Test: Teorema lui Thales și segmente proporționale

Exerciții

Exercițiul 1 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și motivează pe scurt răspunsul. (4 × 2p)

a) O paralelă la o latură a unui triunghi, care intersectează celelalte două laturi, determină pe acestea segmente proporționale. b) Dacă două triunghiuri au unghiurile respectiv congruente, atunci ele sunt asemenea. c) Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu raportul lor de asemănare. d) Dacă trei drepte paralele determină pe o secantă segmente congruente, atunci ele determină segmente congruente pe orice altă secantă.

Exercițiul 2 (4 puncte)

Segmentele de lungimi $AB=8\text{cm}$ și $CD=12\text{cm}$ sunt proporționale cu segmentele $MN=10\text{cm}$ și $PQ$ (în această ordine). Află lungimea segmentului $PQ$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

În triunghiul $ABC$, punctele $M\in AB$ și $N\in AC$ sunt astfel încât $MN\parallel BC$. Se știe că $AM=4\text{cm}$, $MB=6\text{cm}$ și $AN=6\text{cm}$. Folosind teorema lui Thales, află lungimea segmentului $NC$.

Exercițiul 4 (6 puncte)

Patru drepte paralele $a,b,c,d$ sunt echidistante (distanțele dintre paralele consecutive sunt egale). O secantă le intersectează în punctele $A,B,C,D$, iar o altă secantă în punctele $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ (în această ordine). Știind că $A^{\prime }{D}^{\prime }=21\text{cm}$:

a) Ce proprietate a segmentelor $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $C^{\prime }{D}^{\prime }$ garantează teorema paralelelor echidistante? (2p) b) Află lungimile segmentelor $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$ și $C^{\prime }{D}^{\prime }$. (4p)

Exercițiul 5 (5 puncte)

În fiecare caz, punctele $M$ și $N$ sunt situate pe laturile $AB$, respectiv $AC$, ale triunghiului $ABC$. Folosind reciproca teoremei lui Thales, stabilește dacă $MN\parallel BC$. Justifică prin calcul. (2 × 2,5p)

a) $AM=3\text{cm}$, $MB=6\text{cm}$, $AN=4\text{cm}$, $NC=8\text{cm}$. b) $AM=5\text{cm}$, $MB=10\text{cm}$, $AN=4\text{cm}$, $NC=6\text{cm}$.

Exercițiul 6 (6 puncte)

Un segment $AB$ de lungime $40\text{cm}$ este împărțit de punctele $M$ și $N$ (în ordinea $A,M,N,B$) în trei părți direct proporționale cu numerele $2$, $3$ și $5$. Află lungimile segmentelor $AM$, $MN$ și $NB$.

Exercițiul 7 (5 puncte)

Triunghiurile $ABC$ și $DEF$ sunt asemenea, $△ABC\sim △DEF$, cu raportul de asemănare $\frac{AB}{DE}=\frac{3}{2}$. Se cunosc $AB=12\text{cm}$, $BC=18\text{cm}$ și $CA=15\text{cm}$. Află lungimile laturilor triunghiului $DEF$.

Exercițiul 8 (6 puncte)

Pentru fiecare pereche de triunghiuri, stabilește dacă triunghiurile sunt asemenea și, dacă da, precizează criteriul de asemănare folosit (UU, LUL sau LLL). (3 × 2p)

a) $△ABC$ cu $\hat{A}=40^{\circ }$, $\hat{B}=75^{\circ }$ și $△DEF$ cu $\hat{D}=40^{\circ }$, $\hat{E}=75^{\circ }$. b) $△ABC$ cu $AB=6$, $AC=9$ și $\hat{A}=50^{\circ }$; $△MNP$ cu $MN=4$, $MP=6$ și $\hat{M}=50^{\circ }$. c) $△ABC$ cu laturile $4,6,9$ și $△DEF$ cu laturile $6,9,12$ (laturi date în ordine crescătoare).

