Test: Sisteme cu ecuații de gradul al doilea

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Funcția de gradul al doilea

Exerciții

Partea I – Recunoașterea tipului de sistem și metoda substituției

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=5\\ xy=6\end{array}$ are, în $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$: A. nicio soluție; B. exact o soluție; C. exact două soluții; D. o infinitate de soluții.

b) Dacă $x+y=s$ și $xy=p$, atunci $x$ și $y$ sunt rădăcinile ecuației: A. $t^2+st+p=0$; B. $t^2-st+p=0$; C. $t^2-st-p=0$; D. $t^2+st-p=0$.

c) Dreapta de ecuație $y=2x-5$ și parabola de ecuație $y=x^2$ au în comun: A. niciun punct; B. exact un punct; C. exact două puncte; D. o infinitate de puncte.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$, prin metoda substituției, sistemul $$\{\begin{array}{l}3x+y=5\\ x^2+y^2=5\end{array}$$ a) Exprimă $y$ din prima ecuație și înlocuiește în a doua. (2 p) b) Rezolvă ecuația de gradul al doilea obținută. (2 p) c) Scrie soluțiile sistemului și verifică-le. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Dacă perechea $(a,b)$ este soluție a unui sistem simetric, atunci și perechea $(b,a)$ este soluție a aceluiași sistem." b) „La un sistem omogen, împărțirea prin $y^2$ este permisă doar după ce se tratează separat cazul $y=0$." c) „Dacă discriminantul ecuației obținute prin egalarea unei drepte cu o parabolă este negativ, atunci dreapta este tangentă parabolei." d) „Sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=3\\ xy=5\end{array}$ are două soluții reale."

Exercițiul 4 (6 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ sistemul simetric $$\{\begin{array}{l}x+y=5\\ x^2+y^2=17\end{array}$$ a) Exprimă $x^2+y^2$ cu ajutorul lui $s=x+y$ și $p=xy$ și determină $p$. (2 p) b) Formează și rezolvă ecuația de gradul al doilea care are rădăcinile $x$ și $y$. (2 p) c) Scrie toate soluțiile sistemului. (2 p)

Partea a II-a – Sisteme omogene și sisteme simetrice

Exercițiul 5 (8 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ sistemul $$\{\begin{array}{l}{x}^2-4xy+3y^2=0\\ x+2y=15\end{array}$$ a) Verifică dacă există soluții cu $y=0$. (2 p) b) Împarte prima ecuație prin $y^2$, notează $t=\frac{x}{y}$ și rezolvă ecuația obținută. (3 p) c) Tratează fiecare caz și scrie soluțiile sistemului. (3 p)

Exercițiul 6 (8 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ sistemul omogen $$\{\begin{array}{l}{x}^2+3xy=10\\ 2y^2+xy=4\end{array}$$ a) Elimină termenii liberi între cele două ecuații și obține o ecuație omogenă de gradul al doilea. (3 p) b) Rezolvă ecuația omogenă, tratând separat cazul $y=0$. (3 p) c) Revino la sistem și determină toate soluțiile reale. (2 p)

Exercițiul 7 (7 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ sistemul simetric $$\{\begin{array}{l}x+y+xy=11\\ x^{2}y+x{y}^2=30\end{array}$$ a) Notează $s=x+y$, $p=xy$ și scrie sistemul obținut în $s$ și $p$. (2 p) b) Determină perechile $(s,p)$. (3 p) c) Revino la $x$ și $y$ și scrie toate soluțiile. (2 p)

Exercițiul 8 (7 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ sistemul $$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=25\\ xy=12\end{array}$$ a) Determină valorile posibile ale lui $s=x+y$. (2 p) b) Rezolvă ecuația $t^2-st+p=0$ în fiecare caz. (3 p) c) Scrie toate soluțiile sistemului. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Un dreptunghi are perimetrul de $34$ de centimetri și diagonala de $13$ centimetri. Determină lungimile laturilor dreptunghiului.

