Test: Trunchiul de piramidă regulată

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Piramida, tetraedrul și trunchiul de piramidă

Exerciții

Partea I – Descriere, elemente și desfășurare

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se dă o piramidă patrulateră regulată $VABCD$ cu vârful $V$.

Completează, folosind cuvintele: pătrat, centrul, apotema piramidei, apotema bazei, muchie laterală. a) Baza piramidei patrulatere regulate este un ______ . b) Înălțimea piramidei cade în ______ bazei. c) Segmentul $VM$, dus din vârf perpendicular pe o latură a bazei, se numește ______ . d) Segmentul $OM$, din centrul bazei perpendicular pe o latură, se numește ______ . e) Segmentul $VA$, care unește vârful cu un vârf al bazei, se numește ______ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se dă un tetraedru regulat $VABC$.

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F). a) Tetraedrul regulat are toate cele 4 fețe triunghiuri echilaterale congruente. b) Tetraedrul regulat are 6 muchii, toate de aceeași lungime. c) Desfășurarea tetraedrului regulat este formată din 4 pătrate. d) Tetraedrul regulat este o piramidă triunghiulară regulată cu muchiile laterale egale cu latura bazei. e) Tetraedrul regulat are 5 vârfuri.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Se dă un trunchi de piramidă patrulateră regulată $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (baza mare $ABCD$, baza mică $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$).

a) Ce fel de poligoane sunt cele două baze ale trunchiului de piramidă regulată și în ce relație sunt planele lor? b) Ce fel de patrulatere sunt fețele laterale ale trunchiului de piramidă regulată? c) Cum se numește segmentul $M{M}^{\prime }$ care unește mijloacele a două laturi corespondente ale bazelor și este perpendicular pe ele? d) Din ce figuri este alcătuită desfășurarea suprafeței totale a trunchiului?

Exercițiul 4 (5 puncte)

Într-un trunchi de piramidă regulată, apotema bazei mari este $a_B=9$ cm, apotema bazei mici este $a_b=4$ cm, iar înălțimea trunchiului este $h=12$ cm.

a) Scrie relația care leagă apotema trunchiului $a_t$ de $h$, $a_B$ și $a_b$. b) Calculează apotema trunchiului $a_t$.

Partea a II-a – Piramida regulată și tetraedrul (recapitulare)

Exercițiul 5 (6 puncte)

O piramidă patrulateră regulată are latura bazei $\ell =6$ cm și înălțimea $h=4$ cm.

a) Calculează apotema piramidei $a_p$. b) Calculează aria laterală ${\mathcal{A}}_{\ell }$. c) Calculează aria totală ${\mathcal{A}}_t$. d) Calculează volumul $V$.

Exercițiul 6 (6 puncte)

Un tetraedru regulat are muchia $a=6$ cm.

a) Calculează aria totală a tetraedrului. b) Calculează înălțimea tetraedrului. (Indicație: raza cercului circumscris bazei este $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$, iar $h=\sqrt{a^2-R^2}$.) c) Calculează volumul tetraedrului.

Partea a III-a – Trunchiul de piramidă: arie și volum

Exercițiul 7 (8 puncte)

Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are latura bazei mari $L=12$ cm, latura bazei mici $l=6$ cm și înălțimea $h=4$ cm.

a) Calculează apotema trunchiului $a_t$. b) Calculează aria laterală ${\mathcal{A}}_{\ell }$. c) Calculează aria totală ${\mathcal{A}}_t$. d) Calculează volumul $V$.

