Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) prin descompunere

Imaginează-ți două autobuze care pleacă din aceeași stație: unul la fiecare 12 minute, celălalt la fiecare 18 minute. Peste cât timp pleacă din nou amândouă în aceeași clipă? Întrebări de tipul acesta — despre evenimente care se repetă și se „întâlnesc" din nou — se rezolvă cu cel mai mic multiplu comun, pe scurt c.m.m.m.c. În clasa a V-a l-ai găsit scriind șiruri lungi de multipli. În clasa a VI-a vei învăța o metodă mult mai rapidă și mai elegantă: descompunerea în factori primi. Hai să o descoperim împreună!

Ce vei învăța

• Vei ști să definești corect cel mai mic multiplu comun a două sau mai multe numere naturale.
• Vei ști să determini c.m.m.m.c. prin descompunere în factori primi, luând toți factorii primi la puterea cea mai mare.
• Vei ști să compari metoda prin descompunere cu metoda prin enumerare învățată în clasa a V-a și să înțelegi de ce este mai puternică.
• Vei ști să aduci fracții la un numitor comun folosind c.m.m.m.c. al numitorilor.
• Vei ști să rezolvi probleme cu cicluri care se repetă (autobuze, becuri intermitente, ture de gardă) folosind c.m.m.m.c.

Hai să descoperim împreună

Ne amintim ce este un multiplu

Un multiplu al unui număr natural este rezultatul înmulțirii acelui număr cu $0,1,2,3,\dots$ De exemplu, multiplii lui $6$ sunt: $$0,6,12,18,24,30,36,42,\dots$$

Observă că multiplii „nu se termină" niciodată — orice număr natural are o infinitate de multipli. Spre deosebire de divizori, care sunt în număr finit (de exemplu, $6$ are doar divizorii $1,2,3,6$), multiplii merg la nesfârșit, din $6$ în $6$.

Ce înseamnă „multiplu comun"

Un multiplu comun a două numere este un număr care se află, în același timp, în lista multiplilor primului număr ȘI în lista multiplilor celui de-al doilea număr. Hai să luăm numerele $4$ și $6$:

• Multiplii lui $4$: $0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,\dots$
• Multiplii lui $6$: $0,6,12,18,24,30,36,\dots$

Numerele care apar în ambele liste sunt multiplii comuni: $0,12,24,36,\dots$ (lăsăm de obicei deoparte pe $0$, fiindcă $0$ este multiplu al oricărui număr și nu ne ajută la nimic în probleme).

Definiția c.m.m.m.c.

Dintre toți multiplii comuni (diferiți de zero), unul este cel mai mic. Pe acela îl numim cel mai mic multiplu comun.

Definiție. Cel mai mic multiplu comun a două sau mai multe numere naturale nenule este cel mai mic număr natural nenul care este multiplu al fiecăruia dintre ele. Îl notăm cu $[a,b]$ sau $\text{c.m.m.m.c.}(a,b)$.

În exemplul de mai sus, $[4,6]=12$, fiindcă $12$ este cel mai mic număr (diferit de $0$) care apare în ambele liste. Citim: „cel mai mic multiplu comun al numerelor $4$ și $6$ este $12$".

Reține și deosebirea de notație, ca să nu o confunzi cu lecția anterioară:

• $(a,b)$ — paranteză rotundă — înseamnă cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.);
• $[a,b]$ — paranteză dreaptă — înseamnă cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.).

Metoda din clasa a V-a (prin enumerare) și de ce nu ne mai ajunge

În clasa a V-a determinai c.m.m.m.c. exact așa cum am făcut mai sus: scriai lista multiplilor fiecărui număr și căutai cu ochii primul număr comun. Metoda funcționează, dar are o problemă serioasă: pentru numere mari devine foarte lungă și obositoare.

Încearcă, de exemplu, să afli $[36,48]$ prin enumerare. Ar trebui să scrii multiplii lui $36$: $36,72,108,144,\dots$ și multiplii lui $48$: $48,96,144,\dots$ până dai peste primul număr comun. Răspunsul este $144$, dar ai scris deja multe numere. Pentru numere precum $126$ și $360$, enumerarea ar fi un coșmar.

De aceea avem nevoie de o metodă care funcționează rapid, indiferent cât de mari sunt numerele. Aceasta este metoda prin descompunere în factori primi.

