Test: Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Exerciții

Exercițiul 1 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și motivează pe scurt răspunsul. (4 × 2p)

a) Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii înălțimii din vârful unghiului drept este egal cu produsul proiecțiilor catetelor pe ipotenuză. b) Proiecția unei catete pe ipotenuză are lungimea mai mare decât ipotenuza. c) Un triunghi cu laturile de $6\text{cm}$, $8\text{cm}$ și $10\text{cm}$ este dreptunghic. d) Sinusul unui unghi ascuțit poate fi egal cu $\frac{5}{4}$.

Exercițiul 2 (8 puncte)

În triunghiul dreptunghic $ABC$ (unghiul drept în $A$), înălțimea $AD$ cade pe ipotenuză în punctul $D$. Proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt $BD=9\text{cm}$ și $DC=16\text{cm}$.

a) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$. (2p) b) Folosind teorema înălțimii, calculează lungimea înălțimii $AD$. (2p) c) Folosind teorema catetei, calculează lungimile catetelor $AB$ și $AC$. (4p)

Exercițiul 3 (5 puncte)

În triunghiul dreptunghic $ABC$ (unghiul drept în $A$), ipotenuza este $BC=10\text{cm}$, iar proiecția catetei $AC$ pe ipotenuză este $DC=2\text{cm}$.

a) Calculează proiecția $BD$ a celeilalte catete pe ipotenuză. (1p) b) Calculează lungimea catetei $AB$ (scrie rezultatul cu radicalul adus la forma cea mai simplă). (2p) c) Calculează lungimea catetei $AC$ (idem). (2p)

Exercițiul 4 (5 puncte)

O scară dreaptă de $13\text{m}$ este sprijinită de un perete vertical. Piciorul scării se află la $5\text{m}$ de perete, pe sol orizontal.

La ce înălțime pe perete ajunge vârful scării? Justifică pe scurt ce teoremă folosești.

Exercițiul 5 (6 puncte)

Pentru fiecare triplet de lungimi, stabilește prin calcul dacă un triunghi cu laturile respective este dreptunghic (folosește reciproca teoremei lui Pitagora); dacă da, precizează care latură este ipotenuza. (3 × 2p)

a) $7\text{cm}$, $24\text{cm}$, $25\text{cm}$. b) $5\text{cm}$, $6\text{cm}$, $8\text{cm}$. c) $10\text{cm}$, $24\text{cm}$, $26\text{cm}$.

Exercițiul 6 (6 puncte)

În triunghiul dreptunghic $ABC$ (unghiul drept în $A$) se cunosc $AB=6\text{cm}$, $AC=8\text{cm}$ și $BC=10\text{cm}$. Pentru unghiul ascuțit $B$:

a) Scrie valorile $\sin B$ și $\cos B$. (3p) b) Scrie valorile $\mathrm{tg}B$ și $\mathrm{ctg}B$. (3p)

Exercițiul 7 (6 puncte)

a) Completează cu valorile trigonometrice remarcabile: $\sin 30^{\circ }=?$, $\sin 45^{\circ }=?$, $\sin 60^{\circ }=?$. (2p) b) Calculează $E=\sin 30^{\circ }+\cos 60^{\circ }+\mathrm{tg}45^{\circ }$. (2p) c) Calculează $F=\mathrm{tg}60^{\circ }-\mathrm{ctg}30^{\circ }$. (2p)

Exercițiul 8 (5 puncte)

În triunghiul dreptunghic $ABC$ (unghiul drept în $A$) se cunosc $\hat{B}=30^{\circ }$ și ipotenuza $BC=12\text{cm}$.

a) Cât este măsura unghiului $C$? (1p) b) Calculează lungimea catetei $AC$ (opusă unghiului de $30^{\circ }$). (2p) c) Calculează lungimea catetei $AB$. (2p)

Exercițiul 9 (5 puncte)

a) Un pătrat are latura de $7\text{cm}$. Calculează lungimea diagonalei. (2p) b) Un alt pătrat are diagonala de $6\text{cm}$. Calculează lungimea laturii (raționalizează numitorul, dacă apare). (3p)

