Test: triunghiul, unghiuri și inegalități

Clasa a VI-a · Matematică · Unitatea „Triunghiul: proprietăți fundamentale"

Exerciții

Exercițiul 1 (5 puncte)

Completează clasificarea fiecărui triunghi, după laturi și după unghiuri.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Un parc are forma unui triunghi cu laturile de $85$ m, $92$ m și $63$ m.

a) Calculează perimetrul parcului. (2p) b) Pe contur se montează un gard, lăsând liber un loc de $4$ m pentru poartă. Cât costă gardul, dacă $1$ m costă $30$ de lei? (2p) c) Ce fel de triunghi este, după laturi? (1p)

Exercițiul 3 (4 puncte)

Într-un triunghi $ABC$, $\hat{A}=38^{\circ }$ și $\hat{B}=97^{\circ }$.

a) Află măsura unghiului $\hat{C}$. (2p) b) Ce fel de triunghi este, după unghiuri? (2p)

Exercițiul 4 (5 puncte)

Un triunghi isoscel are perimetrul de $66$ cm, iar baza de $16$ cm.

a) Află lungimea fiecărei laturi congruente. (3p) b) Verifică, folosind inegalitatea triunghiului, că triunghiul cu aceste laturi poate exista. (2p)

Exercițiul 5 (6 puncte)

În triunghiul $ABC$, unghiul exterior din vârful $C$ are măsura de $130^{\circ }$, iar $\hat{A}=70^{\circ }$.

a) Folosind teorema unghiului exterior, află $\hat{B}$. (2p) b) Află $\hat{C}$ (unghiul interior). (2p) c) Verifică suma măsurilor unghiurilor triunghiului. (1p) d) Ce fel de triunghi este, după unghiuri? (1p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

În triunghiul $DEF$ se cunosc $\hat{D}=80^{\circ }$ și $\hat{E}=55^{\circ }$.

a) Află $\hat{F}$. (2p) b) Ordonează crescător laturile triunghiului, justificând răspunsul cu regula „la unghi mai mare se opune latură mai mare". (4p)

Exercițiul 7 (6 puncte)

Pentru fiecare set de numere, stabilește dacă pot fi lungimile laturilor unui triunghi. Scrie DA sau NU și, la cele cu NU, arată inegalitatea care nu se verifică.

a) $3,4,5$ (1p) b) $2,2,5$ (1p) c) $6,6,6$ (1p) d) $4,5,10$ (1p) e) $7,8,9$ (1p) f) $1,2,3$ (1p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

Două laturi ale unui triunghi au lungimile de $7$ cm și $11$ cm. A treia latură are lungimea $x$ (în cm).

a) Scrie intervalul de valori posibile pentru $x$. (3p) b) Câte valori întregi poate lua $x$? (2p) c) Poate $x$ să fie egal cu $4$ cm? Justifică. (1p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și motivează scurt fiecare răspuns.

a) Un triunghi poate avea două unghiuri obtuze. (1p) b) Într-un triunghi, latura mai mare se opune unghiului mai mare. (1p) c) Există un triunghi cu laturile $3,4,8$. (1p) d) Suma unghiurilor exterioare ale unui triunghi (câte unul la fiecare vârf) este $360^{\circ }$. (1p) e) Un triunghi dreptunghic poate fi echilateral. (1p) f) Într-un triunghi echilateral, fiecare unghi are $60^{\circ }$. (1p)

Exercițiul 10 (6 puncte)

Măsurile unghiurilor unui triunghi sunt proporționale cu numerele $2$, $3$ și $4$.

a) Află măsurile celor trei unghiuri. (3p) b) Clasifică triunghiul după unghiuri. (2p) c) Clasifică triunghiul după laturi. (1p)

Exercițiul 11 (5 puncte)

O piesă metalică în formă de triunghi are, într-unul dintre vârfuri, un unghi exterior de $125^{\circ }$. Unul dintre unghiurile interioare neadiacente acestui unghi exterior are $55^{\circ }$.

a) Află celălalt unghi interior neadiacent. (3p) b) Află unghiul interior adiacent unghiului exterior. (2p)

Exercițiul 12 (6 puncte)

Se cere construirea unui triunghi $ABC$ cu $BC=6$ cm, $\hat{B}=45^{\circ }$ și $\hat{C}=75^{\circ }$.

a) Descrie, pe scurt, pașii de construcție (cu rigla și raportorul). (3p) b) Fără a măsura, află $\hat{A}$. (2p) c) Ce fel de triunghi obții, după laturi? (1p)

Exercițiul 13 (5 puncte)

Un panou de avertizare are forma unui triunghi echilateral cu perimetrul de $51$ cm.

a) Află lungimea unei laturi. (2p) b) Cât are fiecare unghi? (2p) c) Clasifică triunghiul după unghiuri. (1p)

Exercițiul 14 (6 puncte)

Cadrul triunghiular al unui acoperiș este isoscel, cu $AB=AC$, iar unghiul din vârful $A$ are $40^{\circ }$.

