Compararea puterilor

Știi deja să calculezi o putere și să folosești regulile de înmulțire și împărțire a puterilor. Acum facem un pas mai departe: nu vrem neapărat să calculăm o putere, ci doar să decidem care dintre două puteri este mai mare. De multe ori numerele sunt uriașe, iar a le calcula ar dura mult — dar, cu câteva reguli inteligente, putem compara rapid puteri precum $2^{30}$ și $4^{15}$ fără să scriem niciun calcul lung. În această lecție despre compararea puterilor clasa 5 vei descoperi exact aceste trucuri.

Ce vei învăța

• Vei ști să compari două puteri cu aceeași bază, privind doar exponentul.
• Vei ști să compari două puteri cu același exponent, privind doar baza.
• Vei ști să aduci puterile la aceeași bază sau la același exponent ca să le poți compara.
• Vei ști să folosești corect semnele $<$, $>$ și $=$ între puteri.
• Vei ști să ordonezi mai multe puteri, de la cea mai mică la cea mai mare.

Hai să descoperim împreună

Ce înseamnă „a compara" două puteri

A compara două numere înseamnă a stabili o relație între ele cu unul dintre semnele:

• $<$ se citește „mai mic decât";
• $>$ se citește „mai mare decât";
• $=$ se citește „egal cu".

De pildă, $7<12$, $20>5$, $9=9$. La fel facem și cu puterile: punem semnul potrivit între ele. Diferența e că o putere ascunde un număr mai mare. De exemplu, $2^5$ nu este „doi" și nici „cinci" — este $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32$. Așadar, când compar $2^5$ cu $30$, compar de fapt $32$ cu $30$ și scriu $2^5>30$.

Cea mai sigură metodă de comparare este, întotdeauna, să calculezi cele două puteri și să compari rezultatele. Acesta este planul de rezervă care nu dă greș niciodată. Problema apare când puterile sunt mari: cine vrea să calculeze $5^{12}$? De aceea învățăm reguli care ne lasă să comparăm fără să calculăm. Hai să le descoperim una câte una.

Cazul 1: puteri cu aceeași bază

Să ne uităm la un șir de puteri ale lui $2$:

$$2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32,2^6=64.$$

Observi ceva? Pe măsură ce exponentul crește, și rezultatul crește. Are sens: de fiecare dată când mărim exponentul cu $1$, înmulțim încă o dată cu $2$, deci numărul devine mai mare. La fel se întâmplă cu puterile lui $3$, ale lui $5$ sau ale oricărui număr mai mare ca $1$.

De aici prima regulă, una dintre cele mai folositoare:

Regula 1 (aceeași bază). Dacă două puteri au aceeași bază, mai mare ca $1$, atunci este mai mare puterea cu exponentul mai mare.

Pe scurt: aceeași bază $\Rightarrow$ câștigă exponentul mai mare.

Exemple rapide:

• $3^4$ și $3^7$ au aceeași bază ($3$). Exponentul mai mare este $7$, deci $3^4<3^7$.
• $10^5$ și $10^2$ au aceeași bază ($10$). Cum $5>2$, avem $10^5>10^2$.
• $5^9$ și $5^9$ au aceeași bază și același exponent, deci $5^9=5^9$.

Atenție la o capcană: regula spune „bază mai mare ca $1$". De ce? Pentru că baza $1$ se poartă altfel: $1^2=1$, $1^5=1$, $1^{100}=1$. Indiferent de exponent, $1$ la orice putere rămâne $1$. Deci $1^3=1^8$, nu $1^3<1^8$. La baza $1$, exponentul nu mai contează. La fel, $0^2=0$ și $0^5=0$. Din fericire, în problemele de clasa a V-a baza este aproape mereu un număr mai mare ca $1$, așa că Regula 1 funcționează liniștit. Dar e bine să cunoști excepția.

