Test: Mulțimea soluțiilor și probleme cu inecuații

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Inecuații în ℝ

Exerciții

Partea I – Mulțimea soluțiilor. Reprezentare pe axă și ca interval

Exercițiul 1 (4 puncte)

Completează: o inecuație de gradul I cu o necunoscută este o inecuație care se poate aduce la forma $ax+b$$0$ (unde locul lui $\square$ poate fi $<,>,\le$ sau $\ge$), cu $a,b\in \mathbb{R}$ și $a$$0$. A rezolva o inecuație înseamnă a determina ______ soluțiilor ei, adică toate valorile lui $x$ pentru care inecuația devine o ______ (propoziție) adevărată.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se dă inecuația $3x-5\le 7$. Verifică prin calcul dacă fiecare dintre numerele de mai jos este soluție a inecuației (scrie DA sau NU și justifică): a) $x=4$; b) $x=5$; c) $x=-1$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvă inecuația $2x-6\ge 0$. Scrie mulțimea soluțiilor $S$ sub formă de interval.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Pentru fiecare inecuație, scrie mulțimea soluțiilor ca interval și reprezint-o pe axa numerelor: a) $x\ge -1$; b) $x<3$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este Adevărată sau Falsă și justifică pe scurt: a) Dacă înmulțim ambii membri ai unei inecuații cu $-2$, sensul inecuației se păstrează. b) Numărul $0$ aparține intervalului $(0,5]$. c) Numărul $2$ aparține intervalului $[2,+\infty )$.

Partea a II-a – Rezolvarea inecuațiilor prin transformări echivalente

Exercițiul 6 (6 puncte)

Rezolvă inecuația $-2x+4<10$. Scrie mulțimea soluțiilor ca interval și reprezint-o pe axă.

Exercițiul 7 (6 puncte)

Rezolvă inecuația cu paranteze $3(x-2)\ge x+4$ și scrie mulțimea soluțiilor ca interval.

Exercițiul 8 (6 puncte)

Rezolvă inecuația cu numitori: $$\frac{x-1}{2}-\frac{x+2}{3}\le 1.$$ Scrie mulțimea soluțiilor ca interval.

Exercițiul 9 (5 puncte)

Determină toate numerele naturale $x$ care verifică inecuația $2x-3<9$.

Exercițiul 10 (5 puncte)

Determină cel mai mic număr întreg care verifică inecuația $5x+2\ge 3x-4$.

Exercițiul 11 (6 puncte)

Se dă inecuația $\frac{2x+1}{3}-\frac{x-2}{2}<2$. a) Rezolvă inecuația și scrie mulțimea soluțiilor ca interval. b) Reprezintă mulțimea soluțiilor pe axa numerelor. c) Indică cel mai mare număr întreg din mulțimea soluțiilor.

Partea a III-a – Probleme care se rezolvă cu ajutorul inecuațiilor

Exercițiul 12 (6 puncte)

Un elev are la trei teze notele $7$, $8$ și $6$. Ce notă minimă (număr natural) trebuie să obțină la a patra teză pentru ca media celor patru note să fie cel puțin $7,5$? a) Notează cu $x$ nota de la a patra teză și scrie inecuația. b) Rezolvă inecuația și dă răspunsul.

Exercițiul 13 (7 puncte)

Un dreptunghi are lungimea cu $4$ cm mai mare decât lățimea. Perimetrul dreptunghiului este cel mult $28$ cm. Notează lățimea cu $x$ (în cm).

a) Scrie perimetrul dreptunghiului în funcție de $x$. b) Scrie inecuația care traduce condiția din enunț. c) Determină ce valori întregi și pozitive poate lua lățimea $x$.

Exercițiul 14 (6 puncte)

Andrei are $100$ de lei. El cumpără $4$ pixuri, fiecare de $5$ lei, și mai multe caiete, fiecare de $8$ lei. Câte caiete poate cumpăra cel mult, astfel încât banii să îi ajungă? a) Notează cu $n$ numărul de caiete și scrie inecuația. b) Rezolvă inecuația și dă răspunsul.

