Test: Recapitulare geometrie plană

Acest test adună la un loc toată geometria plană din clasa a VII-a: patrulaterele și ariile lor, cercul și poligoanele regulate, asemănarea triunghiurilor (teorema lui Thales) și relațiile metrice cu trigonometria în triunghiul dreptunghic. Este un instrument bun de recapitulare finală, înainte de trecerea în clasa a VIII-a.

Exerciții

Exercițiul 1 — Adevărat sau fals, cu justificare (5 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt fiecare răspuns (1 punct fiecare).

a) Diagonalele oricărui paralelogram sunt egale. b) Diagonalele unui romb sunt perpendiculare. c) Orice pătrat este și dreptunghi. d) Într-un trapez, exact o pereche de laturi opuse este formată din laturi paralele. e) Aria unui romb este egală cu produsul diagonalelor sale.

Exercițiul 2 — Un teren în formă de paralelogram (5 puncte)

Un teren are forma unui paralelogram cu laturile de $12$ m și $9$ m. Înălțimea corespunzătoare laturii de $12$ m este de $7$ m.

a) Calculează aria terenului. (3p) b) Calculează perimetrul terenului. (2p)

Exercițiul 3 — Trapezul (5 puncte)

Un trapez are bazele de $14$ cm și $8$ cm, iar înălțimea de $5$ cm.

a) Calculează lungimea liniei mijlocii a trapezului. (2p) b) Calculează aria trapezului. (3p)

Exercițiul 4 — Rombul (6 puncte)

Un romb are diagonalele de $16$ cm și $12$ cm.

a) Calculează aria rombului. (2p) b) Calculează lungimea laturii rombului. (3p) c) Calculează perimetrul rombului. (1p)

Exercițiul 5 — Pătratul și diagonala (6 puncte)

Diagonala unui pătrat are lungimea de $10$ cm.

a) Calculează lungimea laturii pătratului, scriind rezultatul sub formă de radical (cu numitorul raționalizat). (3p) b) Calculează aria pătratului. (2p) c) Calculează perimetrul pătratului. (1p)

Exercițiul 6 — Cercul (6 puncte)

Se dă un cerc de rază $r=6$ cm. Lasă rezultatele în funcție de $\pi$.

a) Calculează lungimea cercului. (2p) b) Calculează aria discului. (2p) c) Calculează aria sectorului de cerc corespunzător unui unghi la centru de $60°$. (2p)

Exercițiul 7 — Hexagonul regulat (6 puncte)

Un hexagon regulat are latura de $8$ cm.

a) Calculează perimetrul hexagonului. (1p) b) Calculează apotema hexagonului (rezultat cu radical). (2p) c) Calculează aria hexagonului. (3p)

Exercițiul 8 — Teorema lui Thales (5 puncte)

În triunghiul $ABC$, punctul $M$ se află pe latura $AB$, iar punctul $N$ pe latura $AC$, astfel încât $MN\parallel BC$. Se știe că $AM=4$ cm, $MB=6$ cm și $AN=5$ cm.

a) Calculează lungimea segmentului $NC$. (3p) b) Calculează raportul $\frac{AM}{AB}$. (2p)

Exercițiul 9 — Triunghiuri asemenea (6 puncte)

Triunghiurile $ABC$ și $DEF$ sunt asemenea, cu $AB$ corespunzând lui $DE$, $BC$ lui $EF$ și $CA$ lui $FD$. Se știe că $AB=6$ cm, $BC=9$ cm și $DE=4$ cm.

a) Determină raportul de asemănare $k=\frac{DE}{AB}$. (1p) b) Calculează lungimea laturii $EF$. (2p) c) Știind că aria triunghiului $ABC$ este $27$ cm², calculează aria triunghiului $DEF$. (3p)

Exercițiul 10 — Măsurare indirectă (5 puncte)

La aceeași oră a zilei, un stâlp vertical aruncă o umbră de $4$ m, iar un băț vertical, înalt de $1,5$ m, aruncă o umbră de $1,2$ m.