Partea a III-a – Dreaptă și parabolă, item de tip examen

Exercițiul 10 (8 puncte)

Se consideră parabola de ecuație $y=x^2-2x$ și dreapta de ecuație $y=2x+m$, unde $m$ este un număr real. a) Discută, după valorile lui $m$, poziția dreptei față de parabolă (secantă, tangentă sau fără puncte comune). În cazul tangenței, precizează coordonatele punctului de contact. (5 p) b) Pentru $m=5$, determină coordonatele punctelor comune. (3 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Determină numerele reale $m$ pentru care dreapta de ecuație $y=mx+1$ este tangentă parabolei de ecuație $y=x^2-4x+5$. Pentru fiecare valoare găsită, determină coordonatele punctului de tangență.

Exercițiul 12 (6 puncte)

Rezolvă sistemul $$\{\begin{array}{l}y=x^2\\ y=2x+3\end{array}$$ și calculează lungimea segmentului determinat de cele două puncte de intersecție ale dreptei cu parabola.

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) a) Rezolvați în $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ sistemul $\{\begin{array}{l}x-y=2\\ x^2+y^2=10\end{array}$. (4 p) b) Determinați numărul punctelor comune ale dreptei de ecuație $y=x-2$ cu parabola de ecuație $y=x^2-3x+1$ și calculați coordonatele acestora. (4 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p)

a) C. (2 p) Numerele $x$ și $y$ au suma $5$ și produsul $6$, deci sunt rădăcinile ecuației $t^2-5t+6=0$, adică $2$ și $3$. Sistemul are exact două soluții: $(2,3)$ și $(3,2)$ — perechile sunt ordonate, deci se numără separat.

b) B. (2 p) Ecuația care are rădăcinile $x$ și $y$ este $t^2-(x+y)t+xy=0$, adică $t^2-st+p=0$. (Atenție la semnul minus dinaintea sumei.)

c) A. (2 p) Din $x^2=2x-5$ obținem $x^2-2x+5=0$, cu $\Delta =4-20=-16<0$, deci ecuația nu are soluții reale: dreapta nu are niciun punct comun cu parabola. Mai mult, $x^2-2x+5=(x-1{)}^2+4>0$ pentru orice $x$, deci $x^2>2x-5$ mereu: parabola se află în întregime deasupra dreptei.

Exercițiul 2. (6 p)

a) (2 p) Din prima ecuație, $y=5-3x$. Înlocuind în a doua: $$x^2+(5-3x{)}^2=5.$$

b) (2 p) Dezvoltăm: $x^2+25-30x+9x^2=5$, deci $10x^2-30x+20=0$, adică, după împărțirea la $10$, $$x^2-3x+2=0.$$ Cu $\Delta =9-8=1$ obținem $x_1=1$ și $x_2=2$.

c) (2 p) Pentru $x=1$: $y=5-3=2$; pentru $x=2$: $y=5-6=-1$. Soluțiile sunt $$(x,y)\in \{(1,2),(2,-1)\}.$$ Verificare: $3\cdot 1+2=5$ și $1+4=5$ ✓; $3\cdot 2+(-1)=5$ și $4+1=5$ ✓.

Exercițiul 3. (6 p)

a) A. (1,5 p) Într-un sistem simetric, fiecare ecuație rămâne neschimbată dacă schimbăm între ele $x$ și $y$. Deci, dacă $(a,b)$ verifică ecuațiile, tot ele sunt verificate și de $(b,a)$. De aceea soluțiile apar „în oglindă", ca la itemul 4.

b) A. (1,5 p) Împărțirea prin $y^2$ presupune $y\ne 0$; dacă am împărți fără să verificăm, am putea pierde soluții cu $y=0$. Corect este să înlocuim mai întâi $y=0$ în sistem și să vedem dacă rezultă soluții, apoi să lucrăm cu $t=\frac{x}{y}$ pentru $y\ne 0$.

c) F. (1,5 p) Tangența înseamnă exact un punct comun, deci $\Delta =0$. Dacă $\Delta <0$, ecuația nu are soluții reale, adică dreapta nu are niciun punct comun cu parabola.

d) F. (1,5 p) $x$ și $y$ ar fi rădăcinile ecuației $t^2-3t+5=0$, care are $\Delta =9-20=-11<0$, deci nu are rădăcini reale. Sistemul nu are nicio soluție în $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$.