Exercițiul 15 (5 puncte)

Suma a trei numere naturale consecutive este cel mult $45$. Care este cea mai mare valoare posibilă a celui mai mic dintre cele trei numere? Scrie și cele trei numere.

Exercițiul 16 (8 puncte)

La o sală de sport, plata pentru o lună se poate face în două moduri:

• Opțiunea A: $10$ lei pentru fiecare vizită;
• Opțiunea B: un abonament lunar de $60$ lei, cu vizite nelimitate.

Fie $x$ numărul de vizite făcute într-o lună. a) Scrie costul lunar pentru fiecare opțiune, în funcție de $x$. b) Scrie și rezolvă inecuația care arată de la câte vizite opțiunea B devine mai avantajoasă (mai ieftină) decât opțiunea A. c) Interpretează rezultatul: de la câte vizite pe lună este mai bun abonamentul B și ce se întâmplă la exact $6$ vizite?

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Exercițiul 1 · 4 puncte Câte 1 p pentru fiecare completare corectă. Forma: $ax+b\boxed{\square }0$ (unde $\square$ este unul dintre $<,>,\le ,\ge$); condiția $a\boxed{\ne }0$; a rezolva = a determina mulțimea soluțiilor; valorile care fac inecuația o propoziție adevărată.

Exercițiul 2 · 5 puncte Câte 1 p pentru fiecare verdict corect; pentru justificarea prin calcul: 1 p la a), câte 0,5 p la b) și c). a) $x=4$: $3\cdot 4-5=7\le 7$ adevărat → DA, este soluție. (2 p) b) $x=5$: $3\cdot 5-5=10$, iar $10\le 7$ este fals → NU. (1,5 p) c) $x=-1$: $3\cdot (-1)-5=-8\le 7$ adevărat → DA. (1,5 p)

Exercițiul 3 · 5 puncte $2x-6\ge 0\Rightarrow 2x\ge 6\Rightarrow x\ge 3$ (3 p). Mulțimea soluțiilor: $S=[3,+\infty )$ (2 p; paranteză dreaptă la 3, deoarece $\ge$).

Exercițiul 4 · 5 puncte Câte 2,5 p pe subpunct (interval + reprezentare). a) $x\ge -1$: $S=[-1,+\infty )$; pe axă punct plin la $-1$ și hașură spre dreapta. b) $x<3$: $S=(-\infty ,3)$; pe axă punct gol la $3$ și hașură spre stânga.

Exercițiul 5 · 5 puncte Câte 1 p verdict + câte ≈0,66 p justificarea. a) Fals — la înmulțirea cu un număr negativ sensul inecuației se schimbă. b) Fals — paranteza rotundă înseamnă capăt deschis, deci $0\notin (0,5]$. c) Adevărat — paranteza dreaptă înseamnă capăt închis, deci $2\in [2,+\infty )$.

Exercițiul 6 · 6 puncte $-2x+4<10\Rightarrow -2x<6$ *(2 p)*. Împărțim la $-2$ (**negativ**), deci sensul **se schimbă**: $x>-3$ (2 p). $S=(-3,+\infty )$; pe axă punct gol la $-3$, hașură spre dreapta (2 p).

Exercițiul 7 · 6 puncte $3(x-2)\ge x+4\Rightarrow 3x-6\ge x+4$ (2 p) $\Rightarrow 3x-x\ge 4+6\Rightarrow 2x\ge 10$ (2 p) $\Rightarrow x\ge 5$. $S=[5,+\infty )$ (2 p).

Exercițiul 8 · 6 puncte Numitor comun $6$; înmulțim ($6>0$, sensul se păstrează): $3(x-1)-2(x+2)\le 6$ (2 p) $\Rightarrow 3x-3-2x-4\le 6\Rightarrow x-7\le 6$ (2 p) $\Rightarrow x\le 13$. $S=(-\infty ,13]$ (2 p).

Exercițiul 9 · 5 puncte $2x-3<9\Rightarrow 2x<12\Rightarrow x<6$ (3 p). Numere naturale: $x\in \{0,1,2,3,4,5\}$ (2 p).

Exercițiul 10 · 5 puncte $5x+2\ge 3x-4\Rightarrow 5x-3x\ge -4-2\Rightarrow 2x\ge -6\Rightarrow x\ge -3$ (3 p). Cel mai mic număr întreg: $x=-3$ (2 p).

