Test: Trigonometrie și rezolvarea triunghiului dreptunghic

Exerciții

Exercițiul 1 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și motivează pe scurt răspunsul. (4 × 2p)

a) Într-un triunghi dreptunghic, sinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre cateta opusă unghiului și ipotenuză. b) $\mathrm{tg}45°=1$. c) $\sin 30°=\cos 60°$. d) Sinusul unui unghi ascuțit poate fi un număr mai mare decât $1$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

În triunghiul $ABC$ cu $m(\hat{A})=90°$ se cunosc catetele $AB=6\text{cm}$, $AC=8\text{cm}$ și ipotenuza $BC=10\text{cm}$.

a) Calculează $\sin B$ și $\cos B$. (3p) b) Calculează $\mathrm{tg}B$ și $\mathrm{ctg}B$. (3p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Calculează valoarea exactă a fiecărei expresii, folosind valorile trigonometrice ale unghiurilor remarcabile. (3 × 2p)

a) $\sin 30°+\cos 60°$ b) $\mathrm{tg}45°+\mathrm{ctg}45°$ c) $\sin 60°\cdot \cos 30°$

Exercițiul 4 (5 puncte)

În triunghiul $ABC$ cu $m(\hat{C})=90°$ și $m(\hat{B})=30°$ se cunoaște ipotenuza $AB=12\text{cm}$.

a) Calculează cateta $AC$. (2p) b) Calculează cateta $BC$. (3p)

Exercițiul 5 (5 puncte)

În triunghiul $ABC$ cu $m(\hat{A})=90°$ și $m(\hat{B})=45°$ se cunoaște cateta $AB=7\text{cm}$.

a) Precizează măsura unghiului $\hat{C}$ și determină cateta $AC$. (2p) b) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$ (rezultatul în formă exactă, cu radical). (3p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

În triunghiul $ABC$ cu $m(\hat{A})=90°$, se duce înălțimea $AD\perp BC$, $D\in BC$. Proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt $BD=4\text{cm}$ și $DC=9\text{cm}$.

a) Folosind teorema înălțimii, calculează $AD$. (2p) b) Folosind teorema catetei, calculează lungimile catetelor $AB$ și $AC$ (rezultatele în formă exactă). (4p)

Exercițiul 7 (6 puncte)

a) Într-un triunghi dreptunghic, catetele au lungimile $9\text{cm}$ și $12\text{cm}$. Calculează lungimea ipotenuzei (teorema lui Pitagora). (3p) b) Un triunghi are laturile de $7\text{cm}$, $24\text{cm}$ și $25\text{cm}$. Verifică prin calcul dacă triunghiul este dreptunghic (reciproca teoremei lui Pitagora) și precizează concluzia. (3p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

Se dă un triunghi echilateral $ABC$ cu latura $a=8\text{cm}$. Fie $AM$ înălțimea din $A$, $M\in BC$.

a) Justifică relația $AM=a\cdot \sin 60°$ și calculează lungimea înălțimii $AM$. (3p) b) Calculează aria triunghiului echilateral. (3p)

Exercițiul 9 (5 puncte)

Se dă un pătrat $ABCD$ cu latura de $6\text{cm}$.

a) Calculează lungimea diagonalei $AC$ (rezultatul în formă exactă). (3p) b) Determină măsura unghiului format de diagonala $AC$ cu latura $AB$, justificând prin tangentă. (2p)

Exercițiul 10 (8 puncte)

Se dă un hexagon regulat cu latura $a=10\text{cm}$. Se știe că un hexagon regulat se descompune în $6$ triunghiuri echilaterale cu latura egală cu latura hexagonului.

a) Calculează apotema hexagonului (distanța de la centru la mijlocul unei laturi). (3p) b) Calculează lungimea diagonalei mari (cea care unește două vârfuri opuse și trece prin centru). (2p) c) Calculează aria hexagonului regulat. (3p)

Exercițiul 11 (5 puncte)

O scară dreaptă de $8\text{m}$ este sprijinită de un perete vertical și face cu solul un unghi de $60°$.

a) La ce înălțime atinge scara peretele? (rezultat în formă exactă) (3p) b) La ce distanță de perete se află baza scării? (2p)

Exercițiul 12 (5 puncte)

De la un punct situat pe sol, la $30\text{m}$ de baza unui bloc, un observator vizează vârful blocului sub un unghi de elevație de $60°$.

a) Calculează înălțimea blocului. (3p) b) Calculează lungimea liniei de vizare (distanța de la observator la vârful blocului). (2p)

Exercițiul 13 (5 puncte)

În triunghiul $ABC$ cu $m(\hat{A})=90°$ se știe că $\sin B=\frac{3}{5}$, iar ipotenuza $BC=20\text{cm}$.

a) Calculează cateta $AC$. (3p) b) Calculează cateta $AB$. (2p)

Exercițiul 14 (8 puncte)

În triunghiul $ABC$ cu $m(\hat{B})=90°$ și $m(\hat{C})=30°$ se cunoaște cateta $AB=5\text{cm}$.

a) Determină măsura unghiului $\hat{A}$. (2p) b) Calculează lungimea ipotenuzei $AC$. (3p) c) Calculează lungimea catetei $BC$ (rezultatul în formă exactă). (3p)

Exercițiul 15 (3 puncte)

Se știe că $\mathrm{tg}30°=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Raționalizează numitorul și arată că rezultatul coincide cu valoarea $\frac{\sqrt{3}}{3}$ din tabel.

