Test recapitulare: geometrie plană și în spațiu (model Evaluare Națională)

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Recapitulare finală și pregătire pentru Evaluarea Națională

Exerciții

Partea I – Geometrie plană

Exercițiul 1 — Relații metrice în triunghiul dreptunghic (6 puncte)

O rampă metalică are forma triunghiului dreptunghic $ABC$, cu unghiul drept în $A$, în care $AB=9$ cm și $AC=12$ cm. Se notează cu $AD$ înălțimea din $A$, cu $D\in BC$.

a) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$. b) Calculează lungimea înălțimii $AD$. c) Calculează lungimile proiecțiilor $BD$ și $DC$ ale catetelor pe ipotenuză.

Exercițiul 2 — Adevărat / Fals cu motivare (patrulatere) (5 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt. a) Diagonalele oricărui dreptunghi sunt congruente. b) Diagonalele oricărui paralelogram sunt perpendiculare. c) Orice pătrat este și romb. d) Un trapez are exact o pereche de laturi paralele. e) Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este $360^{\circ }$.

Exercițiul 3 — Cercul: coardă, lungime, sector (6 puncte)

Un cerc de centru $O$ are raza $R=10$ cm. O coardă $AB$ se află la distanța de $6$ cm față de centrul $O$.

a) Calculează lungimea coardei $AB$. b) Calculează lungimea cercului (lasă rezultatul în funcție de $\pi$). c) Calculează aria unui sector de cerc corespunzător unui unghi la centru de $72^{\circ }$ (rezultatul în funcție de $\pi$).

Exercițiul 4 — Asemănare (teorema fundamentală / Thales) (6 puncte)

În triunghiul $ABC$, punctele $M\in AB$ și $N\in AC$ sunt astfel încât $MN\parallel BC$. Se știe că $AM=4$ cm, $MB=6$ cm și $BC=15$ cm.

a) Determină raportul de asemănare $\frac{AM}{AB}$. b) Calculează lungimea segmentului $MN$. c) Determină raportul dintre aria triunghiului $AMN$ și aria triunghiului $ABC$.

Exercițiul 5 — Rombul (5 puncte)

Un romb $ABCD$ are diagonalele $AC=16$ cm și $BD=12$ cm. a) Calculează lungimea laturii rombului și perimetrul lui. b) Calculează aria rombului.

Exercițiul 6 — Trapezul isoscel (6 puncte)

Un trapez isoscel $ABCD$ (cu $AB\parallel CD$) are bazele $AB=20$ cm și $CD=12$ cm, iar laturile neparalele $AD=BC=5$ cm.

a) Calculează înălțimea trapezului. b) Calculează aria trapezului. c) Calculează perimetrul trapezului.

Partea a II-a – Geometrie în spațiu și T3P

Exercițiul 7 — Cubul (6 puncte)

Se dă cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia de $5$ cm.

a) Calculează lungimea diagonalei unei fețe. b) Calculează lungimea diagonalei cubului. c) Determină, justificat, măsura unghiului dintre dreptele $AB$ și $B^{\prime }{C}^{\prime }$.

Exercițiul 8 — Teorema celor trei perpendiculare (7 puncte)

Se dă piramida patrulateră regulată $VABCD$, cu $O$ centrul bazei și $VO\perp (ABCD)$. Fie $M$ mijlocul laturii $BC$.

a) Arată, folosind teorema celor trei perpendiculare, că $VM\perp BC$. b) Știind că latura bazei este de $12$ cm și $VO=8$ cm, calculează lungimea apotemei piramidei $VM$. c) Calculează aria laterală a piramidei.

Partea a III-a – Corpuri geometrice: arii și volume

Exercițiul 9 — Paralelipipedul dreptunghic (6 puncte)

O cutie are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de $3$ cm, $4$ cm și $12$ cm.

a) Calculează aria totală a paralelipipedului. b) Calculează volumul lui. c) Calculează lungimea diagonalei paralelipipedului.

Exercițiul 10 — Prisma patrulateră regulată (6 puncte)

O prismă patrulateră regulată are latura bazei (pătrat) de $6$ cm și înălțimea de $10$ cm. a) Calculează aria laterală. b) Calculează aria totală. c) Calculează volumul.

