Test: Recapitulare algebră, numere reale și date – clasa a VII-a

Exerciții

Exercițiul 1 (6 puncte)

Calculați, aducând rezultatul la forma cea mai simplă: a) $\sqrt{50}-\sqrt{18}+\sqrt{8}$; b) $\sqrt{12}\cdot \sqrt{3}$; c) $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

a) Scoateți factorii de sub radical: $\sqrt{75}$ și $\sqrt{200}$. b) Introduceți factorul sub radical: $3\sqrt{5}$. c) Raționalizați numitorul: $\frac{6}{\sqrt{3}}$ și $\frac{4}{\sqrt{2}}$.

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabiliți dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justificați pe scurt: a) Numărul $\sqrt{49}$ este irațional. b) $\sqrt{2}+\sqrt{2}=\sqrt{8}$. c) $\sqrt{9+16}=\sqrt{9}+\sqrt{16}$. d) $-3>-\sqrt{10}$.

Exercițiul 4 (4 puncte)

a) Comparați numerele $2\sqrt{5}$ și $3\sqrt{2}$ (fără calculator, folosind introducerea sub radical). b) Aflați partea întreagă a numărului $\sqrt{30}$, adică $\left[\sqrt{30}\right]$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuațiile: a) $3(x-2)+5=2x+7$; b) $\frac{x}{2}-\frac{x-1}{3}=1$.

Exercițiul 6 (6 puncte)

Rezolvați sistemele de ecuații liniare: a) prin metoda reducerii: $\{\begin{array}{l}2x+y=7\\ x-y=2\end{array}$ b) prin metoda substituției: $\{\begin{array}{l}x+2y=8\\ 3x-y=3\end{array}$

Exercițiul 7 (6 puncte)

La un spectacol s-au vândut în total 200 de bilete. Un bilet de adult costă 30 de lei, iar unul de elev 15 lei. Încasările totale au fost de 4800 de lei. a) Notând cu $a$ numărul biletelor de adult și cu $e$ numărul biletelor de elev, scrieți un sistem de ecuații care modelează situația. b) Rezolvați sistemul și aflați câte bilete de fiecare fel s-au vândut.

Exercițiul 8 (5 puncte)

Un teren dreptunghiular are lungimea cu 4 m mai mare decât lățimea, iar perimetrul de 36 m. a) Notând lățimea cu $x$, scrieți și rezolvați ecuația care dă dimensiunile terenului. b) Aflați lungimea, lățimea și aria terenului.

Exercițiul 9 (6 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-3,2)$, $B(4,2)$ și $C(4,-1)$.

a) Reprezentați cele trei puncte și precizați în ce cadran se află fiecare. b) Aflați lungimile segmentelor $AB$ și $BC$ (segmente paralele cu axele). c) Justificați că triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$ și calculați aria sa.

Exercițiul 10 (5 puncte)

Tabelul de mai jos conține temperaturile maxime (în ${}^{\circ }C$) înregistrate într-o săptămână:

a) Calculați temperatura maximă medie a săptămânii. b) Aflați diferența dintre cea mai mare și cea mai mică valoare din tabel. c) În câte zile temperatura maximă a fost strict mai mare decât media?

Exercițiul 11 (6 puncte)

Un romb $ABCD$ are diagonalele $AC=8$ cm și $BD=6$ cm.

a) Calculați aria rombului. b) Aflați lungimea laturii rombului și perimetrul acestuia.

Exercițiul 12 (6 puncte)

Un cerc are raza $R=6$ cm. (Se lasă rezultatele în funcție de $\pi$.)

a) Calculați lungimea cercului și aria discului. b) Se înscrie în cerc un hexagon regulat. Aflați lungimea laturii și perimetrul hexagonului. c) Pentru un sector de cerc cu unghiul la centru de $120^{\circ }$, aflați lungimea arcului și aria sectorului.

Exercițiul 13 (6 puncte)

În triunghiul $ABC$, punctele $D\in (AB)$ și $E\in (AC)$ sunt astfel încât $DE\parallel BC$. Se cunosc $AD=4$ cm, $DB=6$ cm și $AE=6$ cm.

a) Folosind teorema lui Thales, aflați lungimea segmentului $EC$. b) Știind că $BC=15$ cm, aflați lungimea segmentului $DE$ (folosind asemănarea triunghiurilor $ADE$ și $ABC$).

Exercițiul 14 (7 puncte)

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=6$ cm și $AC=8$ cm. Fie $AD$ înălțimea din $A$, cu $D\in (BC)$.

a) Calculați lungimea ipotenuzei $BC$. b) Aflați lungimea înălțimii $AD$. c) Aflați lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză, $BD$ și $DC$.