Exercițiul 10 (5 puncte)

Un triunghi echilateral are latura de $8\text{cm}$.

a) Calculează lungimea înălțimii triunghiului. (2p) b) Calculează aria triunghiului. (3p)

Exercițiul 11 (6 puncte)

Un hexagon regulat are latura de $6\text{cm}$.

a) Cât este raza cercului circumscris hexagonului (distanța de la centru la un vârf)? (2p) b) Calculează apotema hexagonului (distanța de la centru la mijlocul unei laturi). (2p) c) Calculează lungimea diagonalei mari (care unește două vârfuri opuse). (2p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

În triunghiul dreptunghic $ABC$ (unghiul drept în $A$) se cunosc catetele $AB=6\text{cm}$ și $AC=8\text{cm}$. Se construiește înălțimea $AD\perp BC$, $D\in BC$.

a) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$. (2p) b) Calculează lungimea înălțimii $AD$. (2p) c) Calculează lungimile proiecțiilor $BD$ și $DC$ ale catetelor pe ipotenuză. (4p)

Exercițiul 13 (4 puncte)

Dintr-un punct de pe sol, aflat la $20\text{m}$ de baza unui copac, unghiul de elevație spre vârful copacului este de $60^{\circ }$. Ce înălțime are copacul? (Presupunem că observația se face de la nivelul solului.)

Exercițiul 14 (6 puncte)

Un triunghi $ABC$ are laturile $AB=9\text{cm}$, $AC=12\text{cm}$ și $BC=15\text{cm}$.

a) Arată, prin calcul, că triunghiul este dreptunghic și precizează în ce vârf este unghiul drept. (2p) b) Calculează lungimea înălțimii din vârful unghiului drept pe ipotenuză. (2p) c) Calculează lungimile proiecțiilor celor două catete pe ipotenuză. (2p)

Exercițiul 15 (3 puncte)

Într-un triunghi dreptunghic cu unghiul drept în $A$ se știe că $\sin B=\frac{3}{5}$. Calculează:

a) $\cos B$; (1p) b) $\mathrm{tg}B$; (1p) c) $\cos C$, unde $C$ este celălalt unghi ascuțit al triunghiului. (1p)

Exercițiul 16 (4 puncte)

Un teren dreptunghiular are dimensiunile de $30\text{m}$ și $40\text{m}$. Se amenajează o alee dreaptă care unește două colțuri opuse ale terenului.

Ce lungime are aleea? Justifică pe scurt ce teoremă folosești.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Exercițiul 1 (8p)

a) Adevărat. Este chiar teorema înălțimii: $A{D}^2=BD\cdot DC$ (înălțimea este medie geometrică a proiecțiilor catetelor pe ipotenuză). (2p) b) Fals. Proiecția unei catete este o parte a ipotenuzei ($BD<BC$ și $DC<BC$), deci este mai mică decât ipotenuza. (2p) c) Adevărat. $6^2+8^2=36+64=100=10^2$, deci, prin reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic. (2p) d) Fals. Sinusul unui unghi ascuțit este un raport dintre o catetă și ipotenuză, deci ia valori între $0$ și $1$; $\frac{5}{4}>1$ este imposibil. (2p)

Exercițiul 2 (8p)

a) $BC=BD+DC=9+16=25\text{cm}.$ (2p) b) Teorema înălțimii: $A{D}^2=BD\cdot DC=9\cdot 16=144\Rightarrow AD=12\text{cm}.$ (2p) c) Teorema catetei: $$A{B}^2=BD\cdot BC=9\cdot 25=225\Rightarrow AB=15\text{cm},$$ $$A{C}^2=DC\cdot BC=16\cdot 25=400\Rightarrow AC=20\text{cm}.$$ (4p)

(Verificare: $15^2+20^2=225+400=625=25^2$.)

