Test: Semn, monotonie și probleme de extrem

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Funcția de gradul al doilea

Exerciții

Partea I – Monotonie, valoare extremă, mulțimea valorilor

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Valoarea minimă a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+7$, este: A. $2$; B. $3$; C. $7$; D. $-3$.

b) Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x^2+8x-6$, este crescătoare pe intervalul: A. $(-\infty ,2]$; B. $[2,+\infty )$; C. $(-\infty ,-2]$; D. $\mathbb{R}$.

c) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-5x+6$. Numărul $f\left(\frac{5}{2}\right)$ este: A. pozitiv; B. negativ; C. egal cu zero; D. egal cu $6$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6x+5$. a) Determină intervalele de monotonie și alcătuiește tabelul de variație. (2 p) b) Precizează dacă funcția are maxim sau minim, care este valoarea extremă și în ce punct se atinge. (2 p) c) Determină mulțimea valorilor funcției, $\mathrm{Im}f$. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Dacă $a<0$, atunci funcția de gradul al doilea $f(x)=a{x}^2+bx+c$ are o valoare maximă." b) „Mulțimea valorilor funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+1$, este $\mathbb{R}$." c) „Dacă $\Delta <0$ și $a>0$, atunci $f(x)>0$ pentru orice număr real $x$." d) „Orice funcție de gradul al doilea este monotonă pe $\mathbb{R}$."

Exercițiul 4 (6 puncte)

Pentru fiecare funcție, precizează dacă are maxim sau minim, care este valoarea extremă și care este mulțimea valorilor (câte 2 puncte): a) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-3x^2+12x$; b) $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=2x^2+4x+5$; c) $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $h(x)=-x^2+6x-9$.

Partea a II-a – Semnul funcției și inecuații

Exercițiul 5 (8 puncte)

Alcătuiește tabelul de semn pentru fiecare funcție și precizează pe ce intervale este pozitivă, respectiv negativă: a) $f(x)=x^2-5x+6$; (3 p) b) $g(x)=-x^2+x+6$; (3 p) c) $h(x)=x^2+2x+5$. (2 p)

Exercițiul 6 (8 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{R}$ inecuațiile, sprijinindu-te pe tabelul de semn sau pe schița parabolei: a) $x^2-5x+6\le 0$; (3 p) b) $-x^2+x+6>0$; (3 p) c) $x^2-6x+9>0$. (2 p)

Exercițiul 7 (7 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{R}$ sistemul de inecuații $$\{\begin{array}{l}{x}^2-4<0\\ x^2-x-2\ge 0\end{array}$$ a) Rezolvă prima inecuație. (2 p) b) Rezolvă a doua inecuație. (3 p) c) Determină mulțimea soluțiilor sistemului. (2 p)

Exercițiul 8 (7 puncte)

a) Determină numerele reale $m$ pentru care $x^2-2x+m\ge 0$, oricare ar fi $x\in \mathbb{R}$. (4 p) b) Determină numerele reale $m$ pentru care $-x^2+mx-4<0$, oricare ar fi $x\in \mathbb{R}$. (3 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Un fermier are $60$ de metri de plasă și vrea să îngrădească o parcelă dreptunghiulară lipită de zidul hambarului, astfel încât plasa să acopere doar celelalte trei laturi. Determină dimensiunile parcelei de arie maximă și calculează această arie.

Partea a III-a – Probleme de extrem și item de tip examen

Exercițiul 10 (8 puncte)

O rachetă de jucărie este lansată vertical de la nivelul solului. Înălțimea ei, în metri, după $t$ secunde, este $$h(t)=-5t^2+30t,t\in [0,6].$$ a) Determină înălțimea maximă atinsă și momentul în care se atinge. (3 p) b) După câte secunde ajunge racheta înapoi la sol? (2 p) c) Determină intervalul de timp în care racheta se află la o înălțime de cel puțin $25$ de metri. (3 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

O sală de sport vinde abonamente lunare. La prețul de $p$ lei pe abonament, numărul de abonamente vândute într-o lună este $200-5p$. a) Scrie funcția care dă venitul lunar $R(p)$ și precizează pentru ce valori ale lui $p$ modelul are sens. (2 p) b) Determină prețul pentru care venitul este maxim și calculează acest venit. (3 p) c) Determină prețurile pentru care venitul lunar este de cel puțin $1500$ de lei. (3 p)

Exercițiul 12 (6 puncte)

(Redactare completă cerută.) Folosind forma canonică, demonstrează că $x^2+x+1>0$ pentru orice număr real $x$ și determină mulțimea valorilor funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+x+1$.