Cazul 2: puteri cu același exponent

Acum schimbăm jocul. Să fixăm exponentul $3$ și să schimbăm baza:

$$2^3=8,3^3=27,4^3=64,5^3=125.$$

Ce observi? Cu cât baza este mai mare, cu atât rezultatul este mai mare. Și aici are sens: $4^3$ înseamnă $4\cdot 4\cdot 4$, iar $2^3$ înseamnă $2\cdot 2\cdot 2$ — înmulțim de tot atâtea ori (de trei ori), dar cu un număr mai mare, deci obținem un rezultat mai mare.

A doua regulă:

Regula 2 (același exponent). Dacă două puteri au același exponent (diferit de $0$), atunci este mai mare puterea cu baza mai mare.

Pe scurt: același exponent $\Rightarrow$ câștigă baza mai mare.

Exemple rapide:

• $4^5$ și $7^5$ au același exponent ($5$). Baza mai mare este $7$, deci $4^5<7^5$.
• $9^2$ și $6^2$ au același exponent ($2$). Cum $9>6$, avem $9^2>6^2$.
• $8^4=8^4$, evident.

O notiță despre exponentul $0$: îți amintești că orice număr nenul ridicat la puterea $0$ dă $1$? Adică $3^0=1$, $7^0=1$, $50^0=1$. Deci dacă exponentul este $0$, toate puterile (cu baze nenule) sunt egale cu $1$, oricât de mare ar fi baza. De aceea Regula 2 cere ca exponentul să fie diferit de $0$.

Cazul 3: când nu se potrivesc nici baza, nici exponentul

Aici e partea cea mai interesantă. Ce facem cu $2^{10}$ și $4^4$? Bazele sunt diferite ($2$ și $4$) și exponenții sunt diferiți ($10$ și $4$). Niciuna dintre primele două reguli nu se aplică direct.

Ideea genială este să transformăm una sau ambele puteri ca să ajungem fie la aceeași bază, fie la același exponent. Atunci putem aplica Regula 1 sau Regula 2.

Pentru asta folosim ceea ce ai învățat la lecția despre puterea unei puteri: regula $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$. Cu ea putem rescrie o putere ca să-i schimbăm baza.

Metoda A — aducerea la aceeași bază. Căutăm o bază comună, de obicei cea mai mică. La $2^{10}$ și $4^4$, observăm că $4=2^2$. Atunci:

$$4^4=(2^2{)}^4=2^{2\cdot 4}=2^8.$$

Acum compar $2^{10}$ cu $2^8$. Au aceeași bază! După Regula 1, cum $10>8$, rezultă $2^{10}>2^8$, adică:

$$2^{10}>4^4.$$

Hai să verificăm: $2^{10}=1024$ și $4^4=256$. Într-adevăr, $1024>256$. Regula a funcționat perfect și fără să fi avut nevoie de calcule lungi.

Metoda B — aducerea la același exponent. Uneori e mai ușor să egalăm exponenții. Comparăm $2^6$ cu $3^4$. Bazele $2$ și $3$ nu pot fi scrise una ca putere a celeilalte, deci aducerea la aceeași bază e grea. În schimb, observăm că $6=2\cdot 3$ și $4=2\cdot 2$ — amândoi exponenții au factorul comun $2$. Scriem ambele puteri ca un „pătrat", adică cu exponentul $2$:

$$2^6=(2^3{)}^2=8^2,3^4=(3^2{)}^2=9^2.$$

Acum compar $8^2$ cu $9^2$. Au același exponent! După Regula 2, cum $9>8$, rezultă $9^2>8^2$, adică:

$$3^4>2^6.$$

Verificare: $3^4=81$ și $2^6=64$. Da, $81>64$.

Cum alegi metoda? Întreabă-te:

• Pot scrie o bază ca putere a celeilalte (de exemplu $4=2^2$, $8=2^3$, $9=3^2$, $27=3^3$)? Dacă da, folosește Metoda A (aceeași bază).
• Dacă nu, uită-te la exponenți: au un factor comun (ca $6$ și $4$ care au factorul $2$)? Atunci folosește Metoda B (același exponent).
• Dacă numerele sunt mici, poți oricând să calculezi direct — e cea mai sigură cale.

Ordonarea mai multor puteri

Uneori avem de aranjat trei sau mai multe puteri în ordine crescătoare (de la mică la mare) sau descrescătoare (de la mare la mică). Trucul este să le aducem pe toate la aceeași bază sau la același exponent, iar apoi doar comparăm exponenții, respectiv bazele.

