Test: Șiruri, recurențe și caracterizarea progresiilor

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Șiruri și caracterizarea progresiilor

Exerciții

Partea I – Șiruri: definire, recunoaștere, caracterizare

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Șirul $(a_{n})_{n \geq 1}$ este definit prin $a_{1} = 2$ și $a_{n + 1} = a_{n} + 5$ , pentru orice $n \geq 1$ . Termenul $a_{4}$ este: A. $12$ ; B. $17$ ; C. $20$ ; D. $22$ .

b) Numerele reale nenule $x$ , $y$ , $z$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii geometrice dacă și numai dacă: A. $y = \frac{x + z}{2}$ ; B. $y^{2} = x z$ ; C. $y = x + z$ ; D. $2 y = x z$ .

c) Termenul general al șirului $1, 4, 7, 10, \dots$ (progresie aritmetică, $n \geq 1$ ) este: A. $a_{n} = 3 n$ ; B. $a_{n} = 3 n - 2$ ; C. $a_{n} = 3 n + 1$ ; D. $a_{n} = n + 3$ .

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră șirurile: $(a_{n})_{n \geq 1}, a_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 1}; (b_{n})_{n \geq 1}, b_{1} = 3, b_{n + 1} = b_{n} + 2 n (n \geq 1) .$ a) Calculează $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ . (2 p) b) Calculează $b_{2}$ , $b_{3}$ , $b_{4}$ . (2 p) c) Precizează modul de definire al fiecăruia dintre cele două șiruri și dă un exemplu de șir definit descriptiv. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Orice șir care verifică o relație de recurență de forma $a_{n + 1} = a_{n} + d$ , cu $d$ număr real constant, este progresie aritmetică." b) „Dacă $a$ , $b$ , $c$ sunt numere reale nenule cu $b^{2} = a c$ , atunci $b = a c$ ." c) „Un șir constant cu termeni nenuli este simultan progresie aritmetică și progresie geometrică." d) „Dacă al doilea termen al unui șir este media aritmetică a primului și a celui de-al treilea, atunci șirul este progresie aritmetică."

Exercițiul 4 (6 puncte)

Pentru fiecare șir, precizează dacă este progresie aritmetică, progresie geometrică sau niciuna și justifică verificând relația dintre trei termeni consecutivi (câte 2 puncte): a) $a_{n} = 7 - 2 n$ , $n \geq 1$ ; b) $b_{n} = 3 \cdot 2^{n}$ , $n \geq 1$ ; c) $c_{n} = n^{2}$ , $n \geq 1$ .

Partea a II-a – Recurențe, condiții de progresie și formula $a^{n} - b^{n}$

Exercițiul 5 (8 puncte)

a) Determină numărul real $x$ pentru care numerele $x - 1$ , $x + 3$ , $3 x + 1$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Precizează rația. (4 p) b) Determină numărul real $x$ pentru care numerele $x + 1$ , $x + 4$ , $x + 10$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. Precizează rația. (4 p)

Exercițiul 6 (8 puncte)

Se consideră șirul $(a_{n})_{n \geq 1}$ definit prin $a_{1} = 5$ și $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 4$ , pentru orice $n \geq 1$ . a) Calculează $a_{2}$ și $a_{3}$ . (2 p) b) Arată că șirul $(d_{n})_{n \geq 1}$ , unde $d_{n} = a_{n} - 2$ , este progresie geometrică și precizează primul termen și rația. (3 p) c) Deduce formula termenului general $a_{n}$ și verific-o pentru $n = 3$ . (3 p)

Exercițiul 7 (6 puncte)

Un elev scrie în caiet: „Numerele reale $x$ , $y$ , $z$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii geometrice dacă și numai dacă $y^{2} = x z$ ." a) Arată, printr-un contraexemplu, că afirmația în forma dată este falsă, și precizează condiția care lipsește. (3 p) b) Demonstrează implicația care este adevărată fără condiția suplimentară: dacă $x$ , $y$ , $z$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice, atunci $y^{2} = x z$ . (3 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

a) Scrie descompunerea în factori a expresiei $a^{3} - b^{3}$ , folosind formula generală a lui $a^{n} - b^{n}$ , și verifică rezultatul numeric pentru $a = 5$ și $b = 2$ . (3 p) b) Pornind de la formula $a^{n} - b^{n}$ , deduce formula sumei primilor $n$ termeni ai unei progresii geometrice de prim termen $b_{1}$ și rație $q \neq = 1$ : $S_{n} = b_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1} .$ (3 p)

Exercițiul 9 (5 puncte)

Patru numere reale sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Suma lor este $20$ , iar suma pătratelor lor este $120$ . Determină numerele.