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x+m$, unde $m$ este un număr real. a) Determinați numărul real $m$ știind că valoarea minimă a funcției $f$ este egală cu $3$. (3 p) b) Pentru $m=4$, arătați că $f(x)\ge 3$, oricare ar fi $x\in \mathbb{R}$. (2 p) c) Pentru $m=4$, rezolvați în $\mathbb{R}$ inecuația $f(x)\le 7$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p)

a) B. (2 p) Cum $a=1>0$, funcția are minim, atins în vârf: $x_V=\frac{4}{2}=2$ și $f(2)=4-8+7=3$.

b) A. (2 p) $a=-2<0$, deci funcția crește până la abscisa vârfului și apoi descrește. Cum $x_V=-\frac{8}{2\cdot (-2)}=2$, funcția este crescătoare pe $(-\infty ,2]$.

c) B. (2 p) Rădăcinile sunt $2$ și $3$, iar $\frac{5}{2}$ se află între ele; cum $a=1>0$, între rădăcini funcția are semn contrar lui $a$, deci este negativă. Direct: $f\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}+6=-\frac{1}{4}<0$.

Exercițiul 2. (6 p)

a) (2 p) $x_V=\frac{6}{2}=3$, iar $a=1>0$. Funcția este descrescătoare pe $(-\infty ,3]$ și crescătoare pe $[3,+\infty )$.

b) (2 p) Deoarece $a>0$, funcția are minim. $\Delta =36-20=16$, deci $y_V=-\frac{\Delta }{4a}=-4$; valoarea minimă este $-4$ și se atinge în $x=3$. (Verificare: $f(3)=9-18+5=-4$.)

c) (2 p) $\mathrm{Im}f=[-4,+\infty )$: funcția ia valoarea minimă $-4$ și, pentru $a>0$, toate valorile mai mari decât ea.

Exercițiul 3. (6 p)

a) A. (1,5 p) Din forma canonică $f(x)=a{\left(x-x_V\right)}^2+y_V$: dacă $a<0$, atunci $a{\left(x-x_V\right)}^2\le 0$, deci $f(x)\le y_V$ pentru orice $x$, cu egalitate în $x=x_V$. Valoarea maximă este $y_V$.

b) F. (1,5 p) $x^2\ge 0$, deci $f(x)=x^2+1\ge 1$ pentru orice $x$ real. Mulțimea valorilor este $[1,+\infty )$, nu $\mathbb{R}$; de exemplu $0$ nu este valoare a funcției.

c) A. (1,5 p) Dacă $\Delta <0$, ecuația $f(x)=0$ nu are soluții reale, deci graficul nu taie axa $Ox$ și funcția păstrează semn constant, egal cu semnul lui $a$. Cum $a>0$, rezultă $f(x)>0$ pentru orice $x$.

d) F. (1,5 p) O funcție de gradul al doilea își schimbă monotonia în vârf: este monotonă pe fiecare dintre intervalele $\left(-\infty ,x_V\right]$ și $\left[x_V,+\infty \right)$, dar nu pe $\mathbb{R}$. Contraexemplu: $f(x)=x^2$ are $f(-1)=1>f(0)=0$, dar $f(0)=0<f(1)=1$.

Exercițiul 4. (6 p)

a) (2 p) $f(x)=-3x^2+12x$: $a=-3<0$, deci maxim. $x_V=-\frac{12}{2\cdot (-3)}=2$, $y_V=f(2)=-12+24=12$. Valoarea maximă este $12$, iar $\mathrm{Im}f=(-\infty ,12]$.

b) (2 p) $g(x)=2x^2+4x+5$: $a=2>0$, deci minim. $x_V=-\frac{4}{4}=-1$, $y_V=g(-1)=2-4+5=3$. Valoarea minimă este $3$, iar $\mathrm{Im}g=[3,+\infty )$.

c) (2 p) $h(x)=-x^2+6x-9=-(x-3{)}^2$: $a=-1<0$, deci maxim. $x_V=3$, $y_V=0$. Valoarea maximă este $0$, iar $\mathrm{Im}h=(-\infty ,0]$. (Aici $\Delta =0$: graficul atinge axa $Ox$ exact în vârf.)

