Test: Rezolvarea inecuațiilor de gradul I

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Inecuații în ℝ

Exerciții

Partea I – Noțiuni de bază

Exercițiul 1 (4 puncte)

Completează: o inecuație de gradul I cu necunoscuta $x$ este o inecuație care se poate aduce la forma $ax+b\square 0$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale, iar $a$______ $0$; semnul $\square$ poate fi unul dintre ______, ______, ______ sau ______. A rezolva o inecuație înseamnă a determina mulțimea ______ ei.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se dă inecuația $3x-4>5$. Verifică, prin calcul, care dintre numerele următoare este soluție a inecuației: a) $x=1$; b) $x=3$; c) $x=4$.

Exercițiul 3 (4 puncte)

Scrie mulțimea soluțiilor ca interval, pentru fiecare caz: a) $x\ge 2$; b) $x<-1$; c) $x\le 3$; d) $x>0$.

Exercițiul 4 (6 puncte)

Rezolvă inecuațiile și scrie soluția ca interval: a) $2x-6\ge 0$; b) $3x+12<0$.

Partea a II-a – Schimbarea sensului și transformări echivalente

Exercițiul 5 (5 puncte)

Rezolvă inecuațiile, având grijă la sensul inecuației, și scrie soluția ca interval: a) $-x<3$; b) $-2x\ge 8$; c) $-3x+1\le 7$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt. a) Dacă înmulțim ambii membri ai unei inecuații cu $-2$, sensul inecuației se păstrează. b) Din $5>3$, prin înmulțire cu $-1$, se obține $-5<-3$. c) Scrierea $x\ge 2$ înseamnă că $x$ poate lua și valoarea $2$.

Exercițiul 7 (6 puncte)

Rezolvă inecuația cu paranteze și scrie soluția ca interval: $$2(x-3)+4\le x+1.$$

Exercițiul 8 (6 puncte)

Rezolvă inecuația și reprezintă pe axă mulțimea soluțiilor: $$3(x+1)-2(x-4)>0.$$

Partea a III-a – Inecuații cu numitori

Exercițiul 9 (6 puncte)

Rezolvă inecuația cu numitori și scrie soluția ca interval: $$\frac{2x-1}{3}-\frac{x-2}{2}\le 1.$$ (Indicație: se amplifică pentru a aduce la același numitor; numitorul comun $6$ este pozitiv, deci sensul se păstrează.)

Exercițiul 10 (6 puncte)

Rezolvă inecuația și scrie soluția ca interval, atent la schimbarea sensului: $$\frac{1-2x}{3}>1.$$

Exercițiul 11 (4 puncte)

Se dă inecuația $4x-7<5$. a) Rezolvă inecuația. b) Scrie toate numerele naturale $x$ care sunt soluții și precizează cel mai mare număr întreg care verifică inecuația.

Partea a IV-a – Probleme care se rezolvă cu inecuații

Exercițiul 12 (7 puncte)

La un obiect, un elev a obținut la primele două teze notele $7$ și $8$. Notează cu $x$ nota de la a treia teză. a) Scrie o inecuație care exprimă faptul că media celor trei note este cel puțin $8$. b) Rezolvă inecuația. c) Care este nota minimă pe care trebuie să o obțină elevul la a treia teză?

Exercițiul 13 (6 puncte)

Un dreptunghi are lungimea de $12$ cm, iar lățimea este $x$ cm (cu $x>0$). a) Scrie o inecuație care exprimă faptul că perimetrul dreptunghiului este cel mult $40$ cm. b) Rezolvă inecuația și scrie, ca interval, valorile posibile ale lățimii $x$.

Exercițiul 14 (7 puncte)

Ana are $100$ de lei. Vrea să cumpere un caiet care costă $12$ lei și mai multe pixuri, fiecare de $7$ lei. Notează cu $n$ numărul de pixuri. a) Scrie o inecuație care exprimă faptul că suma cheltuită nu depășește $100$ de lei. b) Rezolvă inecuația. c) Câte pixuri poate cumpăra Ana cel mult?

Partea a V-a – Raționament și sinteză

Exercițiul 15 (6 puncte)

În fiecare desen este reprezentată pe axă mulțimea soluțiilor unei inecuații de gradul I. Scrie, pentru fiecare, inecuația de forma cerută și intervalul soluțiilor. a) 🖼️ [Imagine: axă cu un punct plin în $-2$ și săgeată/hașură spre dreapta.] b) 🖼️ [Imagine: axă cu un cerculeț gol în $3$ și săgeată/hașură spre stânga.]

