Test: Tipuri de soluții ale sistemelor de ecuații liniare

Clasa a VII-a · Matematică · Unitatea „Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute"

Exerciții

Exercițiul 1 — Verificarea unei perechi ca soluție (4 puncte)

Pentru fiecare pereche, verifică prin înlocuire dacă este soluție a sistemului dat. Arată calculul pentru ambele ecuații și scrie concluzia (DA / NU):

a) $(x,y)=(2,1)$ pentru $\{\begin{array}{l}x+y=3\\ 2x-y=3\end{array}$

b) $(x,y)=(1,2)$ pentru $\{\begin{array}{l}2x+y=4\\ x-y=-1\end{array}$

c) $(x,y)=(3,-1)$ pentru $\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x-y=5\end{array}$

Exercițiul 2 — Alege metoda potrivită (4 puncte)

Pentru fiecare sistem, precizează ce metodă este mai convenabilă — substituția sau reducerea — și justifică pe scurt de ce (nu rezolva sistemele):

a) $\{\begin{array}{l}y=2x-1\\ 3x+y=9\end{array}$

b) $\{\begin{array}{l}2x+3y=7\\ 2x-5y=-1\end{array}$

c) $\{\begin{array}{l}3x-2y=4\\ x+2y=8\end{array}$

d) $\{\begin{array}{l}x=4-y\\ 5x-2y=6\end{array}$

Exercițiul 3 — Metoda substituției (6 puncte)

Rezolvă prin metoda substituției și verifică soluția în ambele ecuații: $$\{\begin{array}{l}y=2x-1\\ 3x+y=9\end{array}$$

Exercițiul 4 — Metoda reducerii (6 puncte)

Rezolvă prin metoda reducerii și verifică soluția în ambele ecuații: $$\{\begin{array}{l}2x+3y=7\\ 2x-5y=-1\end{array}$$

Exercițiul 5 — Recunoașterea tipului de sistem (6 puncte)

Fără a rezolva complet, compară coeficienții și precizează dacă sistemul are o singură soluție, nicio soluție sau o infinitate de soluții. Justifică pe scurt:

a) $\{\begin{array}{l}x+y=4\\ 2x+2y=8\end{array}$

b) $\{\begin{array}{l}x+y=4\\ 2x+2y=10\end{array}$

c) $\{\begin{array}{l}x+y=4\\ x-y=2\end{array}$

Exercițiul 6 — Adevărat / Fals cu motivare (5 puncte)

Stabilește A sau F pentru fiecare afirmație și motivează pe scurt:

a) Orice sistem de două ecuații liniare are cel puțin o soluție. b) Dacă un sistem liniar are două soluții distincte, atunci are o infinitate de soluții. c) Metoda substituției și metoda reducerii, aplicate corect aceluiași sistem, conduc la același rezultat. d) Geometric, un sistem fără soluție corespunde la două drepte paralele (distincte). e) Un sistem cu o infinitate de soluții corespunde la două drepte care coincid.

Exercițiul 7 — Metoda potrivită, soluție cu fracție (5 puncte)

Rezolvă sistemul prin metoda pe care o consideri mai convenabilă. Scrie soluția sub formă de pereche $(x,y)$, cu fracție ireductibilă acolo unde e cazul: $$\{\begin{array}{l}3x-2y=4\\ x+2y=8\end{array}$$

Exercițiul 8 — Sistem cu o infinitate de soluții (5 puncte)

Se dă sistemul: $$\{\begin{array}{l}x-2y=3\\ 2x-4y=6\end{array}$$

a) Arată, prin reducere, că sistemul are o infinitate de soluții. b) Exprimă soluția în funcție de $y$ (adică scrie $x$ în funcție de $y$) și dă două perechi $(x,y)$ care sunt soluții.

Exercițiul 9 — Sistem fără soluție (5 puncte)

Rezolvă prin metoda reducerii. Dacă ajungi la o egalitate imposibilă, precizează clar câte soluții are sistemul și de ce: $$\{\begin{array}{l}2x+y=5\\ 4x+2y=7\end{array}$$

Exercițiul 10 — Modelare: două numere (4 puncte)

Suma a două numere este $30$, iar diferența lor este $8$. Notează numerele cu $x$ și $y$, scrie sistemul, rezolvă-l prin reducere și verifică rezultatul.

Exercițiul 11 — Modelare aplicată: rechizite (6 puncte)

La un magazin, $3$ caiete și $2$ pixuri costă $23$ lei, iar $2$ caiete și $5$ pixuri costă $30$ lei.

a) Notează cu $x$ prețul unui caiet și cu $y$ prețul unui pix și scrie sistemul. b) Rezolvă sistemul și află prețul unui caiet și al unui pix. c) Verifică rezultatul în ambele ecuații.

