Aria laterală, aria totală și volumul trunchiului de piramidă regulată

Gândește-te la un ghiveci de flori care se lărgește spre gură, la un abajur de lampă, la un coș de gunoi metalic sau la un acoperiș în formă de „pălărie" tăiată drept la vârf. Toate aceste obiecte au forma unui trunchi de piramidă: o piramidă căreia i s-a retezat vârful cu o tăietură paralelă cu baza. În lecția trecută ai învățat cum se numesc elementele lui — cele două baze, fețele laterale trapezoidale, înălțimea și apotema. Acum facem pasul care contează la examen: învățăm să calculăm aria laterală, aria totală și volumul unui trunchi de piramidă regulată. Sunt formule care par lungi la prima vedere, dar vei descoperi că fiecare are o logică simplă și că totul se sprijină pe ce știi deja despre piramidă și despre trapez.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi aria laterală a unui trunchi de piramidă regulată cu formula $A_l=\frac{(P_B+p_b)}{2}\cdot a_p$.
• Vei ști să calculezi aria totală adunând la aria laterală ariile celor două baze.
• Vei ști să aplici formula volumului $V=\frac{h}{3}\left(A_B+A_b+\sqrt{A_B\cdot A_b}\right)$.
• Vei ști să afli apotema trunchiului din înălțime și apotemele bazelor, folosind $a_p^2=h^2+(a_B-a_b{)}^2$.
• Vei ști să alegi metoda potrivită și ordinea calculelor la problemele de sinteză pe trunchiul patrulater, triunghiular și hexagonal regulat.

Hai să descoperim împreună

Ne reamintim ce este trunchiul de piramidă regulată

Un trunchi de piramidă regulată se obține dintr-o piramidă regulată tăiată cu un plan paralel cu baza. Din piramida întreagă rămâne partea de jos, cuprinsă între două baze:

• baza mare, un poligon regulat (pătrat, triunghi echilateral, hexagon regulat) cu latura mai mare;
• baza mică, un poligon regulat asemenea cu baza mare, cu latura mai mică.

Cele două baze sunt paralele și au același centru pe axa trunchiului. Fețele laterale sunt trapeze isoscele, toate congruente între ele.

Trei elemente sunt cheia tuturor calculelor:

• înălțimea $h$ — distanța dintre planele celor două baze (segmentul $O{O}^{\prime }$ dintre centre);
• apotema trunchiului $a_p$ — înălțimea unei fețe laterale (a trapezului), adică distanța dintre mijloacele a două laturi corespunzătoare;
• apotemele bazelor $a_B$ și $a_b$ — apotema poligonului de la baza mare, respectiv de la baza mică.

Atenție să nu le confunzi: $a_p$ este apotema trunchiului (pe o față laterală, oblică), iar $a_B$ și $a_b$ sunt apotemele poligoanelor de bază (în planul bazelor, orizontale).

Aria laterală: adunăm ariile trapezelor

Aria laterală $A_l$ este suma ariilor tuturor fețelor laterale. Fiecare față este un trapez isoscel cu:

• baza mare = o latură a bazei mari, de lungime $L$;
• baza mică = o latură a bazei mici, de lungime $l$;
• înălțimea = apotema trunchiului $a_p$.

Aria unui asemenea trapez este $\frac{(L+l)}{2}\cdot a_p$. Dacă poligonul are $n$ laturi, atunci sunt $n$ trapeze identice, deci:

$$A_l=n\cdot \frac{(L+l)}{2}\cdot a_p=\frac{nL+nl}{2}\cdot a_p.$$

Dar $nL$ este chiar perimetrul bazei mari $P_B$, iar $nl$ este perimetrul bazei mici $p_b$. Obținem formula pe care o folosim mereu:

$$\boxed{A_l=\frac{P_B+p_b}{2}\cdot a_p}$$

Ține minte ideea: aduni cele două perimetre, împarți la 2 (ca la aria trapezului) și înmulțești cu apotema trunchiului. Este exact „aria unui trapez", dar cu perimetrele în locul laturilor.