Exercițiul 15 (6 puncte)

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $C$, cu catetele $AC=3$ cm și $BC=4$ cm.

a) Calculați lungimea ipotenuzei $AB$. b) Aflați $\sin B$, $\cos B$, $\mathrm{tg}B$ și $\mathrm{ctg}B$. c) Verificați, prin calcul, egalitatea ${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B=1$.

Exercițiul 16 (4 puncte)

Un elev a scris pe caiet: $$\sqrt{16+9}=\sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7.$$ a) Explicați ce greșeală a făcut. b) Calculați corect valoarea expresiei $\sqrt{16+9}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

1. (6p – câte 2p pe subpunct) a) $\sqrt{50}-\sqrt{18}+\sqrt{8}=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$. b) $\sqrt{12}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{36}=6$. c) $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{45}{5}}=\sqrt{9}=3$.

2. (6p – 2p + 2p + 2p) a) $\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$; $\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot 2}=10\sqrt{2}$. b) $3\sqrt{5}=\sqrt{3^2\cdot 5}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{45}$. c) $\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$; $\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$.

3. (6p – câte 1,5p pe subpunct: 0,5p răspunsul + 1p justificarea) a) F – $\sqrt{49}=7$, care este număr natural (deci rațional), nu irațional. b) A – $\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$, iar $\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$; cele două expresii sunt egale. c) F – $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$, iar $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$; radicalul unei sume nu este egal cu suma radicalilor. d) A – $\sqrt{10}\approx 3,16$, deci $-\sqrt{10}\approx -3,16$; cum $-3>-3,16$, afirmația este adevărată.

4. (4p – 2p + 2p) a) $2\sqrt{5}=\sqrt{4\cdot 5}=\sqrt{20}$ și $3\sqrt{2}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{18}$. Cum $20>18$, rezultă $2\sqrt{5}>3\sqrt{2}$. b) $5^2=25\le 30<36=6^2$, deci $5<\sqrt{30}<6$, adică $\left[\sqrt{30}\right]=5$.

5. (5p – 2,5p + 2,5p) a) $3(x-2)+5=2x+7\Rightarrow 3x-6+5=2x+7\Rightarrow 3x-1=2x+7\Rightarrow x=8$. (Verificare: $3\cdot 6+5=23=2\cdot 8+7$.) b) Înmulțim cu 6: $3x-2(x-1)=6\Rightarrow 3x-2x+2=6\Rightarrow x+2=6\Rightarrow x=4$. (Verificare: $\frac{4}{2}-\frac{3}{3}=2-1=1$.)

6. (6p – 3p + 3p) a) Adunând ecuațiile: $(2x+y)+(x-y)=7+2\Rightarrow 3x=9\Rightarrow x=3$; din a doua, $y=x-2=1$. Soluția: $(\mathbf{x},\mathbf{y})=(3,1)$. b) Din prima ecuație $x=8-2y$; înlocuind în a doua: $3(8-2y)-y=3\Rightarrow 24-6y-y=3\Rightarrow -7y=-21\Rightarrow y=3$, deci $x=8-6=2$. Soluția: $(\mathbf{x},\mathbf{y})=(2,3)$.

7. (6p – 2p sistemul + 4p rezolvarea) a) $\{\begin{array}{l}a+e=200\\ 30a+15e=4800\end{array}$ b) Din prima, $a=200-e$. Înlocuind: $30(200-e)+15e=4800\Rightarrow 6000-30e+15e=4800\Rightarrow -15e=-1200\Rightarrow e=80$, deci $a=120$. S-au vândut 120 de bilete de adult și 80 de bilete de elev. (Verificare: $30\cdot 120+15\cdot 80=3600+1200=4800$.)

8. (5p – 3p ecuația + 2p dimensiunile și aria) a) Lățimea $x$, lungimea $x+4$; perimetrul: $2(x+(x+4))=36\Rightarrow 2(2x+4)=36\Rightarrow 4x+8=36\Rightarrow 4x=28\Rightarrow x=7$. b) Lățimea $=7$ m, lungimea $=11$ m, aria $=7\cdot 11=77{\text{ m}}^2$.

9. (6p – 2p + 2p + 2p) a) $A(-3,2)$ – cadranul II ($x<0$, $y>0$); $B(4,2)$ – cadranul I; $C(4,-1)$ – cadranul IV. b) $AB$ este orizontal ($y=2$ la ambele): $AB=|4-(-3)|=7$; $BC$ este vertical ($x=4$ la ambele): $BC=|2-(-1)|=3$. c) $AB\parallel Ox$ și $BC\parallel Oy$, deci $AB\perp BC$; triunghiul este dreptunghic în $B$. Aria $=\frac{AB\cdot BC}{2}=\frac{7\cdot 3}{2}=10,5$ (unități de arie).