Exercițiul 9 (6 puncte)

În triunghiul $ABC$, punctele $M\in AB$ și $N\in AC$ verifică $MN\parallel BC$. Se dau $AM=8\text{cm}$, $AB=12\text{cm}$ și $BC=15\text{cm}$.

a) Justifică de ce $△AMN\sim △ABC$ (teorema fundamentală a asemănării). (2p) b) Află raportul de asemănare al celor două triunghiuri. (2p) c) Calculează lungimea segmentului $MN$. (2p)

Exercițiul 10 (7 puncte)

Triunghiurile $ABC$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ sunt asemenea cu raportul de asemănare $\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{2}{3}$. Se știe că aria triunghiului $ABC$ este ${\mathcal{A}}_{ABC}=20{\text{cm}}^2$, iar perimetrul lui $ABC$ este $24\text{cm}$.

a) Care este raportul ariilor $\frac{{\mathcal{A}}_{ABC}}{{\mathcal{A}}_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}$? (2p) b) Calculează aria triunghiului $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. (3p) c) Calculează perimetrul triunghiului $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. (2p)

Exercițiul 11 (6 puncte)

În același moment al zilei, un stâlp înalt de $2\text{m}$ aruncă pe sol o umbră de $1,5\text{m}$, iar un copac aflat în apropiere aruncă o umbră de $9\text{m}$.

a) Explică de ce triunghiul format de stâlp cu umbra sa este asemenea cu cel format de copac cu umbra sa. (2p) b) Ce înălțime are copacul? (4p)

Exercițiul 12 (6 puncte)

Pentru a afla lățimea $AB$ a unui râu, un elev folosește asemănarea. $A$ este un copac pe malul opus, iar $B$ un țăruș pe malul apropiat, exact în fața copacului, deci $AB$ este perpendiculară pe mal. Pe mal fixează punctele $D$ și $C$ (cu $D$ între $B$ și $C$) și înfige în $C$ un băț vertical $CE\perp \text{mal}$. El așază bățul astfel încât punctele $A$, $D$, $E$ să fie coliniare (vizează vârful copacului peste vârful bățului). Măsoară: $BD=20\text{m}$, $DC=5\text{m}$, $CE=2\text{m}$.

a) Justifică de ce $△ABD\sim △ECD$. (3p) b) Află lățimea $AB$ a râului. (3p)

Exercițiul 13 (6 puncte)

În triunghiul $ABC$, punctele $D\in AB$ și $E\in AC$ verifică $DE\parallel BC$. Se dau $AD=6\text{cm}$, $DB=4\text{cm}$ și $DE=9\text{cm}$.

a) Află raportul de asemănare al triunghiurilor $ADE$ și $ABC$. (2p) b) Calculează lungimea laturii $BC$. (2p) c) Calculează raportul ariilor triunghiurilor $ADE$ și $ABC$. (2p)

Exercițiul 14 (5 puncte)

Fie triunghiul $ABC$ și punctele $M$ — mijlocul laturii $AB$ — și $N$ — mijlocul laturii $AC$. Folosind reciproca teoremei lui Thales și asemănarea triunghiurilor, demonstrează că $MN\parallel BC$ și că $MN=\frac{1}{2}BC$.

Exercițiul 15 (5 puncte)

În triunghiul $ABC$, punctele $M\in AB$ și $N\in AC$ verifică $MN\parallel BC$. Se știe că $AM=x+1$, $MB=x$, $AN=8\text{cm}$ și $NC=6\text{cm}$. Scrie relația dată de teorema lui Thales, află valoarea lui $x$ și lungimile segmentelor $AM$ și $MB$.

Exercițiul 16 (4 puncte)

Două triunghiuri sunt asemenea, cu raportul de asemănare $\frac{4}{7}$ (primul față de al doilea). Perimetrul triunghiului mai mic este $32\text{cm}$. Află perimetrul triunghiului mai mare.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Exercițiul 1 (8p)

a) Adevărat. Este chiar teorema lui Thales: o paralelă la o latură a triunghiului taie celelalte două laturi în segmente proporționale. (2p) b) Adevărat. Este criteriul de asemănare UU (unghi-unghi): dacă unghiurile sunt respectiv congruente, triunghiurile sunt asemenea. (2p) c) Fals. Raportul ariilor este egal cu pătratul raportului de asemănare: $\frac{{\mathcal{A}}_1}{{\mathcal{A}}_2}=k^2$, nu cu $k$. (2p) d) Adevărat. Aceasta este teorema paralelelor echidistante: dacă paralelele determină segmente congruente pe o secantă, atunci determină segmente congruente pe orice altă secantă. (2p)

Exercițiul 2 (4p)

Proporționalitatea segmentelor înseamnă $\frac{AB}{CD}=\frac{MN}{PQ}$: $$\frac{8}{12}=\frac{10}{PQ}\Rightarrow PQ=\frac{10\cdot 12}{8}=15\text{cm}.$$ Verificare: $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$ și $\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$.

