Condiția ca n numere să fie în progresie; formula aⁿ − bⁿ

În lecția precedentă am învățat să răspundem la o întrebare despre trei numere: sunt ele sau nu termeni consecutivi ai unei progresii? Acum ridicăm miza. Ni se dau $n$ numere — cinci, zece, o sută — și trebuie să decidem același lucru despre toate deodată. Vestea bună: nu avem nevoie de nicio idee nouă. Vestea și mai bună: numărul de verificări este surprinzător de mic, iar de aici se deschide un drum către una dintre cele mai folositoare identități din toată algebra de liceu.

Identitatea despre care vorbim este descompunerea lui $a^n-b^n$. Ea explică deodată mai multe lucruri pe care le-ai întâlnit separat: de ce $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, de ce $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, de ce $10^n-1$ este întotdeauna divizibil cu $9$ și — poate cel mai important — de unde vine formula sumei primilor $n$ termeni ai unei progresii geometrice. Programa de matematică-informatică cere explicit deducerea acestei formule în capitolul progresiilor, tocmai pentru că legătura dintre ea și suma progresiei geometrice este directă. La finalul lecției o vei vedea negru pe alb.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii condiția ca $n$ numere reale să fie în progresie aritmetică și să numeri exact câte verificări sunt necesare.
• Vei ști să scrii condiția analogă pentru progresia geometrică, cu ipoteza termenilor nenuli.
• Vei ști să intercalezi $k$ numere între două numere date, astfel încât toate să formeze o progresie aritmetică sau una geometrică.
• Vei ști să demonstrezi formula $a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +b^{n-1}\right)$ prin desfacerea parantezelor și reducerea termenilor.
• Vei ști să deduci suma progresiei geometrice din această formulă, luând $b=1$.
• Vei ști să aplici formula la descompuneri în factori și la probleme de divizibilitate de tipul „$a-b$ divide $a^n-b^n$".

Hai să descoperim împreună

1. Condiția ca $n$ numere să fie în progresie aritmetică

Fie $a_1,a_2,\dots ,a_n$ numere reale, cu $n\ge 3$. Ele sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice dacă și numai dacă toate diferențele consecutive sunt egale:

$$a_2-a_1=a_3-a_2=\cdots =a_n-a_{n-1}.$$

Folosind caracterizarea demonstrată în lecția Caracterizarea progresiilor: relația dintre trei termeni consecutivi, condiția se rescrie ca o listă de egalități, câte una pentru fiecare triplet de termeni consecutivi:

$$2a_k=a_{k-1}+a_{k+1},\text{pentru orice }k\in \{2,3,\dots ,n-1\}.$$

Câte condiții sunt? Indicele $k$ ia valorile de la $2$ la $n-1$, deci sunt exact $n-2$ condiții. Pentru trei numere avem o singură condiție (cazul din lecția precedentă), pentru cinci numere avem trei condiții, pentru o sută de numere avem nouăzeci și opt. Numărul lor este întotdeauna cu doi mai mic decât numărul de numere — pentru că primul și ultimul număr nu au doi vecini.

Exemplu: sunt numerele $2,5,8,11,14$ în progresie aritmetică? Avem $n=5$, deci $3$ verificări: $2\cdot 5=10=2+8$ ✓; $2\cdot 8=16=5+11$ ✓; $2\cdot 11=22=8+14$ ✓. Da, sunt, cu rația $3$.

Atenție la ordinea în care se dau numerele: $2,8,5,11,14$ conțin aceleași valori, dar nu sunt în progresie. Condiția privește șirul așa cum e scris.

2. Condiția ca $n$ numere să fie în progresie geometrică

Analog, numerele nenule $b_1,b_2,\dots ,b_n$ (cu $n\ge 3$) sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice dacă și numai dacă

$$b_k^2=b_{k-1}\cdot b_{k+1},\text{pentru orice }k\in \{2,3,\dots ,n-1\},$$

adică tot $n-2$ condiții. Ipoteza că toți termenii sunt nenuli rămâne obligatorie, din același motiv ca în lecția precedentă: fără ea, șiruri precum $1,0,0,0$ ar trece testul fără a fi progresii.