Exercițiul 11 — Cilindrul (7 puncte)

Un rezervor are forma unui cilindru circular drept cu raza bazei de $6$ cm și înălțimea de $10$ cm. Lasă rezultatele în funcție de $\pi$. a) Calculează aria laterală. b) Calculează aria totală. c) Calculează volumul.

Exercițiul 12 — Conul (7 puncte)

Un capac decorativ are forma unui con circular drept cu raza bazei $r=6$ cm și generatoarea $g=10$ cm. Lasă rezultatele în funcție de $\pi$.

a) Calculează înălțimea conului. b) Calculează aria laterală și aria totală. c) Calculează volumul.

Exercițiul 13 — Piramida patrulateră regulată (7 puncte)

O piramidă patrulateră regulată $VABCD$ are latura bazei de $10$ cm și înălțimea $VO=12$ cm. a) Calculează lungimea apotemei piramidei. b) Calculează aria laterală și aria totală. c) Calculează volumul.

Exercițiul 14 — Sfera (5 puncte)

O minge are forma unei sfere cu raza de $3$ cm. Lasă rezultatele în funcție de $\pi$. a) Calculează aria sferei. b) Calculează volumul sferei.

Partea a IV-a – Problemă de sinteză

Exercițiul 15 — Corp compus (con + semisferă) (5 puncte)

O jucărie are forma din figură: un con circular drept, cu raza bazei de $3$ cm și înălțimea de $4$ cm, peste care este așezată o semisferă de aceeași rază, de $3$ cm. Lasă rezultatele în funcție de $\pi$.

a) Calculează volumul conului. b) Calculează volumul semisferei. c) Calculează volumul total al jucăriei.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1 · 6 puncte a) Cu teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ cm (2 p). b) $AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{9\cdot 12}{15}=\frac{108}{15}=7,2$ cm (2 p). c) $BD=\frac{A{B}^2}{BC}=\frac{81}{15}=5,4$ cm și $DC=\frac{A{C}^2}{BC}=\frac{144}{15}=9,6$ cm (2 p). (Verificare: $5,4+9,6=15$ și $A{D}^2=BD\cdot DC=5,4\cdot 9,6=51,84$.)

Exercițiul 2 · 5 puncte — câte 1 p (valoare + motivare). a) A — dreptunghiul are diagonalele congruente (proprietate caracteristică a dreptunghiului). b) F — diagonalele sunt perpendiculare doar la romb (și pătrat); la un paralelogram oarecare nu sunt perpendiculare. c) A — pătratul are toate laturile congruente, deci este un caz particular de romb. d) A — prin definiție, trapezul are exact o pereche de laturi paralele (dacă ar avea două, ar fi paralelogram). e) A — suma unghiurilor oricărui patrulater convex este $360^{\circ }$ (se descompune în două triunghiuri, $2\cdot 180^{\circ }$).

Exercițiul 3 · 6 puncte a) Perpendiculara din $O$ pe coardă cade în mijlocul ei; cu Pitagora, jumătatea coardei $=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$ cm, deci $AB=2\cdot 8=16$ cm (2 p). b) Lungimea cercului $=2\pi R=2\pi \cdot 10=20\pi$ cm (2 p). c) Aria sectorului $=\frac{72^{\circ }}{360^{\circ }}\cdot \pi R^2=\frac{1}{5}\cdot \pi \cdot 100=20\pi {\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 4 · 6 puncte a) $AB=AM+MB=4+6=10$ cm, deci $\frac{AM}{AB}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$ (2 p). b) Din $MN\parallel BC$, triunghiul $AMN$ este asemenea cu $ABC$, cu raportul $\frac{2}{5}$, deci $MN=\frac{2}{5}\cdot BC=\frac{2}{5}\cdot 15=6$ cm (2 p). c) Raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare: ${\left(\frac{2}{5}\right)}^2=\frac{4}{25}$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc, deci latura $=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ cm; perimetrul $=4\cdot 10=40$ cm (3 p). b) Aria $=\frac{d_1\cdot d_2}{2}=\frac{16\cdot 12}{2}=96{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 6 · 6 puncte a) Proiecția unei laturi neparalele pe baza mare $=\frac{AB-CD}{2}=\frac{20-12}{2}=4$ cm; înălțimea $=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$ cm (2 p). b) Aria $=\frac{(AB+CD)}{2}\cdot h=\frac{20+12}{2}\cdot 3=16\cdot 3=48{\text{cm}}^2$ (2 p). c) Perimetrul $=AB+CD+AD+BC=20+12+5+5=42$ cm (2 p).

