Test: Rezolvarea sistemelor prin substituție și reducere

Clasa a VII-a · Matematică · Unitatea „Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute"

Exerciții

Exercițiul 1 — Noțiunea de soluție (5 puncte)

Se dă sistemul $$\{\begin{array}{l}x+y=7\\ x-y=1\end{array}$$ Pentru fiecare pereche, verifică prin înlocuire dacă este soluție a sistemului (scrie calculul ambelor ecuații și concluzia DA / NU):

a) $(4,3)$; b) $(6,1)$; c) $(3,4)$.

Exercițiul 2 — Adevărat / Fals despre sisteme (4 puncte)

Stabilește A sau F pentru fiecare afirmație și motivează pe scurt:

a) O soluție a unui sistem de două ecuații cu două necunoscute este o pereche ordonată $(x,y)$ care verifică simultan ambele ecuații. b) Orice sistem de două ecuații liniare are întotdeauna exact o soluție. c) Metoda substituției și metoda reducerii, aplicate aceluiași sistem, conduc la aceeași soluție. d) Dacă o pereche verifică doar una dintre ecuațiile sistemului, atunci este soluție a sistemului.

Exercițiul 3 — Metoda substituției (6 puncte)

Rezolvă prin substituție, scriind toți pașii:

a) $\{\begin{array}{l}y=2x-1\\ 3x+y=14\end{array}$

b) $\{\begin{array}{l}x=y+2\\ 2x+3y=19\end{array}$

Exercițiul 4 — Metoda reducerii (6 puncte)

Rezolvă prin reducere (adunarea/scăderea ecuațiilor, după caz cu amplificare):

a) $\{\begin{array}{l}2x+y=8\\ 3x-y=7\end{array}$

b) $\{\begin{array}{l}2x+3y=12\\ 4x-y=10\end{array}$

Exercițiul 5 — Alegerea metodei potrivite (5 puncte)

Se dă sistemul $$\{\begin{array}{l}y=3x-4\\ 2x+y=11\end{array}$$

a) Ce metodă este mai comodă pentru acest sistem? Justifică alegerea. b) Rezolvă sistemul cu metoda aleasă. c) Verifică soluția în ambele ecuații.

Exercițiul 6 — Sistem cu paranteze (5 puncte)

Aduce mai întâi fiecare ecuație la forma $ax+by=c$, apoi rezolvă și verifică soluția: $$\{\begin{array}{l}2(x-1)+3y=11\\ 3x-(y-2)=5\end{array}$$

Exercițiul 7 — Cele trei cazuri (6 puncte)

Pentru fiecare sistem, precizează dacă are o singură soluție, nicio soluție sau o infinitate de soluții și justifică. Când există soluție unică, scrie-o:

a) $\{\begin{array}{l}x+y=5\\ 2x+2y=10\end{array}$

b) $\{\begin{array}{l}x+y=4\\ x+y=6\end{array}$

c) $\{\begin{array}{l}x-y=1\\ 2x+y=8\end{array}$

Exercițiul 8 — Sistem cu parametru (5 puncte)

Se dă sistemul cu parametrul real $m$: $$\{\begin{array}{l}x+y=5\\ 2x+2y=m\end{array}$$

a) Pentru ce valoare a lui $m$ sistemul are o infinitate de soluții? b) Pentru ce valori ale lui $m$ sistemul nu are soluție? c) Poate acest sistem să aibă soluție unică? Justifică.

Exercițiul 9 — Modelare: două numere (4 puncte)

Suma a două numere este $30$, iar diferența lor este $8$. Notează numerele cu $x$ și $y$, scrie sistemul, rezolvă-l și verifică rezultatul.

Exercițiul 10 — Aplicație: bilete la spectacol (5 puncte)

La un spectacol s-au vândut bilete pentru adulți, la $30$ lei bucata, și pentru copii, la $18$ lei bucata. În total s-au vândut $200$ de bilete și s-au încasat $4680$ lei.

a) Notează cu $x$ numărul biletelor de adult și cu $y$ numărul biletelor de copil; scrie sistemul. b) Află câte bilete de fiecare fel s-au vândut. c) Verifică rezultatul.

Exercițiul 11 — Modelare în geometrie: dreptunghi (6 puncte)

Un dreptunghi are perimetrul de $34$ cm, iar lungimea cu $5$ cm mai mare decât lățimea.

a) Notează lungimea cu $L$ și lățimea cu $l$; scrie sistemul. b) Rezolvă prin metoda reducerii și află dimensiunile. c) Calculează aria dreptunghiului.