Exercițiul 3 (5p)

Deoarece $MN\parallel BC$, teorema lui Thales dă $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$. (2p) $$\frac{4}{6}=\frac{6}{NC}\Rightarrow NC=\frac{6\cdot 6}{4}=9\text{cm}.$$ (3p)

Exercițiul 4 (6p)

a) Paralelele fiind echidistante, ele determină pe orice secantă segmente congruente (egale): $A^{\prime }{B}^{\prime }=B^{\prime }{C}^{\prime }=C^{\prime }{D}^{\prime }$. (2p) b) Cele trei segmente egale însumează $A^{\prime }{D}^{\prime }=21\text{cm}$, deci fiecare are $$A^{\prime }{B}^{\prime }=B^{\prime }{C}^{\prime }=C^{\prime }{D}^{\prime }=\frac{21}{3}=7\text{cm}.$$ (4p)

Exercițiul 5 (5p)

a) $\frac{AM}{MB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ și $\frac{AN}{NC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$. Rapoartele fiind egale, prin reciproca teoremei lui Thales, $MN\parallel BC$. (2,5p) b) $\frac{AM}{MB}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$, iar $\frac{AN}{NC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$. Rapoartele nu sunt egale $\left(\frac{1}{2}\ne \frac{2}{3}\right)$, deci $MN$ nu este paralelă cu $BC$. (2,5p)

Exercițiul 6 (6p)

Notăm părțile $2t$, $3t$, $5t$. Suma lor este lungimea segmentului: $$2t+3t+5t=40\Rightarrow 10t=40\Rightarrow t=4.$$ (3p) Deci $AM=2\cdot 4=8\text{cm}$, $MN=3\cdot 4=12\text{cm}$, $NB=5\cdot 4=20\text{cm}$. (3p) Verificare: $8+12+20=40\text{cm}$.

Exercițiul 7 (5p)

Din $△ABC\sim △DEF$ cu $\frac{AB}{DE}=\frac{3}{2}$, laturile lui $DEF$ se obțin împărțind laturile lui $ABC$ la $\frac{3}{2}$ (adică înmulțind cu $\frac{2}{3}$): $$DE=12\cdot \frac{2}{3}=8\text{cm},EF=18\cdot \frac{2}{3}=12\text{cm},FD=15\cdot \frac{2}{3}=10\text{cm}.$$ (câte 1p pentru relație + 4p pentru cele trei laturi, ~1,3p fiecare)

Exercițiul 8 (6p)

a) Asemenea, criteriul UU: două unghiuri sunt respectiv congruente ($40^{\circ }$ și $75^{\circ }$), deci și al treilea este congruent ($65^{\circ }$). (2p) b) Asemenea, criteriul LUL: $\frac{AB}{MN}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$, $\frac{AC}{MP}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$, iar unghiurile cuprinse sunt congruente $\left(\hat{A}=\hat{M}=50^{\circ }\right)$. (2p) c) NU sunt asemenea: $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$, $\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$, dar $\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\ne \frac{2}{3}$. Laturile nu sunt toate proporționale, deci criteriul LLL nu se aplică. (2p)

Exercițiul 9 (6p)

a) $MN\parallel BC$, deci $\widehat{AMN}\equiv \widehat{ABC}$ (unghiuri corespondente), iar unghiul $\hat{A}$ este comun. Prin criteriul UU, $△AMN\sim △ABC$ (teorema fundamentală a asemănării). (2p) b) Raportul de asemănare: $k=\frac{AM}{AB}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$. (2p) c) $\frac{MN}{BC}=k\Rightarrow MN=\frac{2}{3}\cdot 15=10\text{cm}.$ (2p)

Exercițiul 10 (7p)

a) Raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare: $$\frac{{\mathcal{A}}_{ABC}}{{\mathcal{A}}_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}=k^2={\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}.$$ (2p) b) $\frac{20}{{\mathcal{A}}_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}=\frac{4}{9}\Rightarrow {\mathcal{A}}_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{20\cdot 9}{4}=45{\text{cm}}^2.$ (3p) c) Raportul perimetrelor este egal cu raportul de asemănare: $$\frac{24}{P_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}=\frac{2}{3}\Rightarrow P_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{24\cdot 3}{2}=36\text{cm}.$$ (2p)