Exercițiul 16 (3 puncte)

În triunghiul $ABC$ cu $m(\hat{A})=90°$, unghiurile ascuțite $\hat{B}$ și $\hat{C}$ sunt complementare. Folosind definițiile rapoartelor trigonometrice, arată că $\sin B=\cos C$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Exercițiul 1 (8p)

a) Adevărat. Este chiar definiția sinusului unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic: $\sin =\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{ipotenuza˘}}$. (2p) b) Adevărat. Pentru $45°$, catetele triunghiului dreptunghic isoscel sunt egale, deci $\mathrm{tg}45°=\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{cateta ala˘turata˘}}=1$. (2p) c) Adevărat. $\sin 30°=\frac{1}{2}$ și $\cos 60°=\frac{1}{2}$, deci sunt egale (unghiurile $30°$ și $60°$ sunt complementare). (2p) d) Fals. Cateta opusă este mai scurtă decât ipotenuza, deci raportul lor este întotdeauna un număr subunitar: $0<\sin x<1$. (2p)

Exercițiul 2 (6p)

Pentru unghiul $\hat{B}$: cateta opusă este $AC=8$, cateta alăturată este $AB=6$, ipotenuza este $BC=10$.

a) $\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$ și $\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$. (3p) b) $\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$ și $\mathrm{ctg}B=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$. (3p)

Exercițiul 3 (6p)

a) $\sin 30°+\cos 60°=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.$ (2p) b) $\mathrm{tg}45°+\mathrm{ctg}45°=1+1=2.$ (2p) c) $\sin 60°\cdot \cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}.$ (2p)

Exercițiul 4 (5p)

Cateta $AC$ este opusă unghiului de $30°$, iar $BC$ îi este alăturată.

a) $AC=AB\cdot \sin 30°=12\cdot \frac{1}{2}=6\text{cm}.$ (2p) b) $BC=AB\cdot \cos 30°=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\text{cm}.$ (3p)

Exercițiul 5 (5p)

a) Suma unghiurilor ascuțite este $90°$, deci $m(\hat{C})=90°-45°=45°$. Triunghiul este dreptunghic isoscel, deci $AC=AB=7\text{cm}$. (2p) b) Din teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{7^2+7^2}=\sqrt{2\cdot 49}=7\sqrt{2}\text{cm}.$ (3p)

Exercițiul 6 (6p)

a) Teorema înălțimii: $A{D}^2=BD\cdot DC=4\cdot 9=36$, deci $AD=6\text{cm}.$ (2p) b) Ipotenuza este $BC=BD+DC=4+9=13\text{cm}$. Teorema catetei: $$A{B}^2=BD\cdot BC=4\cdot 13=52\Rightarrow AB=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\text{cm};$$ $$A{C}^2=DC\cdot BC=9\cdot 13=117\Rightarrow AC=\sqrt{117}=3\sqrt{13}\text{cm}.$$ (4p)

Exercițiul 7 (6p)

a) $\text{ipotenuza}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\text{cm}.$ (3p) b) Latura cea mai lungă este $25$. Verificăm: $7^2+24^2=49+576=625=25^2$. Egalitatea este adevărată, deci, prin reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic (unghiul drept fiind opus laturii de $25\text{cm}$). (3p)

Exercițiul 8 (6p)

a) În triunghiul dreptunghic $ABM$ ($AM\perp BC$), unghiul $\hat{B}=60°$ (unghi al triunghiului echilateral), iar $AB=a$ este ipotenuza. Atunci $\sin 60°=\frac{AM}{AB}=\frac{AM}{a}$, deci $AM=a\cdot \sin 60°=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\text{cm}.$ (3p) b) $\mathcal{A}=\frac{BC\cdot AM}{2}=\frac{8\cdot 4\sqrt{3}}{2}=16\sqrt{3}{\text{cm}}^2.$ (3p)

Exercițiul 9 (5p)

a) Diagonala pătratului: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{2\cdot 36}=6\sqrt{2}\text{cm}.$ (3p) b) În triunghiul dreptunghic $ABC$ ($\hat{B}=90°$), $\mathrm{tg}(\widehat{BAC})=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{6}=1$, deci $m(\widehat{BAC})=45°$. (2p)

Exercițiul 10 (8p)

Hexagonul se descompune în $6$ triunghiuri echilaterale cu latura $a=10$.