Exemplu: numerele $3,6,12,24,48$. Verificăm: $6^2=36=3\cdot 12$ ✓; $12^2=144=6\cdot 24$ ✓; $24^2=576=12\cdot 48$ ✓. Sunt în progresie geometrică, cu rația $2$.

Și un exemplu care arată de ce toate condițiile contează: numerele $1,2,4,7,11$. Prima condiție trece ($2^2=4=1\cdot 4$ ✓), a doua nu ($4^2=16$, dar $2\cdot 7=14$ ✗). Concluzia: nu sunt în progresie geometrică. O singură condiție încălcată strică totul — condițiile sunt legate prin „și", nu prin „sau".

3. Intercalarea: cum așezi $k$ numere între două date

O aplicație directă, cerută frecvent la examen: între numerele $A$ și $B$ intercalați $k$ numere astfel încât toate cele $k+2$ să fie în progresie.

Cazul aritmetic. Progresia are $k+2$ termeni, cu $a_1=A$ și $a_{k+2}=B$. Din formula termenului general, $B=A+(k+1)r$, deci

$$r=\frac{B-A}{k+1}.$$

Exemplu: intercalăm $4$ numere între $3$ și $23$. Avem $k=4$, deci $r=\frac{23-3}{5}=4$, iar progresia completă este $3,7,11,15,19,23$. Cele patru numere intercalate — $7,11,15,19$ — se numesc medii aritmetice intercalate între $3$ și $23$. Soluția este întotdeauna unică.

Cazul geometric. Progresia are $k+2$ termeni, cu $b_1=A$ și $b_{k+2}=B$, deci $B=A{q}^{k+1}$ și

$$q^{k+1}=\frac{B}{A}.$$

Aici răspunsul depinde de paritatea exponentului. Exemplu: intercalăm $3$ numere între $2$ și $162$. Atunci $q^4=81$, deci $q=3$ sau $q=-3$ — două soluții, pentru că exponentul este par. Ele dau progresiile $2,6,18,54,162$ și $2,-6,18,-54,162$. În schimb, dacă intercalăm $2$ numere între $3$ și $24$, avem $q^3=8$, cu unica soluție reală $q=2$, deci progresia $3,6,12,24$.

Reține și restricția de semn: dacă $\frac{B}{A}$ este negativ și exponentul $k+1$ este par, ecuația nu are soluții reale — intercalarea este imposibilă.

4. Formula $a^n-b^n$: enunț și demonstrație

Trecem la a doua parte a lecției, aparent fără legătură cu progresiile — dar legătura va apărea imediat.

Teoremă. Pentru orice numere reale $a$, $b$ și orice număr natural $n\ge 1$:

$$a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2+\cdots +a{b}^{n-2}+b^{n-1}\right).$$

Paranteza a doua conține exact $n$ termeni; în fiecare, suma exponenților lui $a$ și $b$ este $n-1$, iar exponentul lui $a$ scade de la $n-1$ la $0$, în timp ce exponentul lui $b$ crește de la $0$ la $n-1$. Folosind notația cu sumă, paranteza este $\sum _{k=0}^{n-1}{a}^{n-1-k}{b}^k$.

Demonstrație (prin desfacerea parantezelor). Notăm cu $S=a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +a{b}^{n-2}+b^{n-1}$ paranteza a doua și calculăm produsul $(a-b)\cdot S$ distribuind pe rând:

$$a\cdot S=a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}{b}^2+\cdots +a^2{b}^{n-2}+a{b}^{n-1},$$

$$b\cdot S=a^{n-1}b+a^{n-2}{b}^2+\cdots +a^2{b}^{n-2}+a{b}^{n-1}+b^n.$$

Privește cele două rânduri: toți termenii lui $a\cdot S$, în afară de primul, apar și în $b\cdot S$, iar toți termenii lui $b\cdot S$, în afară de ultimul, apar și în $a\cdot S$. Scăzând, tot ce e la mijloc se reduce:

$$(a-b)S=a\cdot S-b\cdot S=a^n-b^n.■$$

Acest tip de reducere în cascadă se numește sumă telescopică: ca la un telescop marinăresc, tuburile intermediare intră unul într-altul și rămân doar capetele. Mecanismul e același pe care l-ai văzut la sumele telescopice din lecția Inducția matematică: sume, inegalități și divizibilitate, unde identitatea poate fi demonstrată și prin inducție după $n$.

