
b) Cateta $AB$ este media geometrică dintre proiecția $BD$ și ipotenuza $BC$. Calculează $AB$, scriind rezultatul sub formă de radical simplificat.

Exercițiul 15 — Compararea și ordonarea numerelor reale (5 puncte)

Fără a folosi valori aproximative de la calculator, ci prin introducerea factorilor sub radical:

a) Compară $2\sqrt{6}$ și $5$ (scrie $<$, $>$ sau $=$).
b) Compară $3\sqrt{2}$ și $\sqrt{20}$.
c) Ordonează crescător numerele: $2\sqrt{2},3,2\sqrt{3},2\sqrt{5}$.

Exercițiul 16 — Aplicație: latura și perimetrul unui pătrat (4 puncte)

O placă de gresie pătrată are aria de $48{\text{cm}}^2$.

a) Scrie lungimea laturii sub formă de radical simplificat ($a\sqrt{b}$).
b) Calculează perimetrul plăcii, exprimat cu radical. (Opțional: dă o aproximare cu o zecimală, folosind $\sqrt{3}\approx 1,73$.)

Barem și răspunsuri

Punctaj: 16 itemi = 90 p + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1 (5 p — câte 1 p)

a) $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$
b) $\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$
c) $\sqrt{128}=\sqrt{64\cdot 2}=8\sqrt{2}$
d) $\sqrt{180}=\sqrt{36\cdot 5}=6\sqrt{5}$
e) $\sqrt{288}=\sqrt{144\cdot 2}=12\sqrt{2}$

Idee: se caută cel mai mare factor pătrat perfect al radicandului.

Exercițiul 2 (4 p — câte 1 p)

a) $3\sqrt{7}=\sqrt{3^2\cdot 7}=\sqrt{63}$
b) $2\sqrt{10}=\sqrt{4\cdot 10}=\sqrt{40}$
c) $5\sqrt{2}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50}$
d) $4\sqrt{3}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{48}$

Idee: factorul din fața radicalului intră sub radical ridicat la pătrat.

Exercițiul 3 (8 p)

a) $2\sqrt{3}+5\sqrt{3}-\sqrt{3}=6\sqrt{3}$ (1,5 p)
b) $\sqrt{50}+\sqrt{8}=5\sqrt{2}+2\sqrt{2}=7\sqrt{2}$ (1,5 p)
c) $\sqrt{75}-\sqrt{12}=5\sqrt{3}-2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$ (1,5 p)
d) $\sqrt{27}+\sqrt{48}-\sqrt{12}=3\sqrt{3}+4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=5\sqrt{3}$ (2 p)
e) $3\sqrt{20}-\sqrt{45}+\sqrt{5}=3\cdot 2\sqrt{5}-3\sqrt{5}+\sqrt{5}=6\sqrt{5}-3\sqrt{5}+\sqrt{5}=4\sqrt{5}$ (1,5 p)

Idee: se adună/scad doar termenii cu același radical.

Exercițiul 4 (6 p)

a) $\sqrt{3}\cdot \sqrt{12}=\sqrt{36}=6$ (1 p)
b) $2\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{10}$ (1 p)
c) $\sqrt{6}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$ (1,5 p)
d) $5\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=5\cdot 2=10$ (1 p)
e) $\sqrt{3}\cdot (\sqrt{3}+\sqrt{12})=\sqrt{9}+\sqrt{36}=3+6=9$ (1,5 p)

Idee: $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$; coeficienții se înmulțesc între ei.

Exercițiul 5 (6 p)

a) $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=\sqrt{16}=4$ (1 p)
b) $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{25}=5$ (1 p)
c) $\frac{6\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}=3\sqrt{2}$ (1,5 p)
d) $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}}=\sqrt{9}=3$ (1 p)
e) $\frac{12\sqrt{15}}{3\sqrt{3}}=4\sqrt{5}$ (1,5 p)

Idee: se împart coeficienții și, separat, radicalii: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$.

Exercițiul 6 (5 p — câte 1 p)

a) $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$
b) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}=3^2=9$
c) $5^0=1$
d) $(-2{)}^{-4}=\frac{1}{(-2{)}^4}=\frac{1}{16}$
e) $2^{-2}+2^{-1}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$

Idee: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ ($a\ne 0$); exponent par $\Rightarrow$ rezultat pozitiv.

Exercițiul 7 (8 p)

a) $\sqrt{27}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}-\sqrt{12}=3\sqrt{3}+3-2\sqrt{3}=3+\sqrt{3}$ (3 p)
b) ${\left(3\sqrt{2}\right)}^2-\sqrt{8}\cdot \sqrt{2}=9\cdot 2-\sqrt{16}=18-4=14$ (3 p)
c) $\sqrt{20}:\sqrt{5}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{4}+3=2+3=5$ (2 p)

Idee: întâi puterile și înmulțirile/împărțirile, apoi adunările/scăderile.

Exercițiul 8 (8 p)

a) $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ (1,5 p)
b) $\frac{6}{\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$ (1,5 p)
c) $\frac{5}{2\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{2\cdot 5}=\frac{5\sqrt{5}}{10}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ (2 p)
d) $\frac{10}{3\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{2}}{3\cdot 2}=\frac{10\sqrt{2}}{6}=\frac{5\sqrt{2}}{3}$ (1,5 p)
e) $\frac{4}{\sqrt{8}}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$ (1,5 p)

Idee: se amplifică fracția cu radicalul de la numitor pentru a-l scoate de sub radical.