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip examen

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Se consideră șirul $(a_{n})_{n \geq 1}$ definit prin $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{a _{n} + 1} (n \geq 1) .$ Demonstrează prin inducție matematică că $a_{n} = \frac{1}{n}$ , pentru orice $n \geq 1$ .

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Demonstrează că un șir $(a_{n})_{n \geq 1}$ de numere reale este progresie aritmetică dacă și numai dacă $a_{n} = \frac{a _{n - 1} + a _{n + 1}}{2}, pentru orice n \geq 2.$ a) Demonstrează implicația directă. (4 p) b) Demonstrează implicația reciprocă. (4 p)

Exercițiul 12 (9 puncte)

Numerele reale $a$ , $b$ , $c$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, iar suma lor este $15$ . Dacă adunăm $1$ la primul număr, $1$ la al doilea și $4$ la al treilea, obținem, în această ordine, trei numere aflate în progresie geometrică. Determină toate tripletele $(a, b, c)$ care îndeplinesc condițiile și verifică fiecare soluție găsită.

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră progresia geometrică $(b_{n})_{n \geq 1}$ cu $b_{1} = 3$ și rația $q = 2$ . a) Calculați suma $S_{8} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{8}$ . (3 p) b) Determinați numărul natural nenul $n$ pentru care $b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} = 3069$ . (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B. Din recurență: $a_{1} = 2$ , $a_{2} = 7$ , $a_{3} = 12$ , $a_{4} = 17$ . (Șirul este progresie aritmetică cu $r = 5$ , deci și direct $a_{4} = 2 + 3 \cdot 5 = 17$ .) b) B. Aceasta este caracterizarea progresiei geometrice prin trei termeni consecutivi: pătratul termenului din mijloc este egal cu produsul vecinilor. Varianta A este caracterizarea progresiei aritmetice. c) B. Progresia are $a_{1} = 1$ și $r = 3$ , deci $a_{n} = 1 + (n - 1) \cdot 3 = 3 n - 2$ . Verificare: $a_{1} = 1$ , $a_{2} = 4$ , $a_{3} = 7$ , $a_{4} = 10$ ✓.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) $a_{1} = \frac{1}{2}$ , $a_{2} = \frac{3}{3} = 1$ , $a_{3} = \frac{5}{4}$ . b) (2 p) $b_{2} = b_{1} + 2 \cdot 1 = 5$ ; $b_{3} = b_{2} + 2 \cdot 2 = 9$ ; $b_{4} = b_{3} + 2 \cdot 3 = 15$ . c) (2 p) Șirul $(a_{n})$ este dat prin formula termenului general (calculăm orice termen direct, înlocuind $n$ ), iar $(b_{n})$ este dat prin recurență (avem nevoie de termenul de pornire $b_{1}$ și de relația care leagă doi termeni consecutivi; pentru $b_{100}$ ar trebui parcurși toți termenii anteriori). (1 p) Exemplu de șir definit descriptiv: „ $a_{n}$ = al $n$ -lea număr prim" ( $2, 3, 5, 7, 11, \dots$ ) sau „ $a_{n}$ = a $n$ -a zecimală a lui $π$ ". (1 p)