Verificăm numeric, pe două exemple. Pentru $n=3$, $a=5$, $b=3$: membrul stâng este $125-27=98$, iar cel drept $(5-3)(25+15+9)=2\cdot 49=98$ ✓. Pentru $n=5$, $a=3$, $b=2$: stânga $243-32=211$, dreapta $(3-2)(81+54+36+24+16)=211$ ✓.

5. Cazurile particulare pe care le știai deja

Formula generală le cuprinde pe toate cele învățate până acum:

• $n=2$: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ — diferența de pătrate.
• $n=3$: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ — diferența de cuburi.
• $n=4$: $a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^{2}b+a{b}^2+b^3)$; grupând, se poate descompune mai departe în $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.

Verificare numerică pentru $n=4$, $a=5$, $b=3$: stânga $625-81=544$; dreapta $(5-3)(125+75+45+27)=2\cdot 272=544$ ✓; iar pe cealaltă cale, $2\cdot 8\cdot 34=544$ ✓.

Reține o precizare importantă: formula are loc pentru orice $n\ge 1$, nu doar pentru $n$ par sau impar. Suma $a^n+b^n$, în schimb, se descompune după $a+b$ doar când $n$ este impar — dar aceasta este o altă poveste, pe care o vei întâlni mai târziu.

6. De aici iese suma progresiei geometrice

Acum vine legătura promisă. Luăm în formulă $b=1$ și scriem $a=q$:

$$q^n-1=(q-1)\left(q^{n-1}+q^{n-2}+\cdots +q+1\right),$$

pentru că toate puterile lui $b=1$ sunt egale cu $1$. Paranteza a doua este exact suma primilor $n$ termeni ai progresiei geometrice $1,q,q^2,\dots ,q^{n-1}$. Împărțind la $q-1$ (posibil dacă $q\ne 1$):

$$1+q+q^2+\cdots +q^{n-1}=\frac{q^n-1}{q-1}.$$

Iar dacă progresia începe cu $b_1$ oarecare, fiecare termen se înmulțește cu $b_1$ și obținem formula cunoscută din lecția Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice:

$$S_n=b_1+b_{1}q+\cdots +b_1{q}^{n-1}=b_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1},q\ne 1.$$

Iată deci de unde vine formula sumei: nu e o rețetă memorată, ci un caz particular al descompunerii lui $a^n-b^n$. Condiția $q\ne 1$ apare natural — este exact interdicția de a împărți la zero. Pentru $q=1$ progresia e constantă și suma este $n{b}_1$.

Verificare: $1+2+4+\cdots +2^9=\frac{2^{10}-1}{2-1}=1023$; și, direct din formulă, $1+3+9+\cdots +3^9=\frac{3^{10}-1}{3-1}=\frac{59048}{2}=29524$.

7. Divizibilitate: $a-b$ divide $a^n-b^n$

Ultima aplicație, foarte productivă la examene și olimpiade. Dacă $a$ și $b$ sunt numere întregi, atunci paranteza $a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +b^{n-1}$ este un număr întreg, deci egalitatea

$$a^n-b^n=(a-b)\cdot \left(\text{numa˘r ıˆntreg}\right)$$

spune exact că $a-b$ divide $a^n-b^n$, pentru orice $n\ge 1$.

Consecințe imediate, pe care le poți folosi ca fapte gata demonstrate:

• $10^n-1$ este divizibil cu $9$ (luând $a=10$, $b=1$): de exemplu $10^6-1=999999=9\cdot 111111$. De aici pornește și criteriul de divizibilitate cu $9$.
• $4^n-1$ este divizibil cu $3$; $6^n-1$ este divizibil cu $5$; în general $a^n-1$ este divizibil cu $a-1$.
• $7^5-2^5=16807-32=16775$ este divizibil cu $7-2=5$, într-adevăr $16775=5\cdot 3355$.

Un truc care merită reținut: formula se poate aplica și „pe blocuri". De exemplu, $2^{100}-1$ se scrie ca ${\left(2^{10}\right)}^{10}-1^{10}$, deci este divizibil cu $2^{10}-1=1023$. Alegerea inteligentă a lui $a$ și a lui $n$ transformă o problemă imposibilă de calculat direct într-una banală.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cinci numere, trei verificări

Verificați dacă numerele $2,5,8,11,14$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, iar numerele $3,6,12,24,48$ ai uneia geometrice.