Exercițiul 5. (8 p)

a) (3 p) $\Delta =25-24=1>0$, rădăcinile sunt $x_1=2$ și $x_2=3$, iar $a=1>0$.

Deci $f(x)>0$ pe $(-\infty ,2)\cup (3,+\infty )$ și $f(x)<0$ pe $(2,3)$.

b) (3 p) $\Delta =1+24=25>0$, rădăcinile sunt $x_1=-2$ și $x_2=3$, iar $a=-1<0$.

Deci $g(x)<0$ pe $(-\infty ,-2)\cup (3,+\infty )$ și $g(x)>0$ pe $(-2,3)$. (Regula: în afara rădăcinilor, semnul lui $a$; între rădăcini, semn contrar.)

c) (2 p) $\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16<0$ și $a=1>0$, deci $h(x)>0$ pentru orice $x$ real; tabelul are o singură linie de semn, plus peste tot. Nu există intervale pe care funcția să fie negativă.

Exercițiul 6. (8 p)

a) (3 p) Din tabelul de semn de la itemul 5 a), $x^2-5x+6\le 0$ exact între rădăcini, capetele fiind incluse pentru că inegalitatea este nestrictă: $$S=[2,3].$$

b) (3 p) Din tabelul de la itemul 5 b), $-x^2+x+6>0$ între rădăcini, capetele fiind excluse (inegalitate strictă): $$S=(-2,3).$$ (Se acceptă și rezolvarea prin înmulțire cu $-1$: $x^2-x-6<0$, cu aceleași rădăcini $-2$ și $3$ — atenție la schimbarea sensului inegalității.)

c) (2 p) $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$, cu $\Delta =0$ și rădăcina dublă $x=3$. Un pătrat este $\ge 0$ mereu și se anulează doar în $x=3$, deci $$S=\mathbb{R}\setminus \{3\}=(-\infty ,3)\cup (3,+\infty ).$$

Exercițiul 7. (7 p)

a) (2 p) $x^2-4<0\iff (x-2)(x+2)<0$. Rădăcinile sunt $-2$ și $2$, iar $a=1>0$, deci expresia este negativă între rădăcini: $S_1=(-2,2)$.

b) (3 p) $x^2-x-2=0$ are $\Delta =1+8=9$, deci rădăcinile $x_1=\frac{1-3}{2}=-1$ și $x_2=\frac{1+3}{2}=2$; factorizat, $x^2-x-2=(x+1)(x-2)$. Cum $a=1>0$, expresia este $\ge 0$ în afara rădăcinilor, capetele fiind incluse: $S_2=(-\infty ,-1]\cup [2,+\infty )$.

c) (2 p) Soluția sistemului este intersecția: $$S=S_1\cap S_2=(-2,2)\cap ((-\infty ,-1]\cup [2,+\infty ))=(-2,-1].$$ (Valoarea $2$ nu convine, pentru că este exclusă din $S_1$. Verificare: pentru $x=-1$, prima inecuație dă $1-4=-3<0$ ✓, a doua dă $1+1-2=0\ge 0$ ✓.)

Exercițiul 8. (7 p)

a) (4 p) Coeficientul dominant este $a=1>0$, deci ramurile sunt în sus; expresia este $\ge 0$ pe tot $\mathbb{R}$ dacă și numai dacă parabola nu coboară sub axa $Ox$, adică $\Delta \le 0$ (2 p): $$\Delta =4-4m\le 0\iff 4m\ge 4\iff \mathbf{m}\ge 1.$$ (2 p) (Verificare: pentru $m=1$, $x^2-2x+1=(x-1{)}^2\ge 0$ ✓; pentru $m=0$, $x^2-2x$ este negativ pe $(0,2)$, deci $m=0$ nu convine.)

