Test: Trapezul și linia mijlocie

Exerciții

Exercițiul 1 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și motivează pe scurt răspunsul. (4 × 2p)

a) Orice paralelogram este un trapez. b) Diagonalele oricărui trapez isoscel sunt congruente. c) Linia mijlocie a unui trapez este paralelă cu bazele și are lungimea egală cu semisuma bazelor. d) Într-un trapez isoscel, unghiurile alăturate uneia dintre baze sunt suplementare.

Exercițiul 2 (4 puncte)

Un trapez are bazele de $12\text{cm}$ și $18\text{cm}$. Calculează lungimea liniei mijlocii a trapezului.

Exercițiul 3 (6 puncte)

Pentru fiecare situație, precizează tipul trapezului: oarecare, isoscel sau dreptunghic. (3 × 2p)

a) Un trapez $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ în care unghiul $A$ măsoară $90^{\circ }$. b) Un trapez ale cărui diagonale sunt congruente. c) Un trapez cu laturile neparalele de lungimi diferite și fără niciun unghi drept.

Exercițiul 4 (6 puncte)

În trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ ($AB$ baza mare), unghiul $A$ are măsura de $68^{\circ }$. Află măsurile celorlalte trei unghiuri ale trapezului.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Linia mijlocie a unui trapez are $20\text{cm}$, iar una dintre baze are $14\text{cm}$. Află lungimea celeilalte baze.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Secțiunea transversală a unui jgheab de scurgere are forma unui trapez, cu bazele (orizontale) de $8\text{dm}$ și $14\text{dm}$. La jumătatea înălțimii se montează o bară metalică orizontală, sprijinită pe cele două laturi înclinate. Ce lungime are bara? Justifică prin ce proprietate ai folosit.

Exercițiul 7 (6 puncte)

Un trapez isoscel are baza mare de $16\text{cm}$, baza mică de $8\text{cm}$, iar perimetrul de $44\text{cm}$. Află lungimea unei laturi neparalele.

Exercițiul 8 (6 puncte)

Un trapez isoscel are bazele de $10\text{cm}$ și $4\text{cm}$, iar laturile neparalele de $5\text{cm}$ fiecare. Calculează înălțimea trapezului.

Exercițiul 9 (5 puncte)

Se consideră trapezul isoscel de la Exercițiul 8 (bazele $10\text{cm}$ și $4\text{cm}$, înălțimea $4\text{cm}$).

a) Cât este lungimea liniei mijlocii? (2p) b) Calculează aria trapezului. (3p)

Exercițiul 10 (8 puncte)

În trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB=20\text{cm}$ și $CD=12\text{cm}$. $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor neparalele $AD$, respectiv $BC$. Linia mijlocie $MN$ intersectează diagonala $AC$ în $P$ și diagonala $BD$ în $Q$.

a) Calculează lungimea liniei mijlocii $MN$. (2p) b) Calculează lungimile segmentelor $MP$ și $QN$. (3p) c) Calculează lungimea segmentului $PQ$. (3p)

Exercițiul 11 (6 puncte)

Într-un trapez isoscel $ABCD$ ($AB\parallel CD$), diagonala $AC$ are $13\text{cm}$.

a) Cât măsoară diagonala $BD$? (2p) b) Justifică pe scurt de ce diagonalele unui trapez isoscel sunt congruente. (4p)

Exercițiul 12 (6 puncte)

Trapezul dreptunghic $ABCD$ are $AB\parallel CD$, iar unghiurile $A$ și $D$ sunt drepte. Știind că unghiul $B$ are $60^{\circ }$:

a) Află măsura unghiului $C$. (3p) b) Verifică faptul că suma măsurilor unghiurilor trapezului este $360^{\circ }$. (3p)

Exercițiul 13 (6 puncte)

Bazele unui trapez au lungimile $(2x+3)\text{cm}$ și $(4x-1)\text{cm}$, iar linia mijlocie măsoară $19\text{cm}$. Află valoarea lui $x$ și lungimile celor două baze.