Exercițiul 12 — Discuție cu parametru (4 puncte)

Se dă sistemul cu parametrul real $m$: $$\{\begin{array}{l}x+y=3\\ 2x+2y=m\end{array}$$

a) Pentru ce valoare a lui $m$ sistemul are o infinitate de soluții? b) Ce se întâmplă pentru orice altă valoare a lui $m$? Câte soluții are atunci? Justifică. c) Poate acest sistem să aibă soluție unică pentru vreo valoare a lui $m$? Argumentează.

Exercițiul 13 — Sistem cu numitori (5 puncte)

Rezolvă sistemul (elimină mai întâi numitorii) și verifică soluția: $$\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=3\\ x-y=1\end{array}$$

Exercițiul 14 — Modelare aplicată: bilete (6 puncte)

La casa unui cinematograf, $2$ bilete de adult și $3$ bilete de copil costă $74$ lei, iar $3$ bilete de adult și $2$ bilete de copil costă $76$ lei.

a) Notează cu $x$ prețul unui bilet de adult și cu $y$ prețul unui bilet de copil; scrie sistemul. b) Rezolvă sistemul și află cele două prețuri. c) Verifică rezultatul.

Exercițiul 15 — Modelare în geometrie: dreptunghi (5 puncte)

Un dreptunghi are perimetrul de $34$ cm, iar lungimea cu $5$ cm mai mare decât lățimea.

a) Notează lungimea cu $L$ și lățimea cu $l$; scrie sistemul (folosește formula perimetrului). b) Rezolvă sistemul și află dimensiunile. c) Verifică perimetrul obținut.

Exercițiul 16 — Modelare în geometrie: unghiuri (5 puncte)

Două unghiuri sunt complementare (suma măsurilor lor este $90^{\circ }$), iar unul este de două ori mai mare decât celălalt.

a) Notează măsurile cu $x$ și $y$ și scrie sistemul. b) Rezolvă-l prin substituție și află cele două unghiuri. c) Verifică rezultatul.

Exercițiul 17 — Condiție asupra soluției (4 puncte)

Se dă sistemul cu parametrul real $a$: $$\{\begin{array}{l}x+y=5\\ 2x+ay=8\end{array}$$

a) Pentru ce valoare a lui $a$ sistemul nu are soluție unică? Determin-o comparând coeficienții. b) Pentru acea valoare, câte soluții are sistemul? Justifică prin calcul.

Exercițiul 18 — Modelare aplicată: parcare (5 puncte)

Într-o parcare sunt biciclete (cu $2$ roți) și autoturisme (cu $4$ roți), în total $20$ de vehicule și $56$ de roți.

a) Notează cu $x$ numărul de biciclete și cu $y$ numărul de autoturisme; scrie sistemul. b) Alege o metodă potrivită, rezolvă sistemul și află câte biciclete și câte autoturisme sunt. c) Verifică rezultatul.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 18 itemi = 90 p + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1 (4 p)

a) $2+1=3$ ✓ și $2\cdot 2-1=3$ ✓ ⟹ DA. (1,5 p) b) $2\cdot 1+2=4$ ✓ și $1-2=-1$ ✓ ⟹ DA. (1,5 p) c) $3+(-1)=2\ne 1$ (prima ecuație nu se verifică) ⟹ NU. (1 p)

Exercițiul 2 (4 p — câte 1 p)

a) Substituția — $y$ este deja exprimat ($y=2x-1$), se înlocuiește direct în a doua ecuație. b) Reducerea — coeficienții lui $x$ sunt egali ($2$ și $2$); scăzând ecuațiile, $x$ se elimină imediat. c) Reducerea — coeficienții lui $y$ sunt opuși ($-2$ și $+2$); adunând ecuațiile, $y$ se elimină. d) Substituția — $x$ este deja exprimat ($x=4-y$), se înlocuiește în a doua ecuație.

Exercițiul 3 (6 p)

Substituim $y=2x-1$ în a doua ecuație: $3x+(2x-1)=9\Rightarrow 5x-1=9\Rightarrow 5x=10\Rightarrow x=2$. (3 p) Atunci $y=2\cdot 2-1=3$. Soluția: $(x,y)=(2,3)$. (2 p) Verificare: $y=2\cdot 2-1=3$ ✓ și $3\cdot 2+3=9$ ✓. Sistem cu soluție unică. (1 p)

Exercițiul 4 (6 p)

