Test: Teoremele sinusurilor și cosinusului; rezolvarea triunghiurilor

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Exerciții

Partea I – Teorema cosinusului și teorema sinusurilor: aplicații directe

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) În triunghiul $ABC$ se cunosc $b=3$, $c=8$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. Lungimea laturii $a$ este: A. $7$; B. $\sqrt{37}$; C. $9$; D. $11$.

b) În orice triunghi $ABC$ înscris într-un cerc de rază $R$, raportul $\frac{a}{\sin A}$ este egal cu: A. $R$; B. $2R$; C. $\frac{R}{2}$; D. $4R$.

c) În triunghiul $ABC$ se cunosc $a=10$ și $m(\angle A)=30^{\circ }$. Raza cercului circumscris triunghiului este: A. $5$; B. $10$; C. $20$; D. $40$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=8$, $AC=5$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$.

a) Calculează $BC$. (2 p) b) Calculează $\cos C$. (2 p) c) Verifică rezultatul de la a) cu inegalitatea triunghiului și precizează, justificând, care este cel mai mare unghi al triunghiului. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Triunghiul $ABC$ are laturile $a=13$, $b=14$, $c=15$. a) Calculează $\cos A$ și $\cos C$. (2 p) b) Deduce $\sin A$ și $\sin C$. (2 p) c) Verifică prin calcul că $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ și determină raza cercului circumscris. (2 p)

Exercițiul 4 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Dacă într-un triunghi $a^2>b^2+c^2$, atunci unghiul $A$ este obtuz." b) „Dacă în triunghiul $ABC$ avem $\sin B=\sin C$, atunci $m(\angle B)=m(\angle C)$." c) „Într-un triunghi, dacă $a>b$, atunci $\sin A>\sin B$." d) „Cunoscând două laturi și un unghi al unui triunghi, triunghiul este întotdeauna unic determinat."

Partea a II-a – Teorema sinusurilor, cercul circumscris și rezolvarea pe cazuri

Exercițiul 5 (8 puncte)

În triunghiul $ABC$ se cunosc $m(\angle A)=45^{\circ }$, $m(\angle B)=60^{\circ }$ și $a=BC=6$. a) Calculează $m(\angle C)$. (1 p) b) Calculează $2R$ și raza $R$ a cercului circumscris. (3 p) c) Calculează latura $b$. (2 p) d) Fără a calcula $c$, precizează care dintre cele trei laturi este cea mai lungă și justifică. (2 p)

Exercițiul 6 (8 puncte)

În triunghiul $ABC$ se cunosc $b=AC=7$, $c=AB=3\sqrt{2}$ și $m(\angle A)=45^{\circ }$. a) Calculează $a=BC$. (3 p) b) Calculează raza cercului circumscris triunghiului. (2 p) c) Calculează $\sin B$ și arată că unghiul $B$ este obtuz. (3 p)

Exercițiul 7 (6 puncte)

(Cazul ambiguu.) În triunghiul $ABC$ se cunosc $m(\angle A)=30^{\circ }$, $a=5$ și $b=5\sqrt{2}$.

a) Arată că $\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și determină ambele valori posibile pentru $m(\angle B)$. (3 p) b) Arată că ambele valori conduc la triunghiuri care există și precizează $m(\angle C)$ în fiecare caz. (3 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Problemă aplicată.) Doi topografi se află pe malul unui râu, în punctele $A$ și $B$, la distanța $AB=100$ m unul de altul. Amândoi vizează același copac $C$, de pe malul opus, și măsoară unghiurile $m(\angle CAB)=30^{\circ }$ și $m(\angle ABC)=105^{\circ }$.

a) Calculează $m(\angle ACB)$. (1 p) b) Calculează distanța $BC$. (2,5 p) c) Calculează distanța $AC$, în formă exactă și aproximată la metru. (2,5 p)

Exercițiul 9 (5 puncte)