De exemplu, să ordonăm crescător $2^9$, $4^3$ și $8^4$. Toate bazele sunt puteri ale lui $2$: $4=2^2$, $8=2^3$. Aducem la baza $2$:

$$2^9=2^9,4^3=(2^2{)}^3=2^6,8^4=(2^3{)}^4=2^{12}.$$

Acum compar exponenții: $6<9<12$. Deci $2^6<2^9<2^{12}$, adică ordinea crescătoare este:

$$4^3<2^9<8^4.$$

Vezi cât de elegant? Nu am calculat niciun număr mare, am comparat doar trei exponenți.

Un truc de orientare: câte cifre are numărul?

Uneori vrei doar o idee rapidă despre cât de mare este o putere, fără să compari cu alta. Aici ajută puterile lui $10$. Știi din lecția despre puterile lui 10 că $10^1=10$, $10^2=100$, $10^3=1000$ și așa mai departe. Un număr între $10^2$ și $10^3$ are exact $3$ cifre. Așa poți „prinde" mărimea unei puteri.

De exemplu, $2^9=512$ este între $10^2=100$ și $10^3=1000$, deci este un număr de $3$ cifre. Iar $2^{10}=1024$ trece de $1000$, deci are $4$ cifre. Dacă două puteri au un număr diferit de cifre, cea cu mai multe cifre este, evident, mai mare — un mic control de bun-simț pe care îl poți folosi ca verificare.

Acest truc nu înlocuiește regulile, dar e o plasă de siguranță: dacă, după ce ai aplicat o regulă, rezultatul tău spune că un număr de $4$ cifre e mai mic decât unul de $2$ cifre, sigur ai greșit pe undeva.

Câteva valori utile de știut pe de rost

Compararea puterilor merge mult mai repede dacă reții câteva puteri mici. Ține-le aproape:

• Puterile lui $2$: $2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024$ (de la $2^1$ la $2^{10}$).
• Puterile lui $3$: $3,9,27,81,243,729$ (de la $3^1$ la $3^6$).
• Pătrate: $4,9,16,25,36,49,64,81,100$.
• Cuburi: $8,27,64,125,216,343,512,729,1000$.

Aceste numere apar tot timpul. De exemplu, dacă vezi $64$, e bine să știi că este și $2^6$, și $4^3$, și $8^2$ — un adevărat „număr-camaleon" care îți poate ajuta să găsești baza comună.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — aceeași bază

Compară $7^5$ și $7^8$.

Ambele puteri au baza $7$, care este mai mare ca $1$. Aplicăm Regula 1: câștigă exponentul mai mare. Cum $5<8$, rezultă:

$$7^5<7^8.$$

Nu a fost nevoie de niciun calcul — am privit doar exponenții.

Exemplul 2 — același exponent

Compară $6^4$ și $9^4$.

Ambele puteri au exponentul $4$. Aplicăm Regula 2: câștigă baza mai mare. Cum $6<9$, rezultă:

$$6^4<9^4.$$

Verificare opțională: $6^4=1296$ și $9^4=6561$. Într-adevăr, $1296<6561$.

Exemplul 3 — aducere la aceeași bază

Compară $8^3$ și $4^5$.

Bazele sunt $8$ și $4$, amândouă puteri ale lui $2$: $8=2^3$ și $4=2^2$. Aducem la baza $2$:

$$8^3=(2^3{)}^3=2^9,4^5=(2^2{)}^5=2^{10}.$$

Acum avem aceeași bază. Cum $9<10$, după Regula 1:

$$2^9<2^{10},\text{adica˘}{8}^3<4^5.$$

Verificare: $8^3=512$ și $4^5=1024$. Da, $512<1024$.

Exemplul 4 — aducere la același exponent

Compară $2^{12}$ și $5^4$.