Exercițiul 3 (5p)

a) $BD=BC-DC=10-2=8\text{cm}.$ (1p) b) Teorema catetei: $A{B}^2=BD\cdot BC=8\cdot 10=80\Rightarrow AB=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\text{cm}.$ (2p) c) Teorema catetei: $A{C}^2=DC\cdot BC=2\cdot 10=20\Rightarrow AC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\text{cm}.$ (2p)

(Verificare: $A{B}^2+A{C}^2=80+20=100=B{C}^2$.)

Exercițiul 4 (5p)

Peretele, solul și scara formează un triunghi dreptunghic cu unghiul drept la baza peretelui; scara este ipotenuza. Prin teorema lui Pitagora: $$h^2=13^2-5^2=169-25=144\Rightarrow h=12\text{m}.$$ (5p: 2p teoremă/relație, 3p calcul) Vârful scării ajunge la $12\text{m}$ înălțime.

Exercițiul 5 (6p)

a) $7^2+24^2=49+576=625=25^2$. Dreptunghic, ipotenuza este latura de $25\text{cm}$. (2p) b) $5^2+6^2=25+36=61$, iar $8^2=64$. Cum $61\ne 64$, triunghiul nu este dreptunghic. (2p) c) $10^2+24^2=100+576=676=26^2$. Dreptunghic, ipotenuza este latura de $26\text{cm}$. (2p)

Exercițiul 6 (6p)

Pentru unghiul $B$: cateta opusă este $AC=8$, cateta alăturată este $AB=6$, ipotenuza este $BC=10$. a) $\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$; $\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.$ (3p) b) $\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$; $\mathrm{ctg}B=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.$ (3p)

Exercițiul 7 (6p)

a) $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}.$ (2p) b) $E=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1=2.$ (2p) c) $\mathrm{tg}60^{\circ }=\sqrt{3}$ și $\mathrm{ctg}30^{\circ }=\sqrt{3}$, deci $F=\sqrt{3}-\sqrt{3}=0.$ (2p)

Exercițiul 8 (5p)

a) $\hat{C}=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }.$ (1p) b) Cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză (sau $AC=BC\cdot \sin 30^{\circ }=12\cdot \frac{1}{2}$): $AC=6\text{cm}.$ (2p) c) $AB=BC\cdot \sin 60^{\circ }=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\text{cm}.$ (2p)

(Verificare: $6^2+(6\sqrt{3}{)}^2=36+108=144=12^2$.)

Exercițiul 9 (5p)

a) Diagonala pătratului: $d=l\sqrt{2}=7\sqrt{2}\text{cm}.$ (2p) b) Din $d=l\sqrt{2}$ rezultă $l=\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\text{cm}.$ (3p)

Exercițiul 10 (5p)

a) Înălțimea triunghiului echilateral: $h=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\text{cm}.$ (2p) b) Aria: $\mathcal{A}=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{64\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}{\text{cm}}^2.$ (3p)

(Alternativ: $\mathcal{A}=\frac{l\cdot h}{2}=\frac{8\cdot 4\sqrt{3}}{2}=16\sqrt{3}{\text{cm}}^2$.)

Exercițiul 11 (6p)

a) La un hexagon regulat, raza cercului circumscris este egală cu latura: $R=6\text{cm}.$ (2p) b) Apotema: $a=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{cm}.$ (2p) c) Diagonala mare este dublul laturii: $D=2l=12\text{cm}.$ (2p)

Exercițiul 12 (8p)

a) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\text{cm}.$ (2p) b) Înălțimea din unghiul drept: $AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{6\cdot 8}{10}=\frac{48}{10}=4,8\text{cm}.$ (2p) c) Teorema catetei: $BD=\frac{A{B}^2}{BC}=\frac{36}{10}=3,6\text{cm}$ și $DC=\frac{A{C}^2}{BC}=\frac{64}{10}=6,4\text{cm}.$ (4p)

(Verificare: $BD+DC=3,6+6,4=10=BC$ și $A{D}^2=4,8^2=23,04=3,6\cdot 6,4=BD\cdot DC$.)

