Test: Teorema celor trei perpendiculare și distanțe

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Perpendicularitate în spațiu. Proiecții și teorema celor trei perpendiculare

Exerciții

Partea I – Noțiuni și teoremă

Exercițiul 1 (5 puncte)

Completează fiecare enunț cu termenul potrivit: a) O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe ______ drepte concurente din acel plan. b) Proiecția unui punct exterior pe un plan este ______ perpendicularei coborâte din punct pe plan. c) Unghiul dintre o dreaptă (oblică) și un plan este unghiul dintre dreaptă și ______ ei pe plan. d) Măsura unui unghi diedru este dată de măsura unghiului ______ al diedrului. e) Două plane sunt perpendiculare dacă unul dintre ele conține o ______ perpendiculară pe celălalt plan.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se dă un plan $α$ , un punct $V \in / α$ și o dreaptă $a \subset α$ . a) Enunță teorema celor trei perpendiculare completând: „Dacă $V O ⊥ α$ (cu $O \in α$ ) și $O A ⊥ a$ (cu $A \in a$ ), atunci ______ $⊥ a$ ." b) Enunță reciproca teoremei completând: „Dacă $V O ⊥ α$ (cu $O \in α$ ) și $V A ⊥ a$ (cu $A \in a$ ), atunci ______ $⊥ a$ ." c) În ambele situații, câte perpendiculare intervin și de aici de unde provine numele teoremei? (Numește-le pe scurt.)

Exercițiul 3 (5 puncte)

Se dă cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cu muchia de $8$ cm.

Precizează, pe planul bazei $(A B C D)$ : a) proiecția punctului $A^{'}$ ; b) proiecția și lungimea proiecției muchiei $A^{'} B^{'}$ ; c) proiecția și lungimea proiecției diagonalei corpului $A^{'} C$ ; d) lungimea proiecției muchiei $A A^{'}$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt. a) Dacă o dreaptă este perpendiculară pe o singură dreaptă dintr-un plan, atunci ea este perpendiculară pe plan. b) Proiecția unui segment pe un plan poate fi mai lungă decât segmentul. c) Distanța de la un punct la un plan este lungimea celui mai scurt segment care unește punctul cu planul. d) Două plane distincte, ambele perpendiculare pe același plan, sunt neapărat paralele între ele.

Partea a II-a – Proiecții și unghiul cu planul

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se dă cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cu muchia $a$ . Determină, justificat, unghiul dintre dreaptă și planul $(A B C D)$ : a) unghiul dintre muchia $A A^{'}$ și planul $(A B C D)$ ; b) unghiul dintre diagonala feței $A B^{'}$ și planul $(A B C D)$ ; c) unghiul dintre diagonala corpului $A C^{'}$ și planul $(A B C D)$ (dă valoarea tangentei acestui unghi).

Exercițiul 6 (6 puncte)

Un paralelipiped dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are dimensiunile $A B = 8$ cm, $A D = 6$ cm și $A A^{'} = 10$ cm.

a) Calculează diagonala bazei $A C$ . b) Determină unghiul dintre diagonala corpului $A C^{'}$ și planul bazei $(A B C D)$ . c) Calculează lungimea diagonalei corpului $A C^{'}$ .

Exercițiul 7 (6 puncte)

O grindă dreaptă (segmentul $A B$ ) are lungimea de $12$ cm și se sprijină pe o masă orizontală (planul $α$ ), astfel încât capătul $A$ este pe masă, iar grinda face cu planul mesei un unghi de $3 0^{\circ}$ .

a) Calculează lungimea proiecției segmentului $A B$ pe planul mesei. b) Calculează distanța de la capătul $B$ la planul mesei.