Exercițiul 4. (6 p)

a) (2 p) Din $(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2$ rezultă $x^2+y^2=s^2-2p$. Cu $s=5$ și $x^2+y^2=17$: $$25-2p=17⟹p=4.$$

b) (2 p) Numerele $x$ și $y$ au suma $5$ și produsul $4$, deci sunt rădăcinile ecuației $t^2-5t+4=0$. Cu $\Delta =25-16=9$: $t_1=\frac{5-3}{2}=1$ și $t_2=\frac{5+3}{2}=4$.

c) (2 p) Soluțiile sistemului sunt $(1,4)$ și $(4,1)$. Verificare: $1+4=5$ ✓ și $1+16=17$ ✓.

Exercițiul 5. (8 p)

a) (2 p) Dacă $y=0$, prima ecuație devine $x^2=0$, deci $x=0$. Perechea $(0,0)$ nu verifică însă a doua ecuație, pentru că $0+0=0\ne 15$. Prin urmare nu există soluții cu $y=0$, iar în continuare putem presupune $y\ne 0$.

b) (3 p) Împărțim prima ecuație prin $y^2\ne 0$ (1 p): $$\frac{x^2}{y^2}-4\cdot \frac{x}{y}+3=0.$$ Cu notația $t=\frac{x}{y}$ obținem $t^2-4t+3=0$ (1 p), cu $\Delta =16-12=4$, deci $t_1=1$ și $t_2=3$ (1 p).

c) (3 p) – Cazul $t=1$, adică $x=y$: a doua ecuație devine $y+2y=15$, deci $y=5$ și $x=5$; soluția este $(5,5)$ (1,5 p). – Cazul $t=3$, adică $x=3y$: a doua ecuație devine $3y+2y=15$, deci $y=3$ și $x=9$; soluția este $(9,3)$ (1,5 p). Verificare: $25-4\cdot 25+3\cdot 25=0$ ✓ și $5+10=15$ ✓; $81-4\cdot 27+3\cdot 9=81-108+27=0$ ✓ și $9+6=15$ ✓.

Exercițiul 6. (8 p)

a) (3 p) Termenii liberi sunt $10$ și $4$; cel mai mic multiplu comun este $20$. Înmulțim prima ecuație cu $2$ și a doua cu $5$ (1,5 p): $$2x^2+6xy=20,10y^2+5xy=20.$$ Scăzând a doua relație din prima, termenii liberi se elimină (1,5 p): $$2x^2+6xy-10y^2-5xy=0⟺2x^2+xy-10y^2=0.$$

b) (3 p) – Cazul $y=0$: ecuația omogenă dă $2x^2=0$, deci $x=0$; dar perechea $(0,0)$ nu verifică prima ecuație a sistemului ($0\ne 10$), deci nu convine (1 p). – Cazul $y\ne 0$: împărțim prin $y^2$ și notăm $t=\frac{x}{y}$: $$2t^2+t-10=0.$$ Cu $\Delta =1+80=81$ și $\sqrt{\Delta }=9$ obținem (1,5 p) $$t_1=\frac{-1+9}{4}=2,t_2=\frac{-1-9}{4}=-\frac{5}{2}.$$ (0,5 p)

c) (2 p) – Pentru $t=2$, adică $x=2y$, a doua ecuație a sistemului devine $2y^2+2y\cdot y=4y^2=4$, deci $y^2=1$ și $y=\pm 1$. Obținem soluțiile $(2,1)$ și $(-2,-1)$ (1,5 p). – Pentru $t=-\frac{5}{2}$, adică $x=-\frac{5y}{2}$, a doua ecuație devine $2y^2-\frac{5}{2}{y}^2=-\frac{1}{2}{y}^2=4$, deci $y^2=-8$ — imposibil în $\mathbb{R}$. Acest caz nu dă soluții reale (0,5 p). Verificare pentru $(2,1)$: $4+3\cdot 2\cdot 1=10$ ✓ și $2+2=4$ ✓. Pentru $(-2,-1)$: $4+3\cdot (-2)(-1)=10$ ✓ și $2+2=4$ ✓.