Bazele $2$ și $5$ nu se scriu una ca putere a celeilalte, deci nu mergem pe aceeași bază. Ne uităm la exponenți: $12$ și $4$ au factorul comun $4$. Aducem ambele la exponentul $4$:

$$2^{12}=(2^3{)}^4=8^4,5^4=5^4.$$

Acum avem același exponent. Cum $8>5$, după Regula 2:

$$8^4>5^4,\text{adica˘}{2}^{12}>5^4.$$

Verificare: $2^{12}=4096$ și $5^4=625$. Da, $4096>625$.

Exemplul 5 — două puteri egale

Compară $4^6$ și $8^4$.

Bazele $4$ și $8$ sunt puteri ale lui $2$: $4=2^2$, $8=2^3$. Aducem la baza $2$:

$$4^6=(2^2{)}^6=2^{12},8^4=(2^3{)}^4=2^{12}.$$

Aceeași bază și același exponent! Deci puterile sunt egale:

$$4^6=8^4.$$

Verificare: ambele dau $4096$. Iată un exemplu în care semnul potrivit este $=$, nu $<$ sau $>$. Fii mereu atent — uneori două puteri cu aspect diferit ascund același număr.

Exemplul 6 — ordonare crescătoare

Ordonează crescător: $9^2$, $3^5$ și $27^1$.

Toate bazele sunt puteri ale lui $3$: $9=3^2$, $27=3^3$. Aducem la baza $3$:

$$9^2=(3^2{)}^2=3^4,3^5=3^5,27^1=3^3.$$

Comparăm exponenții: $3<4<5$. Deci $3^3<3^4<3^5$, adică ordinea crescătoare este:

$$27^1<9^2<3^5.$$

Verificare: $27^1=27$, $9^2=81$, $3^5=243$. Într-adevăr, $27<81<243$.

Exemplul 7 — alegere isteață a metodei

Compară $16^3$ și $4^5$.

Privim bazele: $16$ și $4$ sunt amândouă puteri ale lui $2$ ($16=2^4$, $4=2^2$), dar și ale lui... ei bine, $16=4^2$. Cel mai simplu e să aducem la baza $4$, fiindcă $16=4^2$:

$$16^3=(4^2{)}^3=4^6,4^5=4^5.$$

Aceeași bază. Cum $6>5$, după Regula 1:

$$4^6>4^5,\text{adica˘}16^3>4^5.$$

Verificare: $16^3=4096$ și $4^5=1024$. Da, $4096>1024$. Observă cum alegerea unei baze potrivite ($4$ în loc de $2$) a scurtat mult lucrul.

Exemplul 8 — comparare cu un număr obișnuit

Compară $3^4$ cu $80$.

Aici una dintre „puteri" este de fapt un număr obișnuit. Cel mai simplu e să calculăm puterea: $3^4=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81$. Acum comparăm $81$ cu $80$:

$$3^4>80,\text{pentru ca˘}81>80.$$

Reține: când compari o putere cu un număr simplu, calculezi puterea și gata. Nu există reguli speciale aici — doar atenția la calcul.

Exemplul 9 — aducere la același exponent prin factor comun

Compară $2^9$ și $3^6$.

Bazele $2$ și $3$ nu se scriu una ca putere a celeilalte, deci nu putem merge pe „aceeași bază". Ne uităm la exponenți: $9$ și $6$ au factorul comun $3$ (fiindcă $9=3\cdot 3$ și $6=2\cdot 3$). Aducem ambele puteri la exponentul $3$:

$$2^9=(2^3{)}^3=8^3,3^6=(3^2{)}^3=9^3.$$

Acum avem același exponent. Cum $9>8$, după Regula 2:

$$9^3>8^3,\text{adica˘}{3}^6>2^9.$$

Verificare: $3^6=729$ și $2^9=512$. Da, $729>512$. Observă cum am ales exponentul comun $3$ pentru că este cel mai mare divizor comun al lui $9$ și $6$ — așa obținem baze cât mai mici și mai ușor de comparat.

Exemplul 10 — ordonare cu baze diferite, dar înrudite

Ordonează crescător: $25^2$, $5^5$ și $125^1$.