Exercițiul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Diferența a doi termeni consecutivi este $a_{n + 1} - a_{n} = d$ , aceeași pentru orice $n$ — exact definiția progresiei aritmetice, cu rația $r = d$ . b) F. Relația de caracterizare este $b^{2} = a c$ , nu $b = a c$ , pentru că radicalul este întotdeauna nenegativ. Contraexemplu: $- 2, - 4, - 8$ este progresie geometrică ( $q = 2$ ) și $(- 4)^{2} = 16 = (- 2) (- 8)$ , dar $a c = 16 = 4 \neq = - 4$ . Din $b^{2} = a c$ rezultă doar $b = \pm a c$ , semnul fiind dat de termenii progresiei. c) A. Pentru șirul constant $a_{n} = c$ , cu $c \neq = 0$ : $a_{n + 1} - a_{n} = 0$ , deci este progresie aritmetică cu $r = 0$ ; și $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = 1$ , deci este progresie geometrică cu $q = 1$ (raportul are sens fiindcă termenii sunt nenuli). d) F. Trei termeni verifică relația doar local; despre termenii următori nu știm nimic. De exemplu $1, 2, 3, 10, \dots$ : avem $2 = \frac{1 + 3}{2}$ , dar șirul nu este progresie aritmetică. Caracterizarea cere relația pentru orice $n \geq 2$ .

Exercițiul 4. (6 p) — câte 2 puncte (1 p răspunsul, 1 p justificarea). a) Progresie aritmetică, cu $r = - 2$ : $a_{n + 1} - a_{n} = (7 - 2 (n + 1)) - (7 - 2 n) = - 2$ , constant. Termenii: $5, 3, 1, - 1, \dots$ ; verificarea caracterizării pentru $n = 2$ : $\frac{5 + 1}{2} = 3 = a_{2}$ ✓. b) Progresie geometrică, cu $q = 2$ : $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = \frac{3 \cdot 2 ^{n + 1}}{3 \cdot 2 ^{n}} = 2$ , constant. Termenii: $6, 12, 24, 48, \dots$ ; verificarea caracterizării: $1 2^{2} = 144 = 6 \cdot 24$ ✓. c) Niciuna. Termenii sunt $1, 4, 9, 16, \dots$ Nu este progresie aritmetică, pentru că $\frac{1 + 9}{2} = 5 \neq = 4$ ; nu este progresie geometrică, pentru că $4^{2} = 16 \neq = 1 \cdot 9 = 9$ .

Exercițiul 5. (8 p)

a) (4 p) Condiția de progresie aritmetică pentru trei termeni consecutivi: termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor (1 p): $2 (x + 3) = (x - 1) + (3 x + 1) .$ Rezultă $2 x + 6 = 4 x$ , deci $x = 3$ (2 p). Termenii sunt $2, 6, 10$ , iar rația este $r = 4$ (1 p).

b) (4 p) Condiția de progresie geometrică (1 p): $(x + 4)^{2} = (x + 1) (x + 10) .$ Dezvoltăm: $x^{2} + 8 x + 16 = x^{2} + 11 x + 10$ , de unde $3 x = 6$ , deci $x = 2$ (2 p). Termenii sunt $3, 6, 12$ — toți nenuli, deci condiția de progresie geometrică este îndeplinită — iar rația este $q = 2$ (1 p).

Exercițiul 6. (8 p)

a) (2 p) $a_{2} = 3 \cdot 5 - 4 = 11$ ; $a_{3} = 3 \cdot 11 - 4 = 29$ .

b) (3 p) Pentru orice $n \geq 1$ : $d_{n + 1} = a_{n + 1} - 2 = (3 a_{n} - 4) - 2 = 3 a_{n} - 6 = 3 (a_{n} - 2) = 3 d_{n},$ deci raportul a doi termeni consecutivi este constant, egal cu $3$ (2 p). Primul termen este $d_{1} = a_{1} - 2 = 3 \neq = 0$ , deci $(d_{n})$ este progresie geometrică cu $d_{1} = 3$ și $q = 3$ (1 p).

c) (3 p) Din formula termenului general al unei progresii geometrice: $d_{n} = d_{1} \cdot q^{n - 1} = 3 \cdot 3^{n - 1} = 3^{n}$ (1,5 p). Cum $a_{n} = d_{n} + 2$ , obținem $a_{n} = 3^{n} + 2$ (1 p). Verificare pentru $n = 3$ : $3^{3} + 2 = 29 = a_{3}$ ✓ (0,5 p).