b) (3 p) Aici $a=-1<0$, deci ramurile sunt în jos; expresia este strict negativă pe tot $\mathbb{R}$ dacă și numai dacă parabola nu atinge axa $Ox$, adică $\Delta <0$ (1,5 p): $$\Delta =m^2-4\cdot (-1)\cdot (-4)=m^2-16<0\iff \mathbf{m}\in (-4,4).$$ (1,5 p)

Exercițiul 9. (6 p)

Modelul (2 p). Notăm cu $y$ lungimea fiecăreia dintre cele două laturi perpendiculare pe zid și cu $x$ lungimea laturii paralele cu zidul. Plasa acoperă trei laturi, deci $x+2y=60$, de unde $x=60-2y$, cu $y\in (0,30)$.

Funcția de maximizat (1,5 p). Aria parcelei este $$A(y)=x\cdot y=(60-2y)\cdot y=-2y^2+60y.$$

Maximul (1,5 p). Cum $a=-2<0$, funcția are maxim în vârf: $y_V=-\frac{60}{2\cdot (-2)}=15$, iar $A(15)=-450+900=450$.

Răspunsul și verificarea (1 p). Laturile perpendiculare pe zid au câte $15$ metri, latura paralelă cu zidul are $x=60-30=30$ metri, iar aria maximă este de $450$ metri pătrați. Verificare: $15+15+30=60$ metri de plasă ✓; pentru comparație, $y=10$ dă aria $10\cdot 40=400<450$.

Exercițiul 10. (8 p)

a) (3 p) $a=-5<0$, deci funcția are maxim în vârf (0,5 p). $t_V=-\frac{30}{2\cdot (-5)}=3$ (1,5 p) și $h(3)=-45+90=45$ (1 p). Înălțimea maximă este de $45$ de metri, atinsă după $3$ secunde.

b) (2 p) $h(t)=0\iff -5t(t-6)=0$, deci $t=0$ (momentul lansării) sau $t=6$. Racheta ajunge la sol după $6$ secunde.

c) (3 p) Rezolvăm $-5t^2+30t\ge 25$ (1 p). Împărțim la $-5$ și schimbăm sensul inegalității: $t^2-6t+5\le 0$ (1 p). Rădăcinile sunt $1$ și $5$ ($\Delta =36-20=16$), iar expresia este $\le 0$ între ele, deci $t\in [1,5]$, interval inclus în domeniul $[0,6]$ (1 p). Racheta se află la cel puțin $25$ de metri timp de $4$ secunde. (Verificare: $h(1)=25$ ✓ și $h(5)=-125+150=25$ ✓.)

Exercițiul 11. (8 p)

a) (2 p) Venitul este prețul înmulțit cu numărul de abonamente: $$R(p)=p(200-5p)=-5p^2+200p.$$ Modelul are sens pentru $p\ge 0$ și $200-5p\ge 0$, adică $p\in [0,40]$.

b) (3 p) $a=-5<0$, deci venitul este maxim în vârf: $p_V=-\frac{200}{2\cdot (-5)}=20$ (1,5 p), iar $R(20)=20\cdot (200-100)=20\cdot 100=2000$ (1,5 p). Prețul optim este de $20$ de lei, cu un venit maxim de $2000$ de lei (se vând $100$ de abonamente).

c) (3 p) Rezolvăm $-5p^2+200p\ge 1500$ (1 p), adică, după împărțirea la $-5$ și schimbarea sensului, $p^2-40p+300\le 0$ (1 p). $\Delta =1600-1200=400$, $\sqrt{\Delta }=20$, rădăcinile sunt $p_1=\frac{40-20}{2}=10$ și $p_2=\frac{40+20}{2}=30$, deci $p\in [10,30]$ — interval inclus în domeniul $[0,40]$ (1 p). (Verificare: $R(10)=10\cdot 150=1500$ ✓ și $R(30)=30\cdot 50=1500$ ✓.)

Exercițiul 12. (6 p) — redactare completă.

Forma canonică (2,5 p). Restrângem pătratul: $$x^2+x+1=\left(x^2+2\cdot x\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{4}+1={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}.$$ (Același rezultat se obține din formulă: $\Delta =1-4=-3$ și $-\frac{\Delta }{4a}=\frac{3}{4}$.)

