Care este relația corectă între $$13^4$$ și $$13^9$$?

nu se poate stabili fără să calculezi ambele puteri

Care este relația corectă între $$6^5$$ și $$11^5$$?

nu se poate stabili fără să calculezi ambele puteri

Care este relația corectă între $$8^3$$ și $$8^7$$?

nu se poate stabili fără să calculezi ambele puteri

Cum estimez mărimea lui 5⁶ fără să calculez tot?

Mergi pe pași cunoscuți: 5² = 25, deci 5⁴ înseamnă 25 · 25 = 625, iar 5⁶ adaugă încă doi factori de 5, adică încă un 25. Rezultă 625 · 25, undeva peste cincisprezece mii.

Cum compar două puteri fără să le calculez?

Lecția pe scurt · clasa a V-a · Compararea puterilor: regulile de bază

Când bazele coincid și trec de 1, câștigă puterea cu exponentul mai mare: $6^{3} < 6^{7}$ . Când exponenții coincid și nu sunt zero, câștigă puterea cu baza mai mare: $4^{5} < 9^{5}$ . Când nu coincide nimic, aduci ambele la aceeași bază sau la același exponent. Așa, $9^{4}$ se scrie $(3^{2})^{4} = 3^{8}$ , iar comparația cu $3^{7}$ devine imediată, fiindcă $8 > 7$ .

Ca să comparăm două puteri nu trebuie mereu să le calculăm. Există trei situații:

Aceeași bază (mai mare ca $1$ ): câștigă puterea cu exponentul mai mare. Exemplu: $6^{3} < 6^{7}$ , pentru că $3 < 7$ .
Același exponent (diferit de $0$ ): câștigă puterea cu baza mai mare. Exemplu: $4^{5} < 9^{5}$ , pentru că $4 < 9$ .
Bază și exponent diferite: aducem puterile la aceeași bază sau la același exponent, folosind regula $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ , apoi aplicăm una dintre regulile de mai sus.

Exemplu rezolvat: comparăm $9^{4}$ și $3^{7}$ . Scriem $9 = 3^{2}$ , deci $9^{4} = (3^{2})^{4} = 3^{8}$ . Acum ambele au baza $3$ : cum $8 > 7$ , rezultă $9^{4} > 3^{7}$ . Atenție: două puteri scrise diferit pot fi și egale, așa că verifică mereu și acest caz înainte să pui semnul $<$ sau $>$ .

De reținut

aceeași bază peste 1 → decide exponentul mai mare
același exponent nenul → decide baza mai mare
altfel aduci la aceeași bază, folosind $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$

Greșeala tipică

Se compară numai bazele sau numai exponenții, ignorând ce se întâmplă cu celălalt. Din $2^{10} > 1 0^{2}$ se vede că o bază mică poate învinge, dacă exponentul ei este destul de mare.

Exerciții din această mini-lecție

Care este relația corectă între $1 3^{4}$ și $1 3^{9}$ ?
- a) $1 3^{4} < 1 3^{9}$
- b) $1 3^{4} > 1 3^{9}$
- c) $1 3^{4} = 1 3^{9}$
- d) nu se poate stabili fără să calculezi ambele puteri
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $1 3^{4} < 1 3^{9}$

Cele două puteri au aceeași bază, $13$ , care este mai mare ca $1$ . Se aplică Regula 1: câștigă exponentul mai mare. Cum $9 > 4$ , rezultă $1 3^{4} < 1 3^{9}$ , fără să fie nevoie de niciun calcul.
Care este relația corectă între $6^{5}$ și $1 1^{5}$ ?
- a) $6^{5} < 1 1^{5}$
- b) $6^{5} > 1 1^{5}$
- c) $6^{5} = 1 1^{5}$
- d) nu se poate stabili fără să calculezi ambele puteri
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $6^{5} < 1 1^{5}$

Cele două puteri au același exponent, $5$ , care este diferit de $0$ . Se aplică Regula 2: câștigă baza mai mare. Cum $11 > 6$ , rezultă $6^{5} < 1 1^{5}$ .
Care este relația corectă între $8^{3}$ și $8^{7}$ ?
- a) $8^{3} < 8^{7}$
- b) $8^{3} > 8^{7}$
- c) $8^{3} = 8^{7}$
- d) nu se poate stabili fără să calculezi ambele puteri
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $8^{3} < 8^{7}$

Cele două puteri au aceeași bază, $8$ , care este mai mare ca $1$ . Se aplică Regula 1: câștigă exponentul mai mare. Cum $7 > 3$ , rezultă $8^{3} < 8^{7}$ , fără să fie nevoie de niciun calcul.

Întrebări conexe

Care e mai mare, $2^{10}$ sau $1 0^{2}$ ?

Prima, și cu mult. Zece factori de 2 dau 1024, pe când doi factori de 10 dau doar 100. Exponentul cântărește mai greu decât baza atunci când crește, chiar dacă la prima vedere numărul 10 pare impunător.

Cum compar $2^{100}$ cu $3^{100}$ fără calcule?

Exponenții fiind egali, decide baza. Fiindcă $2 < 3$ , rezultă că prima putere este mai mică. Numerele acestea au zeci de cifre și nu se pot scrie complet, dar regula dă răspunsul dintr-o privire.

Ce se întâmplă la baza 1 sau la baza 0?

Aceste baze strică regula obișnuită. Baza 1 dă mereu 1, oricât de mare ar fi exponentul, iar baza 0 dă mereu 0 pentru exponenți nenuli. De aceea regula exponentului mai mare cere o bază care depășește 1.

Cum compar o putere cu un număr obișnuit?

Scrii numărul ca putere a aceleiași baze, dacă se poate. Pentru $2^{5}$ față de 30 observi că $32 > 30$ . Când numărul nu se lasă scris astfel, calculezi puterea și compari direct cele două valori.

Cum estimez mărimea lui $5^{6}$ fără să calculez tot?

Mergi pe pași cunoscuți: $5^{2} = 25$ , deci $5^{4}$ înseamnă $25 \cdot 25 = 625$ , iar $5^{6}$ adaugă încă doi factori de 5, adică încă un 25. Rezultă $625 \cdot 25$ , undeva peste cincisprezece mii.

Puterile cresc mai repede decât înmulțirea?

Da, mult mai repede. Înmulțind 2 cu 10 obții 20, dar ridicând 2 la puterea 10 ajungi la 1024. La înmulțire numărul crește cu câte doi la fiecare pas, în timp ce la putere el se dublează, deci saltul se face din ce în ce mai mare.

Oamenii mai întreabă și: compararea puterilor · care putere este mai mare · cum compar puteri cu aceeași bază · cum compar puteri cu același exponent

Cum compar două puteri fără să le calculez?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Care e mai mare, 210 sau 102?

Cum compar 2100 cu 3100 fără calcule?

Ce se întâmplă la baza 1 sau la baza 0?

Cum compar o putere cu un număr obișnuit?

Cum estimez mărimea lui 56 fără să calculez tot?

Puterile cresc mai repede decât înmulțirea?

Continuă cu

Care e mai mare, $2^{10}$ sau $1 0^{2}$ ?

Cum compar $2^{100}$ cu $3^{100}$ fără calcule?

Cum estimez mărimea lui $5^{6}$ fără să calculez tot?