Exercițiul 8 (6 puncte)

Un paralelipiped dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are baza dreptunghiul $A B C D$ cu $A B = 15$ cm și $A D = 20$ cm, iar înălțimea $A A^{'} = 9$ cm. Fie $P$ piciorul perpendicularei coborâte din $A$ pe diagonala $B D$ a bazei.

a) Calculează diagonala bazei $B D$ . b) Calculează $A P$ (distanța de la $A$ la dreapta $B D$ ). c) Arată, folosind teorema celor trei perpendiculare, că $A^{'} P ⊥ B D$ și calculează $A^{'} P$ (distanța de la $A^{'}$ la dreapta $B D$ ).

Partea a III-a – Teorema celor trei perpendiculare și distanțe

Exercițiul 9 (6 puncte)

O piramidă patrulateră regulată $V A B C D$ are latura bazei de $12$ cm și înălțimea $V O = 63$ cm ( $O$ = centrul bazei). Fie $M$ mijlocul laturii $B C$ .

a) Arată, folosind teorema celor trei perpendiculare, că $V M ⊥ B C$ și calculează apotema $V M$ a piramidei. b) Determină măsura unghiului diedru dintre planul unei fețe laterale și planul bazei. c) Calculează distanța de la centrul $O$ al bazei la planul feței laterale $(V B C)$ .

Exercițiul 10 (6 puncte)

Se dă cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cu muchia de $6$ cm. Se consideră planul $(A^{'} B D)$ .

a) Arată că triunghiul $A^{'} B D$ este echilateral și calculează latura lui. b) Calculează distanța de la vârful $A$ la planul $(A^{'} B D)$ . (Indicație: folosește volumul tetraedrului $A^{'} A B D$ , calculat în două moduri — o dată cu baza $A B D$ și înălțimea $A A^{'}$ , o dată cu baza $A^{'} B D$ și distanța cerută.)

Exercițiul 11 (6 puncte)

O prismă triunghiulară regulată $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ are latura bazei (triunghi echilateral) de $6$ cm și înălțimea (muchia laterală) de $10$ cm.

a) Calculează înălțimea triunghiului de bază. b) Precizează distanța dintre cele două baze (plane paralele) ale prismei. c) Calculează distanța de la muchia laterală $A A^{'}$ la fața laterală opusă $(B C C^{'} B^{'})$ .

Exercițiul 12 (5 puncte)

Se dă cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . a) Arată că planul diagonal $(A C C^{'} A^{'})$ este perpendicular pe planul bazei $(A B C D)$ . b) Câte dintre fețele laterale ale cubului sunt perpendiculare pe planul bazei? Justifică. c) Adevărat sau fals, cu justificare: „Planul diagonal $(B D D^{'} B^{'})$ este perpendicular pe planul diagonal $(A C C^{'} A^{'})$ ."

Exercițiul 13 (6 puncte)

O antenă verticală $V O$ este fixată în punctul $O$ pe un teren orizontal (planul $α$ ). Pe teren trece o alee dreaptă $d$ . Piciorul perpendicularei coborâte din $O$ pe aleea $d$ este punctul $A$ , cu $O A = 5$ m, iar antena are înălțimea $V O = 12$ m. Un cablu leagă vârful $V$ de punctul $A$ .

a) Arată, folosind teorema celor trei perpendiculare, că $V A ⊥ d$ . b) Calculează lungimea cablului $V A$ . c) Precizează care este distanța de la vârful $V$ al antenei la aleea $d$ și justifică de ce.

Partea a IV-a – Sinteză și aplicații

Exercițiul 14 (6 puncte)

Un paralelipiped dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are dimensiunile $A B = 8$ cm, $B C = 6$ cm și $A A^{'} = 24$ cm.

a) Calculează diagonala bazei $A C$ . b) Calculează diagonala corpului $A C^{'}$ . c) Pentru unghiul dintre diagonala $A C^{'}$ și planul bazei $(A B C D)$ , calculează valorile $sin$ , $cos$ și $tg$ ale acestui unghi.

Exercițiul 15 (5 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt. a) Distanța de la un punct exterior unui plan la o dreaptă din acel plan se poate determina cu ajutorul teoremei celor trei perpendiculare. b) Proiecția unui unghi drept pe un plan este întotdeauna tot un unghi drept. c) Într-o piramidă patrulateră regulată, piciorul înălțimii coboarâte din vârf coincide cu centrul bazei. d) Distanța dintre două plane paralele este aceeași, indiferent în ce loc o măsurăm (pe o perpendiculară comună).