Rezolvare. Pentru primul șir, $n=5$, deci avem $n-2=3$ condiții:

$$2\cdot 5=10=2+8✓;2\cdot 8=16=5+11✓;2\cdot 11=22=8+14✓.$$

Toate se verifică, deci numerele sunt în progresie aritmetică, cu rația $r=3$.

Pentru al doilea șir, tot $3$ condiții, cu toți termenii nenuli:

$$6^2=36=3\cdot 12✓;12^2=144=6\cdot 24✓;24^2=576=12\cdot 48✓.$$

Numerele sunt în progresie geometrică, cu rația $q=2$.

Exemplul 2 — Intercalarea

a) Intercalați $4$ numere între $3$ și $23$, astfel încât toate să fie în progresie aritmetică. b) Intercalați $2$ numere între $3$ și $24$, astfel încât toate să fie în progresie geometrică.

Rezolvare. a) Progresia va avea $6$ termeni, cu $a_1=3$ și $a_6=23$. Din $a_6=a_1+5r$ obținem $23=3+5r$, deci $r=4$. Numerele intercalate sunt $7,11,15,19$, iar progresia completă este $3,7,11,15,19,23$.

b) Progresia va avea $4$ termeni, cu $b_1=3$ și $b_4=24$. Din $b_4=b_1{q}^3$ obținem $24=3q^3$, deci $q^3=8$ și $q=2$ (unica soluție reală, exponentul fiind impar). Numerele intercalate sunt $6$ și $12$, iar progresia este $3,6,12,24$.

Exemplul 3 — Descompunerea, pas cu pas

Descompuneți în factori $a^4-b^4$ folosind formula generală, apoi verificați numeric pentru $a=5$ și $b=3$.

Rezolvare. Aplicăm formula cu $n=4$:

$$a^4-b^4=(a-b)\left(a^3+a^{2}b+a{b}^2+b^3\right).$$

Paranteza se poate grupa mai departe: $a^3+a^{2}b+a{b}^2+b^3=a^2(a+b)+b^2(a+b)=(a+b)(a^2+b^2)$, deci

$$a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2).$$

Verificare numerică. Pentru $a=5$, $b=3$: membrul stâng $625-81=544$. Prima formă: $(5-3)(125+75+45+27)=2\cdot 272=544$ ✓. A doua formă: $2\cdot 8\cdot 34=544$ ✓.

Exemplul 4 — Suma unei progresii geometrice, dedusă

Deduceți, folosind formula $a^n-b^n$, valoarea sumei $1+3+3^2+\cdots +3^9$.

Rezolvare. În formulă luăm $a=3$, $b=1$ și $n=10$:

$$3^{10}-1=(3-1)\left(3^9+3^8+\cdots +3+1\right)=2\cdot S,$$

unde $S$ este chiar suma cerută. Rezultă

$$S=\frac{3^{10}-1}{2}=\frac{59049-1}{2}=\frac{59048}{2}=29524.$$

Observă că nu am folosit formula sumei ca pe o rețetă, ci am dedus-o pe loc din identitatea generală — exact drumul cerut de programă.

Exemplul 5 — O problemă de divizibilitate

Arătați că $7^n-2^n$ este divizibil cu $5$, pentru orice număr natural $n\ge 1$. Verificați pentru $n=5$.

Rezolvare. Aplicăm formula cu $a=7$ și $b=2$:

$$7^n-2^n=(7-2)\left(7^{n-1}+7^{n-2}\cdot 2+\cdots +2^{n-1}\right)=5\cdot N,$$

unde $N$ este o sumă de produse de numere naturale, deci un număr natural. Prin urmare $7^n-2^n$ este divizibil cu $5$ pentru orice $n\ge 1$. $■$

Verificare pentru $n=5$: $7^5-2^5=16807-32=16775=5\cdot 3355$ ✓.

Metoda funcționează identic pentru orice pereche: $a-b$ divide $a^n-b^n$, indiferent de $n$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

a) Arătați că $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$. b) Calculați suma $S=1+2+2^2+\cdots +2^9$.