Aria totală: adăugăm cele două baze

Trunchiul are, în plus față de fețele laterale, două baze: baza mare, cu aria $A_B$, și baza mică, cu aria $A_b$ (pentru arii scriem litera $A$ mare — nu confunda aria $A_b$ cu apotema $a_b$!). Aria totală este:

$$\boxed{A_t=A_l+A_B+A_b}$$

Ariile bazelor se calculează cu formulele poligoanelor regulate, pe care le știi din clasa a VII-a:

• pătrat cu latura $a$: aria $=a^2$;
• triunghi echilateral cu latura $a$: aria $=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$;
• hexagon regulat cu latura $a$: aria $=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

O metodă rapidă și sigură pentru orice poligon regulat este $A_{\text{poligon}}=\frac{P\cdot a_{\text{poligon}}}{2}$ (perimetrul înmulțit cu apotema, împărțit la 2) — utilă mai ales la hexagon.

Volumul: formula cu cele trei arii

Volumul trunchiului nu este media volumelor celor două piramide și nu se obține scăzând pur și simplu volume ca și cum ariile s-ar aduna liniar. Formula corectă, valabilă pentru orice trunchi de piramidă (nu doar regulat), este:

$$\boxed{V=\frac{h}{3}\left(A_B+A_b+\sqrt{A_B\cdot A_b}\right)}$$

unde $h$ este înălțimea trunchiului, $A_B$ aria bazei mari și $A_b$ aria bazei mici. Termenul $\sqrt{A_B\cdot A_b}$ se numește media geometrică a celor două arii și este „puntea" dintre baza mare și baza mică.

Merită observat un lucru care te ajută să reții formula: dacă baza mică ar avea aceeași arie ca baza mare ($A_B=A_b$), formula ar da $\frac{h}{3}(A_B+A_B+A_B)=A_B\cdot h$ — exact volumul unei prisme. Iar dacă baza mică ar deveni un punct ($A_b=0$), am obține $\frac{h}{3}\cdot A_B$ — exact volumul unei piramide. Deci formula trunchiului stă „între" prismă și piramidă, ceea ce are perfect sens geometric.

Cum aflăm apotema trunchiului din înălțime

De multe ori problema îți dă înălțimea $h$ și dimensiunile bazelor, dar pentru arie ai nevoie de apotema trunchiului $a_p$. Cum le legăm?

Coborâm din centrul $O^{\prime }$ al bazei mici o perpendiculară pe planul bazei mari; piciorul ei este chiar centrul $O$ al bazei mari. Apotema bazei mari se măsoară din $O$ până la mijlocul unei laturi, apotema bazei mici din $O^{\prime }$ până la mijlocul laturii de sus. Proiectând totul într-o secțiune care trece prin apoteme, se formează un triunghi dreptunghic ale cărui catete sunt:

• înălțimea trunchiului $h$;
• diferența apotemelor bazelor $a_B-a_b$;

iar ipotenuza este chiar apotema trunchiului $a_p$. Din teorema lui Pitagora rezultă:

$$\boxed{a_p^2=h^2+(a_B-a_b{)}^2}$$

Reține relația între apoteme și laturi la fiecare poligon regulat (apotema = distanța de la centru la mijlocul laturii):

• pătrat cu latura $a$: apotema $=\frac{a}{2}$;
• triunghi echilateral cu latura $a$: apotema $=\frac{a\sqrt{3}}{6}$;
• hexagon regulat cu latura $a$: apotema $=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Dacă vrei să recapitulezi de unde vin aceste formule, revezi lecția despre aria laterală și totală a piramidei regulate și lecția despre elementele trunchiului de piramidă.

Ordinea corectă a pașilor (strategia de examen)

La un item de sinteză, aproape întotdeauna funcționează același plan:

1. Identifică poligonul de bază (pătrat, triunghi, hexagon) și notează laturile $L$ și $l$.
2. Calculează apotemele bazelor $a_B$ și $a_b$ cu formulele de mai sus.
3. Află apotema trunchiului $a_p$ din $a_p^2=h^2+(a_B-a_b{)}^2$ (dacă nu ți se dă direct).
4. Calculează perimetrele $P_B$ și $p_b$, apoi aria laterală $A_l$.
5. Calculează ariile bazelor $A_B$, $A_b$, apoi aria totală $A_t$.
6. Pentru volum folosești direct $A_B$, $A_b$ și $h$ în formula volumului.