Exercițiul 8 (7 puncte)

Un trunchi de piramidă triunghiulară regulată are latura bazei mari $L=18$ cm, latura bazei mici $l=6$ cm și înălțimea $h=2$ cm.

a) Calculează apotema bazei mari și apotema bazei mici, apoi apotema trunchiului $a_t$. b) Calculează aria laterală ${\mathcal{A}}_{\ell }$. c) Calculează volumul $V$. (lasă rezultatele care conțin $\sqrt{3}$ în formă exactă)

Exercițiul 9 (7 puncte)

Un trunchi de piramidă hexagonală regulată are latura bazei mari $L=8$ cm, latura bazei mici $l=4$ cm și înălțimea $h=2$ cm.

a) Calculează apotema trunchiului $a_t$. b) Calculează aria laterală ${\mathcal{A}}_{\ell }$. c) Calculează volumul $V$. (formă exactă, cu $\sqrt{3}$)

Partea a IV-a – Aflarea apotemei și a înălțimii; aplicații

Exercițiul 10 (6 puncte)

Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are latura bazei mari $L=10$ cm, latura bazei mici $l=4$ cm, iar aria laterală este ${\mathcal{A}}_{\ell }=140{\text{cm}}^2$.

a) Determină apotema trunchiului $a_t$. b) Determină înălțimea $h$ a trunchiului. c) Calculează volumul $V$ al trunchiului.

Exercițiul 11 (5 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) (câte 1 punct). a) La trunchiul de piramidă regulată, fețele laterale sunt trapeze isoscele congruente. b) Apotema trunchiului este întotdeauna egală cu înălțimea trunchiului. c) Cele două baze ale unui trunchi de piramidă regulată sunt poligoane regulate asemenea. d) Este adevărată relația $a_t^2=h^2+(a_B-a_b{)}^2$ dintre apotema trunchiului, înălțime și apotemele bazelor. e) Volumul trunchiului de piramidă este egal cu media aritmetică a ariilor celor două baze, înmulțită cu înălțimea.

Exercițiul 12 (5 puncte)

Un abajur are forma suprafeței laterale a unui trunchi de piramidă patrulateră regulată (deschis sus și jos). Latura bazei mari (jos) este $L=20$ cm, latura bazei mici (sus) este $l=10$ cm, iar apotema trunchiului este $a_t=13$ cm.

a) Câți ${\text{cm}}^2$ de pânză sunt necesari pentru abajur (doar suprafața laterală)? b) Calculează înălțimea $h$ a abajurului. (folosește $a_t^2=h^2+(a_B-a_b{)}^2$)

Exercițiul 13 (5 puncte)

O jardinieră (ghiveci) are forma unui trunchi de piramidă patrulateră regulată, cu latura bazei mari (sus) $L=6$ dm, latura bazei mici (fund) $l=4$ dm și înălțimea $h=3$ dm.

a) Calculează ariile celor două baze. b) Calculează volumul jardinierei (capacitatea, în ${\text{dm}}^3$). (Reține: $1{\text{dm}}^3=1$ litru.)

Exercițiul 14 (5 puncte)

O piramidă patrulateră regulată cu latura bazei $12$ cm este secționată cu un plan paralel cu baza. Se obține astfel un trunchi de piramidă a cărui bază mică are latura $6$ cm; înălțimea trunchiului este $4$ cm.

a) Explică de ce baza mică (secțiunea) și baza mare sunt pătrate asemenea și scrie raportul de asemănare. b) Notând cu $H$ înălțimea piramidei mari inițiale, folosește asemănarea pentru a determina $H$. c) Cât este înălțimea piramidei mici „tăiate" de deasupra?

Exercițiul 15 (5 puncte)

Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are aria bazei mari ${\mathcal{A}}_B=64{\text{cm}}^2$, aria bazei mici ${\mathcal{A}}_b=16{\text{cm}}^2$ și volumul $V=112{\text{cm}}^3$.

a) Scrie formula volumului trunchiului de piramidă și calculează valoarea parantezei ${\mathcal{A}}_B+{\mathcal{A}}_b+\sqrt{{\mathcal{A}}_B\cdot {\mathcal{A}}_b}$. b) Determină înălțimea $h$ a trunchiului. c) Calculează laturile celor două baze și apotemele lor $a_B$ și $a_b$.