Exercițiul 14 (8 puncte)

O parcelă de teren are forma unui trapez isoscel cu baza mare $AB=40\text{m}$, baza mică $CD=24\text{m}$ și laturile neparalele de $10\text{m}$ fiecare.

a) Află înălțimea trapezului. (2p) b) Află lungimea liniei mijlocii. (2p) c) Calculează aria parcelei. (2p) d) Câți metri de gard sunt necesari pentru a împrejmui parcela? (2p)

Exercițiul 15 (5 puncte)

Fie trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$. Arată că unghiurile $A$ și $D$ (alăturate laturii neparalele $AD$) sunt suplementare, adică $\hat{A}+\hat{D}=180^{\circ }$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Exercițiul 1 (8p)

a) Fals. Trapezul are exact o pereche de laturi opuse paralele, iar celelalte două laturi sunt neparalele; la paralelogram ambele perechi de laturi opuse sunt paralele. (2p) b) Adevărat. Este o proprietate a trapezului isoscel: diagonalele sunt congruente. (2p) c) Adevărat. Aceasta este chiar teorema liniei mijlocii: $\text{l.m.}=\frac{B+b}{2}$ și este paralelă cu bazele. (2p) d) Fals. Unghiurile alăturate aceleiași baze sunt congruente; suplementare sunt unghiurile alăturate aceleiași laturi neparalele. (2p)

Exercițiul 2 (4p)

$\text{l.m.}=\frac{12+18}{2}=\frac{30}{2}=15\text{cm}.$

Exercițiul 3 (6p)

a) dreptunghic — un trapez cu un unghi drept la o latură neparalelă are, obligatoriu, două unghiuri drepte. (2p) b) isoscel — diagonalele congruente sunt proprietate caracteristică trapezului isoscel. (2p) c) oarecare — nu are laturile neparalele egale (deci nu e isoscel) și nu are unghi drept (deci nu e dreptunghic). (2p)

Exercițiul 4 (6p)

Într-un trapez isoscel, unghiurile alăturate aceleiași baze sunt congruente: $\hat{A}=\hat{B}=68^{\circ }$. (3p) Unghiurile alăturate unei laturi neparalele sunt suplementare: $\hat{D}=180^{\circ }-68^{\circ }=112^{\circ }$, deci $\hat{C}=\hat{D}=112^{\circ }$. (3p) Verificare: $68^{\circ }+68^{\circ }+112^{\circ }+112^{\circ }=360^{\circ }.$

Exercițiul 5 (5p)

$\frac{14+b}{2}=20\Rightarrow 14+b=40\Rightarrow b=26\text{cm}.$

Exercițiul 6 (5p)

Bara este așezată la jumătatea înălțimii, cu capetele pe laturile neparalele, deci este linia mijlocie a trapezului. (2p) $\text{l.m.}=\frac{8+14}{2}=\frac{22}{2}=11\text{dm}.$ (3p)

Exercițiul 7 (6p)

Fie $\ell$ lungimea unei laturi neparalele. Trapezul fiind isoscel, cele două laturi neparalele sunt egale: $16+8+2\ell =44\Rightarrow 24+2\ell =44\Rightarrow 2\ell =20\Rightarrow \ell =10\text{cm}.$

Exercițiul 8 (6p)

Ducem înălțimile din capetele bazei mici; proiecția fiecărei laturi neparalele pe baza mare are lungimea $\frac{10-4}{2}=3\text{cm}.$ (2p) În triunghiul dreptunghic format, cu ipotenuza $5$ și o catetă $3$, aplicăm teorema lui Pitagora: $h=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\text{cm}.$ (4p)

Exercițiul 9 (5p)

a) $\text{l.m.}=\frac{10+4}{2}=7\text{cm}.$ (2p) b) $\mathcal{A}=\frac{(B+b)\cdot h}{2}=\text{l.m.}\cdot h=7\cdot 4=28{\text{cm}}^2.$ (3p)

