Criteriile de divizibilitate cu 3 și cu 9

Imaginează-ți că ai în mână numărul 531.747 și cineva te întreabă repede: „Se împarte exact la 3?". Dacă te apuci de împărțirea în scris, pierzi un minut bun. Dar dacă știi un mic secret matematic, dai răspunsul în câteva secunde, doar adunând cifrele. Exact asta vei învăța astăzi: două „trucuri" care nu sunt deloc trucuri, ci reguli adevărate, demonstrate, numite criteriile de divizibilitate cu 3 și cu 9. Sunt printre cele mai elegante reguli din toată matematica de clasa a V-a și o să vezi cât de simplu funcționează.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi suma cifrelor unui număr natural, oricât de mare ar fi el.
• Vei ști să stabilești dacă un număr se divide cu 3, verificând doar suma cifrelor.
• Vei ști să stabilești dacă un număr se divide cu 9, verificând doar suma cifrelor.
• Vei ști să alegi cifra potrivită astfel încât un număr cu o cifră necunoscută să fie divizibil cu 3 sau cu 9.
• Vei înțelege legătura dintre 3 și 9 și de ce orice număr divizibil cu 9 este automat divizibil și cu 3.

Hai să descoperim împreună

Ne amintim ce înseamnă „divizibil"

Înainte de orice, să ne reamintim un cuvânt din lecțiile trecute. Spunem că un număr a se divide cu b (sau că b îl divide pe a) atunci când împărțirea lui a la b se face exact, cu restul zero. Despre asta ai învățat în lecția Divizor și multiplu al unui număr natural.

De exemplu, 12 se divide cu 3, pentru că 12 : 3 = 4 rest 0. În schimb, 13 nu se divide cu 3, pentru că 13 : 3 = 4 rest 1.

Până acum, ca să afli dacă un număr se împarte exact la 3, trebuia să faci împărțirea. Pentru numere mici e ușor, dar pentru un număr cu cinci-șase cifre devine obositor. Aici intervin criteriile de divizibilitate: niște reguli care îți spun răspunsul fără să faci împărțirea.

În lecția anterioară, Criteriile de divizibilitate cu 2, cu 5 și cu 10, ai văzut că pentru 2, 5 și 10 ne uităm doar la ultima cifră. Era foarte comod. Atenție însă: pentru 3 și pentru 9 lucrurile stau altfel. Nu ne mai uităm la ultima cifră. Vom folosi suma tuturor cifrelor. Ține minte bine această deosebire, pentru că este greșeala numărul unu pe care o fac elevii.

Pasul 1: ce înseamnă „suma cifrelor"

Suma cifrelor unui număr este pur și simplu rezultatul pe care îl obții adunând toate cifrele din scrierea numărului. Nimic mai mult.

Hai să luăm numărul 4.275. Cifrele lui sunt 4, 2, 7 și 5. Le adunăm:

$$4+2+7+5=18$$

Deci suma cifrelor numărului 4.275 este 18. Atât. Nu contează în ce ordine sunt cifrele, nu contează poziția lor — le aduni pe toate.

Hai să mai facem una, cu un număr mai mare, 80.604. Cifrele sunt 8, 0, 6, 0, 4. Atenție la zerouri: ele se adună și ele, dar nu schimbă rezultatul, fiindcă adunarea cu 0 lasă numărul neschimbat.

$$8+0+6+0+4=18$$

Vezi? Și acest număr are suma cifrelor egală cu 18.

Un mic sfat util când numărul are multe cifre: poți aduna pe grupe sau poți „arunca" perechile care fac 9 sau 10, ca să mergi mai repede. Dar despre asta vorbim mai jos. Deocamdată reține: suma cifrelor = aduni toate cifrele.

Pasul 2: criteriul de divizibilitate cu 3

Acum vine vedeta lecției. Iată regula, scrisă clar:

Un număr natural se divide cu 3 dacă și numai dacă suma cifrelor sale se divide cu 3.

Cu alte cuvinte: aduni cifrele numărului, iar dacă acea sumă se împarte exact la 3, atunci și numărul întreg se împarte exact la 3. Dacă suma nu se împarte la 3, nici numărul nu se împarte.

Hai să o testăm pe numărul 4.275, pentru care am găsit suma cifrelor 18. Se divide 18 cu 3? Da, pentru că 18 : 3 = 6, rest 0. Concluzie: 4.275 se divide cu 3. Și chiar așa este: dacă verifici, 4.275 : 3 = 1.425, fix, fără rest. Magie? Nu, matematică.

Hai să luăm un număr care nu se divide cu 3: numărul 6.140. Suma cifrelor:

$$6+1+4+0=11$$

Se divide 11 cu 3? Nu, pentru că 11 : 3 = 3 rest 2. Concluzie: 6.140 nu se divide cu 3.

De ce funcționează regula? Hai să înțelegem ideea, pe scurt, fără demonstrație complicată. Gândește-te la numărul 4.275. El înseamnă de fapt:

$$4\cdot 1000+2\cdot 100+7\cdot 10+5$$

Acum observă un lucru frumos: 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1. Iar 9, 99, 999 sunt toate divizibile cu 3 (sunt formate numai din cifre de 9). Așa că fiecare cifră „lasă în urmă" o parte divizibilă cu 3 și mai rămâne doar cifra însăși. Adunând la final, partea divizibilă cu 3 se duce frumos, iar ce decide totul este suma cifrelor rămase. De aceea privim suma cifrelor și nu altceva. Nu trebuie să memorezi această explicație cuvânt cu cuvânt, dar e bine să știi că regula nu a căzut din cer.

Pasul 3: criteriul de divizibilitate cu 9

Vestea bună e că regula pentru 9 este aproape identică. Schimbi doar numărul:

Un număr natural se divide cu 9 dacă și numai dacă suma cifrelor sale se divide cu 9.

Adună cifrele; dacă suma se împarte exact la 9, numărul se împarte la 9; dacă nu, nu.

Să verificăm pe 4.275, cu suma cifrelor 18. Se divide 18 cu 9? Da, 18 : 9 = 2, rest 0. Deci 4.275 se divide și cu 9. Verificare: 4.275 : 9 = 475, exact.

Acum un număr care se divide cu 3 dar nu cu 9. Luăm 51. Suma cifrelor: 5 + 1 = 6. Se divide 6 cu 3? Da (6 : 3 = 2). Se divide 6 cu 9? Nu (6 < 9, rest 6). Deci 51 se divide cu 3, dar nu cu 9. Și e adevărat: 51 = 3 · 17, dar nu este multiplu de 9.

Pasul 4: legătura dintre 3 și 9 — o observație de aur

Ai văzut deja indiciul mai sus. Iată o regulă pe care merită să o ții minte toată viața:

Orice număr divizibil cu 9 este automat divizibil și cu 3. Invers nu este adevărat.

De ce? Pentru că 9 = 3 · 3. Dacă un număr se „face din grupe de 9", atunci fiecare grupă de 9 este de fapt formată din 3 grupe de 3, deci numărul se face și din grupe de 3. În schimb, un număr divizibil cu 3 (cum e 51 sau 12) nu trebuie neapărat să fie și divizibil cu 9.

Gândește-te la o analogie cu banii: dacă ai o sumă care se împarte fix în bancnote de 9 lei, atunci sigur o poți împărți și în bancnote de 3 lei (fiecare bancnotă de 9 = trei de 3). Dar dacă suma se împarte fix doar în bancnote de 3, nu e garantat că o împarți și în bancnote de 9.

Practic, asta îți dă o scurtătură: când verifici, calculează suma cifrelor o singură dată. Apoi întreabă-te despre acea sumă: se împarte la 9? se împarte la 3? Cu un singur calcul rezolvi ambele întrebări.

Pasul 5: un truc pentru numere mari — „aruncatul nouarilor"

Când suma cifrelor iese ea însăși mare (de exemplu 27 sau 36) și nu ești sigur dacă se împarte la 3 sau la 9, poți aplica regula din nou, asupra sumei. Adică aduni iar cifrele sumei.

Exemplu: numărul 7.984.512. Suma cifrelor:

$$7+9+8+4+5+1+2=36$$

Suma 36 e încă „grăsuță". Aduni iar cifrele lui 36: 3 + 6 = 9. Iar 9 se divide și cu 3, și cu 9. Concluzie rapidă: 7.984.512 se divide și cu 3, și cu 9. Acest pas repetat funcționează tocmai pentru că am demonstrat că regula privește suma cifrelor — și se aplică la fel și sumei.

Un alt truc de viteză: când aduni cifrele, poți sări peste cifrele de 9 și peste grupurile de cifre care fac 9 (de exemplu 4 și 5, sau 6 și 3, sau 7 și 2). Ele nu schimbă răspunsul pentru criteriul cu 9, fiindcă 9 dispare oricum la împărțirea cu 9. Așa, suma de adunat rămâne mică.

Pasul 6: rezumăm metoda în trei pași

Indiferent de număr, procedezi mereu la fel:

1. Adună toate cifrele numărului → obții suma cifrelor.
2. Dacă suma e mare, adună din nou cifrele ei până ajungi la un număr mic, ușor de recunoscut.
3. Întreabă-te despre sumă: se divide cu 3? (atunci numărul se divide cu 3) și se divide cu 9? (atunci numărul se divide cu 9).

Atât. Trei pași, niciun calcul de împărțire lungă. În exemplele de mai jos vei vedea metoda în acțiune.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verificare cu 3

Cerință: Este numărul 2.481 divizibil cu 3?

Rezolvare: Adunăm cifrele: 2 + 4 + 8 + 1 = 15. Suma este 15. Se divide 15 cu 3? Da, fiindcă 15 : 3 = 5, rest 0.

Răspuns: Numărul 2.481 se divide cu 3. (Verificare opțională: 2.481 : 3 = 827, exact.)

Exemplul 2 — Verificare cu 9 (și cu 3 din mers)

Cerință: Stabilește dacă 5.832 se divide cu 9. Dar cu 3?

Rezolvare: Suma cifrelor: 5 + 8 + 3 + 2 = 18. Despre 18 ne întrebăm pe rând:

• Se divide cu 9? Da, 18 : 9 = 2. → Deci 5.832 se divide cu 9.
• Se divide cu 3? Da, 18 : 3 = 6. → Deci 5.832 se divide și cu 3.

Răspuns: 5.832 se divide și cu 9, și cu 3. (Era de așteptat: tot ce e divizibil cu 9 e și cu 3.)

Exemplul 3 — Divizibil cu 3, dar nu cu 9

Cerință: Numărul 7.040 se divide cu 3? Dar cu 9?

Rezolvare: Suma cifrelor: 7 + 0 + 4 + 0 = 11. Despre 11 ne întrebăm pe rând:

• Se divide cu 3? Nu, fiindcă 11 : 3 = 3 rest 2.
• Se divide cu 9? Nu, fiindcă 11 : 9 = 1 rest 2.

Răspuns: 7.040 nu se divide nici cu 3, nici cu 9. (Reține metoda: contează ce face suma cifrelor, aici 11, care nu e multiplu nici de 3, nici de 9.)

Exemplul 4 — Număr mare, cu pasul repetat

Cerință: Verifică divizibilitatea cu 3 și cu 9 a numărului 643.578.

Rezolvare: Suma cifrelor: 6 + 4 + 3 + 5 + 7 + 8 = 33. Suma 33 e încă mare; aplicăm regula din nou: 3 + 3 = 6.

• 6 se divide cu 3? Da → numărul se divide cu 3.
• 6 se divide cu 9? Nu (6 < 9) → numărul nu se divide cu 9.

Răspuns: 643.578 se divide cu 3, dar nu se divide cu 9.

Exemplul 5 — Cifra necunoscută pentru divizibilitate cu 3

Cerință: Află cifra $a$ astfel încât numărul $\overline{45a}$ să fie divizibil cu 3.

Rezolvare: Suma cifrelor cunoscute este 4 + 5 = 9, deci suma totală este 9 + a. Vrem ca 9 + a să se dividă cu 3. Cum 9 se divide deja cu 3, mai trebuie ca a însăși să dea o sumă divizibilă cu 3. Luăm a de la 0 la 9 și păstrăm valorile pentru care 9 + a e multiplu de 3:

• a = 0 → 9 ✓; a = 1 → 10 ✗; a = 2 → 11 ✗; a = 3 → 12 ✓; a = 4 → 13 ✗; a = 5 → 14 ✗; a = 6 → 15 ✓; a = 7 → 16 ✗; a = 8 → 17 ✗; a = 9 → 18 ✓.

Răspuns: a ∈ {0, 3, 6, 9}. Deci numerele potrivite sunt 450, 453, 456, 459.

Exemplul 6 — Cifra necunoscută pentru divizibilitate cu 9

Cerință: Află cifra $b$ astfel încât numărul $\overline{2b6}$ să fie divizibil cu 9.

Rezolvare: Suma cifrelor cunoscute: 2 + 6 = 8, deci suma totală este 8 + b. Vrem ca 8 + b să fie multiplu de 9. Cum b este o cifră (0–9), suma 8 + b ia valori de la 8 la 17. Singurul multiplu de 9 din acest interval este 9. Deci 8 + b = 9, de unde b = 1.

Răspuns: b = 1, iar numărul este 216. (Verificare: 2 + 1 + 6 = 9, divizibil cu 9; 216 : 9 = 24.)

Exemplul 7 — Mică problemă practică

Cerință: La un turneu de fotbal sunt 252 de medalii care trebuie împărțite în mod egal celor 9 echipe participante. Se poate face împărțirea fără să rămână medalii?

Rezolvare: Întrebarea „se împart egal la 9 echipe" înseamnă „252 se divide cu 9?". Suma cifrelor: 2 + 5 + 2 = 9. Cum 9 se divide cu 9, 252 se divide cu 9.

Răspuns: Da, se poate. Fiecare echipă primește 252 : 9 = 28 de medalii, fără să rămână niciuna.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Pentru fiecare număr, calculează mai întâi suma cifrelor — e cheia tuturor exercițiilor.

1. Calculează suma cifrelor pentru numerele: a) 372; b) 5.140; c) 90.018.

2. Care dintre numerele următoare se divid cu 3? Scrie-le: 24, 31, 48, 55, 81, 100.

3. Care dintre numerele următoare se divid cu 9? Scrie-le: 27, 45, 54, 60, 90, 108.

4. Adevărat sau fals? a) 6.003 se divide cu 3. b) 6.003 se divide cu 9. c) Orice număr divizibil cu 9 este divizibil și cu 3.

5. Încercuiește numerele divizibile cu 3, dar nu cu 9: 12, 18, 33, 36, 45, 51.

6. Completează cu „se divide" sau „nu se divide": numărul 4.116 ____ cu 3 și ____ cu 9.

7. Află cifra $a$ astfel încât $\overline{7a}$ să fie divizibil cu 3. Scrie toate variantele.

8. Află cifra $c$ astfel încât $\overline{c14}$ să fie divizibil cu 9. (c ≠ 0)

9. Potrivește fiecare număr cu eticheta corectă (A = doar cu 3; B = cu 3 și cu 9; C = cu niciunul): 33, 81, 70, 207, 124.

10. Scrie trei numere de trei cifre care se divid cu 9. (Folosește suma cifrelor ca să le construiești.)

11. Unui număr de patru cifre de forma $\overline{54x6}$ i s-a șters a treia cifră, notată aici cu $x$. Ce cifre o pot înlocui astfel încât numărul să fie divizibil cu 3? Scrie toate variantele.

12. Adevărat sau fals: dacă suma cifrelor unui număr este 21, atunci numărul se divide cu 9. Justifică.

13. Un cofetar pune prăjituri în cutii de câte 3. Are 1.578 de prăjituri. Le poate aranja pe toate în cutii pline, fără să rămână prăjituri? Dar dacă ar folosi cutii de câte 9?

14. Găsește cel mai mare număr de trei cifre divizibil cu 9.

15. Află cifra $m$ astfel încât numărul $\overline{3m2}$ să fie divizibil și cu 3, și cu 9 în același timp.

16. Provocare: Suma a 5 numere consecutive este întotdeauna divizibilă cu 5. Verifică o afirmație asemănătoare: suma a trei numere naturale consecutive (de exemplu 7, 8, 9) este întotdeauna divizibilă cu 3? Testează pe două exemple și spune ce observi.

17. Câte numere de forma $\overline{1a4}$ sunt divizibile cu 3? (a poate fi orice cifră de la 0 la 9.)

18. Provocare: Numărul $\overline{abab}$ (de exemplu 2.323) — arată, încercând câteva valori, dacă suma cifrelor este mereu un număr par. Are legătură cu divizibilitatea cu 3?

Răspunsuri și explicații

1. a) 3 + 7 + 2 = 12; b) 5 + 1 + 4 + 0 = 10; c) 9 + 0 + 0 + 1 + 8 = 18.

2. Verificăm suma cifrelor: 24 → 6 ✓; 31 → 4 ✗; 48 → 12 ✓; 55 → 10 ✗; 81 → 9 ✓; 100 → 1 ✗. Se divid cu 3: 24, 48, 81.

3. Suma cifrelor multiplu de 9? 27 → 9 ✓; 45 → 9 ✓; 54 → 9 ✓; 60 → 6 ✗; 90 → 9 ✓; 108 → 9 ✓. Se divid cu 9: 27, 45, 54, 90, 108.

4. Suma cifrelor lui 6.003 este 6 + 0 + 0 + 3 = 9. a) Adevărat (9 se divide cu 3). b) Adevărat (9 se divide cu 9). c) Adevărat (9 = 3 · 3, deci orice multiplu de 9 e și multiplu de 3).

5. Calculăm sumele: 12 → 3 (÷3, nu ÷9) ✓; 18 → 9 (÷9) ✗; 33 → 6 (÷3, nu ÷9) ✓; 36 → 9 (÷9) ✗; 45 → 9 (÷9) ✗; 51 → 6 (÷3, nu ÷9) ✓. Se încercuiesc: 12, 33, 51.

6. Suma cifrelor lui 4.116: 4 + 1 + 1 + 6 = 12. 12 se divide cu 3 (12 : 3 = 4), dar nu cu 9 (12 : 9 = 1 rest 3). Răspuns: se divide cu 3 și nu se divide cu 9.

7. Suma cifrelor lui $\overline{7a}$ este 7 + a; vrem multiplu de 3. 7 + a ∈ {7,...,16}; multipli de 3: 9, 12, 15 → a = 2, a = 5, a = 8. Răspuns: a ∈ {2, 5, 8} (numerele 72, 75, 78).

8. Suma cifrelor: c + 1 + 4 = c + 5, multiplu de 9, cu c de la 1 la 9. c + 5 ∈ {6,...,14}; singurul multiplu de 9 este 9 → c = 4. Răspuns: c = 4, numărul 414. (Verificare: 4+1+4 = 9.)

9. Sumele cifrelor: 33 → 6 (doar ÷3 = A); 81 → 9 (÷3 și ÷9 = B); 70 → 7 (niciunul = C); 207 → 9 (÷3 și ÷9 = B); 124 → 7 (niciunul = C). Răspuns: 33→A, 81→B, 70→C, 207→B, 124→C.

10. Orice numere a căror sumă a cifrelor este 9 sau 18 merg. Exemple corecte: 108 (1+0+8=9), 270 (2+7+0=9), 999 (9+9+9=27 → 2+7=9). Sunt valabile multe răspunsuri; verifică-l pe al tău cu suma cifrelor.

11. Suma cifrelor lui $\overline{54x6}$: 5 + 4 + x + 6 = 15 + x, multiplu de 3. Cum 15 e deja multiplu de 3, trebuie ca x să fie multiplu de 3: x ∈ {0, 3, 6, 9}. Răspuns: x ∈ {0, 3, 6, 9}.

12. Fals. Suma cifrelor 21 se divide cu 3 (21 : 3 = 7), deci numărul se divide cu 3, dar 21 nu se divide cu 9 (21 : 9 = 2 rest 3), deci numărul nu se divide cu 9.

13. Suma cifrelor lui 1.578: 1 + 5 + 7 + 8 = 21. 21 ÷ 3 = 7 exact → se pot aranja în cutii de câte 3 (1.578 : 3 = 526 cutii). 21 ÷ 9 dă rest → nu se pot aranja toate în cutii pline de câte 9.

14. Cel mai mare număr de trei cifre este 999, iar suma cifrelor 9+9+9 = 27 (÷9). Deci 999 se divide cu 9. (E chiar cel mai mare număr de trei cifre.)

15. Suma cifrelor lui $\overline{3m2}$: 3 + m + 2 = 5 + m. Pentru a fi divizibil cu 9 (ceea ce asigură și ÷3), 5 + m trebuie multiplu de 9: 5 + m ∈ {5,...,14}; singurul multiplu de 9 este 9 → m = 4. Răspuns: m = 4, numărul 342. (3+4+2 = 9.)

16. Testăm: 7 + 8 + 9 = 24, iar 24 : 3 = 8 ✓; 20 + 21 + 22 = 63, iar 63 : 3 = 21 ✓. Observație: da, suma a trei numere consecutive este mereu divizibilă cu 3 (mijlocul „compensează" perfect — suma e de trei ori numărul din mijloc).

17. Suma cifrelor lui $\overline{1a4}$: 1 + a + 4 = 5 + a, multiplu de 3, cu a de la 0 la 9. 5 + a ∈ {5,...,14}; multipli de 3: 6, 9, 12 → a = 1, 4, 7. Sunt 3 numere: 114, 144, 174.

18. Pentru $\overline{abab}$ suma cifrelor este a + b + a + b = 2·(a+b), deci mereu un număr par. Pentru divizibilitate cu 3 contează dacă 2·(a+b) e multiplu de 3, adică dacă a+b e multiplu de 3 (de exemplu 2.323 → 2+3 = 5, nu; 1.212 → 1+2 = 3, da). Observație corectă: suma e mereu pară, dar asta nu garantează divizibilitatea cu 3.

De reținut

• Criteriul cu 3: un număr se divide cu 3 ⇔ suma cifrelor sale se divide cu 3.
• Criteriul cu 9: un număr se divide cu 9 ⇔ suma cifrelor sale se divide cu 9.
• Pentru aceste criterii privim suma tuturor cifrelor, nu ultima cifră (diferit de criteriile cu 2, 5, 10).
• Orice număr divizibil cu 9 este și divizibil cu 3 (pentru că 9 = 3 · 3), dar reciproca nu e adevărată.
• Dacă suma cifrelor iese mare, aduni din nou cifrele ei până ajungi la un număr mic, ușor de recunoscut.

Greșeli frecvente

• „Mă uit la ultima cifră, ca la criteriul cu 2 sau 5." Greșit pentru 3 și 9! Acolo trebuie suma tuturor cifrelor. Ultima cifră nu decide nimic singură (de exemplu 12 se divide cu 3, dar 22 nu, deși ambele se termină cu cifra pereche).
• „Dacă se divide cu 3, atunci sigur se divide și cu 9." Fals. 51, 12, 33 se divid cu 3, dar nu cu 9. Doar invers funcționează (÷9 ⇒ ÷3).
• Uiți să adaugi zerourile sau o cifră din mijloc. Suma cifrelor înseamnă toate cifrele. La 80.604 trebuie să aduni și cele două zerouri (nu schimbă rezultatul, dar trebuie să le „treci în revistă", ca să nu sari peste o cifră reală).
• Te oprești la o sumă mare fără s-o verifici corect (de exemplu crezi că 24 se divide cu 9). Aplică pasul repetat: 24 → 2+4 = 6; 6 nu e multiplu de 9, deci nu. Verifică mereu cu atenție împărțirea sumei.

Joc acasă

1. Cursa sumei cifrelor. Ai nevoie de un calendar sau de chitanțe vechi din casă. Alege pe rând câte un număr de pe ele (un preț, o dată, un cod). Cronometrează-te: în câte secunde spui dacă se divide cu 3 și cu 9? Joacă cu un părinte sau frate — cine dă răspunsul corect mai repede câștigă un punct. Primul la 10 puncte câștigă.

2. Constructorul de multipli de 9. Ia 9 bețișoare de chibrit (sau scobitori). Provocarea: formează pe masă numere de trei cifre folosind cifre la alegere, dar cu suma cifrelor exact 9 (de exemplu 234, fiindcă 2+3+4 = 9). Scrie cinci numere diferite și verifică, împărțind la 9, că toate sunt corecte. Câte poți găsi în 5 minute?

3. Vânătoarea de prețuri. Data viitoare când mergi la cumpărături, alege trei prețuri întregi (în lei) de pe etichete. Pentru fiecare, calculează în minte suma cifrelor și prezice dacă se împarte exact la 3 persoane. Acasă, verifică cu împărțirea. E un mod real de a folosi criteriul — împărțirea unei sume la 3 prieteni.

Pentru părinți și învățători

Această lecție introduce două criterii care, spre deosebire de cele cu 2, 5 și 10, nu se citesc din ultima cifră, ci din suma cifrelor. Aceasta este și principala sursă de confuzie: copilul transferă, din inerție, reflexul „mă uit la coadă". Subliniați explicit diferența de la bun început.

Cum predați pas cu pas: porniți de la calculul sumei cifrelor pe numere mici (sub 100), unde copilul poate verifica imediat și prin împărțire. Abia după ce regula „prinde", treceți la numere de 4–6 cifre, unde avantajul criteriului devine evident (e mult mai rapid decât împărțirea în scris). Faceți des verificarea încrucișată: „spune-mi cu criteriul, apoi confirmă cu împărțirea" — astfel copilul capătă încredere că regula chiar funcționează.

Întrebări bune de pus: „Care e suma cifrelor?"; „Acea sumă se divide cu 3? Dar cu 9?"; „Dacă se divide cu 9, ce putem spune sigur despre 3?"; „De ce nu ne uităm aici la ultima cifră?". Cereți mereu justificarea, nu doar răspunsul — competența vizată (3.1) ține de raționament, nu de memorare.

Cum verificați înțelegerea: dați un exercițiu cu cifră necunoscută (ca exemplele 5 și 6). Dacă elevul găsește toate valorile posibile, nu doar una, înseamnă că a înțeles că decide suma cifrelor. Un al doilea test bun: cereți un număr care se divide cu 3, dar nu cu 9 — dacă îl construiește corect (sumă multiplu de 3, dar nu de 9), a prins esența legăturii dintre cele două criterii.

Legați lecția de cea următoare, Criteriile de divizibilitate cu 4 și cu 25, și de Numere prime și numere compuse, unde aceste criterii devin unelte de descompunere.

Întrebări frecvente

Cum știu rapid dacă un număr se divide cu 3? Adună toate cifrele numărului. Dacă suma obținută se divide cu 3 (de exemplu este 3, 6, 9, 12, 15...), atunci și numărul se divide cu 3. Dacă suma nu se divide cu 3, nici numărul nu se divide. Nu este nevoie să faci împărțirea propriu-zisă.

Care este criteriul de divizibilitate cu 9 la clasa a V-a? Un număr se divide cu 9 dacă și numai dacă suma cifrelor sale se divide cu 9. De exemplu, 5.832 are suma cifrelor 5+8+3+2 = 18, iar 18 se divide cu 9, deci 5.832 se divide cu 9.

De ce la 3 și la 9 adun cifrele, dar la 2 și 5 mă uit doar la ultima cifră? Pentru că 10, 100, 1000 sunt multipli de 2 și de 5 „din ultima cifră în jos", dar pentru 3 și 9 fiecare 9, 99, 999 este divizibil, lăsând în joc doar cifrele însele. De aceea, pentru 3 și 9 decide suma cifrelor, iar pentru 2 și 5 decide ultima cifră.

Un număr divizibil cu 9 este divizibil și cu 3? Da, întotdeauna, fiindcă 9 = 3 · 3. Orice grup de 9 conține trei grupe de 3, deci dacă numărul se împarte exact la 9, se împarte exact și la 3. Atenție: invers nu e garantat — 51 se divide cu 3, dar nu cu 9.

Ce fac dacă suma cifrelor îmi iese tot un număr mare? Aplici regula din nou: aduni cifrele sumei. Repeți până ajungi la un număr mic, ușor de recunoscut. De exemplu, suma 36 devine 3+6 = 9, iar 9 se divide și cu 3, și cu 9, deci numărul inițial se divide cu ambele.

Numărul 0 se divide cu 3 și cu 9? Da. Zero se divide cu orice număr natural diferit de zero, pentru că 0 : 3 = 0 și 0 : 9 = 0, ambele cu rest zero. Suma cifrelor lui 0 este chiar 0, care se consideră multiplu al oricărui număr.

Cum aflu cifra lipsă ca un număr să fie divizibil cu 3 sau cu 9? Aduni cifrele cunoscute, apoi cauți ce valoare a cifrei necunoscute face suma totală un multiplu de 3 (sau de 9). Verifici cifrele de la 0 la 9 și păstrezi toate variantele care funcționează — adesea sunt mai multe pentru divizibilitatea cu 3 și una singură pentru cea cu 9.

Are legătură criteriul cu suma cifrelor cu împărțirea cu rest? Da, foarte strânsă: restul împărțirii unui număr la 3 (sau la 9) este același cu restul împărțirii sumei cifrelor lui la 3 (sau la 9). De aceea, dacă suma cifrelor dă rest 0, și numărul dă rest 0, adică se divide exact. Despre rest poți reciti în Teorema împărțirii cu rest.