Ideea-cheie: orice multiplu „conține" numărul

În lecția despre descompunerea numerelor naturale în produs de factori primi ai învățat că orice număr natural mai mare ca $1$ se scrie, în mod unic, ca produs de puteri de numere prime. De exemplu: $$12=2^2\cdot 3,18=2\cdot 3^2.$$

Acum gândește-te ce înseamnă să fii multiplu al lui $12$. Un număr este multiplu al lui $12$ dacă se împarte exact la $12$, deci dacă „conține în el" toți factorii primi ai lui $12$: cel puțin $2^2$ și cel puțin un $3$. La fel, ca să fie multiplu al lui $18$, un număr trebuie să conțină cel puțin $2$ și cel puțin $3^2$.

Ca să fie multiplu comun al lui $12$ și $18$, numărul trebuie să conțină suficienți factori pentru amândouă deodată. Iar ca să fie cel mai mic astfel de număr, nu trebuie să punem nimic în plus, doar strictul necesar.

Regula de aur: toți factorii primi, la puterea cea mai mare

De aici se naște regula pe care o vei folosi mereu:

Algoritmul c.m.m.m.c. prin descompunere.

1. Descompune fiecare număr în produs de puteri de factori primi.
2. Adună într-un singur produs toți factorii primi care apar în oricare dintre descompuneri (chiar dacă apar într-un singur număr).
3. Pe fiecare factor prim îl iei la puterea cea mai mare (exponentul cel mai mare) cu care apare.
4. Înmulțește și ai obținut c.m.m.m.c.

Atenție la deosebirea față de c.m.m.d.c. prin descompunere:

O propoziție pe care merită să o memorezi: „La c.m.m.m.c. iei TOT și MAXIM; la c.m.m.d.c. iei doar COMUN și MINIM."

Aplicăm pas cu pas pe $12$ și $18$

Pasul 1 — Descompunem. $$12=2^2\cdot 3,18=2\cdot 3^2.$$

Pasul 2 — Strângem toți factorii primi care apar. În cele două descompuneri apar factorii primi $2$ și $3$. Îi luăm pe amândoi.

Pasul 3 — Luăm fiecare la puterea cea mai mare.

• Factorul $2$ apare ca $2^2$ (la $12$) și ca $2^1$ (la $18$). Puterea cea mai mare este $2^2$.
• Factorul $3$ apare ca $3^1$ (la $12$) și ca $3^2$ (la $18$). Puterea cea mai mare este $3^2$.

Pasul 4 — Înmulțim. $$[12,18]=2^2\cdot 3^2=4\cdot 9=36.$$

Verificare. Este $36$ multiplu al lui $12$? Da, $36=12\cdot 3$. Este multiplu al lui $18$? Da, $36=18\cdot 2$. Și este cel mai mic, pentru că multiplii comuni erau $36,72,108,\dots$ Răspunsul se potrivește exact cu ce am găsi prin enumerare — doar că am ajuns mult mai repede.

O analogie ca să nu uiți niciodată

Gândește-te că fiecare număr îți cere o „rețetă" de ingrediente (factorii primi). Numărul $12$ are nevoie de două ouă ($2^2$) și o lingură de zahăr ($3$). Numărul $18$ are nevoie de un ou ($2$) și două linguri de zahăr ($3^2$).

Dacă vrei să faci o singură prăjitură care să fie bună pentru ambele rețete (multiplu comun), trebuie să pui destule din fiecare ingredient pentru cel mai pretențios: două ouă (maximul cerut) și două linguri de zahăr (maximul cerut). Asta înseamnă $2^2\cdot 3^2=36$ — exact c.m.m.m.c. Iei maximul fiecărui ingredient, ca să le mulțumești pe amândouă fără să irosești.

Cum scriem ordonat: tabelul cu factori

Pentru numere mai multe, e util un tabel. Să calculăm $[24,36,90]$.

$$24=2^3\cdot 3,36=2^2\cdot 3^2,90=2\cdot 3^2\cdot 5.$$

Înmulțim coloana din dreapta: $$[24,36,90]=2^3\cdot 3^2\cdot 5=8\cdot 9\cdot 5=360.$$

Observă cum factorul $5$ apare doar la $90$, dar îl luăm totuși — la c.m.m.m.c. nu lăsăm nimic afară. Asta e marea diferență față de c.m.m.d.c., unde l-am fi ignorat fiindcă nu este comun.