a) Află măsurile unghiurilor de la bază, $\hat{B}$ și $\hat{C}$. (2p) b) Află unghiul exterior din vârful $B$. (2p) c) Care este cea mai lungă latură a triunghiului? Justifică. (2p)

Exercițiul 15 (5 puncte)

a) Demonstrează că un triunghi nu poate avea două unghiuri drepte. (3p) b) Demonstrează că un triunghi nu poate avea două unghiuri obtuze. (2p)

Exercițiul 16 (8 puncte)

O grădină are forma triunghiului $ABC$, cu $AB=24$ m, $BC=18$ m și $AC=30$ m.

a) Calculează perimetrul grădinii. (2p) b) Arată, prin calcul, că triunghiul este dreptunghic și precizează în care vârf este unghiul drept. (2p) c) Care este cea mai lungă latură și cărui unghi i se opune? (2p) d) Pe tot conturul se montează o bordură care costă $15$ lei/m. Cât costă bordura? (2p)

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Exercițiul 1 — 5 puncte

• $T_1$ ($7,7,7$): după laturi echilateral; după unghiuri ascuțitunghic (toate de $60^{\circ }$). (1,5p)
• $T_2$ ($6,8,10$): după laturi scalen; după unghiuri dreptunghic, pentru că $6^2+8^2=36+64=100=10^2$. (1,5p)
• $T_3$ ($5,5,8$): după laturi isoscel; după unghiuri obtuzunghic — unghiul opus laturii de $8$ este obtuz (latura $8$ este „prea mare" față de laturile de $5$, deci unghiul opus depășește $90^{\circ }$). (2p)

Exercițiul 2 — 5 puncte

• a) $P=85+92+63=240$ m. (2p)
• b) Gard montat pe $240-4=236$ m; cost $=236\times 30=7080$ lei. (2p)
• c) Toate laturile sunt diferite ⇒ triunghi scalen. (1p)

Exercițiul 3 — 4 puncte

• a) $\hat{C}=180^{\circ }-(38^{\circ }+97^{\circ })=180^{\circ }-135^{\circ }=45^{\circ }$. (2p)
• b) Are un unghi obtuz ($97^{\circ }>90^{\circ }$) ⇒ triunghi obtuzunghic. (2p)

Exercițiul 4 — 5 puncte

• a) Suma laturilor congruente $=66-16=50$ cm; fiecare latură $=50:2=25$ cm. (3p)
• b) Laturile $25,25,16$: cea mai mare latură este $25$, iar $25<25+16=41$. Inegalitatea triunghiului se verifică, deci triunghiul există. (2p)

Exercițiul 5 — 6 puncte

• a) Teorema unghiului exterior: unghiul exterior $=$ suma celor două unghiuri interioare neadiacente. $130^{\circ }=\hat{A}+\hat{B}=70^{\circ }+\hat{B}$ ⇒ $\hat{B}=60^{\circ }$. (2p)
• b) $\hat{C}=180^{\circ }-130^{\circ }=50^{\circ }$ (unghiul interior și cel exterior din C sunt suplementare). (2p)
• c) $70^{\circ }+60^{\circ }+50^{\circ }=180^{\circ }$ ✓ (1p)
• d) Toate unghiurile sunt mai mici de $90^{\circ }$ ⇒ triunghi ascuțitunghic. (1p)

Exercițiul 6 — 6 puncte

• a) $\hat{F}=180^{\circ }-(80^{\circ }+55^{\circ })=45^{\circ }$. (2p)
• b) Ordinea unghiurilor: $\hat{F}(45^{\circ })<\hat{E}(55^{\circ })<\hat{D}(80^{\circ })$. La unghi mai mare se opune latură mai mare; laturile opuse sunt $DE$ (opusă lui $F$), $DF$ (opusă lui $E$), $EF$ (opusă lui $D$). Deci $\mathbf{DE}<\mathbf{DF}<\mathbf{EF}$. (4p) (2p pentru justificare corectă, 2p pentru ordonarea corectă)

Exercițiul 7 — 6 puncte (câte 1p)

• a) $3,4,5$: DA ($3+4>5$, ș.a.m.d.).
• b) $2,2,5$: NU ($2+2=4<5$).
• c) $6,6,6$: DA (echilateral, mereu valid).
• d) $4,5,10$: NU ($4+5=9<10$).
• e) $7,8,9$: DA ($7+8=15>9$, ș.a.m.d.).
• f) $1,2,3$: NU ($1+2=3$, nu este strict mai mare ca $3$).

Exercițiul 8 — 6 puncte

• a) $11-7<x<11+7$, adică $4<\mathbf{x}<18$ (în cm). (3p)
• b) Valori întregi: $5,6,7,\dots ,17$, adică $13$ valori. (2p)
• c) Nu: pentru $x=4$ avem $7+4=11$, egal cu a treia latură, deci nu se obține un triunghi (puncte coliniare). (1p)

Exercițiul 9 — 6 puncte (câte 1p: răspuns + motivare)

• a) F — două unghiuri obtuze ar da o sumă peste $180^{\circ }$.
• b) A — proprietate fundamentală a triunghiului.
• c) F — $3+4=7<8$, inegalitatea triunghiului nu se verifică.
• d) A — suma unghiurilor exterioare ale oricărui triunghi este $360^{\circ }$.
• e) F — un triunghi echilateral are toate unghiurile de $60^{\circ }$, deci nu poate avea unghi de $90^{\circ }$.
• f) A — $180^{\circ }:3=60^{\circ }$ pentru fiecare unghi.