Observă un lucru important pentru „alegerea metodei" (competența 3.5): pentru volum ai nevoie de $h$ și de ariile bazelor, dar nu de $a_p$; pentru arii ai nevoie de $a_p$, dar nu de $h$. Dacă vezi din start ce ți se cere, calculezi doar ce trebuie și economisești timp la examen.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Trunchi patrulater regulat, calcul complet pas cu pas

Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are latura bazei mari $L=10\text{cm}$, latura bazei mici $l=4\text{cm}$ și înălțimea $h=4\text{cm}$. Calculează apotema trunchiului, aria laterală, aria totală și volumul.

Pasul 1 — apotemele bazelor. Bazele sunt pătrate, deci apotema fiecăruia este jumătate din latură: $$a_B=\frac{L}{2}=\frac{10}{2}=5\text{cm},a_b=\frac{l}{2}=\frac{4}{2}=2\text{cm}.$$

Pasul 2 — apotema trunchiului. $$a_p^2=h^2+(a_B-a_b{)}^2=4^2+(5-2{)}^2=16+9=25\Rightarrow a_p=5\text{cm}.$$

Pasul 3 — aria laterală. Perimetrele: $P_B=4L=40\text{cm}$, $p_b=4l=16\text{cm}$. $$A_l=\frac{P_B+p_b}{2}\cdot a_p=\frac{40+16}{2}\cdot 5=28\cdot 5=140{\text{cm}}^2.$$

Pasul 4 — aria totală. Ariile bazelor (pătrate): $A_B=L^2=100{\text{cm}}^2$, $A_b=l^2=16{\text{cm}}^2$. $$A_t=A_l+A_B+A_b=140+100+16=256{\text{cm}}^2.$$

Pasul 5 — volumul. Media geometrică: $\sqrt{A_B\cdot A_b}=\sqrt{100\cdot 16}=\sqrt{1600}=40$. $$V=\frac{h}{3}\left(A_B+A_b+\sqrt{A_B\cdot A_b}\right)=\frac{4}{3}\left(100+16+40\right)=\frac{4}{3}\cdot 156=208{\text{cm}}^3.$$

Exemplul 2 — Când ni se dă direct apotema trunchiului

Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are $L=8\text{cm}$, $l=4\text{cm}$ și apotema trunchiului $a_p=5\text{cm}$. Află aria laterală și aria totală.

Aici nu ni se cere volumul, deci nu avem nevoie de înălțime. Calculăm doar ariile.

$$P_B=4\cdot 8=32\text{cm},p_b=4\cdot 4=16\text{cm}.$$ $$A_l=\frac{32+16}{2}\cdot 5=24\cdot 5=120{\text{cm}}^2.$$ $$A_B=8^2=64{\text{cm}}^2,A_b=4^2=16{\text{cm}}^2.$$ $$A_t=120+64+16=200{\text{cm}}^2.$$

Observă cât de rapid a fost: fiindcă ni s-a dat direct $a_p$, am sărit peste teorema lui Pitagora. Asta înseamnă „alegerea metodei potrivite".

Exemplul 3 — Trunchi hexagonal regulat

Un trunchi de piramidă hexagonală regulată are latura bazei mari $L=6\text{cm}$, latura bazei mici $l=2\text{cm}$ și înălțimea $h=2\text{cm}$. Calculează aria laterală, aria totală și volumul.

