Test: Valori și semne ale funcțiilor trigonometrice

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Cercul trigonometric și funcțiile trigonometrice

Exerciții

Partea I – Valori de bază și semne

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Valoarea lui $\sin \frac{\pi }{6}$ este: A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$; B. $\frac{1}{2}$; C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$; D. $1$.

b) Valoarea lui $\cos \frac{2\pi }{3}$ este: A. $\frac{1}{2}$; B. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$; C. $-\frac{1}{2}$; D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

c) Funcția tangentă nu este definită pentru: A. $x=0$; B. $x=\frac{\pi }{4}$; C. $x=\pi$; D. $x=\frac{\pi }{2}$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

a) Completează din memorie tabelul valorilor lui $\sin x$ și $\cos x$ pentru $x\in \left\{0,\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}\right\}$. (3 p) b) Calculează $\mathrm{tg}0$, $\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}$, $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}$, $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}$ și explică de ce $\mathrm{tg}\frac{\pi }{2}$ nu există. (2 p) c) Scrie valorile $\sin \pi$, $\cos \pi$, $\sin \frac{3\pi }{2}$, $\cos \frac{3\pi }{2}$. (1 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Există un număr real $x$ pentru care $\sin x=\frac{3}{2}$." b) „$\cos \frac{4\pi }{3}<0$." c) „Funcția tangentă este definită pentru orice număr real." d) „Dacă $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$, atunci $\sin x>0$ și $\cos x<0$."

Exercițiul 4 (6 puncte)

a) Alcătuiește tabelul semnelor funcțiilor $\sin$, $\cos$ și $\mathrm{tg}$ pe cele patru cadrane. (3 p) b) Pentru fiecare dintre numerele $\frac{2\pi }{3}$, $\frac{7\pi }{6}$, $\frac{11\pi }{6}$, precizează cadranul și semnul celor trei funcții. (3 p)

Partea a II-a – Grafice, tangentă și calcule

Exercițiul 5 (8 puncte)

a) Trasează graficul funcției $\sin$ pe intervalul $[0,2\pi ]$, marcând zerourile și punctele de maxim și de minim. (3 p) b) Trasează, în același reper sau într-unul alăturat, graficul funcției $\cos$ pe $[0,2\pi ]$, marcând zerourile, maximele și minimele. (3 p) c) Precizează intervalele pe care funcția $\sin$ este strict crescătoare, respectiv strict descrescătoare, pe $[0,2\pi ]$. (2 p)

Exercițiul 6 (7 puncte)

Calculează, folosind tabelul valorilor de bază: a) $E=\sin \frac{\pi }{6}+\cos \frac{\pi }{3}+\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}$; (2 p) b) $F=2\sin \frac{\pi }{3}\cdot \cos \frac{\pi }{6}$; (2 p) c) $G=\sin \frac{\pi }{2}+\cos \pi +\mathrm{tg}\pi$; (2 p) d) $H=\sin 0+\cos 0+\mathrm{tg}0$. (1 p)

Exercițiul 7 (7 puncte)

a) Determină domeniul de definiție al funcției tangentă și justifică-l pornind de la formula $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$. (2 p) b) Calculează $\mathrm{tg}\frac{2\pi }{3}$. (2 p) c) Calculează $\mathrm{tg}\frac{5\pi }{4}$. (2 p) d) Explică de ce $\mathrm{tg}\frac{3\pi }{2}$ nu este definită. (1 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

Punctul $M$ de pe cercul trigonometric, asociat numărului real $x\in [0,2\pi )$, are coordonatele $M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$.

a) Precizează valorile $\sin x$ și $\cos x$ și cadranul în care se află $M$. (2 p) b) Determină numărul $x$. (2 p) c) Calculează $\mathrm{tg}x$, lăsând rezultatul cu numitorul raționalizat. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Citind de pe cercul trigonometric (sau de pe graficele funcțiilor), determină toate valorile lui $x\in [0,2\pi ]$ pentru care: a) $\sin x=\frac{1}{2}$; (2 p) b) $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$; (2 p) c) $\mathrm{tg}x=1$. (2 p)

Partea a III-a – Probleme, demonstrații și itemi de tip examen

Exercițiul 10 (8 puncte)