Exercițiul 7 · 6 puncte a) Diagonala unei fețe (pătrat cu latura $5$) $=5\sqrt{2}$ cm (2 p). b) Diagonala cubului $=5\sqrt{3}$ cm (2 p). c) $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ (muchii paralele), iar $AB\perp BC$ (laturi alăturate ale pătratului $ABCD$), deci unghiul dintre $AB$ și $B^{\prime }{C}^{\prime }$ este $90^{\circ }$ (2 p).

Exercițiul 8 · 7 puncte a) Demonstrație cu T3P (3 p): $VO\perp (ABCD)$, deci $VO$ este perpendiculara pe plan. Proiecția dreptei $VM$ pe planul bazei este $OM$. În baza pătrată, $OM$ (apotema bazei) este perpendiculară pe latura $BC$: $OM\perp BC$. Conform teoremei celor trei perpendiculare, dacă $VO\perp (ABCD)$ și proiecția $OM\perp BC$, atunci și oblica $VM\perp BC$. b) Apotema bazei $OM=\frac{12}{2}=6$ cm; în triunghiul dreptunghic $VOM$ ($\angle O=90^{\circ }$): $VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ cm (2 p). c) Aria laterală $=\frac{P_{baza}\cdot VM}{2}=\frac{48\cdot 10}{2}=240{\text{cm}}^2$ (unde $P_{baza}=4\cdot 12=48$ cm) (2 p).

Exercițiul 9 · 6 puncte — dimensiuni $a=3$, $b=4$, $c=12$. a) Aria totală $=2(ab+bc+ca)=2(3\cdot 4+4\cdot 12+12\cdot 3)=2(12+48+36)=2\cdot 96=192{\text{cm}}^2$ (2 p). b) Volumul $=a\cdot b\cdot c=3\cdot 4\cdot 12=144{\text{cm}}^3$ (2 p). c) Diagonala $=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13$ cm (2 p).

Exercițiul 10 · 6 puncte — latura bazei $6$, înălțimea $10$. a) Aria laterală $=P_{baza}\cdot h=(4\cdot 6)\cdot 10=24\cdot 10=240{\text{cm}}^2$ (2 p). b) Aria totală $=A_{lat}+2\cdot A_{baza}=240+2\cdot 6^2=240+72=312{\text{cm}}^2$ (2 p). c) Volumul $=A_{baza}\cdot h=36\cdot 10=360{\text{cm}}^3$ (2 p).

Exercițiul 11 · 7 puncte — cilindru cu $r=6$, $h=10$. a) Aria laterală $=2\pi rh=2\pi \cdot 6\cdot 10=120\pi {\text{cm}}^2$ (2 p). b) Aria totală $=2\pi r(r+h)=2\pi \cdot 6\cdot (6+10)=12\pi \cdot 16=192\pi {\text{cm}}^2$ (2 p). c) Volumul $=\pi r^{2}h=\pi \cdot 36\cdot 10=360\pi {\text{cm}}^3$ (3 p).

Exercițiul 12 · 7 puncte — con cu $r=6$, $g=10$. a) Înălțimea $h=\sqrt{g^2-r^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$ cm (2 p). b) Aria laterală $=\pi rg=\pi \cdot 6\cdot 10=60\pi {\text{cm}}^2$; aria totală $=\pi r(r+g)=\pi \cdot 6\cdot 16=96\pi {\text{cm}}^2$ (aria laterală $=60\pi$) (2 p). c) Volumul $=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 36\cdot 8=96\pi {\text{cm}}^3$ (3 p).