Exercițiul 7. (6 p)

a) (3 p) Contraexemplu: $x = 0$ , $y = 0$ , $z = 5$ . Avem $y^{2} = 0$ și $x z = 0$ , deci relația $y^{2} = x z$ este îndeplinită (1,5 p), dar $0, 0, 5$ nu este progresie geometrică: raportul $\frac{y}{x}$ nici măcar nu se poate calcula, iar înmulțind $0$ cu orice rație nu obținem $5$ . Condiția care lipsește este ca cele trei numere să fie nenule (1,5 p). (Se acceptă orice contraexemplu corect cu cel puțin un termen nul, de exemplu $3, 0, 0$ .)

b) (3 p) Presupunem că $x$ , $y$ , $z$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice de rație $q$ . Atunci $y = x q ș i z = y q = x q^{2}$ (1,5 p). Prin urmare $y^{2} = (x q)^{2} = x^{2} q^{2} = x \cdot (x q^{2}) = x z,$ ceea ce trebuia demonstrat (1,5 p). $■$

Exercițiul 8. (6 p)

a) (3 p) Pentru $n = 3$ , formula $a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + \dots + b^{n - 1})$ dă $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ (2 p). Verificare pentru $a = 5$ , $b = 2$ : membrul stâng este $125 - 8 = 117$ , iar membrul drept este $(5 - 2) (25 + 10 + 4) = 3 \cdot 39 = 117$ ✓ (1 p).

b) (3 p) Aplicăm formula pentru $a = q$ și $b = 1$ (1 p): $q^{n} - 1 = (q - 1) (q^{n - 1} + q^{n - 2} + \dots + q + 1) .$ Cum $q \neq = 1$ , putem împărți la $q - 1 \neq = 0$ (1 p): $1 + q + q^{2} + \dots + q^{n - 1} = \frac{q ^{n} - 1}{q - 1} .$ Suma primilor $n$ termeni ai progresiei geometrice este $S_{n} = b_{1} + b_{1} q + \dots + b_{1} q^{n - 1} = b_{1} (1 + q + \dots + q^{n - 1}) = b_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1} . ■$ (1 p)

Exercițiul 9. (5 p)

Alegerea parametrizării (1,5 p). Pentru patru numere în progresie aritmetică se folosește notația simetrică $a - 3 r, a - r, a + r, a + 3 r,$ în care rația progresiei este $2 r$ (nu $r$ !) — avantajul este că suma se simplifică imediat.

Prima condiție (1 p). Suma: $(a - 3 r) + (a - r) + (a + r) + (a + 3 r) = 4 a = 20$ , deci $a = 5$ .

A doua condiție (1,5 p). Suma pătratelor: $(a - 3 r)^{2} + (a - r)^{2} + (a + r)^{2} + (a + 3 r)^{2} = 4 a^{2} + 20 r^{2} = 120.$ Cu $a = 5$ : $100 + 20 r^{2} = 120$ , deci $r^{2} = 1$ și $r = \pm 1$ .

Concluzia și verificarea (1 p). Pentru $r = 1$ numerele sunt $2, 4, 6, 8$ (progresie aritmetică de rație $2$ ); pentru $r = - 1$ se obțin aceleași numere în ordine inversă, $8, 6, 4, 2$ (rația $- 2$ ). Verificare: $2 + 4 + 6 + 8 = 20$ și $4 + 16 + 36 + 64 = 120$ ✓.

Exercițiul 10. (8 p) — redactare completă.

Notăm cu $P (n)$ afirmația: $a_{n} = \frac{1}{n}$ . (1 p pentru enunțarea explicită a lui $P (n)$ )

Etapa de verificare (1,5 p). Pentru $n = 1$ : $a_{1} = 1 = \frac{1}{1}$ , deci $P (1)$ este adevărată.

Ipoteza și ținta (1,5 p). Presupunem $P (k)$ adevărată pentru un $k \geq 1$ fixat, adică $a_{k} = \frac{1}{k}$ . Demonstrăm $P (k + 1)$ , adică $a_{k + 1} = \frac{1}{k + 1}$ .