O aplicație care apare mereu: numitorul comun al fracțiilor

Una dintre cele mai importante întrebuințări ale c.m.m.m.c. este aducerea fracțiilor la același numitor, ca să le poți aduna sau compara. Numitorul comun cel mai potrivit este chiar c.m.m.m.c. al numitorilor (numitorul comun cel mai mic).

Să adunăm $\frac{1}{12}+\frac{1}{18}$. Numitorii sunt $12$ și $18$, iar $[12,18]=36$. Aducem fiecare fracție la numitorul $36$: $$\frac{1}{12}=\frac{1\cdot 3}{12\cdot 3}=\frac{3}{36},\frac{1}{18}=\frac{1\cdot 2}{18\cdot 2}=\frac{2}{36}.$$ Atunci: $$\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{3}{36}+\frac{2}{36}=\frac{5}{36}.$$

Am putea folosi și numitorul $12\cdot 18=216$, dar atunci numerele ar fi inutil de mari și ar trebui să simplificăm la final. Folosind c.m.m.m.c., lucrăm cu cele mai mici numere posibile. Vei aprofunda aceste calcule mai târziu, la lecția despre aplicații ale c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c..

A doua aplicație: ciclurile care se repetă

Revenim la autobuzele de la început. Unul pleacă la fiecare $12$ minute, deci la minutele $12,24,36,48,\dots$ — adică la multiplii lui $12$. Celălalt pleacă la fiecare $18$ minute, deci la multiplii lui $18$: $18,36,54,\dots$ Amândouă pleacă împreună la multiplii comuni, iar prima dată când se reîntâlnesc este la $[12,18]=36$ de minute. Deci după $36$ de minute pleacă din nou în aceeași clipă.

Ori de câte ori două (sau mai multe) evenimente se repetă regulat și te întrebi „peste cât timp se întâmplă din nou simultan?", răspunsul este c.m.m.m.c. al perioadelor lor. Ține minte această întrebare-cheie: când se reîntâlnesc / se aliniază pentru prima dată? → c.m.m.m.c.

Acum că stăpânim metoda, hai să o vedem la lucru pe mai multe exemple.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două numere mici

Determină $[8,12]$.

Descompunem: $8=2^3$ și $12=2^2\cdot 3$.

Factorii primi care apar sunt $2$ și $3$. Luăm fiecare la puterea cea mai mare:

• $2$: maximul dintre $2^3$ și $2^2$ este $2^3$;
• $3$: apare doar la $12$, ca $3^1$, deci îl luăm pe $3^1$.

$$[8,12]=2^3\cdot 3=8\cdot 3=24.$$

Verificare: $24=8\cdot 3$ și $24=12\cdot 2$, iar mai mic decât $24$ nu există un multiplu comun. Corect.

Exemplul 2 — Numere fără factori comuni

Determină $[15,8]$.

Descompunem: $15=3\cdot 5$ și $8=2^3$. Aceste numere nu au niciun factor prim comun.

Luăm toți factorii la puterea cea mai mare: $2^3$, $3$, $5$. $$[15,8]=2^3\cdot 3\cdot 5=8\cdot 15=120.$$

Observație importantă: când două numere nu au factori comuni (sunt prime între ele), c.m.m.m.c. este chiar produsul lor: $15\cdot 8=120$. Vei studia mai pe larg acest caz la lecția numere prime între ele și relația c.m.m.d.c.–c.m.m.m.c..

Exemplul 3 — Când un număr îl divide pe celălalt

Determină $[9,45]$.

Descompunem: $9=3^2$ și $45=3^2\cdot 5$.

Factorii: $3$ și $5$. Puterile cele mai mari: $3^2$ (egal la amândoi) și $5^1$. $$[9,45]=3^2\cdot 5=9\cdot 5=45.$$

Observație: rezultatul este chiar $45$. Asta se întâmplă pentru că $9$ îl divide pe $45$ (adică $45$ este deja multiplu al lui $9$). Regulă utilă: dacă unul dintre numere se împarte exact la celălalt, atunci c.m.m.m.c. este numărul mai mare. De exemplu, $[7,21]=21$ direct, fără calcule lungi.

Exemplul 4 — Numere mai mari, cu tabel

Determină $[36,48]$.