Stabilește natura fiecăruia dintre triunghiurile cu laturile date (ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic), justificând de fiecare dată: a) $4$, $5$, $6$; (1 p) b) $5$, $12$, $13$; (1 p) c) $4$, $5$, $8$. (1 p) d) Pentru triunghiul obtuzunghic găsit, calculează cosinusul celui mai mare unghi. (2 p)

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip examen

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Fie triunghiul $ABC$ înscris în cercul de centru $O$ și rază $R$. Demonstrează teorema sinusurilor în forma $$\frac{a}{\sin A}=2R.$$

a) Demonstrează egalitatea în cazul în care unghiul $A$ este ascuțit, folosind diametrul dus din $B$. (4 p) b) Tratează separat cazurile $m(\angle A)=90^{\circ }$ și $A$ obtuz. (4 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Rezolvă triunghiul $ABC$ în care $a=4$, $m(\angle A)=30^{\circ }$ și $m(\angle B)=45^{\circ }$ — adică determină toate cele șase elemente ale sale. a) Calculează $m(\angle C)$ și $2R$. (2 p) b) Calculează laturile $b$ și $c$, în formă exactă. (4 p) c) Verifică valoarea găsită pentru $c$ folosind teorema cosinusului. (2 p)

Exercițiul 12 (9 puncte)

Triunghiul $ABC$ are laturile $a=7$, $b=8$, $c=9$. a) Calculează $\cos A$, $\cos B$ și $\cos C$. (3 p) b) Arată că triunghiul este ascuțitunghic. (2 p) c) Calculează $\sin A$ și raza cercului circumscris. (2 p) d) Verifică pe acest triunghi teorema proiecțiilor: $a=b\cos C+c\cos B$. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=7$, $AC=8$ și $m(\angle BAC)=120^{\circ }$. a) Arătați că $BC=13$. (3 p) b) Determinați raza cercului circumscris triunghiului $ABC$. (2 p) c) Calculați $\sin (\angle ABC)$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) A. Unghiul $A$ este cuprins între laturile cunoscute, deci se aplică teorema cosinusului pentru latura opusă lui $A$: $$a^2=3^2+8^2-2\cdot 3\cdot 8\cdot \cos 60^{\circ }=9+64-48\cdot \frac{1}{2}=73-24=49,$$ deci $a=7$. Verificare: $7<3+8$ și $7>8-3$ ✓. b) B. Teorema sinusurilor în forma extinsă spune că toate cele trei rapoarte $\frac{a}{\sin A}$, $\frac{b}{\sin B}$, $\frac{c}{\sin C}$ sunt egale cu $2R$ — adică exact diametrul cercului circumscris. c) B. Din $\frac{a}{\sin A}=2R$ obținem $2R=\frac{10}{\sin 30^{\circ }}=\frac{10}{1/2}=20$, deci $R=10$. (Greșeala tipică este să se oprească la $2R$ și să se răspundă $20$.)

Exercițiul 2. (6 p)

a) (2 p) Cu notațiile consacrate, $c=AB=8$, $b=AC=5$, iar unghiul dat este între ele: $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=89-40=49\Rightarrow \mathbf{BC}=7.$$ (1 p formula corect scrisă, 1 p rezultatul.)

b) (2 p) Unghiul $C$ este opus laturii $c=AB=8$: $$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{49+25-64}{2\cdot 7\cdot 5}=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}.$$

c) (2 p) Inegalitatea triunghiului: $7<5+8=13$ și $7>8-5=3$ ✓ (1 p). Cea mai mare latură este $AB=8$, iar unghiul cel mai mare este cel opus ei, adică $\angle C$ (1 p). Cum $\cos C=\frac{1}{7}>0$, unghiul $C$ este ascuțit — prin urmare toate unghiurile sunt ascuțite și triunghiul este ascuțitunghic.