Exercițiul 12 — Aplicație: prețuri la cofetărie (5 puncte)

Doi clienți cumpără din aceeași cofetărie, cu aceleași prețuri. Primul plătește $34$ lei pentru $3$ prăjituri și $2$ sucuri. Al doilea plătește $37$ lei pentru $4$ prăjituri și $1$ suc.

a) Notează cu $p$ prețul unei prăjituri și cu $s$ prețul unui suc; scrie sistemul. b) Află prețul unei prăjituri și prețul unui suc. c) Verifică rezultatul.

Exercițiul 13 — Sistem cu coeficienți fracționari (5 puncte)

Elimină mai întâi numitorii, apoi rezolvă: $$\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=3\\ x-y=1\end{array}$$

Exercițiul 14 — Interpretare grafică informală (5 puncte)

Se consideră sistemul $$\{\begin{array}{l}y=x+1\\ y=-x+5\end{array}$$

a) Completează, pentru fiecare ecuație, un mic tabel cu câte două perechi $(x,y)$ (de exemplu pentru $x=0$ și $x=2$). b) Ce reprezintă, în reperul cartezian, perechea care verifică ambele ecuații? c) Determină prin calcul această pereche și confirmă că este chiar punctul de intersecție marcat în figură.

Exercițiul 15 — Verificarea unei perechi (4 puncte)

Se dă sistemul $$\{\begin{array}{l}2x+y=2\\ x-y=-5\end{array}$$ Verifică, prin calcul în ambele ecuații, care dintre următoarele perechi este soluție:

a) $(-1,4)$; b) $(2,-3)$.

Exercițiul 16 — Recunoașterea cazului din coeficienți (4 puncte)

Fără a rezolva complet, stabilește câte soluții are fiecare sistem, comparând coeficienții, și justifică:

a) $\{\begin{array}{l}2x-3y=5\\ 4x-6y=7\end{array}$

b) $\{\begin{array}{l}x+2y=4\\ 3x+6y=12\end{array}$

Exercițiul 17 — Modelare: unghiuri suplementare (5 puncte)

Două unghiuri sunt suplementare (suma măsurilor lor este $180^{\circ }$), iar unul este cu $30^{\circ }$ mai mare decât celălalt.

a) Notează măsurile cu $x$ și $y$ și scrie sistemul. b) Rezolvă-l și află cele două măsuri. c) Verifică rezultatul.

Exercițiul 18 — Problemă de raționament: vârste (5 puncte)

Suma vârstelor a doi frați este, în prezent, $26$ de ani. Acum $4$ ani, cel mare avea de două ori vârsta celui mic.

a) Notează cu $x$ vârsta actuală a fratelui mare și cu $y$ vârsta actuală a fratelui mic; scrie sistemul. b) Află vârstele actuale. c) Verifică cele două condiții din enunț.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 18 itemi = 90 p + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1 (5 p)

a) $(4,3)$: $4+3=7$ ✓ și $4-3=1$ ✓ ⟹ DA (soluție). (2 p) b) $(6,1)$: $6+1=7$ ✓, dar $6-1=5\ne 1$ ⟹ NU. (1,5 p) c) $(3,4)$: $3+4=7$ ✓, dar $3-4=-1\ne 1$ ⟹ NU. (1,5 p)

Singura soluție a sistemului este $(4,3)$.

Exercițiul 2 (4 p — câte 1 p)

a) A — aceasta este chiar definiția soluției unui sistem. b) F — un sistem liniar poate avea o soluție, nicio soluție sau o infinitate de soluții. c) A — metodele diferă ca procedeu, dar dau aceeași mulțime de soluții. d) F — trebuie verificate ambele ecuații; verificarea uneia singure nu ajunge.

Exercițiul 3 (6 p — câte 3 p)

a) Substituim $y=2x-1$ în a doua: $3x+(2x-1)=14\Rightarrow 5x-1=14\Rightarrow 5x=15\Rightarrow x=3$; apoi $y=2\cdot 3-1=5$. Soluția: $(3,5)$. Verificare: $3\cdot 3+5=14$ ✓. b) Substituim $x=y+2$: $2(y+2)+3y=19\Rightarrow 2y+4+3y=19\Rightarrow 5y=15\Rightarrow y=3$; apoi $x=3+2=5$. Soluția: $(5,3)$. Verificare: $2\cdot 5+3\cdot 3=10+9=19$ ✓.

Exercițiul 4 (6 p — câte 3 p)

a) Adunăm ecuațiile: $(2x+y)+(3x-y)=8+7\Rightarrow 5x=15\Rightarrow x=3$; din prima $y=8-2\cdot 3=2$. Soluția: $(3,2)$. Verificare: $3\cdot 3-2=7$ ✓. b) Înmulțim a doua cu $3$: $12x-3y=30$; o adunăm cu prima $2x+3y=12$: $14x=42\Rightarrow x=3$; apoi $4\cdot 3-y=10\Rightarrow y=2$. Soluția: $(3,2)$. Verificare: $2\cdot 3+3\cdot 2=12$ ✓.