Exercițiul 16 (6 puncte)

Se dă cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cu muchia de $6$ cm. Se consideră diagonala bazei $A C$ și vârful $B^{'}$ . Fie $O$ centrul bazei (mijlocul lui $A C$ ).

a) Calculează distanța de la vârful $B$ la diagonala $A C$ (adică $B O$ ). b) Arată, folosind teorema celor trei perpendiculare, că $B^{'} O ⊥ A C$ . c) Calculează distanța de la vârful $B^{'}$ la dreapta $A C$ .

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1 · 5 puncte — câte 1 p pentru fiecare completare corectă. a) două; b) piciorul; c) proiecția; d) liniar (plan) al diedrului; e) dreaptă.

Exercițiul 2 · 5 puncte a) Concluzia: $VA ⊥ a$ (oblica este perpendiculară pe dreapta din plan) (2 p). b) Concluzia (reciproca): $OA ⊥ a$ (proiecția oblicei este perpendiculară pe dreapta din plan) (2 p). c) Intervin trei perpendiculare: perpendiculara pe plan ( $V O ⊥ α$ ), perpendiculara din picior pe dreaptă ( $O A ⊥ a$ ) și oblica pe dreaptă ( $V A ⊥ a$ ) — de aici numele „a celor trei perpendiculare" (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte — muchia cubului $= 8$ cm. a) Proiecția lui $A^{'}$ pe $(A B C D)$ este $A$ (1 p). b) Proiecția lui $A^{'} B^{'}$ este $AB$ ; lungimea proiecției $= 8$ cm (1,5 p). c) $A^{'} C$ este diagonala corpului ( $A^{'}$ se proiectează în $A$ , iar $C$ rămâne $C$ ), deci proiecția este diagonala bazei $AC$ , de lungime $82$ cm $\approx 82$ cm (1,5 p). d) $A A^{'} ⊥ (A B C D)$ , deci se proiectează în punctul $A$ ; lungimea proiecției $= 0$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte — câte 1,25 p (valoare + justificare). a) F. O dreaptă este perpendiculară pe plan doar dacă este perpendiculară pe două drepte concurente din plan. b) F. Proiecția unui segment pe un plan este cel mult egală cu segmentul (lungimea proiecției $=$ lungimea segmentului $\times cos$ (unghiul cu planul) $\leq$ lungimea segmentului). c) A. Distanța de la un punct la un plan este lungimea perpendicularei din punct pe plan, care este cel mai scurt segment. d) F. Ele pot fi și concurente: de exemplu, două fețe laterale alăturate ale unei prisme drepte sunt ambele perpendiculare pe bază, dar se intersectează după o muchie.

Exercițiul 5 · 6 puncte — muchia $a$ ; unghiul dreptei cu planul $=$ unghiul dintre dreaptă și proiecția ei. a) $A A^{'} ⊥ (A B C D)$ , deci unghiul este $9 0^{\circ}$ (2 p). b) Proiecția lui $A B^{'}$ pe bază este $A B$ ( $A^{'}$ ... mai exact $B^{'}$ se proiectează în $B$ ), deci unghiul este $∠ B^{'} A B$ ; în pătratul $A B B^{'} A^{'}$ , $tg ∠ B^{'} A B = \frac{B B ^{'}}{A B} = \frac{a}{a} = 1$ , deci unghiul $= 4 5^{\circ}$ (2 p). c) Proiecția lui $A C^{'}$ pe bază este diagonala $A C$ , deci unghiul este $∠ C^{'} A C$ ; $tg ∠ C^{'} A C = \frac{C C ^{'}}{A C} = \frac{a}{a 2} = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ (de unde unghiul $\approx 3 5^{\circ} 1 6^{'}$ ) (2 p).