Exercițiul 9 (5 p)

$$\overline{x}=\frac{8\cdot 2+9\cdot 3+10\cdot 5}{2+3+5}=\frac{16+27+50}{10}=\frac{93}{10}=9,3.$$

Media ponderată este $9,3$; prin rotunjire la întreg, elevul se încheie cu media $9$. (calcul corect 4 p; rotunjire 1 p)

Exercițiul 10 (5 p)

a) $\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{36}=6$ (1 p)
b) $\sqrt{2\cdot 8}=\sqrt{16}=4$ (1 p)
c) $\sqrt{3\cdot 12}=\sqrt{36}=6$ (1,5 p)
d) $\sqrt{5\cdot 20}=\sqrt{100}=10$ (1,5 p)

Exercițiul 11 (6 p)

a) $x^2=5\Rightarrow x=\pm \sqrt{5}$ — două soluții reale. (1 p)
b) $x^2=49\Rightarrow x=\pm 7$ — două soluții reale. (1 p)
c) $x^2=12\Rightarrow x=\pm \sqrt{12}=\pm 2\sqrt{3}$ — două soluții reale. (1 p)
d) $x^2=0\Rightarrow x=0$ — o singură soluție. (1 p)
e) $x^2=-9$ — nicio soluție reală (un pătrat nu poate fi negativ). (1 p)
f) $2x^2=50\Rightarrow x^2=25\Rightarrow x=\pm 5$ — două soluții reale. (1 p)

Exercițiul 12 (5 p — câte 1 p)

a) F — $\sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7$, iar $\sqrt{25}=5$; $7\ne 5$.
b) A — $\sqrt{8}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{16}=4$.
c) A — $5\sqrt{2}=\sqrt{50}$ și $4\sqrt{3}=\sqrt{48}$; cum $50>48\Rightarrow 5\sqrt{2}>4\sqrt{3}$.
d) A — raționalizând: $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
e) F — $(-3{)}^{-2}=\frac{1}{(-3{)}^2}=\frac{1}{9}$ (pozitiv), nu $-\frac{1}{9}$.

Exercițiul 13 (5 p)

a) Cu teorema lui Pitagora, diagonala $d$ verifică $d^2=6^2+3^2=36+9=45$, deci $$d=\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}\text{m}.(3p)$$ b) $d=3\sqrt{5}\approx 3\cdot 2,24=6,72$ m. (2 p)

Exercițiul 14 (5 p)

a) $AD=\sqrt{BD\cdot DC}=\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{36}=6$ cm. (2,5 p)
b) Ipotenuza $BC=BD+DC=4+9=13$ cm, deci $$AB=\sqrt{BD\cdot BC}=\sqrt{4\cdot 13}=\sqrt{52}=\sqrt{4\cdot 13}=2\sqrt{13}\text{cm}.(2,5p)$$

Exercițiul 15 (5 p)

a) $2\sqrt{6}=\sqrt{24}$ și $5=\sqrt{25}$; cum $24<25\Rightarrow 2\sqrt{6}<5$. (1,5 p)
b) $3\sqrt{2}=\sqrt{18}$ și $\sqrt{20}$; cum $18<20\Rightarrow 3\sqrt{2}<\sqrt{20}$. (1,5 p)
c) Aducem la radicali: $2\sqrt{2}=\sqrt{8}$, $3=\sqrt{9}$, $2\sqrt{3}=\sqrt{12}$, $2\sqrt{5}=\sqrt{20}$. Cum $8<9<12<20$: $$2\sqrt{2}<3<2\sqrt{3}<2\sqrt{5}.(2p)$$

Exercițiul 16 (4 p)

a) latura $=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$ cm. (2 p)
b) perimetrul $=4\cdot \text{latura}=4\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}$ cm. (2 p)
Aproximare: $16\sqrt{3}\approx 16\cdot 1,73=27,7$ cm.

Total: 90 p (itemi) + 10 p (oficiu) = 100 p.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică operațiile de bază cu radicali: scoaterea și introducerea factorilor de sub radical, adunarea și scăderea numerelor reale (reducerea termenilor asemenea cu același radical), înmulțirea și împărțirea numerelor reale cu radicali, puterile cu exponent număr întreg, ordinea efectuării operațiilor și raționalizarea numitorului de forma $a\sqrt{b}$. Sunt incluse și media aritmetică ponderată, media geometrică și ecuația de forma $x^2=a$, precum și două aplicații de geometrie plană (teorema lui Pitagora și relații metrice în triunghiul dreptunghic), în care rezultatele apar sub formă de radicali.

• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Punctaj total: 100 de puncte, dintre care 10 puncte din oficiu. Cele 16 cerințe însumează 90 de puncte.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, cu toate calculele scrise. La cerințele care conțin „justifică", „arată că" sau „compară", se punctează doar răspunsul însoțit de raționament (fără valori luate de la calculator, acolo unde se cere justificare exactă). La itemii de geometrie se recomandă realizarea unei figuri.
• Interpretarea notei (aproximativ): 90–100 p → foarte bine; 70–89 p → bine; 45–69 p → satisfăcător; sub 45 p → se reia unitatea.

Notație folosită: $\sqrt{a}$ este radicalul (rădăcina pătrată) lui $a\ge 0$; forma $a\sqrt{b}$ înseamnă „$a$ ori radical din $b$"; „radical simplificat" înseamnă că sub radical rămâne un număr natural fără factori pătrați perfecți.