Apotemele bazelor (hexagon: apotema $=\frac{a\sqrt{3}}{2}$): $$a_B=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{cm},a_b=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\text{cm}.$$

Apotema trunchiului: diferența apotemelor este $a_B-a_b=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$, iar $(2\sqrt{3}{)}^2=4\cdot 3=12$. $$a_p^2=h^2+(a_B-a_b{)}^2=2^2+12=4+12=16\Rightarrow a_p=4\text{cm}.$$

Aria laterală: perimetrele $P_B=6\cdot 6=36\text{cm}$, $p_b=6\cdot 2=12\text{cm}$. $$A_l=\frac{36+12}{2}\cdot 4=24\cdot 4=96{\text{cm}}^2.$$

Ariile bazelor (hexagon: aria $=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$): $$A_B=\frac{3\cdot 6^2\sqrt{3}}{2}=\frac{108\sqrt{3}}{2}=54\sqrt{3}{\text{cm}}^2,A_b=\frac{3\cdot 2^2\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}{\text{cm}}^2.$$ $$A_t=A_l+A_B+A_b=96+54\sqrt{3}+6\sqrt{3}=96+60\sqrt{3}{\text{cm}}^2.$$

Volumul: media geometrică $\sqrt{A_B\cdot A_b}=\sqrt{54\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3}}=\sqrt{324\cdot 3}=\sqrt{972}=18\sqrt{3}$. $$V=\frac{h}{3}\left(54\sqrt{3}+6\sqrt{3}+18\sqrt{3}\right)=\frac{2}{3}\cdot 78\sqrt{3}=52\sqrt{3}{\text{cm}}^3.$$

Exemplul 4 — Trunchi triunghiular regulat

Un trunchi de piramidă triunghiulară regulată (baze triunghiuri echilaterale) are $L=18\text{cm}$, $l=6\text{cm}$ și înălțimea $h=2\text{cm}$. Calculează aria laterală și volumul.

Apotemele bazelor (triunghi echilateral: apotema $=\frac{a\sqrt{3}}{6}$): $$a_B=\frac{18\sqrt{3}}{6}=3\sqrt{3}\text{cm},a_b=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}\text{cm}.$$

Apotema trunchiului: $a_B-a_b=2\sqrt{3}$, deci $(2\sqrt{3}{)}^2=12$. $$a_p^2=2^2+12=16\Rightarrow a_p=4\text{cm}.$$

Aria laterală: $P_B=3\cdot 18=54\text{cm}$, $p_b=3\cdot 6=18\text{cm}$. $$A_l=\frac{54+18}{2}\cdot 4=36\cdot 4=144{\text{cm}}^2.$$

Ariile bazelor (triunghi echilateral: aria $=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$): $$A_B=\frac{18^2\sqrt{3}}{4}=\frac{324\sqrt{3}}{4}=81\sqrt{3}{\text{cm}}^2,A_b=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2.$$

Volumul: $\sqrt{A_B\cdot A_b}=\sqrt{81\sqrt{3}\cdot 9\sqrt{3}}=\sqrt{729\cdot 3}=\sqrt{2187}=27\sqrt{3}$. $$V=\frac{2}{3}\left(81\sqrt{3}+9\sqrt{3}+27\sqrt{3}\right)=\frac{2}{3}\cdot 117\sqrt{3}=78\sqrt{3}{\text{cm}}^3.$$

Exemplul 5 — Problemă aplicată: cât material intră într-un ghiveci

Un ghiveci decorativ are forma unui trunchi de piramidă patrulateră regulată cu latura de sus $L=20\text{cm}$ (gura, mai largă), latura de jos $l=8\text{cm}$ și adâncimea (înălțimea) $h=15\text{cm}$. Câți litri de pământ încap în ghiveci, dacă îl umplem complet?

Aici baza „mare" ca arie este pătratul mai mare (gura de sus). Pentru volum contează doar ariile celor două fețe pătrate și înălțimea: $$A_B=20^2=400{\text{cm}}^2,A_b=8^2=64{\text{cm}}^2.$$ $$\sqrt{A_B\cdot A_b}=\sqrt{400\cdot 64}=\sqrt{25600}=160.$$ $$V=\frac{15}{3}\left(400+64+160\right)=5\cdot 624=3120{\text{cm}}^3.$$

Cum $1\text{L}=1000{\text{cm}}^3$, rezultă $V=3,12\text{L}$. Ghiveciul încape puțin peste 3 litri de pământ.