O roată panoramică are raza de $20$ de metri, iar centrul ei se află la $22$ de metri deasupra solului. O cabină pornește din punctul cel mai din dreapta al roții, iar după ce roata s-a rotit cu unghiul $x$ (în sens trigonometric), înălțimea cabinei deasupra solului este $$h(x)=22+20\sin x\text{(metri)}.$$

a) Calculează $h(0)$ și explică ce înseamnă rezultatul. (2 p) b) Calculează $h\left(\frac{\pi }{2}\right)$. (2 p) c) Calculează $h\left(\frac{7\pi }{6}\right)$. (2 p) d) Determină înălțimea maximă și înălțimea minimă atinse de cabină, justificând cu ajutorul mărginirii funcției sinus. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.)

a) Demonstrează, folosind definiția pe cercul trigonometric, că pentru orice număr real $x$ au loc inegalitățile $-1\le \sin x\le 1$ și $-1\le \cos x\le 1$. (3 p) b) Demonstrează că $\sin x>0$ pentru orice $x\in (0,\pi )$ și $\sin x<0$ pentru orice $x\in (\pi ,2\pi )$, folosind poziția punctului asociat față de axa $Ox$. (3 p) c) Deduce de aici semnul funcției tangentă în cadranul II. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Se consideră graficul funcției $\sin$ pe intervalul $[0,2\pi ]$.

a) Citește de pe grafic toate valorile lui $x\in [0,2\pi ]$ pentru care $\sin x=0$. (2 p) b) Precizează valoarea maximă și valoarea minimă a funcției pe acest interval și punctele în care sunt atinse. (2 p) c) Precizează intervalele de monotonie ale funcției pe $[0,2\pi ]$. (2 p) d) Compară, fără a calcula valorile, numerele $\sin \frac{\pi }{5}$ și $\sin \frac{\pi }{4}$, folosind monotonia. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.)

a) Arătați că $\sin \frac{\pi }{6}+\cos \frac{\pi }{3}=1$. (2 p) b) Calculați $E=\sin \frac{2\pi }{3}+\cos \frac{5\pi }{6}+\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}$. (3 p) c) Determinați numerele reale $x\in [0,2\pi ]$ pentru care $\cos x=\frac{1}{2}$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$. (Varianta $A$ este $\cos \frac{\pi }{6}$ — confuzia clasică între cele două linii ale tabelului.) b) C. Numărul $\frac{2\pi }{3}=120^{\circ }$ este în cadranul II, unde cosinusul (abscisa) este negativ; valoarea este $-\frac{1}{2}$. c) D. Tangenta nu este definită acolo unde $\cos x=0$, iar $\cos \frac{\pi }{2}=0$. În celelalte trei cazuri cosinusul este $1$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, respectiv $-1$, toate nenule.

Exercițiul 2. (6 p)

a) (3 p) — câte $0,3$ p pentru fiecare dintre cele $10$ valori:

(Truc de memorare: linia sinusului este $\frac{\sqrt{0}}{2},\frac{\sqrt{1}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{4}}{2}$, iar cosinusul este aceeași linie citită invers.)

b) (2 p) — câte $0,4$ p pentru fiecare valoare și $0,4$ p pentru explicație: $$\mathrm{tg}0=\frac{0}{1}=0;\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3};\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2}=1;\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}.$$ $\mathrm{tg}\frac{\pi }{2}$ nu există pentru că $\cos \frac{\pi }{2}=0$, iar împărțirea la zero nu este definită.

c) (1 p) — câte $0,25$ p: $\sin \pi =0$, $\cos \pi =-1$, $\sin \frac{3\pi }{2}=-1$, $\cos \frac{3\pi }{2}=0$. (Sunt coordonatele punctelor $A^{\prime }(-1,0)$ și $B^{\prime }(0,-1)$, citite în ordinea (abscisă, ordonată) $=(\cos ,\sin )$.)

Exercițiul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Sinusul este ordonata unui punct de pe cercul de rază $1$, deci $-1\le \sin x\le 1$ pentru orice $x$. Cum $\frac{3}{2}=1,5>1$, nu există un astfel de $x$. b) A. $\frac{4\pi }{3}=240^{\circ }$ este în cadranul III, unde abscisa punctului este negativă, deci $\cos \frac{4\pi }{3}<0$. Efectiv, $\cos \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}$. c) F. Tangenta este raportul $\frac{\sin x}{\cos x}$, deci nu este definită acolo unde $\cos x=0$, adică pentru $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Domeniul ei este $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$. d) A. Pentru $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ punctul asociat este în cadranul II: se află deasupra axei $Ox$ (ordonata pozitivă, deci $\sin x>0$) și în stânga axei $Oy$ (abscisa negativă, deci $\cos x<0$).