Exercițiul 13 · 7 puncte — piramidă cu latura bazei $10$, $VO=12$. a) Apotema bazei $=\frac{10}{2}=5$ cm; apotema piramidei $a_p=\sqrt{V{O}^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$ cm (2 p). b) Aria laterală $=\frac{P_{baza}\cdot a_p}{2}=\frac{40\cdot 13}{2}=260{\text{cm}}^2$; aria totală $=260+A_{baza}=260+100=360{\text{cm}}^2$ (aria laterală $=260$) (2 p). c) Volumul $=\frac{1}{3}\cdot A_{baza}\cdot VO=\frac{1}{3}\cdot 100\cdot 12=400{\text{cm}}^3$ (3 p).

Exercițiul 14 · 5 puncte — sferă cu $r=3$. a) Aria sferei $=4\pi r^2=4\pi \cdot 9=36\pi {\text{cm}}^2$ (2 p). b) Volumul $=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 27=36\pi {\text{cm}}^3$ (3 p).

Exercițiul 15 · 5 puncte — con ($r=3$, $h=4$) + semisferă ($r=3$). a) Volumul conului $=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 9\cdot 4=12\pi {\text{cm}}^3$ (2 p). b) Volumul semisferei $=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi r^3=\frac{2}{3}\pi \cdot 27=18\pi {\text{cm}}^3$ (2 p). c) Volumul total $=12\pi +18\pi =30\pi {\text{cm}}^3$ (1 p).

Recomandare: dacă elevul greșește la Exercițiul 1. (relații metrice), reia cele trei formule cheie din triunghiul dreptunghic: ${\text{cateta˘}}^2=\text{proiecție}\cdot \text{ipotenuza˘}$, ${\text{ıˆna˘lțime}}^2={\text{proiecție}}_1\cdot {\text{proiecție}}_2$ și $\text{ıˆna˘lțime}=\frac{{\text{cateta˘}}_1\cdot {\text{cateta˘}}_2}{\text{ipotenuza˘}}$. La Exercițiul 8. (T3P), reține schema: perpendiculara pe plan + proiecția perpendiculară pe o dreaptă din plan $\Rightarrow$ oblica perpendiculară pe acea dreaptă. La corpurile rotunde (Exercițiile 11–12, 14–15), verifică întotdeauna dacă rezultatul se cere „în funcție de $\pi$" și nu confunda aria laterală cu aria totală.

Pentru părinți și profesori

Acest test este un model de subiect de Evaluare Națională axat pe geometrie, care recapitulează, într-un singur set de itemi, principalele conținuturi din clasele a VII-a și a VIII-a: relații metrice în triunghiul dreptunghic, patrulatere, cercul, asemănarea triunghiurilor (teorema fundamentală a asemănării / Thales), apoi geometria în spațiu — poziții relative de drepte și plane, teorema celor trei perpendiculare (T3P) — și, în final, corpurile geometrice cu ariile și volumele lor (paralelipiped, prismă, cilindru, con, piramidă, sferă). Itemii sunt formulați în contexte aplicative și sunt gradați ca dificultate, exact în spiritul probei reale.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din cei 15 itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 100–120 de minute (ca la proba reală de Evaluare Națională).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie separată, cu creion, riglă și, eventual, echer. La geometria în spațiu, corpurile se desenează „în perspectivă" (cavalier), cu muchiile ascunse trasate punctat. Se permite lăsarea rezultatelor cu $\pi$ și cu radical, așa cum se cere la fiecare item. La final, comparați cu Baremul și răspunsurile.
• Interpretare orientativă: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reia capitolul respectiv.
• Strategie și greșeli frecvente: citește enunțul de două ori și fă o figură corectă; nu confunda apotema bazei (din centrul bazei până la mijlocul unei laturi) cu apotema piramidei (din vârf până la mijlocul unei laturi a bazei); la relații metrice, reține ${\text{cateta˘}}^2=\text{proiecție}\cdot \text{ipotenuza˘}$ și ${\text{ıˆna˘lțime}}^2={\text{proiecție}}_1\cdot {\text{proiecție}}_2$; verifică unitățile de măsură.

Notă: marcajele 🖼️ [Imagine: ...] descriu figura care însoțește itemul; elevul o poate reface după descriere. Notația standard pentru cub este $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cu baza $ABCD$ jos și fața $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ sus ($A^{\prime }$ deasupra lui $A$ etc.).