Exercițiul 10 — 6 puncte

• a) Fie unghiurile $2k,3k,4k$. Atunci $2k+3k+4k=9k=180^{\circ }$ ⇒ $k=20^{\circ }$. Unghiurile sunt $40^{\circ },60^{\circ },80^{\circ }$. (3p)
• b) Toate sunt $<90^{\circ }$ ⇒ ascuțitunghic. (2p)
• c) Toate unghiurile diferite ⇒ toate laturile diferite ⇒ scalen. (1p)

Exercițiul 11 — 5 puncte

• a) Teorema unghiului exterior: $125^{\circ }=55^{\circ }+x$ ⇒ $x=70^{\circ }$. (3p)
• b) Unghiul interior adiacent $=180^{\circ }-125^{\circ }=55^{\circ }$. (Verificare: $55^{\circ }+70^{\circ }+55^{\circ }=180^{\circ }$.) (2p)

Exercițiul 12 — 6 puncte

• a) Pași: se desenează segmentul $BC=6$ cm; în $B$ se construiește, cu raportorul, un unghi de $45^{\circ }$ și se trasează semidreapta; în $C$ se construiește un unghi de $75^{\circ }$ și se trasează semidreapta; punctul de intersecție al celor două semidrepte este $A$. (3p)
• b) $\hat{A}=180^{\circ }-(45^{\circ }+75^{\circ })=60^{\circ }$. (2p)
• c) Unghiurile sunt $45^{\circ },60^{\circ },75^{\circ }$ — toate diferite ⇒ triunghi scalen. (1p)

Exercițiul 13 — 5 puncte

• a) Latura $=51:3=17$ cm. (2p)
• b) Fiecare unghi $=180^{\circ }:3=60^{\circ }$. (2p)
• c) Toate unghiurile $<90^{\circ }$ ⇒ ascuțitunghic. (1p)

Exercițiul 14 — 6 puncte

• a) $\hat{B}=\hat{C}=(180^{\circ }-40^{\circ }):2=140^{\circ }:2=70^{\circ }$. (2p)
• b) Unghiul exterior din $B=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$. (2p)
• c) Cel mai mare unghi este $70^{\circ }$ (în $B$ și în $C$); laturilor egale $AB=AC$ li se opun unghiuri egale, iar acestea sunt cele mai mari. Deci cele mai lungi laturi sunt $AB$ și $AC$ (laturile congruente), iar baza $BC$ (opusă unghiului de $40^{\circ }$) este cea mai scurtă. (2p)

Exercițiul 15 — 5 puncte

• a) Dacă două unghiuri ar fi drepte, suma lor ar fi $90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }$, deci al treilea unghi ar trebui să fie $0^{\circ }$ — imposibil. Prin urmare, un triunghi nu poate avea două unghiuri drepte. (3p)
• b) Dacă două unghiuri ar fi obtuze (fiecare $>90^{\circ }$), suma lor ar depăși $180^{\circ }$, ceea ce contrazice faptul că suma tuturor celor trei unghiuri este exact $180^{\circ }$. Deci nu poate avea două unghiuri obtuze. (2p)

Exercițiul 16 — 8 puncte

• a) $P=24+18+30=72$ m. (2p)
• b) $18^2+24^2=324+576=900=30^2$. Conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept în vârful $B$ (opus laturii $AC=30$). (2p)
• c) Cea mai lungă latură este $AC=30$ m; i se opune unghiul $B$ (cel drept, $90^{\circ }$), care este și cel mai mare unghi. (2p)
• d) Cost bordură $=72\times 15=1080$ lei. (2p)

Total: 90 de puncte (itemi) + 10 puncte (oficiu) = 100 de puncte.

Pentru părinți

Acest test verifică temeinic cât de bine stăpânește elevul triunghiul: elementele și clasificarea, perimetrul, suma măsurilor unghiurilor, unghiul exterior și teorema unghiului exterior, precum și inegalitățile dintre laturile și unghiurile triunghiului.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50–55 de minute.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, fără calculator (calculele sunt simple, cu numere întregi). Se cere figură schițată la itemii de geometrie și justificare scrisă acolo unde se solicită „de ce".
• Cum se notează: folosiți secțiunea Barem și răspunsuri. La itemii cu justificare, acordați punctajul integral doar dacă raționamentul este corect, nu doar rezultatul final.
• Reper de reușită: peste 80 de puncte = foarte bine; 65–80 = bine; sub 50 = reluați teoria înainte de exerciții suplimentare.

Notă: figurile sunt indicate prin marcaje 🖼️. Elevul le poate desena singur pe foaie, după datele din enunț.