Calculul (3 p). Observăm întâi că $a_{k} = \frac{1}{k} > 0$ , deci $a_{k} + 1 > 0$ și împărțirea din relația de recurență are sens. Folosind ipoteza de inducție: $a_{k + 1} = \frac{a _{k}}{a _{k} + 1} = \frac{\frac{1}{k}}{\frac{1}{k} + 1} = \frac{\frac{1}{k}}{\frac{1 + k}{k}} = \frac{1}{k} \cdot \frac{k}{k + 1} = \frac{1}{k + 1},$ adică exact $P (k + 1)$ .

Concluzia (1 p). Conform principiului inducției matematice, $a_{n} = \frac{1}{n}$ pentru orice $n \geq 1$ . $■$

(Verificare de control: $a_{1} = 1$ , $a_{2} = \frac{1}{2}$ , $a_{3} = \frac{1/2}{3/2} = \frac{1}{3}$ ✓.)

Exercițiul 11. (8 p) — redactare completă.

a) Implicația directă (4 p). Presupunem că $(a_{n})_{n \geq 1}$ este progresie aritmetică de rație $r$ (1 p). Atunci, pentru orice $n \geq 2$ , $a_{n - 1} = a_{n} - r ș i a_{n + 1} = a_{n} + r$ (1,5 p). Adunând cele două relații: $a_{n - 1} + a_{n + 1} = (a_{n} - r) + (a_{n} + r) = 2 a_{n} ⟹ a_{n} = \frac{a _{n - 1} + a _{n + 1}}{2}$ (1,5 p), adică fiecare termen (începând cu al doilea) este media aritmetică a vecinilor săi.

b) Implicația reciprocă (4 p). Presupunem că $a_{n} = \frac{a _{n - 1} + a _{n + 1}}{2}$ pentru orice $n \geq 2$ . Înmulțind cu $2$ obținem $2 a_{n} = a_{n - 1} + a_{n + 1}$ , relație pe care o scriem sub forma (1,5 p) $a_{n + 1} - a_{n} = a_{n} - a_{n - 1}, pentru orice n \geq 2.$ Notăm $d_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ . Relația de mai sus spune că $d_{n} = d_{n - 1}$ pentru orice $n \geq 2$ (1,5 p), deci toate diferențele sunt egale între ele: $d_{1} = d_{2} = d_{3} = \dots$ Prin urmare există un număr real $r = d_{1} = a_{2} - a_{1}$ astfel încât $a_{n + 1} - a_{n} = r$ pentru orice $n \geq 1$ , adică $(a_{n})$ este progresie aritmetică de rație $r$ (1 p). $■$

Observație pentru profesor: egalitatea „toate diferențele sunt egale" se obține riguros prin inducție după $n$ ( $d_{n} = d_{1}$ pentru orice $n$ ); se acordă punctajul integral și pentru redactarea cu inducție explicită.

Exercițiul 12. (9 p)

Notarea (2 p). Deoarece $a$ , $b$ , $c$ sunt în progresie aritmetică cu suma $15$ , scriem $a = b - r$ , $b$ , $c = b + r$ . Suma este $3 b = 15$ , deci $b = 5$ , iar numerele sunt $5 - r, 5, 5 + r$ .

Condiția de progresie geometrică (2 p). Numerele obținute după modificări sunt $6 - r, 6, 9 + r$ , iar caracterizarea progresiei geometrice dă $6^{2} = (6 - r) (9 + r) .$

Rezolvarea ecuației (3 p). $36 = 54 + 6 r - 9 r - r^{2} = 54 - 3 r - r^{2} ⟹ r^{2} + 3 r - 18 = 0.$ Discriminantul este $Δ = 9 + 72 = 81$ , deci $r = \frac{- 3 \pm 9}{2}$ , adică $r = 3$ sau $r = - 6$ .