Exercițiul 4. (6 p)

a) (3 p) — 1 p pentru fiecare linie corect completată:

Semnul lui $\sin$ vine din poziția față de axa $Ox$ (sus $\Rightarrow$ $+$), semnul lui $\cos$ din poziția față de axa $Oy$ (dreapta $\Rightarrow$ $+$), iar semnul tangentei se obține prin regula semnelor la împărțire.

b) (3 p) — câte 1 p:

• $\frac{2\pi }{3}=120^{\circ }$ — cadranul II: $\sin >0$, $\cos <0$, $\mathrm{tg}<0$;
• $\frac{7\pi }{6}=210^{\circ }$ — cadranul III: $\sin <0$, $\cos <0$, $\mathrm{tg}>0$;
• $\frac{11\pi }{6}=330^{\circ }$ — cadranul IV: $\sin <0$, $\cos >0$, $\mathrm{tg}<0$.

Exercițiul 5. (8 p)

a) (3 p) Graficul funcției $\sin$ pe $[0,2\pi ]$: pornește din $(0,0)$, urcă până la maximul $\left(\frac{\pi }{2},1\right)$, coboară traversând axa în $(\pi ,0)$, atinge minimul $\left(\frac{3\pi }{2},-1\right)$ și revine la $(2\pi ,0)$ — 1 p pentru forma corectă de undă, 1 p pentru zerourile $0$, $\pi$, $2\pi$, 1 p pentru extremele marcate corect.

b) (3 p) Graficul funcției $\cos$ pe $[0,2\pi ]$: pornește din maximul $(0,1)$, coboară traversând axa în $\left(\frac{\pi }{2},0\right)$, atinge minimul $(\pi ,-1)$, urcă traversând axa în $\left(\frac{3\pi }{2},0\right)$ și revine la maximul $(2\pi ,1)$ — 1 p forma, 1 p zerourile $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$, 1 p extremele.

c) (2 p) Funcția $\sin$ este strict crescătoare pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ și pe $\left[\frac{3\pi }{2},2\pi \right]$ (1 p) și strict descrescătoare pe $\left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$ (1 p).

Exercițiul 6. (7 p)

a) (2 p) $E=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1=2$ (1 p pentru cele trei valori, 1 p pentru rezultat).

b) (2 p) $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (1 p), deci $$F=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\cdot 3}{4}=\frac{3}{2}\text{(1 p)}.$$

c) (2 p) $\sin \frac{\pi }{2}=1$, $\cos \pi =-1$, $\mathrm{tg}\pi =\frac{\sin \pi }{\cos \pi }=\frac{0}{-1}=0$ (1,5 p), deci $G=1-1+0=0$ (0,5 p).

d) (1 p) $H=0+1+0=1$.

Exercițiul 7. (7 p)

a) (2 p) Raportul $\frac{\sin x}{\cos x}$ are sens doar dacă numitorul este nenul (1 p). Cosinusul se anulează exact în punctele $B(0,1)$ și $B^{\prime }(0,-1)$ ale cercului, adică pentru $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Prin urmare $$D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}\text{(1 p)}.$$

b) (2 p) $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ (1 p), deci $$\mathrm{tg}\frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}/2}{-1/2}=-\sqrt{3}\text{(1 p)}.$$ Semnul negativ era de așteptat: $\frac{2\pi }{3}$ este în cadranul II.

c) (2 p) $\sin \frac{5\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\cos \frac{5\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ (1 p), deci $$\mathrm{tg}\frac{5\pi }{4}=\frac{-\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2}=1\text{(1 p)}.$$ Rezultatul este pozitiv, ca orice tangentă din cadranul III.

d) (1 p) Pentru că $\cos \frac{3\pi }{2}=0$: punctul asociat este $B^{\prime }(0,-1)$, cu abscisa nulă, iar raportul $\frac{-1}{0}$ nu are sens.

Exercițiul 8. (6 p)

a) (2 p) Coordonatele punctului asociat sunt $(\cos x,\sin x)$, deci $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\sin x=\frac{1}{2}$ (1,5 p). Cum abscisa este negativă, iar ordonata pozitivă, punctul este în cadranul II (0,5 p).

b) (2 p) În cadranul II, valorile $\left|\cos x\right|=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\sin x=\frac{1}{2}$ corespund unghiului de bază $\frac{\pi }{6}$ (1 p). Punctul din cadranul II cu aceste coordonate este cel asociat numărului $$x=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}\text{(1 p)}.$$ Verificare: $\frac{5\pi }{6}=150^{\circ }$, iar $\cos 150^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}$ ✓.

c) (2 p) $$\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{1/2}{-\sqrt{3}/2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\text{(1,5 p pentru calcul, 0,5 p pentru raționalizare)}.$$