Exercițiul 13 (4p)

Distanța pe sol este cateta alăturată unghiului de elevație, iar înălțimea copacului este cateta opusă. Folosim tangenta: $$\mathrm{tg}60^{\circ }=\frac{h}{20}\Rightarrow h=20\cdot \mathrm{tg}60^{\circ }=20\sqrt{3}\text{m}.$$ (4p) Copacul are înălțimea de $20\sqrt{3}\text{m}$ (aproximativ $34,6\text{m}$).

Exercițiul 14 (6p)

a) $9^2+12^2=81+144=225=15^2$. Prin reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic; unghiul drept este în $A$ (opus laturii celei mai mari, $BC=15$). Catetele sunt $AB=9$ și $AC=12$, ipotenuza $BC=15$. (2p) b) $AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{9\cdot 12}{15}=\frac{108}{15}=7,2\text{cm}.$ (2p) c) $BD=\frac{A{B}^2}{BC}=\frac{81}{15}=5,4\text{cm}$ și $DC=\frac{A{C}^2}{BC}=\frac{144}{15}=9,6\text{cm}.$ (2p)

(Verificare: $5,4+9,6=15$.)

Exercițiul 15 (3p)

a) Din ${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B=1$: ${\cos }^{2}B=1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, deci $\cos B=\frac{4}{5}.$ (1p) b) $\mathrm{tg}B=\frac{\sin B}{\cos B}=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}.$ (1p) c) Unghiurile $B$ și $C$ sunt complementare ($B+C=90^{\circ }$), deci $\cos C=\sin B=\frac{3}{5}.$ (1p)

Exercițiul 16 (4p)

Diagonala terenului este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele $30\text{m}$ și $40\text{m}$. Prin teorema lui Pitagora: $$d=\sqrt{30^2+40^2}=\sqrt{900+1600}=\sqrt{2500}=50\text{m}.$$ (4p) Aleea are lungimea de $50\text{m}$.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică unitatea „Relații metrice în triunghiul dreptunghic. Trigonometrie" de la clasa a VII-a. Sunt acoperite: proiecțiile ortogonale pe o dreaptă, teorema înălțimii, teorema catetei, teorema lui Pitagora și reciproca ei, sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit, valorile trigonometrice ale unghiurilor de 30°, 45° și 60°, rezolvarea triunghiului dreptunghic și aplicațiile la triunghiul echilateral, pătrat și hexagonul regulat. Itemii sunt gradați ca dificultate: de la recunoașterea proprietăților și calcule directe, până la probleme aplicate în context real și scurte justificări.

• Timp recomandat: 50 de minute (lucru individual, la clasă sau acasă).
• Punctaj: fiecare item are punctajul trecut în paranteză. Suma itemilor este de 90 de puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu, deci total 100 de puncte.
• Materiale permise: riglă, echer, creion. Rezultatele pot conține radicali (de exemplu $2\sqrt{5}$) — aceștia se lasă în forma cea mai simplă, nu este nevoie de calculator.
• Cum se corectează: folosiți secțiunea Barem și răspunsuri de la final. Pentru itemii de justificare, se punctează raționamentul corect, chiar dacă redactarea diferă de model.

Notă privind programa: testul folosește doar noțiuni de clasa a VII-a (geometrie în plan, relații metrice și trigonometrie în triunghiul dreptunghic, radicali). Nu apar corpuri geometrice, formule de calcul prescurtat, ecuații de gradul al II-lea în formă generală sau noțiunea formală de funcție.

Convenție de notație folosită în test: dacă nu se precizează altfel, triunghiul dreptunghic $ABC$ are unghiul drept în $A$, iar $AD$ este înălțimea din $A$ pe ipotenuza $BC$ (cu $D\in BC$). Atunci $BD$ și $DC$ sunt proiecțiile catetelor $AB$, respectiv $AC$ pe ipotenuză.