Descompunem: $$36=2^2\cdot 3^2,48=2^4\cdot 3.$$

$$[36,48]=2^4\cdot 3^2=16\cdot 9=144.$$

Compară cu enumerarea de la începutul lecției: ajungeam tot la $144$, dar acolo a trebuit să scriem multe numere. Aici, două descompuneri și o înmulțire au fost de ajuns.

Exemplul 5 — Trei numere

Determină $[10,12,15]$.

Descompunem: $$10=2\cdot 5,12=2^2\cdot 3,15=3\cdot 5.$$

$$[10,12,15]=2^2\cdot 3\cdot 5=4\cdot 3\cdot 5=60.$$

Verificare: $60=10\cdot 6=12\cdot 5=15\cdot 4$. Este multiplu al fiecăruia. Corect.

Exemplul 6 — Problemă cu cicluri (becuri intermitente)

La un panou decorativ, becul roșu se aprinde din $6$ în $6$ secunde, becul verde din $8$ în $8$ secunde, iar becul albastru din $9$ în $9$ secunde. Dacă toate s-au aprins împreună la momentul de start, peste câte secunde se aprind din nou toate trei deodată?

Întrebarea „când se aliniază din nou?" cere c.m.m.m.c. al perioadelor: $[6,8,9]$.

Descompunem: $6=2\cdot 3$, $8=2^3$, $9=3^2$.

Puterile cele mai mari: $2^3$ și $3^2$. $$[6,8,9]=2^3\cdot 3^2=8\cdot 9=72.$$

Răspuns: toate trei becurile se aprind din nou simultan peste $72$ de secunde (adică $1$ minut și $12$ secunde).

Exemplul 7 — Numere mari, unde enumerarea ar fi un coșmar

Determină $[126,360]$.

La începutul lecției spuneam că pentru numere precum $126$ și $360$ metoda prin enumerare ar fi un chin: ar trebui să scrii zeci de multipli ai fiecăruia până să dai peste primul comun. Cu descompunerea, însă, rezolvăm totul în câteva rânduri.

Descompunem fiecare număr: $$126=2\cdot 3^2\cdot 7,360=2^3\cdot 3^2\cdot 5.$$

Înmulțim coloana din dreapta: $$[126,360]=2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7=8\cdot 9\cdot 5\cdot 7=2520.$$

Verificare: $2520:126=20$ și $2520:360=7$ — ambele împărțiri se fac fără rest, deci $2520$ este într-adevăr multiplu și al lui $126$, și al lui $360$. Observă cum am luat factorul $5$ (doar la $360$) și factorul $7$ (doar la $126$): la c.m.m.m.c. niciun factor nu rămâne pe dinafară. Gândește-te cât de mult ar fi durat să scriem multiplii lui $126$ — $126,252,378,\dots$ — până la $2520$: ar fi fost $20$ de numere doar pe un singur rând!

Să exersăm

Lucrează pe caiet. Pentru fiecare exercițiu, descompune întâi numerele în factori primi, apoi aplică regula „toți factorii, la puterea cea mai mare". Răspunsurile și explicațiile sunt mai jos — verifică-te după ce termini.

1. Scrie primii cinci multipli nenuli ai numărului $14$.

2. Completează: la c.m.m.m.c. luăm ______ factorii primi, fiecare la puterea cea mai ______.

3. Determină $[6,9]$.

4. Determină $[10,25]$.

5. Determină $[8,20]$.

6. Determină $[14,21]$.

7. Adevărat sau fals? Justifică pe scurt. a) $[5,7]=35$. b) Dacă $a$ îl divide pe $b$, atunci $[a,b]=a$. c) $[12,12]=12$. d) c.m.m.m.c. a două numere este întotdeauna mai mic decât fiecare dintre ele.

8. Determină $[24,30]$ folosind un tabel cu factori primi.

9. Determină $[16,24,40]$.

10. Încercuiește numărul care este multiplu comun al lui $9$ și $12$: $$24,27,36,45.$$

11. Adu fracțiile la același numitor și adună: $\frac{1}{6}+\frac{1}{15}$.

12. Potrivește fiecare pereche cu c.m.m.m.c.-ul ei:

13. Determină $[18,24,36]$.

14. Două ceasuri cu cuc sună: primul la fiecare $15$ minute, al doilea la fiecare $25$ de minute. Dacă au sunat împreună la ora $9:00$, la ce oră vor suna din nou simultan?