Exercițiul 3. (6 p)

a) (2 p) $$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{196+225-169}{2\cdot 14\cdot 15}=\frac{252}{420}=\frac{3}{5};\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{169+196-225}{2\cdot 13\cdot 14}=\frac{140}{364}=\frac{5}{13}.$$

b) (2 p) Unghiurile unui triunghi au sinusul pozitiv, deci din ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$: $$\sin A=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5},\sin C=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}.$$

c) (2 p) $$\frac{a}{\sin A}=\frac{13}{4/5}=\frac{65}{4},\frac{c}{\sin C}=\frac{15}{12/13}=\frac{195}{12}=\frac{65}{4}✓$$ Rapoartele coincid, așa cum cere teorema sinusurilor (1 p). Cum valoarea lor comună este $2R$, obținem $R=\frac{65}{8}=8,125$ (1 p).

Exercițiul 4. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) A. Din $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$: ipoteza face numărătorul negativ, iar numitorul este pozitiv, deci $\cos A<0$. Pe intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$ cosinusul este negativ exact pentru unghiurile obtuze.

b) A. Din teorema sinusurilor, $\sin B=\frac{b}{2R}$ și $\sin C=\frac{c}{2R}$, deci $\sin B=\sin C\Rightarrow b=c$, adică triunghiul este isoscel și $B=C$. (Direct: $\sin B=\sin C$ dă $B=C$ sau $B=180^{\circ }-C$; a doua variantă ar însemna $B+C=180^{\circ }$, imposibil într-un triunghi, unde $A+B+C=180^{\circ }$ cu $A>0$.)

c) A. Din $a=2R\sin A$ și $b=2R\sin B$, cu $2R>0$, rezultă că $a>b$ este echivalent cu $\sin A>\sin B$. (Este forma trigonometrică a regulii „în fața laturii mai mari stă unghiul mai mare".)

d) F. În cazul LUL (unghiul este cuprins între laturile cunoscute) triunghiul este unic, dar în cazul LLU (unghiul nu este cuprins între ele) pot exista două triunghiuri. Contraexemplu: $A=30^{\circ }$, $a=5$, $b=5\sqrt{2}$ dă atât $B=45^{\circ }$, cât și $B=135^{\circ }$ (vezi itemul 7).

Exercițiul 5. (8 p)

a) (1 p) $m(\angle C)=180^{\circ }-45^{\circ }-60^{\circ }=75^{\circ }$.

b) (3 p) Din teorema sinusurilor (1 p): $$2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{6}{\sin 45^{\circ }}=\frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{12}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2},R=3\sqrt{2}\approx 4,24.$$ (1 p) pentru valoarea lui $2R$ și (1 p) pentru valoarea lui $R$.

c) (2 p) $b=2R\sin B=6\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{6}\approx 7,35$.

d) (2 p) Cea mai lungă latură este $c$, pentru că este opusă celui mai mare unghi, $C=75^{\circ }$ (1 p). Justificare riguroasă: $c=2R\sin C$, iar pe intervalul $(0^{\circ },90^{\circ }]$ sinusul este crescător, deci $\sin 75^{\circ }>\sin 60^{\circ }>\sin 45^{\circ }$, de unde $c>b>a$ (1 p). (Control: $c=6\sqrt{2}\sin 75^{\circ }\approx 8,20$, iar $6+7,35>8,20$ ✓.)

Exercițiul 6. (8 p)

a) (3 p) Unghiul $A$ este cuprins între $b$ și $c$, deci se aplică teorema cosinusului (1 p): $$a^2=7^2+{\left(3\sqrt{2}\right)}^2-2\cdot 7\cdot 3\sqrt{2}\cdot \cos 45^{\circ }=49+18-42\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=67-42=25,$$ deci $\mathbf{a}=5$ (1,5 p). Verificare: $5<7+3\sqrt{2}\approx 11,24$ și $5>7-3\sqrt{2}\approx 2,76$ ✓ (0,5 p).

b) (2 p) $2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=5\sqrt{2}$, deci $R=\frac{5\sqrt{2}}{2}\approx 3,54$.

c) (3 p) Din teorema sinusurilor (1,5 p): $$\sin B=\frac{b}{2R}=\frac{7}{5\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{10}\approx 0,99.$$ Sinusul singur nu decide dacă unghiul e ascuțit sau obtuz, așa că folosim cosinusul (1,5 p): $$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{25+18-49}{2\cdot 5\cdot 3\sqrt{2}}=\frac{-6}{30\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{10}<0,$$ deci $B$ este obtuz. (Control: ${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B=\frac{98}{100}+\frac{2}{100}=1$ ✓. Se acceptă și argumentul: $b=7$ este cea mai mare latură și $b^2=49>a^2+c^2=43$.)

