Care este formula corectă a ariei totale a unui trunchi de piramidă regulată, unde $$A_l$$ este aria laterală, iar $$A_B$$ și $$A_b$$ sunt ariile celor două baze?

$$A_t = \dfrac{A_l + A_B + A_b}{2}$$

Cum aflu volumul trunchiului de piramidă?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Aria și volumul trunchiului de piramidă

Formula lui adună ariile celor două baze și rădăcina produsului lor, apoi înmulțește cu o treime din înălțime: $V = \frac{h}{3} (A_{B} + A_{b} + A_{B} A_{b})$ . Termenul cu radical este media geometrică a ariilor și nu poate fi sărit. Pentru baze pătrate cu laturile $10$ și $4$ și înălțimea $4$ cm iese $208$ cm³.

Un trunchi de piramidă apare când tăiem vârful unei piramide regulate cu un plan paralel cu baza — gândește-te la un ghiveci de flori sau la un abajur. Rămân două baze paralele (una mare, cu perimetrul $P_{B}$ și aria $A_{B}$ , și una mică, cu $p_{b}$ și $A_{b}$ ) și fețe laterale în formă de trapez isoscel, cu înălțimea egală cu apotema trunchiului $a_{p}$ .

Pentru aria laterală aduni cele două perimetre, împarți la 2 și înmulțești cu $a_{p}$ : $A_{l} = \frac{P _{B} + p _{b}}{2} \cdot a_{p}$ . Aria totală adaugă la aceasta ambele arii ale bazelor: $A_{t} = A_{l} + A_{B} + A_{b}$ . Volumul are o formulă specială, cu media geometrică a ariilor bazelor: $V = \frac{h}{3} (A_{B} + A_{b} + A_{B} \cdot A_{b})$ . Dacă nu ai direct $a_{p}$ , îl afli din Pitagora: $a_{p}^{2} = h^{2} + (a_{B} - a_{b})^{2}$ .

Exemplu: pentru $L = 10$ , $l = 4$ , $h = 4 cm$ obții $a_{p} = 5$ , $A_{l} = 140$ , $A_{t} = 256$ și $V = 208 cm^{3}$ .

De reținut

$V = \frac{h}{3} (A_{B} + A_{b} + A_{B} A_{b})$
$A_{l} = \frac{P _{B} + p _{b}}{2} \cdot a_{p}$
$A_{t} = A_{l} + A_{B} + A_{b}$

Greșeala tipică

Se ia media aritmetică a ariilor, adică se sare peste radical. Formula cere și media geometrică, altfel volumul iese mai mare decât cel adevărat.

Exerciții din această mini-lecție

Care este formula corectă a ariei totale a unui trunchi de piramidă regulată, unde $A_{l}$ este aria laterală, iar $A_{B}$ și $A_{b}$ sunt ariile celor două baze?
- a) $A_{t} = A_{l} + A_{B}$
- b) $A_{t} = A_{l} + A_{B} + A_{b}$
- c) $A_{t} = A_{l} - A_{B} - A_{b}$
- d) $A_{t} = \frac{A _{l} + A _{B} + A _{b}}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $A_{t} = A_{l} + A_{B} + A_{b}$

Trunchiul de piramidă are două baze, deci aria totală se obține adunând la aria laterală ambele arii ale bazelor: $A_{t} = A_{l} + A_{B} + A_{b}$ .
Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are latura bazei mari $L = 10 cm$ , latura bazei mici $l = 6 cm$ și apotema trunchiului $a_{p} = 4 cm$ . Cât este aria laterală?
- a) $100 cm^{2}$
- b) $128 cm^{2}$
- c) $144 cm^{2}$
- d) $160 cm^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $128 cm^{2}$

$P_{B} = 4 \cdot 10 = 40 cm$ , $p_{b} = 4 \cdot 6 = 24 cm$ . $A_{l} = \frac{40 + 24}{2} \cdot 4 = 32 \cdot 4 = 128 cm^{2}$ .
Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are latura bazei mari $L = 8 cm$ , latura bazei mici $l = 4 cm$ și apotema trunchiului $a_{p} = 5 cm$ . Cât este aria laterală?
- a) $120 cm^{2}$
- b) $240 cm^{2}$
- c) $30 cm^{2}$
- d) $96 cm^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $120 cm^{2}$

$P_{B} = 4 \cdot 8 = 32 cm$ , $p_{b} = 4 \cdot 4 = 16 cm$ . $A_{l} = \frac{32 + 16}{2} \cdot 5 = 24 \cdot 5 = 120 cm^{2}$ .

Întrebări conexe

De unde vine formula volumului trunchiului de piramidă?

Din scădere: iei piramida întreagă și scoți din ea vârful tăiat, care este o piramidă mai mică, asemenea cu prima. După ce înlocuiești înălțimile cu ajutorul raportului de asemănare și strângi termenii, rămâne expresia cu cele două arii și cu radicalul dintre ele.

De ce apare o diferență de apoteme în formula lui Pitagora?

Fiindcă cele două baze au centre așezate unul deasupra celuilalt, dar apoteme diferite. Coborând apotema trunchiului pe planul bazei mari, cateta orizontală devine tocmai diferența dintre cele două apoteme. Rezultă $a_{p}^{2} = h^{2} + (a_{B} - a_{b})^{2}$ .

Cât face volumul dacă cele două baze sunt egale?

Corpul devine o prismă, iar formula se simplifică singură. Cu $A_{B} = A_{b} = A$ , expresia din paranteză dă $3 A$ , deci volumul iese $A \cdot h$ , exact ca la prismă. Este o verificare bună a formulei, care trebuie să dea rezultatul cunoscut în cazul acesta.

Cum apare trunchiul de piramidă în lucrurile din jur?

Ghiveciul de flori, abajurul unei lămpi și coșul de gunoi care se îngustează spre bază au chiar această formă. La fel și unele pahare de plastic sau găleți. Oriunde un corp se subțiază uniform spre vârf, dar vârful lipsește, ai un trunchi.

Ce se întâmplă cu volumul dacă baza mică se face zero?

Trunchiul se închide la vârf și devine piramidă. Punând $A_{b} = 0$ , radicalul se anulează și rămâne $\frac{h \cdot A _{B}}{3}$ , adică tocmai formula volumului piramidei. Legătura arată că cele două formule fac parte din aceeași familie.

Cum verific dacă volumul trunchiului a ieșit corect?

Compari cu două valori între care trebuie să cadă. Volumul trunchiului este mai mare decât al unei prisme cu baza mică și aceeași înălțime, dar mai mic decât al uneia cu baza mare. Pentru exemplul cu $208$ cm³, cele două margini sunt $64$ și $400$ cm³.

Oamenii mai întreabă și: volumul trunchiului de piramidă · aria laterală a trunchiului de piramidă · apotema trunchiului · formule trunchi de piramidă · aria totală a trunchiului