Toate bazele sunt puteri ale lui $5$: $25=5^2$ și $125=5^3$. Aducem la baza $5$:

$$25^2=(5^2{)}^2=5^4,5^5=5^5,125^1=5^3.$$

Comparăm exponenții: $3<4<5$. Deci $5^3<5^4<5^5$, adică ordinea crescătoare este:

$$125^1<25^2<5^5.$$

Verificare: $125^1=125$, $25^2=625$, $5^5=3125$. Într-adevăr, $125<625<3125$.

Un algoritm în patru pași

Ori de câte ori ai de comparat două puteri, parcurge în minte aceste patru întrebări, în ordine:

1. Bazele sunt egale? Dacă da, compari doar exponenții (Regula 1) — gata.
2. Exponenții sunt egali? Dacă da, compari doar bazele (Regula 2) — gata.
3. Pot scrie o bază ca putere a celeilalte, sau ambele ca puteri ale unui număr comun? (de exemplu $4=2^2$, $8=2^3$, $9=3^2$, $25=5^2$). Dacă da, adu la aceeași bază și treci la pasul 1.
4. Au exponenții un factor comun? (ca $9$ și $6$, care au factorul $3$). Dacă da, adu la același exponent și treci la pasul 2.

Dacă niciun pas nu se potrivește — sau dacă numerele sunt destul de mici — calculează direct ambele puteri și compară rezultatele. Acesta este planul de rezervă care nu dă greș niciodată.

Să exersăm

Rezolvă cu atenție. Acolo unde poți, folosește regulile în loc să calculezi numere mari. Compară celelalte verificând prin calcul.

1. Pune semnul potrivit ($<$, $>$ sau $=$): $5^3\square 5^6$.

2. Pune semnul potrivit: $4^7\square 9^7$.

3. Pune semnul potrivit: $2^8\square 2^5$.

4. Pune semnul potrivit: $10^4\square 6^4$.

5. Adevărat sau fals: „$3^{10}>3^{12}$".

6. Adevărat sau fals: „$7^4<7^4$".

7. Completează cu un exponent natural astfel încât relația să fie adevărată: $2^5<2^{\square }$ (dă un exemplu).

8. Compară aducând la aceeași bază: $2^{10}\square 4^4$.

9. Compară aducând la aceeași bază: $9^3\square 27^2$.

10. Compară aducând la același exponent: $2^6\square 3^4$.

11. Compară: $4^6\square 8^4$. (Atenție: ar putea fi egale!)

12. Încercuiește puterea mai mare: $5^4$ sau $3^6$. (Indicație: calculează amândouă.)

13. Ordonează crescător: $2^7,4^2,8^3$.

14. Ordonează descrescător: $3^4,9^3,27^1$.

15. Potrivește fiecare putere din coloana stângă cu valoarea ei din coloana dreaptă:

• a) $2^5$
• b) $3^3$
• c) $5^2$
• d) $10^2$

valori: $25,27,32,100$.

16. Mică problemă. Andrei spune că $2^{20}$ este mai mare decât $4^{10}$. Are dreptate? Justifică aducând la aceeași bază.

17. Mică problemă. O bacterie se dublează în fiecare oră. După $6$ ore sunt $2^6$ bacterii într-un vas, iar în alt vas, după $4$ ore, sunt $3^4$ bacterii. În care vas sunt mai multe bacterii? (Compară $2^6$ cu $3^4$.)

18. Provocare. Fără să calculezi numerele mari, compară $2^{30}$ și $4^{15}$. Ce observi?

19. Compară aducând la aceeași bază: $16^3\square 8^4$.

20. Adevărat sau fals: „$25^2=5^4$". Justifică.

21. Provocare de ordonare. Ordonează crescător: $4^3,2^5,8^2,16^1$. (Indicație: adu-le pe toate la baza $2$.)

22. Compară aducând la același exponent: $2^9\square 3^6$. (Indicație: exponenții $9$ și $6$ au factorul comun $3$.)

23. Ordonează crescător: $125^1,25^2,5^5$. (Indicație: toate bazele sunt puteri ale lui $5$.)

24. Adevărat sau fals: „$2^{15}=8^5$". Justifică aducând la aceeași bază.

Răspunsuri și explicații

1. $5^3<5^6$. Aceeași bază $5$; câștigă exponentul mai mare ($6>3$). (Verificare: $125<15625$.)