Folosind asemănarea triunghiurilor, calculează înălțimea stâlpului. Justifică de ce cele două triunghiuri (stâlp–umbră și băț–umbră) sunt asemenea.

Exercițiul 11 — Relații metrice în triunghiul dreptunghic (7 puncte)

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, iar $AD$ este înălțimea din $A$ pe ipotenuza $BC$. Se știe că $BD=4$ cm și $DC=9$ cm.

a) Calculează lungimea înălțimii $AD$. (2p) b) Calculează lungimile catetelor $AB$ și $AC$ (cu radicali). (3p) c) Calculează aria triunghiului $ABC$. (2p)

Exercițiul 12 — Rapoarte trigonometrice (6 puncte)

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $C$, cu catetele $CA=8$ cm și $CB=6$ cm.

a) Calculează lungimea ipotenuzei $AB$. (2p) b) Calculează $\sin A$, $\cos A$ și $\mathrm{tg}A$ (sub formă de fracție și zecimal). (4p)

Exercițiul 13 — Scara sprijinită de perete (6 puncte)

O scară de $6$ m este sprijinită de un perete vertical și formează cu solul (orizontala) un unghi de $60°$.

a) La ce înălțime pe perete ajunge capătul de sus al scării? Dă rezultatul exact (cu radical) și apoi aproximativ, folosind $\sqrt{3}\approx 1,73$. (3p) b) La ce distanță de perete se află baza scării? (3p)

Exercițiul 14 — Triunghi în reperul cartezian (6 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,1)$, $B(8,1)$ și $C(8,9)$.

a) Calculează lungimile segmentelor $AB$ și $BC$ și arată că unghiul din $B$ este drept. (3p) b) Calculează lungimea segmentului $AC$ (ipotenuza). (2p) c) Calculează aria triunghiului $ABC$. (1p)

Exercițiul 15 — Suprafață compusă (6 puncte)

Un teren de joacă are forma din figură: un dreptunghi de $20$ m $\times 12$ m, de una dintre laturile scurte fiind alipit un semicerc cu diametrul de $12$ m.

Calculează aria totală a terenului. Dă rezultatul în funcție de $\pi$ și apoi aproximativ, folosind $\pi \approx 3,14$.

Exercițiul 16 — Găsește greșeala (4 puncte)

Un elev scrie: „Într-un triunghi dreptunghic cu catetele de $5$ cm și $12$ cm, ipotenuza este $5+12=17$ cm."

Are dreptate? Justifică și, dacă este cazul, corectează rezultatul, arătând ce regulă trebuia aplicată.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Exercițiul 1 (5p)

a) F — diagonalele egale caracterizează doar dreptunghiul (și pătratul), nu orice paralelogram. (1p) b) A — diagonalele rombului sunt perpendiculare (și se înjumătățesc). (1p) c) A — pătratul are toate unghiurile drepte, deci este un caz particular de dreptunghi (dreptunghiul cu laturi egale). (1p) d) A — trapezul are exact o pereche de laturi paralele (bazele); dacă ar avea două perechi, ar fi paralelogram. (1p) e) F — aria rombului este jumătate din produsul diagonalelor: $A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$. (1p)

Exercițiul 2 (5p)

a) $A=\text{baza˘}\times \text{ıˆna˘lțime}=12\cdot 7=84$ m². (3p) b) $P=2(12+9)=2\cdot 21=42$ m. (2p) (Atenție: latura de $9$ m NU intervine la arie, doar înălțimea de $7$ m.)

Exercițiul 3 (5p)

a) Linia mijlocie $=\frac{B+b}{2}=\frac{14+8}{2}=11$ cm. (2p) b) $A=\frac{(B+b)\cdot h}{2}=\frac{(14+8)\cdot 5}{2}=\frac{22\cdot 5}{2}=55$ cm². (3p)

Exercițiul 4 (6p)

a) $A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}=\frac{16\cdot 12}{2}=96$ cm². (2p) b) Diagonalele se înjumătățesc și sunt perpendiculare, deci latura este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele $8$ și $6$: $\ell =\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ cm. (3p) c) $P=4\cdot 10=40$ cm. (1p)