Exercițiul 5 (5 p)

a) Este mai comodă metoda substituției, deoarece prima ecuație dă deja $y$ exprimat prin $x$. (1 p) b) $2x+(3x-4)=11\Rightarrow 5x-4=11\Rightarrow 5x=15\Rightarrow x=3$; $y=3\cdot 3-4=5$. Soluția: $(3,5)$. (3 p) c) Verificare: $y=3\cdot 3-4=5$ ✓ și $2\cdot 3+5=11$ ✓. (1 p)

Exercițiul 6 (5 p)

Reducem parantezele: prima $2x-2+3y=11\Rightarrow 2x+3y=13$; a doua $3x-y+2=5\Rightarrow 3x-y=3$. (2 p) Din a doua $y=3x-3$; substituim: $2x+3(3x-3)=13\Rightarrow 2x+9x-9=13\Rightarrow 11x=22\Rightarrow x=2$; $y=3\cdot 2-3=3$. Soluția: $(2,3)$. (2 p) Verificare: $2(2-1)+3\cdot 3=2+9=11$ ✓ și $3\cdot 2-(3-2)=6-1=5$ ✓. (1 p)

Exercițiul 7 (6 p — câte 2 p)

a) A doua ecuație este dublul primei ($2x+2y=2(x+y)$, iar $10=2\cdot 5$): cele două ecuații sunt echivalente ⟹ o infinitate de soluții. b) $x+y$ nu poate fi și $4$, și $6$: contradicție ⟹ nicio soluție. c) Adunăm: $(x-y)+(2x+y)=1+8\Rightarrow 3x=9\Rightarrow x=3$; $y=x-1=2$ ⟹ o singură soluție, $(3,2)$. (Verificare: $2\cdot 3+2=8$ ✓.)

Exercițiul 8 (5 p)

a) A doua ecuație se scrie $2(x+y)=m$. Cum prima dă $x+y=5$, este nevoie de $m=2\cdot 5=10$; atunci ecuațiile coincid ⟹ infinitate de soluții pentru $m=10$. (2 p) b) Pentru orice $m\ne 10$ obținem $x+y=5$ și, în același timp, $x+y=\frac{m}{2}\ne 5$: contradicție ⟹ nicio soluție pentru $m\ne 10$. (2 p) c) Nu. A doua ecuație este proporțională cu prima (coeficienții lui $x$ și $y$ sunt dublați), deci sistemul nu poate avea niciodată exact o soluție — doar infinitate (dacă $m=10$) sau niciuna. (1 p)

Exercițiul 9 (4 p)

Sistemul: $\{\begin{array}{l}x+y=30\\ x-y=8\end{array}$. (1 p) Adunând: $2x=38\Rightarrow x=19$; apoi $y=30-19=11$. (2 p) Numerele sunt $19$ și $11$. Verificare: $19+11=30$ ✓ și $19-11=8$ ✓. (1 p)

Exercițiul 10 (5 p)

a) $\{\begin{array}{l}x+y=200\\ 30x+18y=4680\end{array}$. (2 p) b) Din prima $x=200-y$; $30(200-y)+18y=4680\Rightarrow 6000-12y=4680\Rightarrow 12y=1320\Rightarrow y=110$; $x=200-110=90$. Deci 90 bilete de adult și 110 bilete de copil. (2 p) c) Verificare: $90+110=200$ ✓ și $30\cdot 90+18\cdot 110=2700+1980=4680$ lei ✓. (1 p)

Exercițiul 11 (6 p)

a) $\{\begin{array}{l}2(L+l)=34\\ L-l=5\end{array}$, adică $\{\begin{array}{l}L+l=17\\ L-l=5\end{array}$. (2 p) b) Adunând: $2L=22\Rightarrow L=11$; apoi $l=17-11=6$. Dimensiuni: lungimea $11$ cm, lățimea $6$ cm. (3 p) c) Aria $=L\cdot l=11\cdot 6=66{\text{cm}}^2$. (1 p) (Verificare perimetru: $2(11+6)=34$ ✓.)