Exemplul 6 — Aflarea înălțimii din volum (item tip Evaluare Națională)

Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele pătrate cu laturile de $9\text{cm}$ și $3\text{cm}$, iar volumul de $390{\text{cm}}^3$. Află înălțimea trunchiului.

Calculăm ariile bazelor și media geometrică: $$A_B=9^2=81{\text{cm}}^2,A_b=3^2=9{\text{cm}}^2,\sqrt{A_B\cdot A_b}=\sqrt{81\cdot 9}=\sqrt{729}=27.$$

Suma din paranteză: $81+9+27=117$. Din formula volumului: $$390=\frac{h}{3}\cdot 117=39h\Rightarrow h=\frac{390}{39}=10\text{cm}.$$

Metoda aici a fost „la invers": am pornit de la volum și am aflat o dimensiune. Este un tip de item foarte des întâlnit la examen.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu toți pașii scriși ordonat, așa cum ai proceda la Evaluarea Națională. Verifică-te apoi cu cheia de mai jos.

1. Completează formulele: aria laterală $A_l=\dots$; aria totală $A_t=\dots$; volumul $V=\dots$; apotema trunchiului $a_p^2=\dots$.

2. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are $L=8\text{cm}$, $l=4\text{cm}$ și apotema trunchiului $a_p=5\text{cm}$. Calculează aria laterală.

3. Pentru trunchiul de la exercițiul 2, calculează aria totală.

4. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are $L=8\text{cm}$, $l=2\text{cm}$ și înălțimea $h=4\text{cm}$. Află apotema trunchiului $a_p$.

5. Pentru trunchiul de la exercițiul 4, calculează volumul.

6. Stabilește dacă propozițiile sunt adevărate (A) sau false (F) și justifică pe scurt: a) La un trunchi de piramidă, apotema trunchiului este mai mare decât înălțimea: $a_p>h$. b) Aria totală este egală cu aria laterală plus aria unei singure baze. c) Volumul se calculează cu $V=\frac{h}{3}\left(A_B+A_b+\sqrt{A_B\cdot A_b}\right)$.

7. Un trunchi de piramidă hexagonală regulată are $L=6\text{cm}$, $l=2\text{cm}$ și $h=2\text{cm}$. Află: a) apotemele bazelor; b) apotema trunchiului; c) aria laterală.

8. Pentru trunchiul hexagonal de la exercițiul 7, calculează aria totală.

9. Pentru trunchiul hexagonal de la exercițiul 7, calculează volumul.

10. Un trunchi de piramidă triunghiulară regulată are $L=18\text{cm}$, $l=6\text{cm}$ și apotema trunchiului $a_p=4\text{cm}$. Calculează aria laterală.

11. Un trunchi de piramidă are aria bazei mari $A_B=49{\text{cm}}^2$, aria bazei mici $A_b=9{\text{cm}}^2$ și înălțimea $h=6\text{cm}$. Calculează volumul (direct din formulă).

12. Un coș de gunoi metalic are forma unui trunchi de piramidă patrulateră regulată cu latura de sus $20\text{cm}$, latura de jos $8\text{cm}$ și adâncimea $15\text{cm}$. Ce capacitate are, exprimată în litri?

13. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele pătrate cu laturile $9\text{cm}$ și $3\text{cm}$, iar volumul $390{\text{cm}}^3$. Află înălțimea.

14. Fețele laterale ale unui acoperiș în formă de trunchi de piramidă patrulateră regulată au bazele de $6\text{m}$ și $4\text{m}$, iar apotema trunchiului este de $5\text{m}$. O cutie de vopsea acoperă $12,5{\text{m}}^2$. Câte cutii sunt necesare pentru a vopsi doar fețele laterale?

15. (Sinteză, tip Evaluare Națională) Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are $L=12\text{cm}$, $l=6\text{cm}$ și înălțimea $h=4\text{cm}$. Calculează, în această ordine: a) apotema trunchiului; b) aria laterală; c) aria totală; d) volumul.