a) Apotema este înălțimea unui astfel de triunghi echilateral: $\text{apotema}=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\text{cm}.$ (3p) b) Diagonala mare este formată din două laturi ale triunghiurilor echilaterale (două raze): $d=2a=2\cdot 10=20\text{cm}.$ (2p) c) Aria hexagonului = $6\times$ aria unui triunghi echilateral: $\mathcal{A}=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot \frac{100\sqrt{3}}{4}=6\cdot 25\sqrt{3}=150\sqrt{3}{\text{cm}}^2.$ (3p)

Exercițiul 11 (5p)

Scara este ipotenuza ($8\text{m}$), unghiul cu solul este $60°$.

a) Înălțimea atinsă (cateta opusă unghiului de $60°$): $h=8\cdot \sin 60°=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\text{m}.$ (3p) b) Distanța de la perete (cateta alăturată): $d=8\cdot \cos 60°=8\cdot \frac{1}{2}=4\text{m}.$ (2p)

Exercițiul 12 (5p)

Distanța pe sol ($30\text{m}$) este cateta alăturată unghiului de $60°$, iar înălțimea blocului este cateta opusă.

a) $h=30\cdot \mathrm{tg}60°=30\cdot \sqrt{3}=30\sqrt{3}\text{m}.$ (3p) b) Linia de vizare este ipotenuza: $L=\frac{30}{\cos 60°}=\frac{30}{\frac{1}{2}}=60\text{m}.$ (2p)

Exercițiul 13 (5p)

Pentru unghiul $\hat{B}$: cateta opusă este $AC$, cateta alăturată este $AB$, ipotenuza $BC=20$. Din $\sin B=\frac{3}{5}$ rezultă $\cos B=\frac{4}{5}$ (triunghi de tip $3$–$4$–$5$).

a) $AC=BC\cdot \sin B=20\cdot \frac{3}{5}=12\text{cm}.$ (3p) b) $AB=BC\cdot \cos B=20\cdot \frac{4}{5}=16\text{cm}.$ (2p)

Verificare: $12^2+16^2=144+256=400=20^2.$

Exercițiul 14 (8p)

a) Unghiurile ascuțite sunt complementare: $m(\hat{A})=90°-30°=60°.$ (2p) b) Cateta $AB$ este opusă unghiului $\hat{C}=30°$, deci $\sin C=\frac{AB}{AC}$: $$AC=\frac{AB}{\sin 30°}=\frac{5}{\frac{1}{2}}=10\text{cm}.$$ (3p) c) Cateta $BC$ este alăturată unghiului de $30°$: $BC=AC\cdot \cos 30°=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\text{cm}.$ (3p)

Exercițiul 15 (3p)

$$\mathrm{tg}30°=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$ Amplificând fracția cu $\sqrt{3}$, numitorul devine rațional ($\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3$), deci rezultatul coincide cu valoarea din tabel, $\frac{\sqrt{3}}{3}$. (3p)

Exercițiul 16 (3p)

Fie catetele $b=AC$ (opusă lui $\hat{B}$), $c=AB$ (opusă lui $\hat{C}$) și ipotenuza $a=BC$. Din definiții: $$\sin B=\frac{AC}{BC}\text{și}\cos C=\frac{AC}{BC},$$ deoarece pentru unghiul $\hat{C}$ cateta alăturată este tot $AC$. Prin urmare $\sin B=\cos C$. (Sinusul unui unghi este egal cu cosinusul complementului său.) (3p)

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică unitatea „Relații metrice în triunghiul dreptunghic. Trigonometrie" de la clasa a VII-a. Sunt acoperite: proiecțiile ortogonale, teorema înălțimii și teorema catetei, teorema lui Pitagora și reciproca ei, definițiile pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă ale unui unghi ascuțit, valorile trigonometrice ale unghiurilor de $30°$, $45°$ și $60°$, rezolvarea triunghiului dreptunghic și aplicațiile în triunghiul echilateral, pătrat și hexagonul regulat. Itemii sunt gradați ca dificultate: de la recunoașterea rapoartelor trigonometrice până la probleme aplicate și scurte justificări.

• Timp recomandat: 50 de minute (lucru individual, la clasă sau acasă).
• Punctaj: fiecare item are punctajul trecut în paranteză. Suma itemilor este de 90 de puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu, deci total 100 de puncte.
• Materiale permise: riglă, echer, creion; rezultatele se lasă în formă exactă (cu radicali), fără calculator.
• Cum se corectează: folosiți secțiunea Barem și răspunsuri de la final. Pentru itemii de justificare, se punctează raționamentul corect, chiar dacă redactarea diferă de model.

Notă privind programa: testul folosește doar noțiuni din clasa a VII-a (geometrie în plan, relații metrice și trigonometrie în triunghiul dreptunghic, radicali cu scoaterea factorilor și raționalizare). Nu apar corpuri geometrice, formule de calcul prescurtat, ecuația de gradul al II-lea în formă generală sau noțiunea formală de funcție.

Reamintim tabelul valorilor trigonometrice folosite în test: