Care dintre afirmațiile de mai jos este adevărată, conform criteriilor de divizibilitate cu $$3$$ și cu $$9$$?

Dacă un număr se divide cu $$9$$, atunci se divide neapărat și cu $$3$$.

Dacă un număr se divide cu $$3$$, atunci se divide neapărat și cu $$9$$.

Divizibilitatea cu $$3$$ și cu $$9$$ se stabilește privind doar ultima cifră a numărului.

Suma cifrelor unui număr nu are nicio legătură cu divizibilitatea sa cu $$9$$.

Care e criteriul de divizibilitate cu 3 și 9?

Lecția pe scurt · clasa a V-a · Divizibilitate cu 3 și cu 9

Aici nu mai privești ultima cifră, ci aduni toate cifrele numărului. Suma obținută decide totul: dacă ea intră exact la 3, intră și numărul, iar dacă ea intră exact la 9, la fel face și numărul. Când suma iese mare, aduni din nou cifrele ei. La 2.916 suma este $2 + 9 + 1 + 6 = 18$ , care merge și la 9, și la 3, deci numărul se împarte la amândouă.

Pentru $3$ și $9$ nu privim ultima cifră (ca la $2$ , $5$ , $10$ ), ci suma tuturor cifrelor numărului.

Un număr se divide cu $3$ $⟺$ suma cifrelor sale se divide cu $3$ .
Un număr se divide cu $9$ $⟺$ suma cifrelor sale se divide cu $9$ .

Dacă suma iese mare, se aplică regula din nou, adunând cifrele sumei, până ajungem la un număr mic ușor de recunoscut.

Exemplu: verificăm $2.916$ . Suma cifrelor: $2 + 9 + 1 + 6 = 18$ . Cum $18 : 9 = 2$ (rest $0$ ), rezultă că $2.916$ se divide cu $9$ ; cum $18 : 3 = 6$ , se divide și cu $3$ .

O legătură importantă: fiindcă $9 = 3 \cdot 3$ , orice număr divizibil cu $9$ este automat divizibil și cu $3$ , dar reciproca nu este adevărată (de exemplu $51$ se divide cu $3$ , dar nu cu $9$ ).

De reținut

la 3: suma cifrelor se împarte exact la 3
la 9: suma cifrelor se împarte exact la 9
ce intră la 9 intră negreșit și la 3; invers nu se întâmplă mereu

Greșeala tipică

Se aplică regula de la 2 și 5, privind doar ultima cifră, iar 123 este socotit nedivizibil cu 3 fiindcă se termină în 3 impar. La 3 și la 9 se adună toate cifrele, iar aici suma 6 arată că numărul se împarte la 3.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele numere se divide cu $3$ ?
- a) $812$
- b) $927$
- c) $1.045$
- d) $638$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $927$

Calculăm suma cifrelor fiecărui număr: $812 \to 8 + 1 + 2 = 11$ (nu se divide cu $3$ ); $927 \to 9 + 2 + 7 = 18$ , iar $18 : 3 = 6$ , deci $927$ se divide cu $3$ ; $1.045 \to 1 + 0 + 4 + 5 = 10$ (nu); $638 \to 6 + 3 + 8 = 17$ (nu). Răspunsul corect este b.
Care dintre afirmațiile de mai jos este adevărată, conform criteriilor de divizibilitate cu $3$ și cu $9$ ?
- a) Dacă un număr se divide cu $3$ , atunci se divide neapărat și cu $9$ .
- b) Dacă un număr se divide cu $9$ , atunci se divide neapărat și cu $3$ .
- c) Divizibilitatea cu $3$ și cu $9$ se stabilește privind doar ultima cifră a numărului.
- d) Suma cifrelor unui număr nu are nicio legătură cu divizibilitatea sa cu $9$ .
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Dacă un număr se divide cu $9$ , atunci se divide neapărat și cu $3$ .

Deoarece $9 = 3 \cdot 3$ , orice grupă de $9$ conține exact trei grupe de $3$ , așa că un număr divizibil cu $9$ este întotdeauna divizibil și cu $3$ — afirmația b este adevărată. Reciproca (afirmația a) este falsă: de exemplu $51$ se divide cu $3$ ( $5 + 1 = 6$ ), dar nu cu $9$ . Afirmația c este falsă, fiindcă la $3$ și $9$ contează suma cifrelor, nu ultima cifră. Afirmația d este falsă, criteriul cu $9$ se bazează exact pe suma cifrelor.
Care dintre următoarele numere se divide cu $9$ ?
- a) $431$
- b) $702$
- c) $815$
- d) $623$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $702$

Calculăm suma cifrelor fiecărui număr: $431 \to 4 + 3 + 1 = 8$ (nu); $702 \to 7 + 0 + 2 = 9$ , care se divide cu $9$ , deci $702$ se divide cu $9$ ; $815 \to 8 + 1 + 5 = 14$ (nu); $623 \to 6 + 2 + 3 = 11$ (nu). Răspunsul corect este b.

Întrebări conexe

Un număr divizibil cu 3 este divizibil și cu 6?

Doar dacă este și par. Șase înseamnă 2 înmulțit cu 3, deci numărul trebuie să treacă ambele teste. Numărul 24 se împarte la 6, fiindcă e par și suma cifrelor dă 6, pe când 21 se împarte la 3, dar nu la 6.

Ce se întâmplă dacă schimb ordinea cifrelor?

Suma rămâne aceeași, deci divizibilitatea cu 3 și cu 9 nu se schimbă. Din 138 poți face 813 sau 381, iar toate se împart la 3. La criteriile cu 2 sau cu 5 lucrurile stau invers, fiindcă acolo contează coada.

De ce 51 se împarte la 3, dar nu la 9?

Suma cifrelor este $5 + 1 = 6$ . Șase intră exact la 3, dar nu la 9, deci numărul trece doar primul test. Legătura merge într-un singur sens: ce se împarte la 9 se împarte negreșit și la 3, pe când reciproca dă greș des.

Cum folosesc criteriul cu 3 la simplificarea fracțiilor?

Aduni cifrele numărului de sus și pe ale celui de jos. Dacă ambele sume intră la 3, poți simplifica fracția prin 3. La $\frac{123}{456}$ sumele sunt 6 și 15, deci simplificarea merge și rămâne $\frac{41}{152}$ .

Un număr scris numai cu cifre de 9 se împarte la 9?

Da, întotdeauna. Suma cifrelor lui 999 este 27, a lui 9999 este 36, iar toate aceste sume sunt multipli de 9. Același lucru merge și pentru numerele scrise numai cu cifre de 3, dar acolo doar pentru divizibilitatea cu 3.

Ce cifră pun la 4_2 ca să se împartă la 9?

Suma cunoscută este $4 + 2 = 6$ , deci mai lipsesc 3 până la 9. Cifra căutată este 3, iar numărul devine 432. Verifici: $4 + 3 + 2 = 9$ , care se împarte exact la 9.

Oamenii mai întreabă și: criteriul de divizibilitate cu 3 · criteriul de divizibilitate cu 9 · divizibilitate cu 3 și cu 9 · suma cifrelor divizibilitate