Exercițiul 9. (6 p) — câte 2 puncte (1 p pentru prima soluție, 1 p pentru a doua).

a) Dreapta orizontală $y=\frac{1}{2}$ taie cercul în două puncte, unul în cadranul I și unul în cadranul II (ambele au aceeași ordonată). Ele corespund numerelor $$x=\frac{\pi }{6}\text{și}x=\frac{5\pi }{6}.$$

b) Dreapta verticală $x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ taie cercul într-un punct din cadranul II și unul din cadranul III (aceeași abscisă negativă): $$x=\frac{3\pi }{4}\text{și}x=\frac{5\pi }{4}.$$

c) $\mathrm{tg}x=1$ înseamnă $\sin x=\cos x$, ceea ce se întâmplă acolo unde punctul are abscisa egală cu ordonata — adică pe prima bisectoare, în cadranele I și III: $$x=\frac{\pi }{4}\text{și}x=\frac{5\pi }{4}.$$

Exercițiul 10. (8 p)

a) (2 p) $h(0)=22+20\sin 0=22+0=22$ metri (1 p). Este înălțimea centrului roții: cabina pornește din punctul cel mai din dreapta, aflat exact la nivelul axului (1 p).

b) (2 p) $h\left(\frac{\pi }{2}\right)=22+20\cdot 1=42$ de metri — punctul cel mai de sus al roții.

c) (2 p) $\sin \frac{7\pi }{6}=-\frac{1}{2}$ (cadranul III, unghi de bază $\frac{\pi }{6}$) (1 p), deci $$h\left(\frac{7\pi }{6}\right)=22+20\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=22-10=12\text{metri}\text{(1 p)}.$$

d) (2 p) Cum $-1\le \sin x\le 1$, înmulțind cu $20>0$ și adunând $22$ obținem $2\le h(x)\le 42$ (1 p). Așadar înălțimea maximă este de $42$ de metri (atinsă pentru $\sin x=1$), iar cea minimă este de $2$ metri (atinsă pentru $\sin x=-1$) (1 p).

Exercițiul 11. (8 p) — redactare completă.

a) (3 p) Fie $M$ punctul asociat numărului real $x$ pe cercul trigonometric. Prin definiție, $M$ are coordonatele $(\cos x,\sin x)$ (0,5 p). Punctul $M$ se află pe cercul cu centrul în $O$ și raza $1$, deci este cuprins în pătratul cu vârfurile $(\pm 1,\pm 1)$: cercul este tangent la dreptele $x=\pm 1$ și $y=\pm 1$ și nu le depășește (1,5 p). Prin urmare abscisa și ordonata lui $M$ sunt cuprinse între $-1$ și $1$: $$-1\le \cos x\le 1,-1\le \sin x\le 1\text{(1 p)}.$$ (Argument echivalent: din $OM=1$ rezultă ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$, deci ${\sin }^{2}x\le 1$, adică $|\sin x|\le 1$.) $■$

b) (3 p) Pentru $x\in (0,\pi )$, punctul asociat parcurge semicercul de deasupra axei $Ox$ (de la $A(1,0)$, prin $B(0,1)$, până la $A^{\prime }(-1,0)$, capetele excluse) (1 p). Toate punctele acestui semicerc au ordonata strict pozitivă, deci $\sin x>0$ (0,5 p). Pentru $x\in (\pi ,2\pi )$, punctul parcurge semicercul de sub axa $Ox$ (1 p), unde ordonata este strict negativă, deci $\sin x<0$ (0,5 p). $■$

c) (2 p) În cadranul II, adică pentru $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)\subset (0,\pi )$, avem $\sin x>0$ de la punctul b) (0,5 p), iar punctul fiind în stânga axei $Oy$, $\cos x<0$ (0,5 p). Raportul dintre un număr pozitiv și unul negativ este negativ, deci $$\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}<0\text{pe cadranul II}\text{(1 p)}.■$$

Exercițiul 12. (8 p)

a) (2 p) Graficul taie axa $Ox$ în $x=0$, $x=\pi$ și $x=2\pi$ (câte $0,5$ p, plus $0,5$ p pentru a le găsi pe toate trei).

b) (2 p) Valoarea maximă este $1$, atinsă în $x=\frac{\pi }{2}$ (1 p); valoarea minimă este $-1$, atinsă în $x=\frac{3\pi }{2}$ (1 p).

c) (2 p) Strict crescătoare pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ și pe $\left[\frac{3\pi }{2},2\pi \right]$ (1 p); strict descrescătoare pe $\left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$ (1 p).

d) (2 p) Ambele numere $\frac{\pi }{5}$ și $\frac{\pi }{4}$ se află în intervalul $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, pe care funcția este strict crescătoare (0,5 p). Cum $5>4$, avem $\frac{\pi }{5}<\frac{\pi }{4}$ (1 p), deci, prin monotonie, $$\sin \frac{\pi }{5}<\sin \frac{\pi }{4}\text{(0,5 p)}.$$ (Control numeric, doar pentru verificare: $\sin \frac{\pi }{5}\approx 0,588<0,707\approx \sin \frac{\pi }{4}$.)

