Cum aflu cmmmc cu factori primi?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · C.m.m.m.c. prin factori primi

Descompui numerele în factori primi, apoi strângi toți factorii întâlniți, alegând pentru fiecare exponentul cel mai mare, și înmulțești ce ai adunat. Pentru 12 și 18 ies $12 = 2^{2} \cdot 3$ și $18 = 2 \cdot 3^{2}$ , deci se aleg $2^{2}$ și $3^{2}$ , iar rezultatul este 36. Contrastul cu cel mai mare divizor comun se ține minte ușor: aici se ia tot și la maxim, acolo doar comunul și la minim.

Cel mai mic multiplu comun $[a, b]$ al două numere naturale nenule este cel mai mic număr natural nenul care este multiplu al fiecăruia dintre ele.

Metoda prin descompunere: descompunem fiecare număr în factori primi, apoi luăm toți factorii primi care apar (comuni și necomuni), fiecare la puterea cea mai mare, și îi înmulțim.

Exemplu. $12 = 2^{2} \cdot 3$ , iar $18 = 2 \cdot 3^{2}$ . Factorii primi implicați sunt $2$ și $3$ ; puterea cea mai mare a lui $2$ este $2^{2}$ , iar a lui $3$ este $3^{2}$ . Deci $[12, 18] = 2^{2} \cdot 3^{2} = 36$ .

Reține contrastul: c.m.m.m.c. = TOT și MAXIM, spre deosebire de c.m.m.d.c. = COMUN și MINIM. Dacă numerele sunt prime între ele, $[a, b] = a \cdot b$ ; dacă unul îl divide pe celălalt, $[a, b]$ este numărul mai mare. Metoda se folosește la numitorul comun al fracțiilor și la probleme cu cicluri care se repetă.

De reținut

se iau toți factorii primi întâlniți, comuni și necomuni
fiecare factor se ia la puterea cea mai mare
numere prime între ele: rezultatul este produsul lor
exponenții nu se adună și nu se înmulțesc, se alege cel mai mare

Greșeala tipică

Se adună exponenții aceluiași factor, deci din $2^{2}$ și $2^{4}$ iese $2^{6}$ . Se alege doar exponentul cel mai mare, adică $2^{4}$ , fiindcă atât ajunge ca să încapă amândouă numerele.

Exerciții din această mini-lecție

Determină $[20, 28]$ .
- a) $140$
- b) $560$
- c) $70$
- d) $196$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $140$

Descompunem: $20 = 2^{2} \cdot 5$ și $28 = 2^{2} \cdot 7$ . Factorii primi care apar sunt $2$ , $5$ și $7$ ; puterea cea mai mare a lui $2$ este $2^{2}$ (egală la amândouă). Deci $[20, 28] = 2^{2} \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 5 \cdot 7 = 140$ . Varianta $560$ ar rezulta greșit dacă am aduna exponenții lui $2$ în loc să-i comparăm (adică $2^{2 + 2} \cdot 5 \cdot 7 = 16 \cdot 35 = 560$ ), iar $70$ s-ar obține luând factorul $2$ la puterea $1$ în loc de $2^{2}$ (adică $140 : 2$ ).
Care dintre numerele următoare este multiplu comun al lui $9$ și $15$ ?
- a) $30$
- b) $45$
- c) $60$
- d) $75$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $45$

Descompunem: $9 = 3^{2}$ și $15 = 3 \cdot 5$ . Puterile cele mai mari sunt $3^{2}$ și $5^{1}$ , deci $[9, 15] = 3^{2} \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45$ . Verificăm: $45 : 9 = 5$ și $45 : 15 = 3$ , ambele împărțiri exacte. Celelalte numere nu se împart exact la ambele: $30 : 9$ , $60 : 9$ și $75 : 9$ nu dau rezultate întregi, deci nu sunt multipli comuni ai lui $9$ și $15$ .
Determină $[20, 30]$ , prin descompunere în factori primi.
- a) $10$
- b) $30$
- c) $60$
- d) $600$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $60$

Descompunem: $20 = 2^{2} \times 5$ și $30 = 2 \times 3 \times 5$ . Factorii primi implicați sunt $2$ , $3$ și $5$ ; puterile cele mai mari sunt $2^{2}$ (de la $20$ ), $3^{1}$ și $5^{1}$ . Deci $[20, 30] = 2^{2} \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$ . Varianta a) $10$ este de fapt c.m.m.d.c. $(20, 30)$ , nu c.m.m.m.c.; b) $30$ nu este multiplu de $20$ ( $30 : 20$ nu e exact), deci nu poate fi multiplu comun; d) $600$ ar rezulta din înmulțirea simplă $20 \times 30$ , fără a ține cont de factorii comuni.

Întrebări conexe

Cât este cel mai mic multiplu comun al numerelor 20 și 28?

Descompunerile dau $20 = 2^{2} \cdot 5$ și $28 = 2^{2} \cdot 7$ . Se iau $2^{2}$ , 5 și 7, deci rezultatul este $4 \cdot 5 \cdot 7 = 140$ . Produsul celor două numere, 560, este și el multiplu comun, dar de patru ori mai mare decât cel căutat.

Când se aliniază din nou două roți dințate?

După ce prin punctul de contact trec atâția dinți cât cel mai mic multiplu comun al celor două numere. La 15 și 40 de dinți el este $[15, 40] = 120$ , deci roata mică face 8 ture, iar cea mare doar 3. Numărul de rotații diferă de la o roată la alta; egal rămâne numai numărul de dinți trecuți.

De ce se iau și factorii care apar la un singur număr?

Fiindcă rezultatul trebuie să fie multiplu al fiecărui număr, deci să cuprindă tot ce are fiecare dintre ele. La 15 și 8, dacă factorul 5 ar lipsi, numărul obținut nu s-ar mai împărți exact la 15. Nimic din ce apare undeva nu se lasă deoparte.

Cum verific dacă am aflat corect cmmmc?

Rezultatul trebuie să se împartă exact la fiecare dintre numerele date, iar niciun număr mai mic decât el să nu aibă aceeași proprietate. Pentru 20 și 28 iese 140: $140 : 20 = 7$ și $140 : 28 = 5$ , iar 70 sau 40 nu se împart exact la amândouă.

Cum aflu cel mai mic multiplu comun pentru trei numere?

La fel ca pentru două: descompui toate trei, aduni într-o listă toți factorii primi întâlniți și îi iei la puterea cea mai mare. Pentru 6, 9 și 15 ies $2 \cdot 3^{2} \cdot 5 = 90$ . Verificarea împarte 90 pe rând la fiecare număr, fără rest.

Oamenii mai întreabă și: cmmmc prin descompunere · cel mai mic multiplu comun cu factori primi · cum calculez cmmmc · cmmmc 12 și 18