Exercițiul 10 (8p)

a) $MN=\frac{AB+CD}{2}=\frac{20+12}{2}=16\text{cm}.$ (2p) b) $MP$ și $QN$ sunt linii mijlocii în triunghiurile $ACD$, respectiv $BCD$ (unesc mijloacele a două laturi), deci fiecare este jumătate din baza mică: $MP=QN=\frac{CD}{2}=\frac{12}{2}=6\text{cm}.$ (3p) c) $PQ=MN-MP-QN=16-6-6=4\text{cm}.$ (Echivalent: $PQ=\frac{AB-CD}{2}=\frac{20-12}{2}=4\text{cm}.$) (3p)

Exercițiul 11 (6p)

a) $BD=AC=13\text{cm}$ (diagonalele trapezului isoscel sunt congruente). (2p) b) Justificare: în trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, avem $AD=BC$ (laturile neparalele) și unghiurile de la baza mare congruente, $\widehat{DAB}=\widehat{CBA}$. Comparăm triunghiurile $DAB$ și $CBA$: au $AD=BC$, $\widehat{DAB}=\widehat{CBA}$ și latura $AB$ comună, deci sunt congruente (cazul L.U.L.). Rezultă $BD=AC$. (4p)

Exercițiul 12 (6p)

a) $AB\parallel CD$, iar $B$ și $C$ sunt alăturate laturii neparalele $BC$, deci sunt suplementare: $\hat{C}=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }.$ (3p) b) $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=90^{\circ }+60^{\circ }+120^{\circ }+90^{\circ }=360^{\circ }.$ (3p)

Exercițiul 13 (6p)

$\frac{(2x+3)+(4x-1)}{2}=19\Rightarrow \frac{6x+2}{2}=19\Rightarrow 3x+1=19\Rightarrow 3x=18\Rightarrow x=6.$ (4p) Bazele: $2\cdot 6+3=15\text{cm}$ și $4\cdot 6-1=23\text{cm}$. (2p) Verificare: $\frac{15+23}{2}=19\text{cm}.$

Exercițiul 14 (8p)

a) Proiecția unei laturi neparalele pe baza mare: $\frac{40-24}{2}=8\text{m}$. Cu teorema lui Pitagora: $h=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6\text{m}.$ (2p) b) $\text{l.m.}=\frac{40+24}{2}=32\text{m}.$ (2p) c) $\mathcal{A}=\text{l.m.}\cdot h=32\cdot 6=192{\text{m}}^2.$ (2p) d) Perimetrul: $40+24+10+10=84\text{m}$ de gard. (2p)

Exercițiul 15 (5p)

Deoarece $AB\parallel CD$, latura $AD$ este secantă pentru cele două drepte paralele. Unghiurile $\hat{A}$ (dintre $AB$ și $AD$) și $\hat{D}$ (dintre $DC$ și $DA$) sunt unghiuri interne de aceeași parte a secantei $AD$. Perechile de unghiuri interne de aceeași parte a secantei formate de două paralele tăiate de o secantă sunt suplementare, prin urmare $\hat{A}+\hat{D}=180^{\circ }.$

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică unitatea „Paralelograme particulare și trapezul" de la clasa a VII-a, cu accent pe clasificarea trapezelor, proprietățile trapezului isoscel (unghiuri și diagonale) și teorema liniei mijlocii (linia mijlocie este paralelă cu bazele și egală cu semisuma lor). Itemii sunt gradați ca dificultate: de la recunoașterea proprietăților până la probleme aplicate și scurte justificări.

• Timp recomandat: 50 de minute (lucru individual, la clasă sau acasă).
• Punctaj: fiecare item are punctajul trecut în paranteză. Suma itemilor este de 90 de puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu, deci total 100 de puncte.
• Materiale permise: riglă, echer, creion; nu este nevoie de calculator (toate rezultatele ies numere „frumoase").
• Cum se corectează: folosiți secțiunea Barem și răspunsuri de la final. Pentru itemii de justificare, se punctează raționamentul corect, chiar dacă redactarea diferă de model.

Notă privind programa: testul folosește doar noțiuni din clasa a VII-a (geometrie în plan, teorema lui Pitagora și relații metrice elementare). Nu apar corpuri geometrice, formule de calcul prescurtat sau noțiunea formală de funcție.