10. (5p – 2p + 1p + 2p) a) Media $=\frac{22+24+21+25+23+26+27}{7}=\frac{168}{7}=24^{\circ }\text{C}$. b) $27-21=6^{\circ }\text{C}$. c) Peste $24$: J ($25$), S ($26$), D ($27$) $\Rightarrow$ 3 zile.

11. (6p – 3p + 3p) a) Aria rombului (cu diagonalele) $=\frac{d_1\cdot d_2}{2}=\frac{8\cdot 6}{2}=24{\text{ cm}}^2$. b) Diagonalele se taie perpendicular în jumătăți: $4$ cm și $3$ cm. Latura $=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$ cm; perimetrul $=4\cdot 5=20\text{ cm}$.

12. (6p – 2p + 2p + 2p) a) Lungimea cercului $=2\pi R=2\pi \cdot 6=12\pi \text{ cm}$; aria discului $=\pi R^2=\pi \cdot 6^2=36\pi {\text{ cm}}^2$. b) La hexagonul regulat înscris, latura este egală cu raza: $\ell =R=6$ cm; perimetrul $=6\cdot 6=36\text{ cm}$. c) $120^{\circ }$ reprezintă $\frac{120}{360}=\frac{1}{3}$ din cerc. Arcul $=\frac{1}{3}\cdot 12\pi =4\pi \text{ cm}$; aria sectorului $=\frac{1}{3}\cdot 36\pi =12\pi {\text{ cm}}^2$.

13. (6p – 3p + 3p) a) Teorema lui Thales ($DE\parallel BC$): $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\Rightarrow \frac{4}{6}=\frac{6}{EC}\Rightarrow EC=\frac{6\cdot 6}{4}=9\text{ cm}$. b) $△ADE\sim △ABC$, cu raportul $\frac{AD}{AB}=\frac{4}{4+6}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$. Atunci $\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}\Rightarrow DE=\frac{2}{5}\cdot 15=6\text{ cm}$.

14. (7p – 2p + 2p + 3p) a) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\text{ cm}$. b) Din egalitatea ariei ($AD\cdot BC=AB\cdot AC$): $AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{6\cdot 8}{10}=4,8\text{ cm}$. c) Teorema catetei: $A{B}^2=BD\cdot BC\Rightarrow 36=BD\cdot 10\Rightarrow BD=3,6\text{ cm}$; atunci $DC=BC-BD=10-3,6=6,4\text{ cm}$. (Verificare: $A{C}^2=DC\cdot BC\Rightarrow 64=6,4\cdot 10$.)

15. (6p – 2p + 3p + 1p) a) $AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\text{ cm}$. b) Față de unghiul $B$: cateta opusă este $AC=3$, cea alăturată este $BC=4$, ipotenuza $AB=5$. $\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$; $\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$; $\mathrm{tg}B=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}$; $\mathrm{ctg}B=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}$. c) ${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B={\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=\frac{25}{25}=1$.

16. (4p – 2p explicația + 2p calculul corect) a) Greșeala: radicalul unei sume nu se distribuie peste termeni, adică $\sqrt{a+b}\ne \sqrt{a}+\sqrt{b}$. Mai întâi se efectuează adunarea de sub radical, apoi se extrage rădăcina. b) Corect: $\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$.

Total: 90 de puncte (itemi) + 10 puncte (oficiu) = 100 de puncte.

Pentru părinți și profesori

Acest test de recapitulare acoperă blocul de algebră și date din programa de clasa a VII-a (OMEN 3393/2017), în cadrul unității Recapitulare finală și consolidare (pregătire pentru clasa a VIII-a): mulțimea numerelor reale și operațiile cu radicali (scoaterea/introducerea factorilor sub radical, raționalizarea numitorului de forma $a\sqrt{b}$), ecuațiile și sistemele de ecuații liniare cu probleme aplicate, organizarea datelor și reperul cartezian, plus elemente de geometrie în plan (patrulatere, cerc și poligoane regulate, asemănare, relații metrice și trigonometrie în triunghiul dreptunghic). Itemii sunt așezați în contexte realiste și au dificultate gradată.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 90 de minute, în format de examen.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, fără calculator, notând toate calculele și justificările pe foaie. La itemii de geometrie se cere și o figură. Se recomandă gestionarea timpului: itemii scurți de calcul primii, problemele cu justificare la final. Răspunsurile fără justificare nu primesc punctaj integral.
• Notă orientativă: se adună punctele obținute și se împart la 10 (ex.: 84 de puncte ≈ nota 8,40). După rezolvare, comparați cu Baremul și răspunsurile de la final și discutați doar itemii greșiți, cu atenție la greșelile frecvente semnalate.