15. Găsește cel mai mic număr natural nenul care, împărțit la $4$, la $6$ și la $10$, dă de fiecare dată rest $0$.

16. Antrenamentul de înot are loc din $4$ în $4$ zile, iar cel de baschet din $6$ în $6$ zile. Andrei a avut astăzi ambele antrenamente. Peste câte zile va avea din nou amândouă antrenamentele în aceeași zi?

17. Determină $[12,18]$ și $(12,18)$ (c.m.m.m.c. și c.m.m.d.c.). Apoi calculează produsul $[12,18]\cdot (12,18)$ și compară-l cu $12\cdot 18$. Ce observi?

18. Trei roți dințate au $8$, $12$ și respectiv $20$ de dinți. Câți dinți trebuie să se rotească (cel puțin) ca toate trei să revină în același timp în poziția de pornire?

Răspunsuri și explicații

1. $14,28,42,56,70$. Îi obținem înmulțind $14$ cu $1,2,3,4,5$.

2. Luăm toți factorii primi, fiecare la puterea cea mai mare.

3. $6=2\cdot 3$, $9=3^2$. Puterile cele mai mari: $2^1$ și $3^2$. $[6,9]=2\cdot 9=18$.

4. $10=2\cdot 5$, $25=5^2$. $[10,25]=2\cdot 5^2=2\cdot 25=50$.

5. $8=2^3$, $20=2^2\cdot 5$. Puterile cele mai mari: $2^3$ și $5$. $[8,20]=8\cdot 5=40$.

6. $14=2\cdot 7$, $21=3\cdot 7$. $[14,21]=2\cdot 3\cdot 7=42$.

7. a) Adevărat. $5$ și $7$ sunt prime între ele, deci $[5,7]=5\cdot 7=35$. b) Fals. Corect este $[a,b]=b$ (numărul mai mare), nu $a$. De exemplu $[3,6]=6$, nu $3$. c) Adevărat. c.m.m.m.c. al unui număr cu el însuși este chiar acel număr: $[12,12]=12$. d) Fals. Dimpotrivă, c.m.m.m.c. este întotdeauna mai mare sau egal cu fiecare număr (niciodată mai mic), pentru că trebuie să fie multiplu al fiecăruia.

8. $24=2^3\cdot 3$, $30=2\cdot 3\cdot 5$. Puterile cele mai mari: $2^3$, $3$, $5$. $[24,30]=8\cdot 3\cdot 5=120$.

9. $16=2^4$, $24=2^3\cdot 3$, $40=2^3\cdot 5$. Puterile cele mai mari: $2^4$, $3$, $5$. $[16,24,40]=16\cdot 3\cdot 5=240$.

10. $36$. Verificăm: $36=9\cdot 4=12\cdot 3$, deci este multiplu și al lui $9$, și al lui $12$. (De fapt $36=[9,12]$.) Celelalte nu sunt multipli ai amândurora.

11. $6=2\cdot 3$, $15=3\cdot 5$, deci $[6,15]=2\cdot 3\cdot 5=30$. Aducem la numitorul $30$: $\frac{1}{6}=\frac{5}{30}$, $\frac{1}{15}=\frac{2}{30}$. Sumă: $\frac{5}{30}+\frac{2}{30}=\frac{7}{30}$.

12. a) $[4,6]=12\to$ II; b) $[5,6]=30\to$ I; c) $[6,8]=24\to$ IV; d) $[4,5]=20\to$ III.

13. $18=2\cdot 3^2$, $24=2^3\cdot 3$, $36=2^2\cdot 3^2$. Puterile cele mai mari: $2^3$ și $3^2$. $[18,24,36]=8\cdot 9=72$.

14. $15=3\cdot 5$, $25=5^2$, deci $[15,25]=3\cdot 5^2=75$ de minute $=1$ oră și $15$ minute. Adunând la $9:00$, vor suna din nou simultan la ora $10:15$.

15. Cerem cel mai mic număr divizibil cu $4$, $6$ și $10$, adică $[4,6,10]$. $4=2^2$, $6=2\cdot 3$, $10=2\cdot 5$. Puterile cele mai mari: $2^2$, $3$, $5$. Rezultat: $4\cdot 3\cdot 5=60$.

16. $[4,6]$: $4=2^2$, $6=2\cdot 3$, deci $[4,6]=2^2\cdot 3=12$. Peste $12$ zile va avea din nou ambele antrenamente în aceeași zi.