2. $4^7<9^7$. Același exponent $7$; câștigă baza mai mare ($9>4$).

3. $2^8>2^5$. Aceeași bază $2$; $8>5$. (Verificare: $256>32$.)

4. $10^4>6^4$. Același exponent $4$; baza mai mare e $10$. (Verificare: $10000>1296$.)

5. Fals. Aceeași bază $3$; cum $10<12$, de fapt $3^{10}<3^{12}$.

6. Fals. $7^4$ este egal cu $7^4$, deci relația corectă este $7^4=7^4$, nu „mai mic".

7. Orice exponent mai mare ca $5$ merge: de exemplu $2^5<2^6$ (sau $2^7$, $2^{10}$ etc.). Aceeași bază, deci e suficient un exponent mai mare ca $5$.

8. $2^{10}>4^4$. Aducem: $4^4=(2^2{)}^4=2^8$. Cum $10>8$, avem $2^{10}>2^8$. (Verificare: $1024>256$.)

9. $9^3=27^2$. Aducem la baza $3$: $9^3=(3^2{)}^3=3^6$ și $27^2=(3^3{)}^2=3^6$. Exponenți egali $\Rightarrow$ puteri egale. (Verificare: ambele dau $729$.)

10. $2^6<3^4$. Aducem la exponentul $2$: $2^6=(2^3{)}^2=8^2$ și $3^4=(3^2{)}^2=9^2$. Cum $8<9$, avem $8^2<9^2$. (Verificare: $64<81$.)

11. $4^6=8^4$. Aducem la baza $2$: $4^6=2^{12}$ și $8^4=2^{12}$. Sunt egale. (Verificare: ambele dau $4096$.)

12. Mai mare este $3^6$. Calcul: $5^4=625$, $3^6=729$. Cum $729>625$, încercuiește $3^6$.

13. Crescător: $4^2<2^7<8^3$. Aducem la baza $2$: $4^2=2^4$, $2^7=2^7$, $8^3=2^9$. Cum $4<7<9$, ordinea e $4^2<2^7<8^3$. (Verificare: $16<128<512$.)

14. Descrescător: $3^4>9^3>27^1$? Verificăm cu baza $3$: $3^4=3^4$, $9^3=(3^2{)}^3=3^6$, $27^1=3^3$. Comparăm exponenții: $6>4>3$, deci $9^3>3^4>27^1$. Ordinea descrescătoare corectă este $9^3>3^4>27^1$. (Verificare: $729>81>27$.)

15. a) $2^5=32$; b) $3^3=27$; c) $5^2=25$; d) $10^2=100$.

16. Nu, Andrei nu are dreptate. Aducem la aceeași bază: $4^{10}=(2^2{)}^{10}=2^{20}$. Deci $2^{20}$ și $4^{10}$ sunt egale, nu „una mai mare ca cealaltă". Afirmația lui Andrei, că $2^{20}$ este mai mare decât $4^{10}$, este falsă — corect este $2^{20}=4^{10}$. (Verificare: ambele dau $1048576$.)

17. Vasul al doilea, cu $3^4$ bacterii. Comparăm $2^6$ cu $3^4$: la exponentul $2$, $2^6=8^2=64$ și $3^4=9^2=81$, deci $2^6<3^4$. În primul vas sunt $64$ de bacterii, în al doilea $81$ — al doilea vas are mai multe.

18. Sunt egale: $4^{15}=(2^2{)}^{15}=2^{30}$. Deci $2^{30}=4^{15}$. Observația este că aceeași valoare poate fi scrisă în două feluri.

19. $16^3=8^4$. Aducem la baza $2$: $16^3=(2^4{)}^3=2^{12}$ și $8^4=(2^3{)}^4=2^{12}$. Exponenți egali $\Rightarrow$ puteri egale. (Verificare: ambele dau $4096$.)

20. Adevărat. $25=5^2$, deci $25^2=(5^2{)}^2=5^4$. Cele două puteri sunt egale (ambele $625$).

21. Crescător: $16^1<2^5<4^3=8^2$. La baza $2$: $4^3=2^6$, $2^5=2^5$, $8^2=2^6$, $16^1=2^4$. Comparăm exponenții: $4<5<6=6$. Deci $16^1<2^5<4^3=8^2$. (Verificare: $16<32<64=64$.) Observă că $4^3$ și $8^2$ sunt egale.

22. $2^9<3^6$. Aducem la exponentul $3$: $2^9=(2^3{)}^3=8^3$ și $3^6=(3^2{)}^3=9^3$. Cum $8<9$, avem $8^3<9^3$. (Verificare: $512<729$.)

23. Crescător: $125^1<25^2<5^5$. Aducem la baza $5$: $125^1=5^3$, $25^2=(5^2{)}^2=5^4$, $5^5=5^5$. Cum $3<4<5$, ordinea e $125^1<25^2<5^5$. (Verificare: $125<625<3125$.)

24. Adevărat. Aducem la baza $2$: $8^5=(2^3{)}^5=2^{15}$. Deci $2^{15}=8^5$ — cele două puteri sunt egale. (Verificare: ambele dau $32768$.)

De reținut

• Aceeași bază (mai mare ca $1$): este mai mare puterea cu exponentul mai mare. Exemplu: $2^7>2^4$.
• Același exponent (nenul): este mai mare puterea cu baza mai mare. Exemplu: $5^3>2^3$.
• Când nu se potrivesc nici baza, nici exponentul, aduci puterile la aceeași bază (folosind $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$) sau la același exponent, apoi aplici una dintre cele două reguli.
• Foloseam corect semnele $<$, $>$, $=$ — și nu uita că două puteri cu aspect diferit pot fi egale (de exemplu $4^6=8^4$).
• Planul de rezervă care nu dă greș: calculează ambele puteri și compară rezultatele.

Greșeli frecvente

• Confuzia „mai mare exponent = mai mare număr, mereu". Asta e adevărat doar dacă bazele sunt egale. Când bazele diferă, exponentul mai mare poate chiar să piardă: de exemplu $2^{10}=1024$, dar $3^7=2187$, deci $2^{10}<3^7$ — deși $2^{10}$ are exponentul mai mare ($10>7$). Concluzie: nu te poți baza doar pe exponent dacă bazele nu coincid. Verifică întâi dacă baza sau exponentul coincid, abia apoi aplică o regulă.
• Compararea „pe ochi" a bazei și exponentului separat. Unii elevi spun „$2^{10}$ are baza mai mică, deci e mai mic". Greșit: baza mai mică poate fi compensată de un exponent mult mai mare. Adu la aceeași bază sau la același exponent înainte de a decide.
• Uitarea cazului de egalitate. Nu pune automat $<$ sau $>$. Verifică dacă nu cumva puterile sunt egale, ca la $9^3=27^2$ sau $4^6=8^4$.
• Greșeli la „puterea unei puteri". Când scrii $4^4=(2^2{)}^4$, exponenții se înmulțesc: $2\cdot 4=8$, deci $2^8$ — nu se adună. Reciteste lecția puterea unei puteri și puterea unui produs dacă ai dubii.

Joc acasă

1. Cărțile-putere. Scrie pe bilețele puteri precum $2^5$, $4^3$, $8^2$, $2^6$, $3^4$, $9^2$. Pe spatele fiecăruia scrie valoarea (de exemplu $32$ pe spatele lui $2^5$). Amestecă bilețelele și trage câte două. Înainte să întorci spatele, ghicește care e mai mare folosind regulile. Apoi întoarce și verifică. Un punct pentru fiecare ghiceală corectă.

2. Cursa la aceeași bază. Cu un coleg sau părinte, alegeți pe rând câte o pereche de puteri cu bazele $2,4,8$ (de exemplu $4^5$ și $8^3$). Cine aduce primul ambele puteri la baza $2$ și spune corect semnul $<$, $>$ sau $=$, câștigă runda. Jucați cinci runde.