Exercițiul 6 · 6 puncte — $A B = 8$ , $A D = 6$ , $A A^{'} = 10$ . a) $A C = A B^{2} + A D^{2} = 64 + 36 = 100 = 10$ cm (2 p). b) Proiecția lui $A C^{'}$ pe bază este $A C$ ; $tg ∠ C^{'} A C = \frac{C C ^{'}}{A C} = \frac{10}{10} = 1$ , deci unghiul $= 4 5^{\circ}$ (2 p). c) $A C^{'} = A C^{2} + C C^{'2} = 100 + 100 = 200 = 102$ cm (2 p).

Exercițiul 7 · 6 puncte — $A B = 12$ cm, unghiul cu planul $= 3 0^{\circ}$ ; $A \in α$ . a) Lungimea proiecției $= A B \cdot cos 3 0^{\circ} = 12 \cdot \frac{3}{2} = 63$ cm $\approx 10, 39$ cm (3 p). b) Distanța de la $B$ la plan $= A B \cdot sin 3 0^{\circ} = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ cm (3 p).

Exercițiul 8 · 6 puncte — $A B = 15$ , $A D = 20$ , $A A^{'} = 9$ . a) $B D = A B^{2} + A D^{2} = 225 + 400 = 625 = 25$ cm (2 p). b) În triunghiul dreptunghic $A B D$ (drept în $A$ ), $A P = \frac{A B \cdot A D}{B D} = \frac{15 \cdot 20}{25} = 12$ cm (2 p). c) $A A^{'} ⊥ (A B C D)$ (picior $A$ ), iar $A P ⊥ B D$ în bază; conform teoremei celor trei perpendiculare, oblica $A^{'} P ⊥ B D$ . Atunci, în triunghiul dreptunghic $A A^{'} P$ (drept în $A$ ): $A^{'} P = A A^{'2} + A P^{2} = 81 + 144 = 225 = 15$ cm (2 p).

Exercițiul 9 · 6 puncte — $a = 12$ , $V O = 63$ , $O$ centru, $M$ mijlocul lui $B C$ ; $O M = \frac{a}{2} = 6$ . a) $O M ⊥ B C$ (segmentul din centru la mijlocul laturii) și $V O ⊥$ bază; conform TCP, oblica $V M ⊥ B C$ , deci $V M$ este apotema piramidei: $V M = V O^{2} + O M^{2} = 108 + 36 = 144 = 12$ cm (2 p). b) Unghiul diedru dintre fața laterală și bază este $∠ V M O$ (deoarece $V M ⊥ B C$ și $O M ⊥ B C$ ): $tg ∠ V M O = \frac{V O}{O M} = \frac{6 3}{6} = 3$ , deci diedrul $= 6 0^{\circ}$ (2 p). c) Deoarece $B C ⊥ O M$ și $B C ⊥ V M$ , avem $B C ⊥ (V O M)$ ; distanța de la $O$ la planul $(V B C)$ este înălțimea din $O$ în triunghiul dreptunghic $V O M$ : $d = \frac{V O \cdot O M}{V M} = \frac{6 3 \cdot 6}{12} = 33$ cm (2 p).

Exercițiul 10 · 6 puncte — cub cu muchia $6$ . a) Fiecare dintre $A^{'} B$ , $B D$ , $A^{'} D$ este diagonală a unei fețe pătrate (fețele $A B B^{'} A^{'}$ , $A B C D$ , respectiv $A D D^{'} A^{'}$ ), deci $A^{'} B = B D = A^{'} D = 62$ cm; triunghiul $A^{'} B D$ este echilateral cu latura $62$ cm (3 p). b) Volumul tetraedrului $A^{'} A B D$ cu baza $A B D$ (triunghi dreptunghic isoscel, catete $6$ , arie $\frac{6 \cdot 6}{2} = 18$ ) și înălțimea $A A^{'} = 6$ : $V = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 6 = 36$ cm³. Aria triunghiului echilateral $A^{'} B D$ : $A = \frac{( 6 2 ) ^{2} 3}{4} = \frac{72 3}{4} = 183$ cm². Distanța cerută: $d = \frac{3 V}{A} = \frac{3 \cdot 36}{18 3} = \frac{108}{18 3} = \frac{6}{3} = 23$ cm (3 p).