17. $[12,18]=36$ (calculat în lecție), iar $(12,18)=6$ (c.m.m.d.c.). Produsul: $36\cdot 6=216$. Iar $12\cdot 18=216$. Observăm că $[a,b]\cdot (a,b)=a\cdot b$ — o relație frumoasă pe care o vei studia în detaliu la lecția numere prime între ele și relația c.m.m.d.c.–c.m.m.m.c..

18. Roțile revin simultan după $[8,12,20]$ dinți rotiți. $8=2^3$, $12=2^2\cdot 3$, $20=2^2\cdot 5$. Puterile cele mai mari: $2^3$, $3$, $5$. $[8,12,20]=8\cdot 3\cdot 5=120$ de dinți.

De reținut

• Cel mai mic multiplu comun $[a,b]$ este cel mai mic număr natural nenul care este multiplu al fiecăruia dintre numere.
• Algoritmul prin descompunere: descompui în factori primi, apoi iei toți factorii primi (comuni și necomuni) la puterea cea mai mare.
• Reține contrastul: la c.m.m.m.c. iei TOT și MAXIM; la c.m.m.d.c. iei doar COMUN și MINIM.
• Dacă numerele sunt prime între ele, atunci $[a,b]=a\cdot b$. Dacă unul îl divide pe celălalt, $[a,b]$ este numărul mai mare.
• C.m.m.m.c. se folosește la numitorul comun al fracțiilor și la problemele cu cicluri care se repetă (când se aliniază din nou evenimentele?).

Greșeli frecvente

• Confunzi c.m.m.m.c. cu c.m.m.d.c. Mulți elevi iau, din grabă, factorii comuni la puterea cea mai mică — dar aceea e rețeta pentru c.m.m.d.c.! Pentru c.m.m.m.c. iei toți factorii la puterea cea mai mare. Spune-ți cu voce tare regula înainte de a începe.
• Uiți factorii care apar într-un singur număr. La $[15,8]$, dacă uiți factorul $5$ (care apare doar la $15$), greșești. La c.m.m.m.c. niciun factor prim care apare undeva nu se lasă afară.
• Iei puterea greșită. Când același factor apare cu exponenți diferiți (de pildă $2^2$ și $2^4$), trebuie să alegi exponentul mai mare ($2^4$), nu să-i aduni ($2^6$) și nici să-i înmulțești. Verifică mereu fiecare exponent.
• Crezi că c.m.m.m.c. poate fi mai mic decât numerele. C.m.m.m.c. este întotdeauna mai mare sau egal cu fiecare număr, fiindcă trebuie să fie multiplu al lor. Dacă îți iese mai mic, ai greșit pe undeva.

Joc acasă

Jocul 1 — Cursa monedelor pe linia timpului. Ia o foaie lungă și desenează o linie numerotată din $1$ în $1$ până la $40$. Pune o monedă pe poziția $0$. „Sari" cu o monedă roșie din $4$ în $4$ (la $4,8,12,\dots$) și cu o monedă albastră din $6$ în $6$ (la $6,12,18,\dots$). Marchează cu o steluță prima poziție pe care ambele monede aterizează împreună. Ai redescoperit $[4,6]=12$! Repetă cu alte perechi de pași și verifică prin descompunere.

Jocul 2 — Calendarul antrenamentelor. Pe un calendar lunar, colorează cu galben zilele din $3$ în $3$ și cu verde zilele din $5$ în $5$, pornind de la $1$. Prima zi care e și galbenă, și verde este multiplul comun. Calculează în prealabil $[3,5]=15$ și verifică pe calendar că exact ziua $15$ se potrivește.

Jocul 3 — Provocarea cu zaruri. Aruncă două zaruri și ia cele două numere obținute (dacă iese $1$, mai aruncă o dată pentru a evita cazul banal). Cronometrează cât îți ia să afli c.m.m.m.c.-ul lor prin descompunere. Joacă în doi: câștigă cine dă răspunsul corect mai repede. După câteva runde vei observa că metoda prin descompunere devine aproape instantanee.

Pentru părinți și învățători

Ideea centrală pe care trebuie să o înțeleagă elevul este contrastul dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. La amândouă se pleacă de la descompunerea în factori primi; diferă doar ce factori alegem și la ce putere. Repetați împreună fraza-ancoră: „c.m.m.m.c. = tot și maxim; c.m.m.d.c. = comun și minim". Confuzia dintre cele două este de departe cea mai frecventă greșeală la acest capitol.