Exercițiul 13. (8 p)

a) (2 p) $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ și $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ (1,5 p), deci suma este $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ (0,5 p). $■$

b) (3 p) Numărul $\frac{2\pi }{3}=120^{\circ }$ este în cadranul II, deci $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (1 p); numărul $\frac{5\pi }{6}=150^{\circ }$ este tot în cadranul II, deci $\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (1 p); iar $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$. Așadar $$E=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}+1=1\text{(1 p)}.$$

c) (3 p) Condiția $\cos x=\frac{1}{2}$ înseamnă că punctul asociat are abscisa $\frac{1}{2}$; dreapta verticală $x=\frac{1}{2}$ taie cercul în două puncte, simetrice față de axa $Ox$ — unul în cadranul I, celălalt în cadranul IV (1 p). Unghiul de bază este $\frac{\pi }{3}$, pentru că $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ (1 p), deci $$x=\frac{\pi }{3}\text{sau}x=2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}\text{(1 p)}.$$ Verificare: $\cos \frac{5\pi }{3}=\cos 300^{\circ }=\frac{1}{2}$ ✓.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică inima unității: definiția funcțiilor trigonometrice pe cercul trigonometric și tot ce se poate citi din ea. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: sinusul și cosinusul ca simple coordonate — punctul asociat numărului real $x$ are abscisa $\cos x$ și ordonata $\sin x$; de aici rezultă imediat că ambele funcții iau valori doar în intervalul $[-1,1]$. Al doilea: tabelul valorilor de bază pentru $0$, $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$, $\frac{\pi }{3}$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$, $2\pi$, care trebuie știut pe de rost, ca tabla înmulțirii. Al treilea: funcția tangentă, definită ca raportul $\frac{\sin x}{\cos x}$, cu domeniul ei — valorile în care cosinusul se anulează sunt interzise. Al patrulea: semnele pe cadrane și graficele funcțiilor sinus și cosinus pe $[0,2\pi ]$, cu zerourile, extremele și intervalele de monotonie. Sunt acoperite lecțiile Sinusul și cosinusul pe cercul trigonometric, Valorile lui sin și cos pentru unghiurile de bază, Funcția tangentă și domeniul ei, Semnul funcțiilor trigonometrice pe cadrane și Graficele funcțiilor sinus și cosinus pe $[0,2\pi ]$. Formula fundamentală și formulele de reducere fac obiectul unității următoare.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie de matematică, cu riglă, fără calculator și fără tabelul de valori la vedere — tabelul trebuie reprodus din memorie. Valorile se lasă în formă exactă ($\frac{\sqrt{3}}{2}$, nu $0,866$), iar fracțiile cu radical la numitor se raționalizează ($\frac{\sqrt{3}}{3}$, nu $\frac{1}{\sqrt{3}}$). La final se compară rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe tabelul valorilor și pe legătura dintre cadran și semn.
• Formule de reținut: dacă $M$ este punctul asociat numărului real $x$ pe cercul trigonometric, atunci $M(\cos x,\sin x)$ — cosinusul este abscisa, sinusul este ordonata. De aici, $-1\le \sin x\le 1$ și $-1\le \cos x\le 1$ pentru orice $x$ real. Tangenta: $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$, definită pentru $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (adică exact acolo unde $\cos x\ne 0$). Tabelul de bază:

Semnele pe cadrane: în cadranul I toate trei sunt pozitive; în II doar $\sin$ este pozitiv; în III doar $\mathrm{tg}$ este pozitivă; în IV doar $\cos$ este pozitiv. Graficele pe $[0,2\pi ]$: $\sin$ pornește din $0$, urcă la $1$ în $\frac{\pi }{2}$, coboară la $-1$ în $\frac{3\pi }{2}$ și revine la $0$ în $2\pi$; $\cos$ pornește din $1$, coboară la $-1$ în $\pi$ și revine la $1$ în $2\pi$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".