Răspunsuri și explicații

1. $A_l=\frac{P_B+p_b}{2}\cdot a_p$; $A_t=A_l+A_B+A_b$; $V=\frac{h}{3}\left(A_B+A_b+\sqrt{A_B\cdot A_b}\right)$; $a_p^2=h^2+(a_B-a_b{)}^2$.

2. $P_B=32\text{cm}$, $p_b=16\text{cm}$. $A_l=\frac{32+16}{2}\cdot 5=24\cdot 5=120\mathbf{c}{\mathbf{m}}^2$.

3. $A_B=8^2=64{\text{cm}}^2$, $A_b=4^2=16{\text{cm}}^2$. $A_t=120+64+16=200\mathbf{c}{\mathbf{m}}^2$.

4. Apotemele bazelor: $a_B=4\text{cm}$, $a_b=1\text{cm}$. $a_p^2=4^2+(4-1{)}^2=16+9=25$, deci $a_p=5\mathbf{cm}$.

5. $A_B=8^2=64$, $A_b=2^2=4$, $\sqrt{64\cdot 4}=\sqrt{256}=16$. $V=\frac{4}{3}(64+4+16)=\frac{4}{3}\cdot 84=112\mathbf{c}{\mathbf{m}}^3$.

6. a) A — în triunghiul dreptunghic de calcul, $a_p$ este ipotenuza, iar $h$ o catetă; ipotenuza este mereu mai mare decât o catetă, deci $a_p>h$. b) F — trunchiul are două baze; aria totală adună ambele arii: $A_t=A_l+A_B+A_b$. c) A — este exact formula corectă a volumului trunchiului de piramidă.

7. a) $a_B=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{cm}$, $a_b=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\text{cm}$. b) $a_p^2=2^2+(3\sqrt{3}-\sqrt{3}{)}^2=4+(2\sqrt{3}{)}^2=4+12=16$, deci $a_p=4\mathbf{cm}$. c) $P_B=36$, $p_b=12$; $A_l=\frac{36+12}{2}\cdot 4=24\cdot 4=96\mathbf{c}{\mathbf{m}}^2$.

8. $A_B=\frac{3\cdot 36\sqrt{3}}{2}=54\sqrt{3}{\text{cm}}^2$, $A_b=\frac{3\cdot 4\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}{\text{cm}}^2$. $A_t=96+54\sqrt{3}+6\sqrt{3}=96+60\sqrt{3}\mathbf{c}{\mathbf{m}}^2$ (aproximativ $199,9{\text{cm}}^2$).

9. $\sqrt{A_B\cdot A_b}=\sqrt{54\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3}}=\sqrt{324\cdot 3}=18\sqrt{3}$. $V=\frac{2}{3}(54\sqrt{3}+6\sqrt{3}+18\sqrt{3})=\frac{2}{3}\cdot 78\sqrt{3}=52\sqrt{3}\mathbf{c}{\mathbf{m}}^3$ (aproximativ $90,1{\text{cm}}^3$).

10. $P_B=3\cdot 18=54\text{cm}$, $p_b=3\cdot 6=18\text{cm}$. $A_l=\frac{54+18}{2}\cdot 4=36\cdot 4=144\mathbf{c}{\mathbf{m}}^2$.

11. $\sqrt{49\cdot 9}=\sqrt{441}=21$. $V=\frac{6}{3}(49+9+21)=2\cdot 79=158\mathbf{c}{\mathbf{m}}^3$.

12. $A_B=20^2=400$, $A_b=8^2=64$, $\sqrt{400\cdot 64}=160$. $V=\frac{15}{3}(400+64+160)=5\cdot 624=3120{\text{cm}}^3=3,12\mathbf{L}$.

13. $A_B=81$, $A_b=9$, $\sqrt{81\cdot 9}=27$; suma $=117$. Din $390=\frac{h}{3}\cdot 117=39h$ rezultă $h=10\mathbf{cm}$.

14. $P_B=4\cdot 6=24\text{m}$, $p_b=4\cdot 4=16\text{m}$. $A_l=\frac{24+16}{2}\cdot 5=20\cdot 5=100{\text{m}}^2$. Numărul de cutii: $100:12,5=8$, deci sunt necesare 8 cutii.