Exercițiul 16 (5 puncte)

O ladă decorativă are forma unui trunchi de piramidă patrulateră regulată, deschisă sus. Latura bazei mici (fundul lăzii) este $l=6$ cm, latura bazei mari (deschiderea de sus) este $L=18$ cm, iar înălțimea este $h=8$ cm.

a) Calculează apotema trunchiului $a_t$. b) Cât material (carton) este necesar pentru ladă, dacă aceasta are cele 4 fețe laterale și fundul (baza mică), fără capac? c) Calculează volumul (capacitatea) lăzii.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1 · 5 puncte — câte 1 p pentru fiecare completare. a) pătrat; b) centrul; c) apotema piramidei; d) apotema bazei; e) muchie laterală.

Exercițiul 2 · 5 puncte — câte 1 p. a) A; b) A; c) F (desfășurarea este formată din 4 triunghiuri echilaterale, nu pătrate); d) A; e) F (are 4 vârfuri).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) Cele două baze sunt poligoane regulate asemenea (aici pătrate), situate în plane paralele (1,5 p). b) Fețele laterale sunt trapeze isoscele (congruente între ele) (1,5 p). c) $M{M}^{\prime }$ este apotema trunchiului (1 p). d) Desfășurarea = cele două baze (poligoanele regulate: un pătrat mare + un pătrat mic) + fețele laterale (4 trapeze isoscele congruente) (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte — $a_B=9$, $a_b=4$, $h=12$. a) $a_t^2=h^2+(a_B-a_b{)}^2$ (2 p). b) $a_t=\sqrt{12^2+(9-4{)}^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$ cm (3 p).

Exercițiul 5 · 6 puncte — piramidă patrulateră, $\ell =6$, $h=4$; apotema bazei $=\ell /2=3$. a) $a_p=\sqrt{h^2+(\ell /2{)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ cm (1,5 p). b) ${\mathcal{A}}_{\ell }=\frac{P\cdot a_p}{2}=\frac{24\cdot 5}{2}=60{\text{cm}}^2$ (1,5 p). c) ${\mathcal{A}}_t={\mathcal{A}}_{\ell }+{\mathcal{A}}_b=60+36=96{\text{cm}}^2$ (1,5 p). d) $V=\frac{{\mathcal{A}}_b\cdot h}{3}=\frac{36\cdot 4}{3}=48{\text{cm}}^3$ (1,5 p).

Exercițiul 6 · 6 puncte — tetraedru regulat, $a=6$. a) Aria totală $=4\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=a^2\sqrt{3}=36\sqrt{3}{\text{cm}}^2$, adică $36\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (2 p). b) $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$; $h=\sqrt{a^2-R^2}=\sqrt{36-12}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ cm (2 p). c) Aria bazei $=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$; $V=\frac{{\mathcal{A}}_b\cdot h}{3}=\frac{9\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}}{3}=6\sqrt{18}=18\sqrt{2}{\text{cm}}^3$ (2 p).

Exercițiul 7 · 8 puncte — trunchi patrulater, $L=12$, $l=6$, $h=4$; $a_B=6$, $a_b=3$. a) $a_t=\sqrt{h^2+(a_B-a_b{)}^2}=\sqrt{16+(6-3{)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ cm (2 p). b) $P_B=48$, $P_b=24$: ${\mathcal{A}}_{\ell }=\frac{(P_B+P_b)a_t}{2}=\frac{(48+24)\cdot 5}{2}=36\cdot 5=180{\text{cm}}^2$ (2 p). c) ${\mathcal{A}}_B=144$, ${\mathcal{A}}_b=36$: ${\mathcal{A}}_t=180+144+36=360{\text{cm}}^2$ (2 p). d) $V=\frac{h}{3}\left({\mathcal{A}}_B+{\mathcal{A}}_b+\sqrt{{\mathcal{A}}_B{\mathcal{A}}_b}\right)=\frac{4}{3}\left(144+36+\sqrt{144\cdot 36}\right)=\frac{4}{3}(144+36+72)=\frac{4}{3}\cdot 252=336{\text{cm}}^3$ (2 p).