Scădem a doua ecuație din prima: $(2x+3y)-(2x-5y)=7-(-1)\Rightarrow 8y=8\Rightarrow y=1$. (3 p) Înlocuim în prima: $2x+3\cdot 1=7\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2$. Soluția: $(2,1)$. (2 p) Verificare: $2\cdot 2+3\cdot 1=7$ ✓ și $2\cdot 2-5\cdot 1=-1$ ✓. Soluție unică. (1 p)

Exercițiul 5 (6 p — câte 2 p)

a) A doua ecuație este dublul primei ($2x+2y=8\iff x+y=4$): aceeași dreaptă ⟹ o infinitate de soluții. b) Din prima, $2x+2y=8$, dar a doua cere $2x+2y=10$; imposibil simultan (drepte paralele) ⟹ nicio soluție. c) Coeficienții nu sunt proporționali ($\frac{1}{1}\ne \frac{1}{-1}$), dreptele se intersectează ⟹ o singură soluție.

Exercițiul 6 (5 p — câte 1 p)

a) F — un sistem poate fi incompatibil (fără soluție), de exemplu drepte paralele. b) A — la sisteme liniare, mulțimea soluțiilor este vidă, un punct sau o dreaptă întreagă; două soluții distincte forțează o infinitate (o dreaptă). c) A — ambele metode aplicate corect dau aceeași mulțime de soluții. d) A — sistem fără soluție ⟺ drepte paralele distincte. e) A — o infinitate de soluții ⟺ dreptele coincid.

Exercițiul 7 (5 p)

Adunăm cele două ecuații ($-2y$ și $+2y$ se reduc): $(3x-2y)+(x+2y)=4+8\Rightarrow 4x=12\Rightarrow x=3$. (3 p) Din a doua: $3+2y=8\Rightarrow 2y=5\Rightarrow y=\frac{5}{2}$. Soluția: $\left(3,\frac{5}{2}\right)$. (1 p) Verificare: $3\cdot 3-2\cdot \frac{5}{2}=9-5=4$ ✓. (1 p)

Exercițiul 8 (5 p)

a) Înmulțim prima ecuație cu $2$: $2x-4y=6$, identică cu a doua. Prin reducere obținem $0=0$ (adevărată mereu) ⟹ o infinitate de soluții. (3 p) b) Din $x-2y=3$ rezultă $x=3+2y$, cu $y\in \mathbb{R}$ oarecare. Exemple: pentru $y=0\Rightarrow (3,0)$; pentru $y=1\Rightarrow (5,1)$. (2 p)

Exercițiul 9 (5 p)

Înmulțim prima ecuație cu $2$: $4x+2y=10$. Comparând cu a doua ($4x+2y=7$), scăderea dă $0=3$, egalitate imposibilă. (3 p) Deci sistemul nu are nicio soluție (drepte paralele: aceiași coeficienți ai lui $x$ și $y$, termeni liberi diferiți). (2 p)

Exercițiul 10 (4 p)

Sistemul: $\{\begin{array}{l}x+y=30\\ x-y=8\end{array}$. (1 p) Adunând: $2x=38\Rightarrow x=19$; apoi $y=30-19=11$. (2 p) Verificare: $19+11=30$ ✓ și $19-11=8$ ✓. Numerele sunt 19 și 11. (1 p)

Exercițiul 11 (6 p)

a) $\{\begin{array}{l}3x+2y=23\\ 2x+5y=30\end{array}$. (2 p) b) Înmulțim prima cu $5$ și a doua cu $2$: $15x+10y=115$ și $4x+10y=60$; scădem: $11x=55\Rightarrow x=5$. Apoi $3\cdot 5+2y=23\Rightarrow 2y=8\Rightarrow y=4$. (3 p) c) Verificare: $3\cdot 5+2\cdot 4=23$ ✓ și $2\cdot 5+5\cdot 4=30$ ✓. Caietul 5 lei, pixul 4 lei. (1 p)

Exercițiul 12 (4 p)

a) A doua ecuație este $2x+2y=m$, adică $x+y=\frac{m}{2}$; coincide cu prima ($x+y=3$) doar dacă $\frac{m}{2}=3$, deci $m=6$ ⟹ o infinitate de soluții. (2 p) b) Pentru $m\ne 6$: $x+y=3$ și $x+y=\frac{m}{2}\ne 3$ simultan sunt imposibile ⟹ nicio soluție (drepte paralele). (1 p) c) Nu — cele două ecuații au aceiași coeficienți pentru $x$ și $y$ (proporționali), deci dreptele sunt fie paralele, fie coincidente; niciodată o singură intersecție. (1 p)

Exercițiul 13 (5 p)