15. a) $a_B=6$, $a_b=3$; $a_p^2=4^2+(6-3{)}^2=16+9=25$, deci $a_p=5\mathbf{cm}$. b) $P_B=48$, $p_b=24$; $A_l=\frac{48+24}{2}\cdot 5=36\cdot 5=180\mathbf{c}{\mathbf{m}}^2$. c) $A_B=144$, $A_b=36$; $A_t=180+144+36=360\mathbf{c}{\mathbf{m}}^2$. d) $\sqrt{144\cdot 36}=\sqrt{5184}=72$; $V=\frac{4}{3}(144+36+72)=\frac{4}{3}\cdot 252=336\mathbf{c}{\mathbf{m}}^3$.

De reținut

• Aria laterală: $A_l=\frac{P_B+p_b}{2}\cdot a_p$ — semisuma perimetrelor bazelor, înmulțită cu apotema trunchiului.
• Aria totală: $A_t=A_l+A_B+A_b$ — la aria laterală adaugi ariile ambelor baze.
• Volumul: $V=\frac{h}{3}\left(A_B+A_b+\sqrt{A_B\cdot A_b}\right)$ — apare media geometrică $\sqrt{A_B\cdot A_b}$ a ariilor bazelor.
• Apotema trunchiului: $a_p^2=h^2+(a_B-a_b{)}^2$ — teorema lui Pitagora într-un triunghi dreptunghic cu catetele $h$ și $a_B-a_b$.
• Alegerea metodei: pentru volum îți trebuie $h$ și ariile bazelor; pentru arii îți trebuie apotema trunchiului $a_p$. Calculează doar ce ai nevoie.

Greșeli frecvente

• Confunzi apotema trunchiului $a_p$ cu apotema bazei $a_B$. $a_p$ este oblică, pe o față laterală (înălțimea trapezului); $a_B$ și $a_b$ sunt orizontale, în planul bazelor. În formula ariei laterale folosești $a_p$, iar în teorema lui Pitagora folosești diferența $a_B-a_b$.
• Uiți o bază la aria totală. Aria totală are două baze: $A_t=A_l+A_B+A_b$. O greșeală tipică este să adaugi doar baza mare.
• Aplici greșit formula volumului. Volumul nu este $\frac{h}{3}(A_B+A_b)$ și nici media aritmetică a volumelor a două piramide. Nu uita termenul $\sqrt{A_B\cdot A_b}$ și grijă la ordinea operațiilor sub radical.
• Confunzi $h$ cu $a_p$ în teorema lui Pitagora. $a_p$ este ipotenuza (cea mai mare), $h$ este catetă. Dacă îți iese $a_p<h$, cu siguranță ai inversat rolurile.

Aplică acasă

• Măsoară un ghiveci sau un pahar tronconic tăiat drept (dacă găsești unul în formă de trunchi de piramidă, chiar mai bine). Măsoară latura de sus, latura de jos și adâncimea, apoi estimează volumul cu formula învățată. Compară rezultatul turnând apă cu o cană gradată — vei vedea cât de aproape ești.
• Construiește un trunchi de piramidă din carton. Desenează desfășurarea: două pătrate (bazele) și patru trapeze isoscele identice. Decupează, lipește și verifică pe model unde se află apotema trunchiului și cum se formează triunghiul dreptunghic cu $h$ și $a_B-a_b$.
• Calculează materialul pentru un abajur. Alege un abajur în formă de trunchi și estimează câtă pânză (aria laterală) ar fi nevoie pentru a-l îmbrăca, la un mic adaos pentru cusături.

Pentru părinți și profesori

Această lecție încheie studiul trunchiului de piramidă și consolidează întregul capitol de corpuri poliedrale, esențial pentru Evaluarea Națională, unde arii și volume ale corpurilor apar aproape la fiecare ediție, atât la itemi cu răspuns scurt, cât și la problema de sinteză din partea a doua (unde redactarea completă aduce punctajul).

