Formula $$a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1}\right)$$ este valabilă:

pentru orice $$n\ge1$$, indiferent de paritate

doar pentru $$n=2$$ și $$n=3$$

Din formula $$a^n-b^n$$, luând $$b=1$$ și $$a=q$$, se obține:

formula sumei unei progresii geometrice: $$1+q+\dots+q^{n-1}=\dfrac{q^n-1}{q-1}$$

formula sumei unei progresii aritmetice

Care este formula pentru a la n minus b la n?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Condiția pentru n numere; formula aⁿ−bⁿ

Se descompune în produsul dintre $a - b$ și o sumă lungă: $a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + \dots + b^{n - 1})$ . Egalitatea se verifică desfăcând parantezele, când aproape toți termenii se reduc doi câte doi. De aici rezultă imediat că diferența $a - b$ divide $a^{n} - b^{n}$ , deci $1 0^{n} - 1$ se împarte exact la $9$ . Luând $b = 1$ și $a = q$ se obține chiar formula sumei unei progresii geometrice.

Pentru ca $n$ numere reale ( $n \geq 3$ ) să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, trebuie verificate $2 a_{k} = a_{k - 1} + a_{k + 1}$ pentru fiecare $k \in {2, \dots, n - 1}$ — adică exact $n - 2$ condiții (capetele nu au câte doi vecini). Analog, pentru progresie geometrică: $b_{k}^{2} = b_{k - 1} b_{k + 1}$ , tot $n - 2$ relații, cu toți termenii nenuli. La intercalarea a $k$ numere între $A$ și $B$ : rația aritmetică este $r = \frac{B - A}{k + 1}$ (unică), iar cea geometrică verifică $q^{k + 1} = \frac{B}{A}$ (două soluții dacă $k + 1$ e par, una dacă e impar).

Cea mai importantă identitate a lecției este formula fundamentală: $a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + \dots + b^{n - 1})$ , valabilă pentru orice $a, b$ reale și orice $n \geq 1$ . Se demonstrează prin reducere telescopică: produsele $a \cdot S$ și $b \cdot S$ au aproape toți termenii identici, iar la scădere rămân doar capetele, $a^{n}$ și $b^{n}$ .

Din formulă, luând $b = 1$ și $a = q$ , rezultă direct suma progresiei geometrice: $1 + q + \dots + q^{n - 1} = \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ , pentru $q \neq = 1$ . Iar pentru $a, b$ întregi, rezultă că $a - b$ divide $a^{n} - b^{n}$ — de aici, $1 0^{n} - 1$ divizibil cu $9$ , sau $7^{n} - 2^{n}$ divizibil cu $5$ , pentru orice $n \geq 1$ .

Formula se poate aplica și „pe blocuri”: $2^{100} - 1 = (2^{10})^{10} - 1^{10}$ este divizibil cu $2^{10} - 1 = 1023$ , fără să calculăm efectiv puterea uriașă. Regula generală, utilă la probleme de divizibilitate mai grele: $a^{m} - 1$ se divide cu $a^{d} - 1$ ori de câte ori $d$ divide $m$ .

De reținut

$a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + \dots + b^{n - 1})$
pentru numere întregi, $a - b$ divide $a^{n} - b^{n}$
pentru $n$ numere sunt necesare $n - 2$ condiții de progresie

Greșeala tipică

Pentru $n$ numere se verifică $n$ relații, deși capetele nu au câte doi vecini, deci sunt necesare doar $n - 2$ . O verificare parțială, doar pe primele două, nu încheie problema.

Exerciții din această mini-lecție

Câte condiții trebuie verificate pentru ca $n$ numere reale ( $n \geq 3$ ) să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice?
- a) $n$
- b) $n - 1$
- c) $n - 2$
- d) $n + 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $n - 2$

Condițiile sunt de forma $2 a_{k} = a_{k - 1} + a_{k + 1}$ , cu $k$ de la $2$ la $n - 1$ — deci exact $n - 2$ condiții. Primul și ultimul termen nu au câte doi vecini, deci nu generează condiții proprii.
Formula $a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + \dots + b^{n - 1})$ este valabilă:
- a) doar pentru $n$ par
- b) doar pentru $n$ impar
- c) pentru orice $n \geq 1$ , indiferent de paritate
- d) doar pentru $n = 2$ și $n = 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) pentru orice $n \geq 1$ , indiferent de paritate

Demonstrația prin desfacerea parantezelor (reducere telescopică) nu folosește nicăieri paritatea lui $n$ , deci formula este valabilă pentru orice $n \geq 1$ . (Paritatea contează la o identitate diferită, cea pentru suma $a^{n} + b^{n}$ .)
Din formula $a^{n} - b^{n}$ , luând $b = 1$ și $a = q$ , se obține:
- a) formula sumei unei progresii aritmetice
- b) formula sumei unei progresii geometrice: $1 + q + \dots + q^{n - 1} = \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$
- c) teorema lui Pitagora
- d) inegalitatea lui Bernoulli
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) formula sumei unei progresii geometrice: $1 + q + \dots + q^{n - 1} = \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$

Cu $b = 1$ , formula devine $q^{n} - 1 = (q - 1) (q^{n - 1} + \dots + q + 1)$ ; împărțind la $q - 1 \neq = 0$ , obținem exact formula sumei progresiei geometrice $1 + q + \dots + q^{n - 1} = \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ .

Întrebări conexe

Cu ce se divide 2 la puterea 100 minus 1?

Scriind $2^{100} = (2^{10})^{10}$ , expresia devine o diferență de puteri cu exponentul $10$ , deci se divide cu $2^{10} - 1 = 1023$ . Nu este nevoie să calculezi numărul uriaș din stânga. Aceeași idee merge la orice putere care se poate grupa.

Cum arăt că 7 la n minus 2 la n se divide cu 5?

Aplici formula cu $a = 7$ și $b = 2$ : primul factor este $7 - 2 = 5$ , deci întreaga diferență se împarte exact la $5$ , oricare ar fi rangul. Argumentul ține pentru orice pereche de numere întregi, nu doar pentru acestea.

De ce apar două rații la intercalarea geometrică cu exponent par?

Fiindcă ecuația în rație are exponent par, iar o astfel de ecuație are două soluții opuse. Una dintre ele dă termeni cu semne alternante, cealaltă termeni de același semn. Enunțul precizează uneori care variantă se păstrează.

Cum se aplică formula pe blocuri de puteri?

Grupezi exponentul mare într-o putere de putere și tratezi blocul ca pe o singură bază. Astfel $3^{60} - 1$ se divide cu $3^{6} - 1$ , fiindcă $6$ intră exact în $60$ . Regula generală spune că orice divizor al exponentului dă un divizor de acest fel.

Ce sumă apare în paranteza din formulă?

O sumă cu exact $n$ termeni, în care exponentul primei baze scade de la $n - 1$ la zero, iar al celei de a doua urcă de la zero la $n - 1$ . Pentru exponentul $3$ ea are trei termeni: $a^{2} + ab + b^{2}$ .

Cum verific formula pe un caz mic?

Iei exponentul $2$ și obții $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ , adică diferența de pătrate, cunoscută din gimnaziu. La exponentul $3$ iese $(a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ , care se poate verifica desfăcând parantezele. Cazurile mici confirmă rapid forma generală.

Oamenii mai întreabă și: descompunerea lui a la n minus b la n · formula fundamentală a divizibilității · de ce a minus b divide a la n minus b la n · identitate cu puteri · câte condiții cer n numere în progresie