Exercițiul 8 · 7 puncte — trunchi triunghiular, $L=18$, $l=6$, $h=2$. a) $a_B=\frac{L\sqrt{3}}{6}=\frac{18\sqrt{3}}{6}=3\sqrt{3}$; $a_b=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}$; $a_t=\sqrt{h^2+(a_B-a_b{)}^2}=\sqrt{4+(2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4$ cm (3 p). b) $P_B=54$, $P_b=18$: ${\mathcal{A}}_{\ell }=\frac{(54+18)\cdot 4}{2}=36\cdot 4=144{\text{cm}}^2$ (2 p). c) ${\mathcal{A}}_B=\frac{18^2\sqrt{3}}{4}=81\sqrt{3}$; ${\mathcal{A}}_b=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$; $\sqrt{{\mathcal{A}}_B{\mathcal{A}}_b}=\sqrt{81\sqrt{3}\cdot 9\sqrt{3}}=\sqrt{729\cdot 3}=27\sqrt{3}$; $V=\frac{2}{3}\left(81\sqrt{3}+9\sqrt{3}+27\sqrt{3}\right)=\frac{2}{3}\cdot 117\sqrt{3}=78\sqrt{3}{\text{cm}}^3$ (2 p).

Exercițiul 9 · 7 puncte — trunchi hexagonal, $L=8$, $l=4$, $h=2$. a) $a_B=\frac{L\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$; $a_b=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$; $a_t=\sqrt{2^2+(4\sqrt{3}-2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4+(2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4$ cm (2 p). b) $P_B=48$, $P_b=24$: ${\mathcal{A}}_{\ell }=\frac{(48+24)\cdot 4}{2}=36\cdot 4=144{\text{cm}}^2$ (2 p). c) ${\mathcal{A}}_B=\frac{3L^2\sqrt{3}}{2}=\frac{3\cdot 64\sqrt{3}}{2}=96\sqrt{3}$; ${\mathcal{A}}_b=\frac{3\cdot 16\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}$; $\sqrt{{\mathcal{A}}_B{\mathcal{A}}_b}=\sqrt{96\sqrt{3}\cdot 24\sqrt{3}}=\sqrt{2304\cdot 3}=48\sqrt{3}$; $V=\frac{2}{3}\left(96\sqrt{3}+24\sqrt{3}+48\sqrt{3}\right)=\frac{2}{3}\cdot 168\sqrt{3}=112\sqrt{3}{\text{cm}}^3$ (3 p).

Exercițiul 10 · 6 puncte — $L=10$, $l=4$, ${\mathcal{A}}_{\ell }=140$; $a_B=5$, $a_b=2$. a) $P_B=40$, $P_b=16$: din ${\mathcal{A}}_{\ell }=\frac{(P_B+P_b)a_t}{2}$ rezultă $140=\frac{(40+16)a_t}{2}=28a_t$, deci $a_t=\frac{140}{28}=5$ cm (2 p). b) $h=\sqrt{a_t^2-(a_B-a_b{)}^2}=\sqrt{25-(5-2{)}^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$ cm (2 p). c) ${\mathcal{A}}_B=100$, ${\mathcal{A}}_b=16$, $\sqrt{{\mathcal{A}}_B{\mathcal{A}}_b}=\sqrt{1600}=40$; $V=\frac{4}{3}(100+16+40)=\frac{4}{3}\cdot 156=208{\text{cm}}^3$ (2 p).