Exercițiul 7. (6 p)

a) (3 p) Din teorema sinusurilor, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$, deci (1 p) $$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{5\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}}{5}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$ (1 p) Pe intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$ există două unghiuri cu acest sinus: $m(\angle B)=45^{\circ }$ sau $m(\angle B)=135^{\circ }$ (1 p).

b) (3 p) Verificăm dacă suma unghiurilor rămâne sub $180^{\circ }$ (1 p): – dacă $B=45^{\circ }$, atunci $m(\angle C)=180^{\circ }-30^{\circ }-45^{\circ }=105^{\circ }$ — triunghi valid (1 p); – dacă $B=135^{\circ }$, atunci $m(\angle C)=180^{\circ }-30^{\circ }-135^{\circ }=15^{\circ }$ — tot valid (1 p). Prin urmare datele determină două triunghiuri diferite. (Control: $c=2R\sin C$ cu $2R=10$ dă $c\approx 9,66$ în primul caz și $c\approx 2,59$ în al doilea; ambele respectă inegalitatea triunghiului cu $5$ și $5\sqrt{2}\approx 7,07$.) Cazul ambiguu apare fiindcă unghiul cunoscut nu este cuprins între laturile cunoscute.

Exercițiul 8. (6 p)

a) (1 p) $m(\angle ACB)=180^{\circ }-30^{\circ }-105^{\circ }=45^{\circ }$.

b) (2,5 p) În triunghiul $ABC$, latura $AB=100$ este opusă unghiului $C$, iar $BC$ este opusă unghiului $A$. Din teorema sinusurilor (1 p): $$BC=\frac{AB\cdot \sin A}{\sin C}=\frac{100\cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{50\cdot 2}{\sqrt{2}}=50\sqrt{2}\approx 70,7\text{m}.$$ (1,5 p)

c) (2,5 p) Analog, $AC$ este opusă unghiului $B$ (1 p): $$AC=\frac{AB\cdot \sin B}{\sin C}=\frac{100\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{50\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}{\sqrt{2}}=50\left(\sqrt{3}+1\right)\approx 137\text{m}.$$ (1,5 p) (Control: $100+70,7>136,6$ ✓, iar cea mai lungă latură, $AC$, este opusă celui mai mare unghi, $B=105^{\circ }$ ✓.)

Exercițiul 9. (5 p)

a) (1 p) Cea mai mare latură este $6$: $6^2=36<4^2+5^2=41$, deci triunghiul este ascuțitunghic. b) (1 p) $13^2=169=25+144=5^2+12^2$, deci triunghiul este dreptunghic (unghiul drept este opus laturii $13$). c) (1 p) $8^2=64>4^2+5^2=41$, deci triunghiul este obtuzunghic. (Toate cele trei triplete respectă inegalitatea triunghiului: $4+5>6$, $5+12>13$, $4+5>8$.) d) (2 p) Cel mai mare unghi al triunghiului $4$, $5$, $8$ este cel opus laturii $8$: $$\cos =\frac{4^2+5^2-8^2}{2\cdot 4\cdot 5}=\frac{16+25-64}{40}=\frac{-23}{40}=-0,575.$$ Cosinus negativ ✓ — confirmă că unghiul este obtuz (are aproximativ $125^{\circ }$).

Exercițiul 10. (8 p) — redactare completă.

a) Cazul $A$ ascuțit (4 p). Fie $A^{\prime }$ punctul diametral opus lui $B$ pe cercul circumscris; atunci $B{A}^{\prime }=2R$ (1 p).

Unghiul $\angle BC{A}^{\prime }$ este înscris în semicerc, deci $m(\angle BC{A}^{\prime })=90^{\circ }$, iar triunghiul $BC{A}^{\prime }$ este dreptunghic în $C$ (1 p).