Întrebări bune de pus:

• „De ce trebuie să iau și factorul care apare doar la un singur număr?" (Pentru ca rezultatul să fie multiplu și al acelui număr.)
• „Ce s-ar întâmpla dacă aș lua puterea mai mică în loc de cea mai mare?" (Numărul obținut nu ar mai fi divizibil cu numărul care cerea puterea mai mare.)
• „Cum aș rezolva același exercițiu prin enumerare și cât timp mi-ar lua?" (Întăriți de ce metoda prin descompunere e superioară pentru numere mari.)

Cum sprijiniți, fără să rezolvați în locul lui: dacă elevul se blochează, cereți-i întâi doar descompunerile, scrise una sub alta. Apoi întrebați, factor cu factor: „Unde apare $2$ la puterea cea mai mare?" Vizualizarea pe coloane (tabelul din lecție) reduce mult erorile.

Cum verificați înțelegerea: dați-i un număr care e deja multiplu al celuilalt (de ex. $[7,35]$) — dacă răspunde rapid $35$ fără calcule lungi, a înțeles structura. Apoi cereți-i o problemă aplicată cu cicluri (autobuze, becuri) și urmăriți dacă recunoaște singur că „se reîntâlnesc" înseamnă c.m.m.m.c. Capacitatea de a alege metoda potrivită contează mai mult decât viteza de calcul.

Întrebări frecvente

Ce este c.m.m.m.c. pe scurt? C.m.m.m.c. înseamnă cel mai mic multiplu comun: cel mai mic număr natural nenul care se împarte exact la fiecare dintre numerele date. Se notează cu paranteze drepte, de exemplu $[12,18]=36$.

Cum calculez c.m.m.m.c. prin descompunere în factori primi? Descompui fiecare număr în factori primi, apoi iei toți factorii primi care apar (în oricare număr), fiecare la puterea cea mai mare cu care apare, și îi înmulțești. De exemplu, din $12=2^2\cdot 3$ și $18=2\cdot 3^2$ obții $[12,18]=2^2\cdot 3^2=36$.

Care este diferența dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.? La c.m.m.d.c. iei doar factorii primi comuni, la puterea cea mai mică, și obții un divizor comun. La c.m.m.m.c. iei toți factorii primi, la puterea cea mai mare, și obții un multiplu comun. Pe scurt: c.m.m.d.c. = comun și minim, c.m.m.m.c. = tot și maxim.

De ce iau puterea cea mai mare, nu cea mai mică? Pentru ca rezultatul să fie multiplu al fiecărui număr, el trebuie să conțină destui factori pentru cel mai „pretențios" dintre ele. Dacă ai lua puterea mai mică, numărul nu s-ar mai împărți exact la numărul care cerea puterea mai mare.

Poate fi c.m.m.m.c. mai mic decât numerele date? Nu. C.m.m.m.c. este întotdeauna mai mare sau egal cu fiecare dintre numere, fiindcă trebuie să fie multiplu al lor. Este egal cu numărul mai mare doar atunci când numărul mic îl divide pe cel mare, de exemplu $[6,12]=12$.

Cum folosesc c.m.m.m.c. la fracții? Când aduni sau compari fracții cu numitori diferiți, le aduci la același numitor, iar cel mai potrivit numitor comun este c.m.m.m.c. al numitorilor. Astfel lucrezi cu cele mai mici numere posibile. De exemplu, pentru $\frac{1}{12}+\frac{1}{18}$ folosești numitorul comun $36$.

Cât face c.m.m.m.c. dacă numerele nu au factori comuni? Dacă numerele sunt prime între ele (nu au niciun factor prim comun), c.m.m.m.c. este chiar produsul lor. De exemplu, $[8,15]=8\cdot 15=120$, fiindcă $8=2^3$ și $15=3\cdot 5$ nu au factori comuni.

Cum recunosc o problemă care se rezolvă cu c.m.m.m.c.? Caută situații în care două sau mai multe evenimente se repetă regulat și întrebarea este „peste cât timp se întâmplă din nou simultan?" sau „când se aliniază prima dată?". Acolo răspunsul este c.m.m.m.c. al perioadelor, ca la autobuzele care pleacă din $12$ și din $18$ minute și se reîntâlnesc după $36$ de minute.