Exercițiul 11 (6p)

a) Razele soarelui sunt paralele, iar stâlpul și copacul sunt ambii verticali (perpendiculari pe sol). Cele două triunghiuri dreptunghice au câte un unghi drept și unghiul făcut de razele soarelui cu solul congruent, deci sunt asemenea (criteriul UU). (2p) b) Notăm cu $h$ înălțimea copacului. Din asemănare: $$\frac{h}{9}=\frac{2}{1,5}\Rightarrow h=\frac{2\cdot 9}{1,5}=\frac{18}{1,5}=12\text{m}.$$ (4p)

Exercițiul 12 (6p)

a) $\widehat{ABD}=90^{\circ }$ (căci $AB\perp$ mal) și $\widehat{ECD}=90^{\circ }$ (căci $CE\perp$ mal), deci $\widehat{ABD}\equiv \widehat{ECD}$. Unghiurile $\widehat{ADB}$ și $\widehat{EDC}$ sunt opuse la vârf (punctele $A,D,E$ coliniare și $B,D,C$ coliniare), deci congruente. Prin criteriul UU, $△ABD\sim △ECD$. (3p) b) Din asemănare, $\frac{AB}{EC}=\frac{BD}{CD}$: $$\frac{AB}{2}=\frac{20}{5}\Rightarrow AB=2\cdot 4=8\text{m}.$$ Lățimea râului este de $8\text{m}$. (3p)

Exercițiul 13 (6p)

a) $AB=AD+DB=6+4=10\text{cm}$. Raportul de asemănare al triunghiurilor $ADE$ și $ABC$ este $$k=\frac{AD}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.$$ (2p) b) $\frac{DE}{BC}=k\Rightarrow \frac{9}{BC}=\frac{3}{5}\Rightarrow BC=\frac{9\cdot 5}{3}=15\text{cm}.$ (2p) c) Raportul ariilor este $k^2={\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{9}{25}.$ (2p)

Exercițiul 14 (5p)

$M$ mijlocul lui $AB$ și $N$ mijlocul lui $AC$ dau $\frac{AM}{AB}=\frac{1}{2}$ și $\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}$, deci $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$. Prin reciproca teoremei lui Thales, rezultă $MN\parallel BC$. (3p) Cum $MN\parallel BC$, avem $△AMN\sim △ABC$ (teorema fundamentală a asemănării), cu raportul $k=\frac{1}{2}$. Prin urmare $\frac{MN}{BC}=\frac{1}{2}$, adică $MN=\frac{1}{2}BC$. (2p) (Aceasta este chiar proprietatea liniei mijlocii a triunghiului.)

Exercițiul 15 (5p)

Deoarece $MN\parallel BC$, teorema lui Thales dă $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$: $$\frac{x+1}{x}=\frac{8}{6}.$$ (2p) Aducem la aceeași formă: $6(x+1)=8x\Rightarrow 6x+6=8x\Rightarrow 2x=6\Rightarrow x=3.$ (2p) Deci $AM=x+1=4\text{cm}$ și $MB=x=3\text{cm}$. (1p) Verificare: $\frac{4}{3}=\frac{8}{6}$.

Exercițiul 16 (4p)

Raportul perimetrelor a două triunghiuri asemenea este egal cu raportul de asemănare. Notând cu $P$ perimetrul triunghiului mai mare: $$\frac{32}{P}=\frac{4}{7}\Rightarrow P=\frac{32\cdot 7}{4}=56\text{cm}.$$

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică unitatea „Asemănarea triunghiurilor" de la clasa a VII-a, cu accent pe segmente proporționale, teorema paralelelor echidistante, teorema lui Thales și reciproca ei, împărțirea unui segment în părți proporționale, precum și pe asemănarea triunghiurilor (raport de asemănare, criterii, teorema fundamentală, raportul ariilor) și pe aplicații practice de aproximare a distanțelor. Itemii sunt gradați ca dificultate: de la aplicarea directă a teoremelor până la probleme aplicate și scurte justificări.

• Timp recomandat: 50 de minute (lucru individual, la clasă sau acasă).
• Punctaj: fiecare item are punctajul trecut în paranteză. Suma itemilor este de 90 de puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu, deci total 100 de puncte.
• Materiale permise: riglă, echer, creion; nu este nevoie de calculator (toate rezultatele ies numere „frumoase").
• Cum se corectează: folosiți secțiunea Barem și răspunsuri de la final. La itemii de justificare se punctează raționamentul corect, chiar dacă redactarea diferă de model.

Notă privind programa: testul folosește doar noțiuni din clasa a VII-a (geometrie în plan, segmente proporționale și asemănare). Nu apar corpuri geometrice, formule de calcul prescurtat, fracții algebrice sau noțiunea formală de funcție.