Exercițiul 7. (7 p)

a) (2 p) Prima ecuație se scrie direct $s+p=11$. A doua se descompune: $x^{2}y+x{y}^2=xy(x+y)=ps$. Sistemul devine $$\{\begin{array}{l}s+p=11\\ sp=30\end{array}$$

b) (3 p) Numerele $s$ și $p$ au suma $11$ și produsul $30$, deci sunt rădăcinile ecuației $u^2-11u+30=0$ (1,5 p). Cu $\Delta =121-120=1$: $u_1=\frac{11-1}{2}=5$ și $u_2=\frac{11+1}{2}=6$ (1 p). Rezultă două posibilități: $(s,p)=(5,6)$ sau $(s,p)=(6,5)$ (0,5 p).

c) (2 p) – Pentru $s=5$, $p=6$: $x$ și $y$ sunt rădăcinile ecuației $t^2-5t+6=0$, adică $2$ și $3$ (aici $s^2-4p=1\ge 0$, deci sunt reale). Soluțiile: $(2,3)$ și $(3,2)$ (1 p). – Pentru $s=6$, $p=5$: $t^2-6t+5=0$, cu rădăcinile $1$ și $5$. Soluțiile: $(1,5)$ și $(5,1)$ (1 p). Verificare pentru $(2,3)$: $2+3+6=11$ ✓ și $xy(x+y)=6\cdot 5=30$ ✓. Pentru $(1,5)$: $1+5+5=11$ ✓ și $5\cdot 6=30$ ✓.

Exercițiul 8. (7 p)

a) (2 p) Din $s^2=x^2+2xy+y^2=\left(x^2+y^2\right)+2xy$ obținem $s^2=25+2\cdot 12=49$, deci $s=7$ sau $s=-7$, iar $p=12$ în ambele cazuri.

b) (3 p) – Pentru $s=7$: $t^2-7t+12=0$, cu $\Delta =49-48=1$, deci $t_1=3$ și $t_2=4$ (1,5 p). – Pentru $s=-7$: $t^2+7t+12=0$, cu $\Delta =1$, deci $t_1=-4$ și $t_2=-3$ (1,5 p).

c) (2 p) Sistemul are patru soluții: $$(3,4),(4,3),(-3,-4),(-4,-3).$$ Verificare pentru $(-3,-4)$: $9+16=25$ ✓ și $(-3)(-4)=12$ ✓. (Soluția care omite perechile negative primește cel mult $5$ puncte: din $xy=12>0$, cele două numere au același semn, iar cazul $s=-7$ este la fel de valabil.)

Exercițiul 9. (6 p)

Modelul (2 p). Notăm cu $x$ și $y$ lungimile laturilor. Perimetrul dă $2(x+y)=34$, deci $s=x+y=17$. Teorema lui Pitagora în triunghiul format de două laturi și diagonală dă $x^2+y^2=13^2=169$.

Trecerea la $s$ și $p$ (1,5 p). Din $x^2+y^2=s^2-2p$ rezultă $$289-2p=169⟹p=60.$$

Ecuația și rădăcinile (1,5 p). Laturile sunt rădăcinile ecuației $t^2-17t+60=0$, cu $\Delta =289-240=49$ și $\sqrt{\Delta }=7$: $$t_1=\frac{17-7}{2}=5,t_2=\frac{17+7}{2}=12.$$

Răspunsul și verificarea (1 p). Laturile dreptunghiului măsoară $5$ cm și $12$ cm. Verificare: perimetrul este $2(5+12)=34$ cm ✓, iar diagonala este $\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ cm ✓.