Exercițiul 5 (6p)

a) Într-un pătrat, $d=\ell \sqrt{2}$, deci $\ell =\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$ cm. (3p) b) $A={\ell }^2=(5\sqrt{2}{)}^2=25\cdot 2=50$ cm² (sau direct $A=\frac{d^2}{2}=\frac{100}{2}=50$). (2p) c) $P=4\ell =4\cdot 5\sqrt{2}=20\sqrt{2}$ cm $\approx 28,2$ cm. (1p)

Exercițiul 6 (6p)

a) $L=2\pi r=2\pi \cdot 6=12\pi$ cm $\approx 37,68$ cm. (2p) b) $A=\pi r^2=\pi \cdot 36=36\pi$ cm² $\approx 113,04$ cm². (2p) c) Sectorul de $60°$ reprezintă $\frac{60}{360}=\frac{1}{6}$ din disc: $A_{\text{sector}}=\frac{1}{6}\cdot 36\pi =6\pi$ cm² $\approx 18,84$ cm². (2p)

Exercițiul 7 (6p)

a) $P=6\cdot 8=48$ cm. (1p) b) Apotema hexagonului regulat: $a=\frac{\ell \sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$ cm $\approx 6,93$ cm. (2p) c) $A=\frac{P\cdot a}{2}=\frac{48\cdot 4\sqrt{3}}{2}=96\sqrt{3}$ cm² $\approx 166,1$ cm². (3p)

Exercițiul 8 (5p)

a) Din teorema lui Thales, $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$, deci $\frac{4}{6}=\frac{5}{NC}$, de unde $NC=\frac{5\cdot 6}{4}=\frac{30}{4}=7,5$ cm. (3p) b) $AB=AM+MB=4+6=10$, deci $\frac{AM}{AB}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$. (2p)

Exercițiul 9 (6p)

a) $k=\frac{DE}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$. (1p) b) $EF=k\cdot BC=\frac{2}{3}\cdot 9=6$ cm. (2p) c) Raportul ariilor este $k^2={\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$, deci $A_{DEF}=\frac{4}{9}\cdot 27=12$ cm². (3p)

Exercițiul 10 (5p)

Razele soarelui sunt paralele, iar stâlpul și bățul sunt verticale (perpendiculare pe sol), deci cele două triunghiuri dreptunghice au unghiurile congruente $\Rightarrow$ sunt asemenea. (2p) $\frac{h}{4}=\frac{1,5}{1,2}\Rightarrow h=\frac{4\cdot 1,5}{1,2}=\frac{6}{1,2}=5$ m. (3p)

Exercițiul 11 (7p)

a) Teorema înălțimii: $AD=\sqrt{BD\cdot DC}=\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{36}=6$ cm. (2p) b) $BC=BD+DC=13$ cm. Teorema catetei: $AB=\sqrt{BD\cdot BC}=\sqrt{4\cdot 13}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ cm; $AC=\sqrt{DC\cdot BC}=\sqrt{9\cdot 13}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}$ cm. (3p) c) $A=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{2\sqrt{13}\cdot 3\sqrt{13}}{2}=\frac{6\cdot 13}{2}=39$ cm² (verificare: $\frac{BC\cdot AD}{2}=\frac{13\cdot 6}{2}=39$). (2p)

Exercițiul 12 (6p)

a) $AB=\sqrt{C{A}^2+C{B}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ cm. (2p) b) Față de unghiul $A$: cateta opusă este $CB=6$, cateta alăturată este $CA=8$, ipotenuza $AB=10$. (1p pentru identificarea corectă) $$\sin A=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}=0,6;\cos A=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}=0,8;\mathrm{tg}A=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}=0,75.$$ (câte 1p per raport corect)

Exercițiul 13 (6p)

a) Înălțimea pe perete este cateta opusă unghiului de $60°$: $h=6\cdot \sin 60°=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ m $\approx 3\cdot 1,73=5,19$ m. (3p) b) Distanța bazei față de perete este cateta alăturată: $d=6\cdot \cos 60°=6\cdot \frac{1}{2}=3$ m. (3p)