Rezolvare. a) Desfacem parantezele din membrul drept:

$$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^{2}b+a{b}^2-a^{2}b-a{b}^2-b^3=a^3-b^3,$$

deoarece termenii $a^{2}b$ și $a{b}^2$ se reduc cu opușii lor. ✓

b) Suma este a unei progresii geometrice cu primul termen $1$ și rația $2$, cu $10$ termeni. Folosind formula $a^n-b^n$ cu $a=2$, $b=1$, $n=10$:

$$2^{10}-1=(2-1)\left(2^9+2^8+\cdots +2+1\right)=S,$$

deci $S=2^{10}-1=1024-1=1023$. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La verificarea unor numere în progresie, scrie toate cele $n-2$ condiții, nu doar prima; la aplicațiile formulei $a^n-b^n$, precizează de fiecare dată ce ai luat drept $a$, $b$ și $n$.

1. Verifică, scriind toate condițiile, dacă numerele $2,5,8,11,14$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

2. Verifică, scriind toate condițiile, dacă numerele $3,6,12,24,48$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

3. Verifică dacă numerele $1,2,4,7,11$ sunt în progresie aritmetică sau în progresie geometrică. Ce observi la prima condiție geometrică?

4. Intercalează $4$ numere între $3$ și $23$, astfel încât toate să formeze o progresie aritmetică.

5. Intercalează $3$ numere între $2$ și $162$, astfel încât toate să formeze o progresie geometrică. Găsește ambele soluții.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru ca $n$ numere să fie în progresie aritmetică sunt necesare $n-1$ condiții de forma $2a_k=a_{k-1}+a_{k+1}$."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Formula $a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n-1}+\cdots +b^{n-1}\right)$ este valabilă doar pentru $n$ par."

8. Desfă parantezele în $(a-b)(a^2+ab+b^2)$ și arată că obții $a^3-b^3$.

9. Scrie descompunerea lui $a^5-b^5$ după formula generală și verific-o numeric pentru $a=3$, $b=2$.

10. Descompune $a^4-b^4$ în trei factori și verifică rezultatul pentru $a=5$, $b=3$.

11. (Problemă aplicată.) Arată că $10^n-1$ este divizibil cu $9$, pentru orice $n\ge 1$, și verifică pentru $n=6$. Ce legătură are rezultatul cu criteriul de divizibilitate cu $9$?

12. Arată că $7^n-2^n$ este divizibil cu $5$ pentru orice $n\ge 1$ și verifică afirmația pentru $n=5$.

13. Pornind de la formula $a^n-b^n$, deduce formula sumei primilor $n$ termeni ai unei progresii geometrice de rație $q\ne 1$. Explică unde intervine condiția $q\ne 1$.

14. Calculează, folosind deducerea de la exercițiul precedent, suma $1+3+3^2+\cdots +3^9$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) a) Arătați că $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$. b) Calculați suma $1+2+2^2+\cdots +2^9$.

16. Intercalează $2$ numere între $3$ și $24$, astfel încât toate să formeze o progresie geometrică. De ce, de data aceasta, soluția este unică?

17. Fie $b_1,b_2,\dots ,b_n$ termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. Arată că $b_1\cdot b_n=b_k\cdot b_{n+1-k}$, pentru orice $k$ de la $1$ la $n$, și verifică proprietatea pe progresia $2,6,18,54,162$.

18. (Provocare.) Arată că numărul $2^{100}-1$ este divizibil cu $1023$, fără să calculezi valoarea lui. Indicație: scrie $2^{100}$ ca o putere a lui $2^{10}$.

Răspunsuri și explicații

1. Trei condiții: $2\cdot 5=10=2+8$ ✓; $2\cdot 8=16=5+11$ ✓; $2\cdot 11=22=8+14$ ✓. Toate se verifică, deci numerele sunt în progresie aritmetică cu rația $3$.

2. Trei condiții, cu toți termenii nenuli: $6^2=36=3\cdot 12$ ✓; $12^2=144=6\cdot 24$ ✓; $24^2=576=12\cdot 48$ ✓. Numerele sunt în progresie geometrică cu rația $2$.

3. Aritmetic: $2\cdot 2=4\ne 1+4=5$ ✗ — deja prima condiție cade. Geometric: $2^2=4=1\cdot 4$ ✓, dar $4^2=16\ne 2\cdot 7=14$ ✗. Prima condiție geometrică se verifică, ceea ce arată tocmai de ce trebuie scrise toate: o singură potrivire nu este o concluzie.