Exercițiul 11 · 6 puncte — prismă triunghiulară regulată, latura bazei $6$ , înălțimea $10$ . a) Înălțimea triunghiului echilateral de bază $= \frac{6 3}{2} = 33$ cm (2 p). b) Distanța dintre cele două baze (plane paralele) $=$ înălțimea prismei $= 10$ cm (2 p). c) $A A^{'} ∥ B B^{'} \subset (B C C^{'} B^{'})$ , deci $A A^{'} ∥ (B C C^{'} B^{'})$ ; distanța de la $A A^{'}$ la acest plan este distanța de la $A$ la dreapta $B C$ , adică înălțimea triunghiului echilateral din $A$ : $= 33$ cm. Deci distanța $= 33$ cm (2 p).

Exercițiul 12 · 5 puncte a) $A A^{'} ⊥ (A B C D)$ , iar $A A^{'} \subset (A C C^{'} A^{'})$ ; un plan care conține o dreaptă perpendiculară pe alt plan este perpendicular pe acel plan, deci $(AC C^{'} A^{'}) ⊥ (ABCD)$ (2 p). b) Toate 4 fețele laterale sunt perpendiculare pe bază: fiecare conține o muchie laterală (de exemplu $A A^{'}$ , $B B^{'}$ …) perpendiculară pe planul bazei (1,5 p). c) A (adevărat). În pătratul $A B C D$ , diagonalele sunt perpendiculare: $A C ⊥ B D$ . În plus $A C ⊥ B B^{'}$ ( $B B^{'} ⊥$ bază), deci $A C ⊥ (B D D^{'} B^{'})$ . Cum $A C \subset (A C C^{'} A^{'})$ , planul $(A C C^{'} A^{'})$ conține o dreaptă perpendiculară pe $(B D D^{'} B^{'})$ , deci cele două plane sunt perpendiculare (1,5 p).

Exercițiul 13 · 6 puncte — $V O = 12$ m (verticală), $O A = 5$ m, $O A ⊥ d$ . a) $V O ⊥ α$ (antena verticală pe teren), iar $O A ⊥ d$ (în plan); conform teoremei celor trei perpendiculare, oblica $VA ⊥ d$ (2 p). b) În triunghiul dreptunghic $V O A$ (drept în $O$ ): $V A = V O^{2} + O A^{2} = 144 + 25 = 169 = 13$ m (2 p). c) Distanța de la $V$ la aleea $d$ este $V A = 13$ m, deoarece $V A ⊥ d$ (din TCP), iar segmentul perpendicular pe o dreaptă este cel mai scurt de la punct la acea dreaptă (2 p).

Exercițiul 14 · 6 puncte — $A B = 8$ , $B C = 6$ , $A A^{'} = 24$ . a) $A C = A B^{2} + B C^{2} = 64 + 36 = 100 = 10$ cm (2 p). b) $A C^{'} = A C^{2} + C C^{'2} = 100 + 576 = 676 = 26$ cm (2 p). c) Unghiul $∠ C^{'} A C$ (dintre $A C^{'}$ și proiecția $A C$ ) într-un triunghi dreptunghic cu catetele $A C = 10$ , $C C^{'} = 24$ și ipotenuza $A C^{'} = 26$ : $sin = \frac{C C ^{'}}{A C ^{'}} = \frac{24}{26} = \frac{12}{13}$ , $cos = \frac{A C}{A C ^{'}} = \frac{10}{26} = \frac{5}{13}$ , $tg = \frac{C C ^{'}}{A C} = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$ (unghi $\approx 6 7^{\circ} 2 3^{'}$ ) (2 p).