Unghiurile $\angle BAC$ și $\angle B{A}^{\prime }C$ sunt înscrise în cerc și subîntind același arc $BC$, iar $A$ și $A^{\prime }$ sunt de aceeași parte a coardei $BC$, deci $m(\angle B{A}^{\prime }C)=m(\angle BAC)=A$ (1 p).

În triunghiul dreptunghic $BC{A}^{\prime }$, sinusul unghiului $A^{\prime }$ este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză (1 p): $$\sin A=\sin A^{\prime }=\frac{BC}{B{A}^{\prime }}=\frac{a}{2R}⟹\frac{a}{\sin A}=2R.■$$

b) Cazurile rămase (4 p). – Dacă $m(\angle A)=90^{\circ }$ (1,5 p): unghiul înscris este drept, deci $BC$ este diametru, adică $a=2R$. Cum $\sin 90^{\circ }=1$, avem $\frac{a}{\sin A}=\frac{2R}{1}=2R$ ✓. – Dacă $A$ este obtuz (2,5 p): punctele $A$ și $A^{\prime }$ se află de o parte și de alta a coardei $BC$, deci patrulaterul $AB{A}^{\prime }C$ este inscriptibil și unghiurile opuse sunt suplementare: $m(\angle B{A}^{\prime }C)=180^{\circ }-A$. Atunci $$\sin A^{\prime }=\sin \left(180^{\circ }-A\right)=\sin A,$$ iar calculul din a) rămâne neschimbat: $\sin A=\frac{a}{2R}$. $■$

Observație: teorema se scrie identic pentru celelalte două laturi, de unde forma completă $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$.

Exercițiul 11. (8 p) — redactare completă.

a) (2 p) $m(\angle C)=180^{\circ }-30^{\circ }-45^{\circ }=105^{\circ }$ (1 p). Din teorema sinusurilor: $$2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{4}{\sin 30^{\circ }}=\frac{4}{1/2}=8,\text{deci}R=4.$$ (1 p)

b) (4 p) Folosim forma $x=2R\sin X$ pentru fiecare latură: $$b=2R\sin B=8\cdot \sin 45^{\circ }=8\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\approx 5,66;$$ (2 p) $$c=2R\sin C=8\cdot \sin 105^{\circ }=8\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=2\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\approx 7,73.$$ (2 p) Triunghiul este astfel complet rezolvat: $a=4$, $b=4\sqrt{2}$, $c=2(\sqrt{6}+\sqrt{2})$, $A=30^{\circ }$, $B=45^{\circ }$, $C=105^{\circ }$.

c) (2 p) Verificare cu teorema cosinusului, folosind $\cos 105^{\circ }=-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ (1 p): $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=16+32+2\cdot 4\cdot 4\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=48+8\sqrt{2}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)=48+16\sqrt{3}-16=32+16\sqrt{3}.$$ Pe de altă parte, ${\left[2\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\right]}^2=4\left(8+4\sqrt{3}\right)=32+16\sqrt{3}$ ✓ (1 p). Cele două metode dau același rezultat.

Exercițiul 12. (9 p)

a) (3 p) — câte 1 punct: $$\cos A=\frac{64+81-49}{2\cdot 8\cdot 9}=\frac{96}{144}=\frac{2}{3};\cos B=\frac{49+81-64}{2\cdot 7\cdot 9}=\frac{66}{126}=\frac{11}{21};\cos C=\frac{49+64-81}{2\cdot 7\cdot 8}=\frac{32}{112}=\frac{2}{7}.$$

b) (2 p) Toate cele trei cosinusuri sunt pozitive, deci toate unghiurile sunt ascuțite (1 p). Alternativ, e suficient testul pe cea mai mare latură: $9^2=81<49+64=113$ (1 p).

c) (2 p) $\sin A=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$ (1 p), iar din teorema sinusurilor $$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{7}{2\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{21}{2\sqrt{5}}=\frac{21\sqrt{5}}{10}\approx 4,70.$$ (1 p)

d) (2 p) $$b\cos C+c\cos B=8\cdot \frac{2}{7}+9\cdot \frac{11}{21}=\frac{16}{7}+\frac{99}{21}=\frac{48}{21}+\frac{99}{21}=\frac{147}{21}=7=a✓$$ (1 p înlocuirea, 1 p calculul și concluzia.) Relația se numește teorema proiecțiilor: latura $a$ este suma proiecțiilor celorlalte două laturi pe ea.