3. Scara puterilor. Ia o foaie și desenează o scară cu $6$ trepte. Pe fiecare treaptă, de jos în sus, așază câte o putere din lista $4^2,2^5,8^2,2^7,4^4,8^3$, astfel încât valorile să crească de la prima la ultima treaptă. Verifică aducându-le pe toate la baza $2$.

Pentru părinți și învățători

Această lecție consolidează regulile de calcul cu puteri învățate anterior și le folosește într-un context nou: decizia rapidă „care e mai mare", fără calcul greoi. Iată cum poți sprijini elevul:

• Pornește de la concret. Cereți-i să calculeze câteva puteri mici ($2^3,2^4,2^5$) și să observe singur că, la aceeași bază, crește odată cu exponentul. Descoperirea proprie se reține mai bine decât regula dictată.
• Întrebări-cheie de pus: „Bazele sunt egale sau diferite?", „Exponenții sunt egali sau diferiți?", „Pot scrie o bază ca putere a celeilalte?", „Ai verificat dacă nu cumva sunt egale?". Aceste patru întrebări acoperă întreaga strategie.
• Insistă pe (a^m)^n = a^{m·n}. Multe erori vin de aici: elevii adună exponenții în loc să-i înmulțească. O scurtă verificare numerică ($(2^2{)}^3=4^3=64=2^6$) clarifică imediat.
• Cum verifici că a înțeles: dă-i o pereche „capcană" cu rezultat egal, de pildă $4^6$ și $8^4$, sau $9^3$ și $27^2$. Dacă pune semnul $=$ și justifică prin aducere la aceeași bază, a înțeles cu adevărat ideea.
• Încurajează verificarea prin calcul. Pentru numere mici, calcularea ambelor puteri rămâne cea mai sigură metodă și îi dă elevului încredere că regulile chiar funcționează.

Întrebări frecvente

Cum compar două puteri cu aceeași bază la clasa a 5-a?
Dacă baza este aceeași și mai mare ca $1$, compari doar exponenții: puterea cu exponentul mai mare este mai mare. De exemplu, $2^8>2^5$ pentru că $8>5$. Nu mai e nevoie să calculezi numerele.

Cum compar două puteri cu același exponent?
Compari bazele: puterea cu baza mai mare este mai mare, dacă exponentul este același și diferit de zero. De exemplu, $7^4>4^4$ pentru că $7>4$.

Ce fac dacă puterile au și baze diferite, și exponenți diferiți?
Le aduci la aceeași bază sau la același exponent, folosind regula $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$. Apoi aplici regula potrivită. De pildă, $8^3=2^9$ și $4^5=2^{10}$, deci $8^3<4^5$.

Cum aduc două puteri la aceeași bază?
Cauți o bază comună mai mică din care se obțin amândouă. De exemplu, $4$ și $8$ se scriu ca puteri ale lui $2$: $4=2^2$, $8=2^3$. Apoi rescrii puterile cu baza $2$ și compari exponenții.

Poate o putere mai „mică la vedere" să fie de fapt mai mare?
Da. Baza mai mică poate fi compensată de un exponent mult mai mare. De exemplu, $2^{10}=1024$ este mult mai mare decât $3^4=81$. De aceea nu compari „pe ochi", ci aduci la aceeași bază sau la același exponent.

Pot două puteri scrise diferit să fie egale?
Da, foarte des. De exemplu $4^6=8^4$ (ambele egale cu $4096$) și $9^3=27^2$ (ambele egale cu $729$). De aceea trebuie să iei în calcul și semnul $=$, nu doar $<$ și $>$.

Cum ordonez crescător mai multe puteri?
Le aduci pe toate la aceeași bază (sau la același exponent), apoi le aranjezi după exponenți (respectiv după baze), de la mic la mare. De exemplu $4^3=2^6$, $2^9$, $8^4=2^{12}$ se ordonează $4^3<2^9<8^4$.

De ce regula „exponent mai mare = putere mai mare" cere baza mai mare ca 1?
Pentru că baza $1$ dă mereu $1$, indiferent de exponent ($1^3=1^8$), iar baza $0$ dă mereu $0$. La aceste baze speciale exponentul nu mai schimbă rezultatul, așa că regula se aplică doar pentru baze mai mari ca $1$.