Exercițiul 15 · 5 puncte — câte 1,25 p (valoare + justificare). a) A. Se coboară perpendiculara din punct pe plan (picior $O$ ), apoi din $O$ perpendiculara pe dreaptă (picior $A$ ); prin TCP oblica $V A ⊥$ dreapta, iar $V A$ este chiar distanța căutată. b) F. Proiecția unui unghi drept nu este, în general, tot un unghi drept (se păstrează dreaptă doar în cazuri particulare, de exemplu când o latură este paralelă cu planul). c) A. La piramida patrulateră regulată, înălțimea cade în centrul bazei (punctul de intersecție al diagonalelor pătratului). d) A. Distanța dintre două plane paralele, măsurată pe orice perpendiculară comună, este constantă.

Exercițiul 16 · 6 puncte — cub cu muchia $6$ ; $O$ = mijlocul lui $A C$ . a) În pătratul $A B C D$ , diagonalele $A C$ și $B D$ sunt perpendiculare și se taie în $O$ ; distanța de la $B$ la dreapta $A C$ este $B O = \frac{B D}{2} = \frac{6 2}{2} = 32$ cm (2 p). b) $B^{'} B ⊥ (A B C D)$ (picior $B$ ), iar $B O ⊥ A C$ în bază; conform teoremei celor trei perpendiculare, oblica $B^{'} O ⊥ AC$ (2 p). c) Distanța de la $B^{'}$ la $A C$ este $B^{'} O$ ; în triunghiul dreptunghic $B^{'} B O$ (drept în $B$ ): $B^{'} O = B^{'} B^{2} + B O^{2} = 6^{2} + (32)^{2} = 36 + 18 = 54 = 36$ cm (2 p).

Recomandare: dacă elevul greșește la itemii 8, 9, 13 sau 16 (teorema celor trei perpendiculare), reia schema-cheie: (1) coboară perpendiculara din punct pe plan → găsești piciorul $O$ ; (2) din $O$ coboară perpendiculara pe dreaptă → găsești piciorul $A$ ; (3) unește punctul cu $A$ → oblica $V A ⊥$ dreaptă, iar $V A$ este distanța căutată, calculabilă cu teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $V O A$ . Pentru itemii 5, 6 și 14 (unghiul cu planul), reține: unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei, iar lungimea proiecției unui segment este $L \cdot cos (unghiul cu planul)$ .

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică dacă elevul stăpânește noțiunile din unitatea „Perpendicularitate în spațiu. Proiecții și teorema celor trei perpendiculare": drepte perpendiculare și dreapta perpendiculară pe un plan, plane perpendiculare, proiecții pe un plan și lungimea proiecției unui segment, unghiul dintre o dreaptă și un plan, unghiul diedru (unghiul a două plane), teorema celor trei perpendiculare și reciproca ei, precum și distanțele în spațiu (de la un punct la o dreaptă, de la un punct la un plan, între plane paralele) și înălțimile în corpuri. Este potrivit pentru consolidare în an de Evaluare Națională.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute.
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe o foaie separată, cu creion și riglă pentru schițe. Corpurile geometrice se desenează „în perspectivă" (proiecție cavalier), cu muchiile ascunse trasate punctat. La final, comparați rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea noțiunilor din unitate.
Sfat cheie: teorema celor trei perpendiculare (TCP) leagă trei perpendicularități. Dacă $V O ⊥ α$ (cu piciorul $O$ ), iar în plan ducem $O A ⊥ a$ (unde $a$ este o dreaptă din plan), atunci oblica $V A$ este și ea perpendiculară pe $a$ . Așa se calculează, de cele mai multe ori, distanța de la un punct la o dreaptă din spațiu.

Notă: marcajele 🖼️ [Imagine: ...] descriu figura care însoțește itemul; elevul o poate reface după descriere. La toate problemele cu cubul/paralelipipedul se folosește notația standard $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , cu baza $A B C D$ jos și fața $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ sus, unde $A^{'}$ este deasupra lui $A$ , $B^{'}$ deasupra lui $B$ etc. La piramida $V A B C D$ , $V$ este vârful, iar $O$ centrul bazei.