Exercițiul 10. (8 p)

a) (5 p) Punctele comune se obțin egalând cele două expresii ale lui $y$ (1 p): $$x^2-2x=2x+m⟺x^2-4x-m=0,$$ ecuație cu discriminantul $\Delta =16+4m$ (1 p). Numărul punctelor comune este numărul soluțiilor reale ale acestei ecuații: – dacă $\Delta >0$, adică $16+4m>0\iff \mathbf{m}>-4$: dreapta este secantă parabolei (două puncte comune) (1 p); – dacă $\Delta =0$, adică $\mathbf{m}=-4$: dreapta este tangentă parabolei; atunci $x^2-4x+4=0$, cu rădăcina dublă $x=2$, iar $y=2\cdot 2-4=0$, deci punctul de contact este $(2,0)$ (1,5 p); – dacă $\Delta <0$, adică $\mathbf{m}<-4$: dreapta nu are niciun punct comun cu parabola (trece pe sub ea) (0,5 p).

b) (3 p) Pentru $m=5$: $x^2-4x-5=0$, cu $\Delta =16+20=36$ și $\sqrt{\Delta }=6$ (1 p), deci $x_1=\frac{4-6}{2}=-1$ și $x_2=\frac{4+6}{2}=5$ (1 p). Ordonatele se calculează din ecuația dreptei: $y_1=2\cdot (-1)+5=3$ și $y_2=2\cdot 5+5=15$, deci punctele sunt $(-1,3)$ și $(5,15)$ (1 p). (Verificare pe parabolă: $(-1{)}^2-2(-1)=3$ ✓ și $25-10=15$ ✓.)

Exercițiul 11. (8 p)

Condiția de tangență (2 p). Punctele comune se obțin din $x^2-4x+5=mx+1$, adică $$x^2-(4+m)x+4=0.$$ Dreapta este tangentă parabolei dacă și numai dacă această ecuație are o singură soluție reală, adică $\Delta =0$.

Rezolvarea (3 p). $$\Delta =(4+m{)}^2-16=0⟺(4+m{)}^2=16⟺4+m=4\text{ sau }4+m=-4,$$ deci $\mathbf{m}=0$ sau $\mathbf{m}=-8$.

Punctele de tangență (3 p). – Pentru $m=0$: ecuația devine $x^2-4x+4=0$, adică $(x-2{)}^2=0$, cu $x=2$; atunci $y=0\cdot 2+1=1$, deci punctul de tangență este $(2,1)$. Verificare pe parabolă: $4-8+5=1$ ✓. Dreapta este orizontala $y=1$, tangentă în vârful parabolei. – Pentru $m=-8$: ecuația devine $x^2+4x+4=0$, adică $(x+2{)}^2=0$, cu $x=-2$; atunci $y=-8\cdot (-2)+1=17$, deci punctul de tangență este $(-2,17)$. Verificare pe parabolă: $4+8+5=17$ ✓. (Răspunsul care găsește o singură valoare a lui $m$ primește cel mult $5$ puncte.)

Exercițiul 12. (6 p)

Rezolvarea sistemului (2,5 p). Egalând cele două expresii ale lui $y$: $x^2=2x+3$, adică $x^2-2x-3=0$. Cu $\Delta =4+12=16$ și $\sqrt{\Delta }=4$: $$x_1=\frac{2-4}{2}=-1,x_2=\frac{2+4}{2}=3.$$

Punctele de intersecție (1,5 p). Din $y=x^2$: pentru $x=-1$ avem $y=1$, iar pentru $x=3$ avem $y=9$. Soluțiile sistemului sunt $(-1,1)$ și $(3,9)$, adică punctele $A(-1,1)$ și $B(3,9)$. (Verificare pe dreaptă: $2(-1)+3=1$ ✓ și $2\cdot 3+3=9$ ✓.)