Exercițiul 12 (5 p)

a) $\{\begin{array}{l}3p+2s=34\\ 4p+s=37\end{array}$. (1 p) b) Din a doua $s=37-4p$; substituim: $3p+2(37-4p)=34\Rightarrow 3p+74-8p=34\Rightarrow -5p=-40\Rightarrow p=8$; $s=37-32=5$. Deci prăjitura costă $8$ lei, sucul $5$ lei. (3 p) c) Verificare: $3\cdot 8+2\cdot 5=24+10=34$ ✓ și $4\cdot 8+5=37$ ✓. (1 p)

Exercițiul 13 (5 p)

Înmulțim prima ecuație cu $6$: $3x+2y=18$. Sistemul devine $\{\begin{array}{l}3x+2y=18\\ x-y=1\end{array}$. (2 p) Din a doua $x=y+1$; substituim: $3(y+1)+2y=18\Rightarrow 3y+3+2y=18\Rightarrow 5y=15\Rightarrow y=3$; $x=4$. Soluția: $(4,3)$. (2 p) Verificare: $\frac{4}{2}+\frac{3}{3}=2+1=3$ ✓ și $4-3=1$ ✓. (1 p)

Exercițiul 14 (5 p)

a) Exemple: pentru $y=x+1$ — $(0,1)$ și $(2,3)$; pentru $y=-x+5$ — $(0,5)$ și $(2,3)$. (2 p) b) Perechea care verifică ambele ecuații reprezintă coordonatele punctului de intersecție al celor două drepte. (1 p) c) $x+1=-x+5\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2$; $y=2+1=3$. Soluția $(2,3)$ este chiar punctul marcat în figură. (2 p)

Exercițiul 15 (4 p — câte 2 p)

a) $(-1,4)$: $2\cdot (-1)+4=-2+4=2$ ✓ și $-1-4=-5$ ✓ ⟹ DA, este soluție. b) $(2,-3)$: $2\cdot 2+(-3)=4-3=1\ne 2$ ⟹ NU (nu verifică prima ecuație).

Exercițiul 16 (4 p — câte 2 p)

a) Coeficienții lui $x$ și $y$ din a doua ecuație sunt dublul celor din prima ($4=2\cdot 2$, $-6=2\cdot (-3)$), dar termenii liberi nu respectă acest raport ($7\ne 2\cdot 5=10$) ⟹ nicio soluție. b) A doua ecuație este exact $3\times$ prima ($3x+6y=3(x+2y)$ și $12=3\cdot 4$) ⟹ ecuațiile coincid ⟹ o infinitate de soluții.

Exercițiul 17 (5 p)

a) $\{\begin{array}{l}x+y=180\\ x-y=30\end{array}$. (2 p) b) Adunând: $2x=210\Rightarrow x=105$; $y=180-105=75$. Măsurile sunt $105^{\circ }$ și $75^{\circ }$. (2 p) c) Verificare: $105^{\circ }+75^{\circ }=180^{\circ }$ ✓ și $105^{\circ }-75^{\circ }=30^{\circ }$ ✓. (1 p)

Exercițiul 18 (5 p)

a) În prezent: $x+y=26$. Acum $4$ ani, vârstele erau $x-4$ și $y-4$, iar condiția „cel mare era dublul celui mic" dă $x-4=2(y-4)$, adică $x-4=2y-8\Rightarrow x=2y-4$. Sistem: $\{\begin{array}{l}x+y=26\\ x=2y-4\end{array}$. (2 p) b) Substituim: $(2y-4)+y=26\Rightarrow 3y-4=26\Rightarrow 3y=30\Rightarrow y=10$; apoi $x=2\cdot 10-4=16$. Deci fratele mare are $16$ ani, iar cel mic $10$ ani. (2 p) c) Verificare: $16+10=26$ ✓; acum $4$ ani aveau $12$ și $6$ ani, iar $12=2\cdot 6$ ✓. (1 p)

Total: 90 p (itemi) + 10 p (oficiu) = 100 p.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică dacă elevul: înțelege ce este un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute și ce înseamnă soluția unui sistem (o pereche ordonată $(x,y)$ care verifică simultan ambele ecuații); rezolvă un sistem prin metoda substituției și prin metoda reducerii; compară cele două metode și alege metoda potrivită; recunoaște sistemele cu soluție unică, fără soluție sau cu o infinitate de soluții; verifică soluția și modelează situații practice prin sisteme.

• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Punctaj total: 100 de puncte, dintre care 10 puncte din oficiu. Cei 18 itemi însumează 90 de puncte.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, cu toate calculele scrise. La itemii care cer „justifică", „discută" sau „arată că" se punctează raționamentul, nu doar rezultatul. Se recomandă verificarea fiecărei soluții prin înlocuire în ambele ecuații ale sistemului. La itemii cu figură se realizează un desen.
• Interpretarea notei (aproximativ): 90–100 p → foarte bine; 70–89 p → bine; 45–69 p → satisfăcător; sub 45 p → se reia unitatea.

Notație folosită: un sistem de două ecuații liniare cu necunoscutele $x$ și $y$ se scrie cu acolada $$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}$$ O soluție a sistemului este o pereche ordonată $(x,y)$ care transformă ambele ecuații în egalități adevărate. Scrierea $a,b$ folosește virgula ca separator zecimal (de ex. $3,5$).