Exercițiul 11 · 5 puncte — câte 1 p. a) A; b) F (apotema trunchiului este ipotenuza, $a_t=\sqrt{h^2+(a_B-a_b{)}^2}\ge h$, egală cu $h$ doar dacă bazele ar fi egale — deci nu la un trunchi propriu-zis); c) A; d) A; e) F (formula corectă are și termenul $\sqrt{{\mathcal{A}}_B{\mathcal{A}}_b}$: $V=\frac{h}{3}({\mathcal{A}}_B+{\mathcal{A}}_b+\sqrt{{\mathcal{A}}_B{\mathcal{A}}_b})$, nu media aritmetică).

Exercițiul 12 · 5 puncte — abajur (doar lateral), $L=20$, $l=10$, $a_t=13$; $a_B=10$, $a_b=5$. a) $P_B=80$, $P_b=40$: ${\mathcal{A}}_{\ell }=\frac{(80+40)\cdot 13}{2}=60\cdot 13=780{\text{cm}}^2$ (3 p). b) $h=\sqrt{a_t^2-(a_B-a_b{)}^2}=\sqrt{169-(10-5{)}^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$ cm (2 p).

Exercițiul 13 · 5 puncte — jardinieră, $L=6$, $l=4$, $h=3$ (în dm). a) ${\mathcal{A}}_B=6^2=36{\text{dm}}^2$; ${\mathcal{A}}_b=4^2=16{\text{dm}}^2$ (2 p). b) $\sqrt{{\mathcal{A}}_B{\mathcal{A}}_b}=\sqrt{36\cdot 16}=24$; $V=\frac{3}{3}(36+16+24)=1\cdot 76=76{\text{dm}}^3=76$ litri (3 p).

Exercițiul 14 · 5 puncte — piramidă cu latura $12$, secțiune cu latura $6$, trunchi de înălțime $4$. a) Un plan paralel cu baza taie piramida după un poligon asemenea cu baza (laturi paralele → triunghiuri asemenea). Ambele sunt pătrate, iar raportul de asemănare este $\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ (2 p). b) Piramida mică (de sus) este asemenea cu cea mare, cu același raport al înălțimilor $\frac{1}{2}$. Dacă $H$ este înălțimea piramidei mari, înălțimea celei mici este $H-4$, deci $\frac{H-4}{H}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2(H-4)=H\Rightarrow 2H-8=H\Rightarrow \mathbf{H}=8$ cm (2 p). c) Înălțimea piramidei mici $=H-4=8-4=4$ cm (1 p).

Exercițiul 15 · 5 puncte — ${\mathcal{A}}_B=64$, ${\mathcal{A}}_b=16$, $V=112$. a) $V=\frac{h}{3}({\mathcal{A}}_B+{\mathcal{A}}_b+\sqrt{{\mathcal{A}}_B{\mathcal{A}}_b})$; paranteza $=64+16+\sqrt{64\cdot 16}=64+16+32=112$ (2 p). b) $112=\frac{h}{3}\cdot 112\Rightarrow \frac{h}{3}=1\Rightarrow \mathbf{h}=3$ cm (2 p). c) Bazele sunt pătrate: $L=\sqrt{64}=8$ cm, $l=\sqrt{16}=4$ cm; apotemele $a_B=\frac{L}{2}=4$ cm, $a_b=\frac{l}{2}=2$ cm (1 p).

Exercițiul 16 · 5 puncte — ladă deschisă sus, $l=6$ (fund), $L=18$ (sus), $h=8$; $a_B=9$, $a_b=3$. a) $a_t=\sqrt{h^2+(a_B-a_b{)}^2}=\sqrt{64+(9-3{)}^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ cm (1,5 p). b) $P_B=72$, $P_b=24$: ${\mathcal{A}}_{\ell }=\frac{(72+24)\cdot 10}{2}=48\cdot 10=480$; fundul (baza mică) $=6^2=36$; material $=480+36=516{\text{cm}}^2$ (2 p). (Doar suprafața laterală: $480{\text{cm}}^2$ — se acordă 1,5 p din 2 dacă a omis fundul.) c) ${\mathcal{A}}_B=324$, ${\mathcal{A}}_b=36$, $\sqrt{{\mathcal{A}}_B{\mathcal{A}}_b}=\sqrt{324\cdot 36}=108$; $V=\frac{8}{3}(324+36+108)=\frac{8}{3}\cdot 468=8\cdot 156=1248{\text{cm}}^3$ (1,5 p).