Pentru a verifica înțelegerea, puneți întrebări care testează raționamentul, nu memorarea: „De ce apar două perimetre în formula ariei laterale?", „De ce apotema trunchiului este ipotenuză, iar nu catetă?", „Ce dimensiuni îți trebuie pentru volum și ce dimensiuni pentru arii?". Un semn sigur că elevul a înțeles este că alege singur ce calculează — nu determină apotema trunchiului atunci când i se cere doar volumul, și nici invers.

Un bun exercițiu de fixare este să cereți elevului să rezolve același trunchi în două moduri și să verifice că, dacă baza mică devine egală cu cea mare, formula volumului dă volumul prismei, iar dacă baza mică se micșorează spre zero, se obține volumul piramidei. Această „verificare de graniță" antrenează gândirea critică valorificată la examen.

Întrebări frecvente

Care este formula ariei laterale a trunchiului de piramidă la clasa a 8-a? Aria laterală este $A_l=\frac{P_B+p_b}{2}\cdot a_p$, unde $P_B$ și $p_b$ sunt perimetrele bazelor, iar $a_p$ este apotema trunchiului (înălțimea unei fețe laterale trapezoidale). Practic aduni cele două perimetre, împarți la 2 și înmulțești cu apotema.

Care este formula volumului trunchiului de piramidă? Formula este $V=\frac{h}{3}\left(A_B+A_b+\sqrt{A_B\cdot A_b}\right)$, unde $h$ este înălțimea, $A_B$ aria bazei mari și $A_b$ aria bazei mici. Termenul $\sqrt{A_B\cdot A_b}$ este media geometrică a ariilor celor două baze și nu trebuie omis.

Cum aflu apotema trunchiului dacă am înălțimea? Folosești relația $a_p^2=h^2+(a_B-a_b{)}^2$, care vine din teorema lui Pitagora: catetele sunt înălțimea $h$ și diferența apotemelor bazelor $a_B-a_b$, iar ipotenuza este apotema trunchiului $a_p$. Calculezi mai întâi apotemele bazelor din laturi, apoi aplici formula.

Ce diferență este între apotema trunchiului și apotema bazei? Apotema bazei ($a_B$ sau $a_b$) este distanța de la centrul unui poligon de bază la mijlocul unei laturi, măsurată în planul bazei (orizontal). Apotema trunchiului ($a_p$) este înălțimea unei fețe laterale trapezoidale, măsurată pe suprafața oblică a corpului. În formula ariei laterale se folosește apotema trunchiului.

De ce se adună două baze la aria totală? Pentru că trunchiul de piramidă are, spre deosebire de piramidă, două baze: baza mare și baza mică. De aceea aria totală este $A_t=A_l+A_B+A_b$, adunând ambele arii la suprafața laterală.

Volumul trunchiului este media volumelor celor două piramide? Nu. Volumul se calculează cu formula $V=\frac{h}{3}(A_B+A_b+\sqrt{A_B\cdot A_b})$, care conține media geometrică a ariilor, nu o medie a volumelor. O verificare rapidă: dacă bazele ar fi egale, formula dă volumul unei prisme, iar dacă baza mică devine punct, dă volumul unei piramide.

Ce dimensiuni îmi trebuie ca să calculez volumul, dar nu și pentru arie? Pentru volum îți trebuie înălțimea $h$ și ariile bazelor $A_B$, $A_b$ — nu ai nevoie de apotema trunchiului. Pentru arii îți trebuie apotema trunchiului $a_p$ și perimetrele/ariile bazelor — nu ai nevoie de înălțime. Recunoașterea rapidă a ce se cere te ajută să economisești timp la Evaluarea Națională.

Cum apare trunchiul de piramidă la Evaluarea Națională? Poate apărea ca item de calcul direct (aria laterală, aria totală sau volumul dintr-un trunchi cu date numerice) sau ca problemă de sinteză, în care afli întâi apotema trunchiului cu teorema lui Pitagora, apoi ariile și volumul. Redactarea ordonată, cu formula scrisă înainte de înlocuirea numerelor, aduce punctajul integral pe barem.