4. Progresia are $6$ termeni: $23=3+5r\Rightarrow r=4$. Numerele intercalate sunt $7,11,15,19$, iar progresia completă $3,7,11,15,19,23$.

5. Progresia are $5$ termeni: $162=2q^4\Rightarrow q^4=81\Rightarrow q=3$ sau $q=-3$ (exponent par, deci două soluții reale). Progresiile sunt $2,6,18,54,162$ și $2,-6,18,-54,162$.

6. Fals. Condițiile corespund tripletelor de termeni consecutivi, iar indicele din mijloc parcurge valorile $2,3,\dots ,n-1$ — deci sunt $n-2$ condiții, nu $n-1$. Primul și ultimul număr nu au câte doi vecini, deci nu generează condiții.

7. Fals. Formula este valabilă pentru orice $n\ge 1$, indiferent de paritate; demonstrația prin desfacere nu folosește nicăieri paritatea lui $n$. De exemplu, pentru $n=3$ obținem diferența de cuburi. (Paritatea contează la descompunerea sumei $a^n+b^n$, care este altă identitate.)

8. $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^{2}b+a{b}^2-a^{2}b-a{b}^2-b^3=a^3-b^3$, deoarece $a^{2}b$ se reduce cu $-a^{2}b$, iar $a{b}^2$ cu $-a{b}^2$.

9. $a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^{3}b+a^2{b}^2+a{b}^3+b^4)$. Pentru $a=3$, $b=2$: stânga $243-32=211$; dreapta $(3-2)(81+54+36+24+16)=211$ ✓.

10. $a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^{2}b+a{b}^2+b^3)=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$. Pentru $a=5$, $b=3$: $625-81=544$, iar $2\cdot 8\cdot 34=544$ ✓.

11. Luând $a=10$, $b=1$: $10^n-1=9\left(10^{n-1}+10^{n-2}+\cdots +1\right)$, iar paranteza e număr natural, deci $9\mid 10^n-1$. Pentru $n=6$: $999999=9\cdot 111111$ ✓. Legătura cu criteriul: orice putere a lui $10$ dă restul $1$ la împărțirea cu $9$, deci un număr are același rest ca suma cifrelor sale.

12. $7^n-2^n=(7-2)\left(7^{n-1}+7^{n-2}\cdot 2+\cdots +2^{n-1}\right)=5N$, cu $N$ natural, deci $5\mid 7^n-2^n$. Pentru $n=5$: $16807-32=16775=5\cdot 3355$ ✓.

13. Cu $a=q$ și $b=1$: $q^n-1=(q-1)\left(q^{n-1}+\cdots +q+1\right)$. Împărțind la $q-1$ obținem $1+q+\cdots +q^{n-1}=\frac{q^n-1}{q-1}$, iar înmulțind cu $b_1$, $S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}$. Condiția $q\ne 1$ intervine exact la împărțire: pentru $q=1$ am împărți la zero (și, într-adevăr, atunci suma este $n{b}_1$).

14. Cu $a=3$, $b=1$, $n=10$: $3^{10}-1=2S$, deci $S=\frac{59049-1}{2}=29524$.

15. a) Desfacerea de la exercițiul 8. b) Cu $a=2$, $b=1$, $n=10$: $2^{10}-1=1\cdot S$, deci $S=1024-1=1023$.

16. $24=3q^3\Rightarrow q^3=8\Rightarrow q=2$, iar numerele intercalate sunt $6$ și $12$. Soluția e unică pentru că exponentul $3$ este impar, iar ecuația $q^3=8$ are o singură soluție reală; la exponent par apar două soluții, opuse.

17. Fie $q$ rația. Atunci $b_k=b_1{q}^{k-1}$ și $b_{n+1-k}=b_1{q}^{n-k}$, deci

$$b_k\cdot b_{n+1-k}=b_1^2{q}^{(k-1)+(n-k)}=b_1^2{q}^{n-1}=b_1\cdot \left(b_1{q}^{n-1}\right)=b_1\cdot b_n.$$

Verificare pe $2,6,18,54,162$: $2\cdot 162=324$, $6\cdot 54=324$, $18\cdot 18=324$ ✓.