Recomandare: cheia întregii unități este triunghiul dreptunghic al secțiunii: la piramida regulată $a_p^2=h^2+a_b^2$, iar la trunchi $a_t^2=h^2+(a_B-a_b{)}^2$ — apotema (piramidei sau a trunchiului) este mereu ipotenuza, deci cea mai lungă. Nu confunda apotema bazei (în planul bazei) cu apotema trunchiului/piramidei (pe fața laterală). La aria laterală a trunchiului folosește semisuma perimetrelor înmulțită cu apotema trunchiului, iar la volum nu uita termenul $\sqrt{{\mathcal{A}}_B\cdot {\mathcal{A}}_b}$. La probleme cu vase „deschise" (abajur, ladă, jardinieră) numără doar fețele care există fizic.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică dacă elevul stăpânește trunchiul de piramidă regulată: descrierea, elementele și desfășurarea lui, precum și calculul ariei laterale, ariei totale și al volumului, cu aflarea apotemei trunchiului și a înălțimii din datele problemei. Pentru context, testul include și itemi de recapitulare pe piramida regulată și tetraedrul regulat (aceeași unitate de învățare). Problemele sunt în contexte reale (abajur, doniță, jardinieră, ladă), potrivite pentru consolidare în an de Evaluare Națională.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe o foaie separată, cu creion și riglă pentru schițe. Rezultatele care conțin $\sqrt{3}$ se lasă în formă exactă (nu se aproximează), dacă nu se cere altfel. La final, comparați rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea noțiunilor din unitate.
• Formule de reținut:
  • Piramida regulată (perimetru bază $P$, apotema piramidei $a_p$, apotema bazei $a_b$, înălțime $h$, arie bază ${\mathcal{A}}_b$): $a_p^2=h^2+a_b^2$; ${\mathcal{A}}_{\ell }=\frac{P\cdot a_p}{2}$; ${\mathcal{A}}_t={\mathcal{A}}_{\ell }+{\mathcal{A}}_b$; $V=\frac{{\mathcal{A}}_b\cdot h}{3}$.
  • Trunchi de piramidă regulată (baza mare ${\mathcal{A}}_B$ cu perimetrul $P_B$ și apotema $a_B$; baza mică ${\mathcal{A}}_b$ cu perimetrul $P_b$ și apotema $a_b$; apotema trunchiului $a_t$; înălțime $h$): $a_t^2=h^2+(a_B-a_b{)}^2$; ${\mathcal{A}}_{\ell }=\frac{(P_B+P_b)\cdot a_t}{2}$; ${\mathcal{A}}_t={\mathcal{A}}_{\ell }+{\mathcal{A}}_B+{\mathcal{A}}_b$; $V=\frac{h}{3}\left({\mathcal{A}}_B+{\mathcal{A}}_b+\sqrt{{\mathcal{A}}_B\cdot {\mathcal{A}}_b}\right)$.
  • Apoteme utile ale poligoanelor regulate (latură $\ell$): pătrat $a=\frac{\ell }{2}$; triunghi echilateral $a=\frac{\ell \sqrt{3}}{6}$; hexagon $a=\frac{\ell \sqrt{3}}{2}$.
  • Arii de bază (latură $\ell$): pătrat ${\ell }^2$; triunghi echilateral $\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}$; hexagon $\frac{3{\ell }^2\sqrt{3}}{2}$.

Notă: marcajele 🖼️ [Imagine: ...] descriu figura care însoțește itemul; elevul o poate reface după descriere.