Înmulțim prima ecuație cu $6$: $3x+2y=18$. Din a doua, $x=y+1$. (1 p) Substituim: $3(y+1)+2y=18\Rightarrow 3y+3+2y=18\Rightarrow 5y=15\Rightarrow y=3$; apoi $x=3+1=4$. Soluția: $(4,3)$. (3 p) Verificare: $\frac{4}{2}+\frac{3}{3}=2+1=3$ ✓ și $4-3=1$ ✓. (1 p)

Exercițiul 14 (6 p)

a) $\{\begin{array}{l}2x+3y=74\\ 3x+2y=76\end{array}$. (2 p) b) Înmulțim prima cu $3$ și a doua cu $2$: $6x+9y=222$ și $6x+4y=152$; scădem: $5y=70\Rightarrow y=14$. Apoi $2x+3\cdot 14=74\Rightarrow 2x=32\Rightarrow x=16$. (3 p) c) Verificare: $2\cdot 16+3\cdot 14=32+42=74$ ✓ și $3\cdot 16+2\cdot 14=48+28=76$ ✓. Adult 16 lei, copil 14 lei. (1 p)

Exercițiul 15 (5 p)

a) Perimetrul: $2(L+l)=34\Rightarrow L+l=17$. Sistemul: $\{\begin{array}{l}L+l=17\\ L-l=5\end{array}$. (2 p) b) Adunând: $2L=22\Rightarrow L=11$; apoi $l=17-11=6$. Dimensiunile: 11 cm și 6 cm. (2 p) c) Verificare: $2(11+6)=2\cdot 17=34$ cm ✓. (1 p)

Exercițiul 16 (5 p)

a) $\{\begin{array}{l}x+y=90\\ x=2y\end{array}$ (unghiuri complementare, unul dublul celuilalt). (2 p) b) Substituim $x=2y$: $2y+y=90\Rightarrow 3y=90\Rightarrow y=30$; apoi $x=60$. Unghiurile: $60^{\circ }$ și $30^{\circ }$. (2 p) c) Verificare: $60^{\circ }+30^{\circ }=90^{\circ }$ ✓ și $60^{\circ }=2\cdot 30^{\circ }$ ✓. (1 p)

Exercițiul 17 (4 p)

a) Sistemul nu are soluție unică când coeficienții sunt proporționali: $\frac{2}{1}=\frac{a}{1}$, adică $a=2$. (2 p) b) Pentru $a=2$: a doua ecuație devine $2x+2y=8\iff x+y=4$, iar prima este $x+y=5$. Cum $4\ne 5$, sistemul nu are nicio soluție (drepte paralele). (2 p)

Exercițiul 18 (5 p)

a) $\{\begin{array}{l}x+y=20\\ 2x+4y=56\end{array}$ ($x$ = biciclete cu 2 roți, $y$ = autoturisme cu 4 roți). (2 p) b) Din prima, $x=20-y$; substituim: $2(20-y)+4y=56\Rightarrow 40+2y=56\Rightarrow 2y=16\Rightarrow y=8$; apoi $x=12$. (2 p) c) Verificare: $12+8=20$ ✓ și $2\cdot 12+4\cdot 8=24+32=56$ ✓. 12 biciclete și 8 autoturisme. (1 p)

Total: 90 p (itemi) + 10 p (oficiu) = 100 p.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică dacă elevul: înțelege ce înseamnă soluția unui sistem (o pereche $(x,y)$ care verifică simultan ambele ecuații); alege metoda potrivită de rezolvare (substituție sau reducere) și justifică alegerea; rezolvă corect prin metoda substituției și prin metoda reducerii; recunoaște cele trei tipuri de sisteme — cu soluție unică, fără soluție sau cu o infinitate de soluții — inclusiv interpretarea geometrică (drepte care se intersectează, paralele sau coincidente); modelează situații practice printr-un sistem și redactează corect rezolvarea, cu verificare.

• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Punctaj total: 100 de puncte, dintre care 10 puncte din oficiu. Cele 18 cerințe însumează 90 de puncte.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, cu calcule scrise. La itemii care cer „justifică", „discută", „arată că" sau „alege metoda" se punctează raționamentul, nu doar rezultatul. Se recomandă verificarea soluției prin înlocuire în ambele ecuații ale sistemului. La itemii de geometrie se realizează o figură.
• Interpretarea notei (aproximativ): 90–100 p → foarte bine; 70–89 p → bine; 45–69 p → satisfăcător; sub 45 p → se reia unitatea.

Notație și reamintiri. Un sistem de două ecuații liniare cu necunoscutele $x$ și $y$ se scrie $\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}$. Soluția sistemului este o pereche ordonată $(x,y)$ care transformă ambele ecuații în egalități adevărate. Un sistem poate avea: o singură soluție, nicio soluție sau o infinitate de soluții. Virgula este separator zecimal (de ex. $2,5$).