Pozitivitatea (2 p). Pentru orice $x$ real, ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2\ge 0$, deci $$x^2+x+1\ge 0+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}>0,$$ adică expresia este strict pozitivă pentru orice $x\in \mathbb{R}$. $■$

Mulțimea valorilor (1,5 p). Egalitatea $f(x)=\frac{3}{4}$ are loc doar pentru $x=-\frac{1}{2}$ (vârful), iar $a=1>0$, deci funcția ia toate valorile mai mari sau egale cu minimul: $$\mathrm{Im}f=\left[\frac{3}{4},+\infty \right).$$

Exercițiul 13. (8 p)

a) (3 p) $a=1>0$, deci funcția are minim, atins în $x_V=\frac{2}{2}=1$ (1 p). Valoarea minimă este $f(1)=1-2+m=m-1$ (1 p). Din condiția $m-1=3$ rezultă $\mathbf{m}=4$ (1 p). (Echivalent: $-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{4-4m}{4}=m-1=3$.)

b) (2 p) Pentru $m=4$: $f(x)=x^2-2x+4=(x-1{)}^2+3$. Cum $(x-1{)}^2\ge 0$ pentru orice $x$ real, rezultă $f(x)\ge 3$, cu egalitate exact în $x=1$. $■$

c) (3 p) $f(x)\le 7\iff x^2-2x+4\le 7\iff x^2-2x-3\le 0$ (1 p). Rădăcinile sunt $-1$ și $3$ ($\Delta =4+12=16$), iar $a=1>0$, deci expresia este $\le 0$ între rădăcini (1 p): $$S=[-1,3].$$ (1 p) (Verificare: $f(-1)=1+2+4=7$ ✓, $f(3)=9-6+4=7$ ✓, iar $f(1)=3\le 7$ ✓.)

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică al doilea strat al unității: ce se întâmplă cu funcția de gradul al doilea între punctele deja calculate. Sunt acoperite lecțiile Monotonia și valoarea extremă (maxim sau minim), Mulțimea valorilor funcției de gradul al doilea, Semnul funcției de gradul al doilea, citit pe grafic, Inecuații de gradul al doilea rezolvate grafic și Probleme de maxim și minim în context practic. Se presupun cunoscute vârful, axa de simetrie și intersecțiile cu axele, verificate în testul precedent al unității. Accentul cade pe trei deprinderi: citirea intervalelor de monotonie și a valorii extreme din poziția vârfului; scrierea corectă a tabelului de semn în toate cele trei cazuri de discriminant; și modelarea unei probleme practice printr-o funcție de gradul al doilea, urmată de aflarea maximului sau a minimului.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La inecuații se cere tabelul de semn sau schița graficului, nu doar intervalul final; la problemele practice se cere explicit modelul (ce reprezintă variabila, ce funcție se maximizează, pe ce domeniu are sens).
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe legătura dintre semnul lui $a$, semnul lui $\Delta$ și forma tabelului de semn.
• Formule de reținut: pentru $f(x)=a{x}^2+bx+c$ cu $a\ne 0$, vârful este $V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta }{4a}\right)$. Dacă $a>0$, funcția este descrescătoare pe $\left(-\infty ,-\frac{b}{2a}\right]$ și crescătoare pe $\left[-\frac{b}{2a},+\infty \right)$, are minimul $y_V$, iar mulțimea valorilor este $\mathrm{Im}f=[y_V,+\infty )$. Dacă $a<0$, ordinea se inversează: crescătoare, apoi descrescătoare, cu maximul $y_V$ și $\mathrm{Im}f=(-\infty ,y_V]$. Semnul: dacă $\Delta <0$, $f(x)$ are semnul lui $a$ pentru orice $x$ real; dacă $\Delta =0$, are semnul lui $a$ peste tot, cu excepția rădăcinii duble, unde se anulează; dacă $\Delta >0$, cu rădăcinile $x_1<x_2$, $f(x)$ are semnul lui $a$ în afara intervalului $(x_1,x_2)$ și semn contrar lui $a$ între rădăcini.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".