Exercițiul 14 (6p)

a) $A$ și $B$ au aceeași ordonată ($y=1$), deci $AB$ este orizontal: $AB=8-2=6$. $B$ și $C$ au aceeași abscisă ($x=8$), deci $BC$ este vertical: $BC=9-1=8$. Cum $AB$ este orizontal și $BC$ vertical, ele sunt perpendiculare $\Rightarrow$ unghiul din $B$ este drept. (3p) b) $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$. (2p) c) $A_{△}=\frac{AB\cdot BC}{2}=\frac{6\cdot 8}{2}=24$ (unități de arie). (1p)

Exercițiul 15 (6p)

Aria dreptunghiului: $20\cdot 12=240$ m². (2p) Semicercul are diametrul $12$ m, deci raza $r=6$ m; aria semidiscului: $\frac{\pi r^2}{2}=\frac{\pi \cdot 36}{2}=18\pi$ m². (2p) Aria totală: $240+18\pi \approx 240+18\cdot 3,14=240+56,52=296,52$ m². (2p)

Exercițiul 16 (4p)

Elevul greșește — ipotenuza NU se obține adunând catetele. (1p) Se aplică teorema lui Pitagora: $\text{ipotenuza}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ cm. (2p) Deci ipotenuza corectă este $13$ cm, nu $17$ cm. (Observație de bun-simț: ipotenuza este cea mai lungă latură, dar trebuie să fie mai mică decât suma catetelor.) (1p)

Recapitulare rapidă a formulelor folosite

• Arii: paralelogram $A=b\cdot h$; trapez $A=\frac{(B+b)h}{2}$; romb $A=\frac{d_1{d}_2}{2}$; pătrat $A={\ell }^2=\frac{d^2}{2}$.
• Pătrat: diagonala $d=\ell \sqrt{2}$. Hexagon regulat: apotema $a=\frac{\ell \sqrt{3}}{2}$, aria $A=\frac{P\cdot a}{2}$.
• Cerc: $L=2\pi r$, $A=\pi r^2$; sector/arc pentru unghiul $\alpha$: fracția $\frac{\alpha }{360°}$.
• Thales: dreapta paralelă cu o latură taie proporțional celelalte două laturi.
• Asemănare: laturile în raportul $k$, perimetrele în raportul $k$, ariile în raportul $k^2$.
• Relații metrice (triunghi dreptunghic): înălțimea $h=\sqrt{BD\cdot DC}$; cateta $c=\sqrt{\text{proiecție}\cdot \text{ipotenuza˘}}$; Pitagora ${\text{ip}}^2=c_1^2+c_2^2$.
• Trigonometrie: $\sin =\frac{\text{opusa˘}}{\text{ipotenuza˘}}$, $\cos =\frac{\text{ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza˘}}$, $\mathrm{tg}=\frac{\text{opusa˘}}{\text{ala˘turata˘}}$.

Pentru părinți și profesori

• Cum se aplică: Testul se dă individual, în clasă sau acasă, cu foaie de lucru și instrumente de geometrie (riglă, echer, raportor, compas). Elevul are voie să folosească valorile trigonometrice remarcabile (pentru $30°$, $45°$, $60°$) și aproximările $\pi \approx 3,14$, $\sqrt{2}\approx 1,41$, $\sqrt{3}\approx 1,73$ acolo unde se cere un rezultat numeric.
• Punctaj total: 100 de puncte (10 puncte din oficiu + 90 de puncte pe cei 16 itemi).
• Timp recomandat: 90 de minute (o oră și jumătate). Recomandați elevului să rezolve întâi itemii siguri și să lase la final itemii cu subpuncte multiple.
• Note orientative: $90$–$100$p = nota 9–10 · $75$–$89$p = 8 · $60$–$74$p = 7 · $45$–$59$p = 5–6 · sub $45$p = se reia recapitularea pe capitole.
• Strategie recomandată: citește enunțul de două ori, fă mereu o figură la geometrie, notează datele pe figură și verifică la final dacă rezultatul are sens (o latură nu poate fi negativă, o ipotenuză este mereu cea mai mare latură).