Exercițiul 16 (7 puncte)

Rezolvă inecuația cu paranteze și numitori, apoi reprezintă pe axă mulțimea soluțiilor: $$\frac{x+2}{2}-\frac{x-1}{3}\ge x-2.$$

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1 · 4 puncte Forma $ax+b\square 0$ cu $a\ne 0$ (1 p); semnul $\square$ poate fi $\ge$, $\le$, $<$ sau $>$ (2 p); a rezolva înseamnă a determina mulțimea soluțiilor (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte — se calculează $3x-4$ și se compară cu $5$. a) $x=1$: $3\cdot 1-4=-1$, iar $-1>5$ este fals ⇒ nu este soluție (1,5 p). b) $x=3$: $3\cdot 3-4=5$, iar $5>5$ este fals ⇒ nu este soluție (1,5 p). c) $x=4$: $3\cdot 4-4=8$, iar $8>5$ este adevărat ⇒ este soluție (2 p).

Exercițiul 3 · 4 puncte — câte 1 p pentru fiecare interval. a) $[2,\infty )$; b) $(-\infty ,-1)$; c) $(-\infty ,3]$; d) $(0,\infty )$. (Paranteză dreaptă/pătrată la capăt inclus $\ge ,\le$; paranteză rotundă la capăt exclus $>,<$ și la $\pm \infty$.)

Exercițiul 4 · 6 puncte — câte 3 p pentru fiecare. a) $2x-6\ge 0\Rightarrow 2x\ge 6\Rightarrow x\ge 3$. Soluția: $[3,\infty )$. b) $3x+12<0\Rightarrow 3x<-12\Rightarrow x<-4$. Soluția: $(-\infty ,-4)$.

Exercițiul 5 · 5 puncte a) $-x<3|\cdot (-1)\Rightarrow x>-3$ (semnul se schimbă). Soluția: $(-3,\infty )$ (1,5 p). b) $-2x\ge 8|:(-2)\Rightarrow x\le -4$ (semnul se schimbă). Soluția: $(-\infty ,-4]$ (1,5 p). c) $-3x+1\le 7\Rightarrow -3x\le 6|:(-3)\Rightarrow x\ge -2$ (semnul se schimbă). Soluția: $[-2,\infty )$ (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) F. La înmulțirea cu un număr negativ ($-2$) sensul inecuației se schimbă, nu se păstrează (1,5 p). b) A. $5\cdot (-1)=-5$, $3\cdot (-1)=-3$ și $-5<-3$; înmulțirea cu $-1$ a schimbat corect sensul (2 p). c) A. $x\ge 2$ înseamnă „mai mare sau egal cu $2$", deci $x=2$ este permis (1,5 p).

Exercițiul 7 · 6 puncte $2(x-3)+4\le x+1\Rightarrow 2x-6+4\le x+1$ (2 p) $\Rightarrow 2x-2\le x+1\Rightarrow 2x-x\le 1+2$ (2 p) $\Rightarrow x\le 3$. Soluția: $(-\infty ,3]$ (2 p).

Exercițiul 8 · 6 puncte $3(x+1)-2(x-4)>0\Rightarrow 3x+3-2x+8>0$ (2 p) $\Rightarrow x+11>0\Rightarrow x>-11$ (2 p). Soluția: $(-11,\infty )$. Reprezentare (2 p): 🖼️ [Imagine: cerculeț gol în $-11$, hașură spre dreapta.]

Exercițiul 9 · 6 puncte Numitor comun $6$ (pozitiv, sensul se păstrează): $\frac{2(2x-1)}{6}-\frac{3(x-2)}{6}\le \frac{6}{6}$ (2 p) $\Rightarrow 2(2x-1)-3(x-2)\le 6\Rightarrow 4x-2-3x+6\le 6$ (2 p) $\Rightarrow x+4\le 6\Rightarrow x\le 2$. Soluția: $(-\infty ,2]$ (2 p).