18. Scriem $2^{100}={\left(2^{10}\right)}^{10}$, deci $2^{100}-1={\left(2^{10}\right)}^{10}-1^{10}$. Aplicând formula cu $a=2^{10}=1024$, $b=1$ și $n=10$, obținem

$$2^{100}-1=\left(2^{10}-1\right)\left({\left(2^{10}\right)}^9+{\left(2^{10}\right)}^8+\cdots +1\right)=1023\cdot N,$$

cu $N$ natural. Prin urmare $1023\mid 2^{100}-1$. Ideea generală: $a^m-1$ este divizibil cu $a^d-1$ ori de câte ori $d$ divide $m$.

De reținut

• $n$ numere reale ($n\ge 3$) sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice dacă și numai dacă $2a_k=a_{k-1}+a_{k+1}$ pentru orice $k$ de la $2$ la $n-1$ — adică exact $n-2$ condiții, toate obligatorii.
• Condiția analogă pentru progresia geometrică este $b_k^2=b_{k-1}{b}_{k+1}$, tot $n-2$ relații, cu ipoteza că toți termenii sunt nenuli.
• La intercalarea a $k$ numere între $A$ și $B$: în cazul aritmetic $r=\frac{B-A}{k+1}$ (soluție unică), în cazul geometric $q^{k+1}=\frac{B}{A}$ (două soluții când exponentul e par, una când e impar).
• Formula fundamentală: $a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +b^{n-1}\right)$, valabilă pentru orice $a$, $b$ reale și orice $n\ge 1$; se demonstrează prin desfacerea parantezelor și reducerea telescopică.
• Din formulă, cu $b=1$ și $a=q$, rezultă suma progresiei geometrice $1+q+\cdots +q^{n-1}=\frac{q^n-1}{q-1}$, iar pentru $a$, $b$ întregi rezultă că $a-b$ divide $a^n-b^n$.

Greșeli frecvente

• Numărul greșit de condiții. Pentru $n$ numere sunt $n-2$ condiții, nu $n$ și nici $n-1$: capetele nu au câte doi vecini. Verificarea parțială („am verificat primele două") nu încheie problema.
• O condiție îndeplinită luată drept concluzie. La $1,2,4,7,11$ prima condiție geometrică se verifică, dar a doua nu. Condițiile se leagă prin „și": toate trebuie să fie adevărate.
• Pierderea rației negative la intercalare. Din $q^4=81$ rezultă $q=3$ și $q=-3$. Analizează paritatea exponentului înainte de a scrie răspunsul.
• Numărul greșit de termeni în paranteză. În descompunerea lui $a^n-b^n$, paranteza are exact $n$ termeni, cu exponenții lui $a$ scăzând de la $n-1$ la $0$. Cea mai frecventă eroare este scrierea a $n-1$ termeni, prin uitarea lui $b^{n-1}$.
• Aplicarea formulei la $a^n+b^n$. Descompunerea de mai sus este pentru diferență. Suma $a^n+b^n$ se descompune după $a+b$ numai când $n$ este impar; pentru $n$ par (de exemplu $a^2+b^2$) nu există o astfel de descompunere cu coeficienți reali.

Aplică acasă

1. Scara din curte. Măsoară înălțimile a cinci trepte consecutive (sau distanțele dintre cinci stâlpi de gard) și verifică cele trei condiții $2a_k=a_{k-1}+a_{k+1}$. Notează abaterile în milimetri și discută cât de „aritmetică" este, de fapt, o construcție reală.

2. Nouă din nouă. Verifică pe cinci numere alese de tine că restul împărțirii la $9$ este același cu restul sumei cifrelor. Explică fenomenul folosind faptul, demonstrat în lecție, că $10^n-1$ este divizibil cu $9$ — este exact motivul pentru care funcționează „proba lui nouă".

3. Puteri și divizori. Alege un număr $a$ între $2$ și $5$ și calculează $a^{12}-1$. Verifică apoi, cu un calculator, că el se divide cu $a-1$, cu $a^2-1$, cu $a^3-1$, cu $a^4-1$ și cu $a^6-1$, dar nu neapărat cu $a^5-1$. Formulează regula pe care ai descoperit-o și leag-o de divizorii lui $12$.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie unitatea de șiruri a programei de matematică-informatică cu două conținuturi cerute explicit: condiția ca $n$ numere reale să fie în progresie aritmetică sau geometrică și deducerea formulei $a^n-b^n$. A doua este, în economia capitolului, cheia de boltă: ea arată că formula sumei progresiei geometrice nu este o rețetă de memorat, ci consecința unei identități algebrice generale, demonstrabilă în trei rânduri prin reducere telescopică.