Exercițiul 11 · 6 puncte a) Numitor comun $6$: $2(2x+1)-3(x-2)<12\Rightarrow 4x+2-3x+6<12\Rightarrow x+8<12\Rightarrow x<4$; $S=(-\infty ,4)$ (3 p). b) Pe axă: punct gol la $4$, hașură spre stânga (1,5 p). c) Cel mai mare număr întreg din $S$: $x=3$ (1,5 p).

Exercițiul 12 · 6 puncte a) $\frac{7+8+6+x}{4}\ge 7,5$ (2 p). b) $21+x\ge 30\Rightarrow x\ge 9$ (3 p). Cum nota este cel mult $10$, nota minimă este $9$ (1 p).

Exercițiul 13 · 7 puncte a) Lățime $x$, lungime $x+4$; $P=2(x+(x+4))=2(2x+4)=4x+8$ (2 p). b) $4x+8\le 28$ (2 p). c) $4x\le 20\Rightarrow x\le 5$; cum $x>0$ (lățimea este o dimensiune pozitivă), valorile întregi și pozitive sunt $x\in \{1,2,3,4,5\}$ (3 p).

Exercițiul 14 · 6 puncte a) Cost pixuri: $4\cdot 5=20$ lei; condiția: $20+8n\le 100$ (2 p). b) $8n\le 80\Rightarrow n\le 10$ (3 p). Poate cumpăra cel mult 10 caiete (1 p).

Exercițiul 15 · 5 puncte Fie numerele $n,n+1,n+2$ (naturale). $n+(n+1)+(n+2)\le 45\Rightarrow 3n+3\le 45$ (2 p) $\Rightarrow 3n\le 42\Rightarrow n\le 14$ (2 p). Cea mai mare valoare a celui mai mic număr: $n=14$; numerele sunt $14,15,16$ (suma $=45$) (1 p).

Exercițiul 16 · 8 puncte a) Cost A $=10x$ lei; Cost B $=60$ lei (constant) (2 p). b) B mai ieftină decât A: $60<10x\Rightarrow 10x>60\Rightarrow x>6$ (3 p). Cum $x$ este număr întreg de vizite, rezultă $x\ge 7$ (1 p). c) De la 7 vizite pe lună, abonamentul B (opțiunea B) este mai avantajos. La exact $6$ vizite, $10\cdot 6=60$ lei $=$ costul abonamentului, deci cele două opțiuni costă la fel (2 p).

Recomandare de studiu: dacă apar greșeli la itemii 6, 7, 8 sau 11, reia regula schimbării sensului la înmulțirea/împărțirea cu numere negative și modul de scriere a intervalelor (capete deschise vs. închise).

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică dacă elevul stăpânește inecuațiile de gradul I cu o necunoscută: recunoașterea formei $ax+b\square 0$, verificarea unei soluții, mulțimea soluțiilor și scrierea ei ca interval și prin reprezentare pe axa numerelor, rezolvarea prin transformări echivalente (inclusiv schimbarea sensului la înmulțirea/împărțirea cu un număr negativ), inecuații cu paranteze și cu numitori, precum și probleme practice care se rezolvă cu ajutorul inecuațiilor (transpunerea enunțului și interpretarea soluției în context). Este potrivit pentru consolidare în an de Evaluare Națională.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe o foaie separată, cu creion și riglă. Pentru reprezentările pe axă se folosește punct plin (•) când capătul aparține mulțimii ($\le ,\ge$, paranteză dreaptă) și punct gol (∘) când nu aparține ($<,>$, paranteză rotundă). La final, comparați rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea noțiunilor din unitate.
• Reguli utile: o inecuație se păstrează echivalentă dacă adunăm/scădem același număr în ambii membri sau dacă înmulțim/împărțim cu un număr pozitiv; dacă înmulțim/împărțim cu un număr negativ, sensul inecuației se schimbă.

Notă: marcajele 🖼️ [Imagine: ...] descriu figura sau reprezentarea grafică ce însoțește itemul; elevul o poate schița după descriere.