Lungimea segmentului (2 p). Cu formula distanței dintre două puncte: $$AB=\sqrt{(3-(-1){)}^2+(9-1{)}^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}.$$

Exercițiul 13. (8 p)

a) (4 p) Din prima ecuație, $x=y+2$ (1 p). Înlocuind în a doua: $$(y+2{)}^2+y^2=10⟺2y^2+4y-6=0⟺y^2+2y-3=0.$$ (1,5 p) Cu $\Delta =4+12=16$ obținem $y_1=\frac{-2+4}{2}=1$ și $y_2=\frac{-2-4}{2}=-3$ (1 p), deci $x_1=3$ și $x_2=-1$. Soluțiile sunt $(3,1)$ și $(-1,-3)$ (0,5 p). (Verificare: $3-1=2$ și $9+1=10$ ✓; $-1-(-3)=2$ și $1+9=10$ ✓.)

b) (4 p) Egalăm cele două expresii ale lui $y$ (1 p): $$x^2-3x+1=x-2⟺x^2-4x+3=0.$$ (1 p) Discriminantul este $\Delta =16-12=4>0$, deci ecuația are două soluții reale distincte, iar dreapta și parabola au exact două puncte comune (1 p). Rădăcinile sunt $x_1=\frac{4-2}{2}=1$ și $x_2=\frac{4+2}{2}=3$, cu ordonatele $y_1=1-2=-1$ și $y_2=3-2=1$; punctele sunt $(1,-1)$ și $(3,1)$ (1 p). (Verificare pe parabolă: $1-3+1=-1$ ✓ și $9-9+1=1$ ✓.)

Pentru părinți și profesori

Acest test încheie unitatea, la nivelul curriculumului diferențiat (mate-info): elevul trebuie să recunoască tipul unui sistem și să aplice metoda potrivită, apoi să citească rezultatul geometric. Sunt acoperite lecțiile Sisteme cu ecuații de gradul al doilea: substituție, omogene, simetrice și Dreaptă și parabolă: interpretarea geometrică a sistemelor. Se evaluează: metoda substituției la un sistem format dintr-o ecuație de gradul întâi și una de gradul al doilea; metoda pentru sistemele omogene (eliminarea termenilor liberi, tratarea separată a cazului $y=0$, substituția $t=\frac{x}{y}$); metoda pentru sistemele simetrice (trecerea la $s=x+y$ și $p=xy$, apoi ecuația $t^2-st+p=0$); și traducerea geometrică: o soluție a sistemului „dreaptă = parabolă" înseamnă un punct comun, iar semnul discriminantului decide dacă dreapta este secantă, tangentă sau exterioară parabolei.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La sisteme, soluțiile se scriu ca perechi ordonate și se verifică în ambele ecuații; la sistemele simetrice se așteaptă toate perechile, inclusiv cele obținute prin schimbarea ordinii; la sistemele omogene, rezolvarea care „împarte prin $y^2$" fără a discuta cazul $y=0$ este incompletă.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe recunoașterea tipului de sistem înainte de a începe calculele.
• Formule de reținut: substituția — dintr-o ecuație de gradul întâi se scoate o necunoscută și se înlocuiește în cealaltă ecuație, obținându-se o ecuație de gradul al doilea cu o singură necunoscută. Sistem simetric — se notează $s=x+y$ și $p=xy$; atunci $x^2+y^2=s^2-2p$, $x^{2}y+x{y}^2=sp$, $x^3+y^3=s^3-3ps$, iar $x$ și $y$ sunt rădăcinile ecuației $t^2-st+p=0$, care are soluții reale doar dacă $s^2-4p\ge 0$. Sistem omogen — se elimină termenii liberi între cele două ecuații, se obține o ecuație de forma $\alpha x^2+\beta xy+\gamma y^2=0$; se verifică separat dacă $y=0$ dă soluții, apoi se împarte prin $y^2$ și se notează $t=\frac{x}{y}$. Dreaptă și parabolă — punctele comune ale dreptei $y=mx+n$ cu parabola $y=a{x}^2+bx+c$ se află rezolvând $a{x}^2+bx+c=mx+n$; dacă $\Delta >0$ dreapta este secantă (două puncte comune), dacă $\Delta =0$ este tangentă (un punct), dacă $\Delta <0$ nu are niciun punct comun cu parabola.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".