Ce verifică lecția: numărarea corectă a condițiilor ($n-2$, nu $n-1$), scrierea tuturor condițiilor, rezolvarea problemelor de intercalare cu discuția completă a rațiilor, redactarea demonstrației prin desfacere și aplicarea identității la descompuneri și la divizibilitate. Întrebări bune de control: „Câte condiții scrii pentru șapte numere?"; „De ce sunt două răspunsuri la intercalarea a trei numere și doar unul la intercalarea a două?"; „Câți termeni are paranteza din descompunerea lui $a^7-b^7$?".

Semne că elevul a înțeles: deduce singur formula sumei progresiei geometrice fără s-o memoreze, folosește identitatea pentru probleme de divizibilitate cu $a$ și $b$ alese inteligent (inclusiv „pe blocuri", ca la $2^{100}-1$) și nu extinde formula, din inerție, la sume de puteri. La Bacalaureat (M1), identitatea apare fie explicit — „arătați că $a^3-b^3=\dots$" — fie ca instrument într-un calcul de sumă sau într-o problemă de divizibilitate; ambele forme sunt exersate în lecție.

Întrebări frecvente

Câte condiții trebuie verificate ca $n$ numere să fie în progresie aritmetică? Exact $n-2$: câte una pentru fiecare triplet de termeni consecutivi, de forma $2a_k=a_{k-1}+a_{k+1}$, cu $k$ de la $2$ la $n-1$. Primul și ultimul număr nu au câte doi vecini, deci nu generează condiții.

Care este condiția ca $n$ numere să fie în progresie geometrică? Toate numerele trebuie să fie nenule și trebuie să aibă loc $b_k^2=b_{k-1}\cdot b_{k+1}$ pentru orice $k$ de la $2$ la $n-1$, adică tot $n-2$ relații. Dacă o singură relație nu se verifică, numerele nu sunt în progresie geometrică.

Cum intercalez numere între două valori date? La progresie aritmetică, dacă intercalezi $k$ numere între $A$ și $B$, progresia are $k+2$ termeni, iar rația este $r=\frac{B-A}{k+1}$. La progresie geometrică, rația se află din $q^{k+1}=\frac{B}{A}$; dacă exponentul este par, obții două rații opuse.

Care este formula de descompunere a lui $a^n-b^n$? $a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2+\cdots +a{b}^{n-2}+b^{n-1}\right)$. Paranteza are exact $n$ termeni, în fiecare suma exponenților fiind $n-1$. Formula este valabilă pentru orice numere reale și orice $n\ge 1$.

Cum se demonstrează formula $a^n-b^n$? Se înmulțește paranteza pe rând cu $a$ și cu $b$ și se scad rezultatele. Toți termenii intermediari apar în ambele produse și se reduc — o reducere telescopică — rămânând doar $a^n$ din primul produs și $-b^n$ din al doilea.

Ce legătură are formula cu suma unei progresii geometrice? Luând $b=1$ și $a=q$, formula devine $q^n-1=(q-1)(q^{n-1}+\cdots +q+1)$. Împărțind la $q-1$ obții direct $1+q+\cdots +q^{n-1}=\frac{q^n-1}{q-1}$, adică formula sumei, valabilă pentru $q\ne 1$.

De ce este $a^n-b^n$ divizibil cu $a-b$? Pentru că descompunerea îl scrie ca produs dintre $a-b$ și o paranteză care, atunci când $a$ și $b$ sunt numere întregi, este tot un număr întreg. De aici, de exemplu, $10^n-1$ se divide cu $9$, iar $7^n-2^n$ se divide cu $5$.

Există o formulă asemănătoare pentru $a^n+b^n$? Da, dar numai pentru $n$ impar: atunci $a^n+b^n$ se descompune după factorul $a+b$. Pentru $n$ par, de exemplu la $a^2+b^2$, nu există o descompunere în factori cu coeficienți reali, deci formula de la diferență nu se poate transfera automat.