Exercițiul 13. (8 p)

a) (3 p) Unghiul de $120^{\circ }$ este cuprins între laturile cunoscute, deci se aplică teorema cosinusului cu $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ (1 p): $$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 120^{\circ }=49+64-2\cdot 7\cdot 8\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=113+56=169,$$ (1,5 p) deci $BC=13$ (0,5 p). (Verificare: $13<7+8=15$ ✓ — triunghiul există.)

b) (2 p) Din teorema sinusurilor, cu $\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$: $$R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{13}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{13}{\sqrt{3}}=\frac{13\sqrt{3}}{3}\approx 7,51.$$

c) (3 p) Latura opusă unghiului $B$ este $b=AC=8$, deci (1,5 p) $$\sin B=\frac{b}{2R}=\frac{8}{\frac{26\sqrt{3}}{3}}=\frac{24}{26\sqrt{3}}=\frac{12}{13\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{39}=\frac{4\sqrt{3}}{13}\approx 0,53.$$ (1 p) Control cu teorema cosinusului (0,5 p): $\cos B=\frac{169+49-64}{2\cdot 13\cdot 7}=\frac{154}{182}=\frac{11}{13}$, iar ${\left(\frac{4\sqrt{3}}{13}\right)}^2+{\left(\frac{11}{13}\right)}^2=\frac{48+121}{169}=1$ ✓.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică cele două unelte fundamentale ale geometriei metrice — teorema cosinusului și teorema sinusurilor — și, mai ales, capacitatea elevului de a alege între ele. Sunt evaluate: aplicarea directă a teoremei cosinusului în cazul LUL (două laturi și unghiul dintre ele) și în cazul LLL (trei laturi, se cere un cosinus); teorema sinusurilor în forma extinsă $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, care leagă triunghiul de cercul său circumscris; și rezolvarea completă a unui triunghi pe fiecare caz, inclusiv cazul „două laturi și un unghi neinclus" (LLU), singurul care poate avea două soluții. Ultima parte cere redactare completă: demonstrația teoremei sinusurilor și rezolvarea integrală a unui triunghi, așa cum se cer la Bacalaureatul M1.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Rezultatele iraționale rămân în formă exactă ($7\sqrt{3}$, nu $12,12$). La fiecare latură calculată se cere verificarea cu inegalitatea triunghiului — este detectorul de erori gratuit.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe împerecherea latură–unghi opus și pe alegerea teoremei potrivite fiecărui caz.
• Formule de reținut: notațiile sunt cele consacrate — în triunghiul $ABC$, $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$, fiecare latură purtând litera mică a vârfului opus. Teorema cosinusului: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, cu analoagele $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ și $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$; forma pentru unghiuri: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$. Teorema sinusurilor: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, unde $R$ este raza cercului circumscris; de aici $a=2R\sin A$. Teorema proiecțiilor: $a=b\cos C+c\cos B$. Suma unghiurilor: $A+B+C=180^{\circ }$. Clasificare din laturi (cu $a$ cea mai mare latură): $a^2<b^2+c^2$ — ascuțitunghic; $a^2=b^2+c^2$ — dreptunghic; $a^2>b^2+c^2$ — obtuzunghic. Valori remarcabile: $\sin 30^{\circ }=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$; $\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$; $\sin 60^{\circ }=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$; $\sin 75^{\circ }=\sin 105^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$; $\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$. Cazurile de rezolvare a triunghiului: LUL și LLL — teorema cosinusului; ULU (o latură și două unghiuri) — teorema sinusurilor; LLU (două laturi și un unghi neinclus) — teorema sinusurilor, cu discuție, pentru că poate da două triunghiuri.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".