Cele două soluții și verificarea (2 p). – Pentru $r = 3$ : $(a, b, c) = (2, 5, 8)$ . Verificare: suma este $15$ ✓, progresie aritmetică de rație $3$ ✓; după modificări obținem $3, 6, 12$ , progresie geometrică de rație $q = 2$ ✓. – Pentru $r = - 6$ : $(a, b, c) = (11, 5, - 1)$ . Verificare: suma este $15$ ✓, progresie aritmetică de rație $- 6$ ✓; după modificări obținem $12, 6, 3$ , progresie geometrică de rație $q = \frac{1}{2}$ ✓.

Ambele triplete sunt soluții; răspunsul care omite una dintre ele primește cel mult $7$ puncte.

Exercițiul 13. (8 p)

a) (3 p) Termenii progresiei sunt $b_{n} = 3 \cdot 2^{n - 1}$ , adică $3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384$ . Cu formula sumei pentru $q = 2 \neq = 1$ : $S_{8} = b_{1} \cdot \frac{q ^{8} - 1}{q - 1} = 3 \cdot \frac{256 - 1}{1} = 3 \cdot 255 = 765 .$ (1 p formula, 1 p înlocuirea corectă, 1 p rezultatul; se acceptă și adunarea directă a celor opt termeni.)

b) (5 p) Condiția se scrie (1 p) $S_{n} = 3 \cdot \frac{2 ^{n} - 1}{2 - 1} = 3 (2^{n} - 1) = 3069.$ Împărțim la $3$ (1 p): $2^{n} - 1 = 1023$ , deci $2^{n} = 1024$ (1 p). Cum $1024 = 2^{10}$ , rezultă $n = 10$ (1 p). Verificare (1 p): pentru $n = 10$ suma este $3 (1024 - 1) = 3 \cdot 1023 = 3069$ ✓, iar pentru $n = 9$ ar fi $3 (512 - 1) = 1533 \neq = 3069$ .

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică modul în care elevul stăpânește șirul ca obiect matematic, dincolo de formulele de progresii învățate la trunchiul comun. Sunt evaluate trei lucruri: modurile de definire a unui șir (prin formula termenului general, prin recurență, descriptiv) și capacitatea de a trece de la o recurență la formula termenului general; caracterizarea progresiilor prin trei termeni consecutivi — media aritmetică a vecinilor la progresia aritmetică, respectiv relația $b^{2} = a c$ la cea geometrică; și condițiile ca $n$ numere să fie în progresie, cu parametrizările consacrate și cu formula $a^{n} - b^{n}$ . Ultima parte cere demonstrații redactate complet, așa cum se cer la Bacalaureatul M1: caracterizarea se demonstrează pe ambele implicații, iar un șir dat prin recurență se studiază prin inducție matematică.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La itemii de tip „determină toate valorile", răspunsul este complet doar dacă sunt discutate toate cazurile care apar din ecuație.
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe trecerea recurență → termen general și pe caracterizarea cu medii.
Formule de reținut: un șir de numere reale este o funcție $f : N^{*} \to R$ , notată $(a_{n})_{n \geq 1}$ , și poate fi dat prin formula termenului general, prin recurență (relația + termenii de pornire) sau descriptiv. Progresia aritmetică: $a_{n + 1} = a_{n} + r$ , $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ , iar caracterizarea este $a_{n} = \frac{a _{n - 1} + a _{n + 1}}{2}$ pentru orice $n \geq 2$ . Progresia geometrică (termeni nenuli, $q \neq = 0$ ): $b_{n + 1} = b_{n} \cdot q$ , $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ , iar caracterizarea este $b_{n}^{2} = b_{n - 1} \cdot b_{n + 1}$ . Sume: $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ , respectiv $S_{n} = b_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ pentru $q \neq = 1$ . Parametrizări: trei numere în progresie aritmetică se iau $a - r, a, a + r$ ; patru numere se iau $a - 3 r, a - r, a + r, a + 3 r$ (atenție: rația este $2 r$ , nu $r$ ); trei numere în progresie geometrică se iau $\frac{b}{q}, b, b q$ . Formula-cheie: $a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + \dots + a b^{n - 2} + b^{n - 1})$ .

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".