Exercițiul 10 · 6 puncte $\frac{1-2x}{3}>1|\cdot 3\Rightarrow 1-2x>3$ (2 p) $\Rightarrow -2x>2|:(-2)\Rightarrow x<-1$ (semnul se schimbă la împărțirea cu $-2$) (2 p). Soluția: $(-\infty ,-1)$ (2 p).

Exercițiul 11 · 4 puncte a) $4x-7<5\Rightarrow 4x<12\Rightarrow x<3$. Soluția: $(-\infty ,3)$ (2 p). b) Numere naturale soluții: $x\in \{0,1,2\}$ (1 p); cel mai mare număr întreg care verifică este $2$ (1 p).

Exercițiul 12 · 7 puncte a) $\frac{7+8+x}{3}\ge 8$ (2 p). b) $\frac{15+x}{3}\ge 8|\cdot 3\Rightarrow 15+x\ge 24\Rightarrow x\ge 9$ (3 p). c) Nota minimă este $9$ (2 p).

Exercițiul 13 · 6 puncte a) Perimetrul: $P=2(12+x)$, deci $2(12+x)\le 40$ (2 p). b) $24+2x\le 40\Rightarrow 2x\le 16\Rightarrow x\le 8$ (2 p). Cum $x>0$, valorile posibile ale lățimii sunt $(0,8]$ (adică $0<x\le 8$ cm) (2 p).

Exercițiul 14 · 7 puncte a) $12+7n\le 100$ (2 p). b) $7n\le 88\Rightarrow n\le \frac{88}{7}=12,57\dots$ (3 p). c) Cum $n$ este număr natural, Ana poate cumpăra cel mult $12$ pixuri (2 p). (Verificare: $12+7\cdot 12=96\le 100$; $12+7\cdot 13=103>100$.)

Exercițiul 15 · 6 puncte — câte 3 p pentru fiecare. a) Punct plin în $-2$ + spre dreapta ⇒ $x\ge -2$; interval $[-2,\infty )$. b) Cerculeț gol în $3$ + spre stânga ⇒ $x<3$; interval $(-\infty ,3)$.

Exercițiul 16 · 7 puncte Numitor comun $6$ (pozitiv): $\frac{3(x+2)}{6}-\frac{2(x-1)}{6}\ge \frac{6(x-2)}{6}$ (2 p) $\Rightarrow 3(x+2)-2(x-1)\ge 6(x-2)\Rightarrow 3x+6-2x+2\ge 6x-12$ (2 p) $\Rightarrow x+8\ge 6x-12\Rightarrow 8+12\ge 6x-x\Rightarrow 20\ge 5x\Rightarrow x\le 4$ (2 p). Soluția: $(-\infty ,4]$. Reprezentare (1 p): 🖼️ [Imagine: cerculeț plin în $4$, hașură spre stânga.]

Recomandare: dacă elevul greșește la itemii 5 și 10, reluați regula schimbării sensului la înmulțirea/împărțirea cu numere negative. La itemii 9 și 16, exersați aducerea la același numitor (numitor comun pozitiv ⇒ sensul se păstrează). Pentru itemii 12–14, accentuați traducerea enunțului în inecuație („cel puțin" $\Rightarrow \ge$, „cel mult"/„nu depășește" $\Rightarrow \le$) și interpretarea rezultatului în context (număr natural de obiecte).

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică dacă elevul stăpânește inecuațiile de gradul I: forma generală $ax+b\ge 0$ (și $\le$, $<$, $>$), rezolvarea prin transformări echivalente, regula esențială a schimbării sensului la înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ, inecuațiile cu paranteze și cu numitori, precum și scrierea mulțimii soluțiilor ca interval și reprezentarea pe axă. Include și probleme aplicate care se rezolvă cu ajutorul inecuațiilor. Este potrivit pentru consolidare în an de Evaluare Națională.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe o foaie separată, scriind toate transformările echivalente. Pentru reprezentarea pe axă se folosește rigla. La final, comparați rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea noțiunilor din unitate.
• Regula de aur: la înmulțirea sau împărțirea ambilor membri cu un număr negativ, semnul inecuației se schimbă ($\le$ devine $\ge$, $<$ devine $>$ etc.). La adunarea/scăderea aceluiași număr sau la înmulțirea cu un număr pozitiv, sensul se păstrează.

Notă: marcajele 🖼️ [Imagine: ...] descriu reprezentarea pe axă ce însoțește itemul; elevul o poate schița după descriere.