În triunghiurile $$MNP$$ și $$XYZ$$ se știe: $$MN \equiv XY$$, $$NP \equiv YZ$$, $$PM \equiv ZX$$. Ce criteriu de congruență se aplică?

Nu se poate aplica niciun criteriu

În triunghiurile $$ABC$$ și $$DEF$$ se știe deja $$AB \equiv DE$$ și $$BC \equiv EF$$. Ce pereche de laturi mai este necesară pentru a aplica criteriul LLL?

$$\widehat{A} \equiv \widehat{D}$$

Ce spune criteriul de congruență LLL?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Criteriul de congruență LLL

Criteriul LLL arată că două triunghiuri cu toate cele trei laturi respectiv egale sunt congruente, fără să fie nevoie de vreo măsură de unghi. Explicația stă în rigiditatea triunghiului: odată alese lungimile celor trei laturi, forma nu mai poate fi modificată. Dacă într-un triunghi laturile măsoară $6$ cm, $8$ cm și $7$ cm, iar altul are exact aceleași valori, cele două se suprapun. Înainte verifici că lungimile pot închide o figură, adică suma oricăror două depășește pe a treia.

Criteriul de congruență LLL (latură-latură-latură) spune că, dacă în triunghiurile $A B C$ și $D E F$ avem $A B \equiv D E$ , $B C \equiv E F$ și $C A \equiv F D$ , atunci $△ A B C \equiv △ D E F$ . Este singurul criteriu care nu folosește niciun unghi: trei laturi fixe determină un unic triunghi, pentru că triunghiul este o figură rigidă (spre deosebire de un patrulater, care se poate deforma). Pentru a aplica LLL trebuie identificate exact trei perechi de laturi egale — din enunț, din semnele figurii, dintr-o latură comună celor două triunghiuri sau dintr-o proprietate precum mijlocul unui segment. Important: nu orice trei lungimi formează un triunghi; trebuie verificată inegalitatea triunghiului ( $a < b + c$ , $b < a + c$ , $c < a + b$ ) înainte de a vorbi despre congruență. Exemplu: dacă $A B = 6$ cm, $B C = 8$ cm, $C A = 7$ cm și $D E = 6$ cm, $E F = 8$ cm, $F D = 7$ cm, atunci, conform LLL, $△ A B C \equiv △ D E F$ .

De reținut

trei perechi de laturi congruente dau triunghiuri congruente
criteriul LLL nu folosește niciun unghi
condiția de existență: $a < b + c$ , $b < a + c$ , $c < a + b$

Greșeala tipică

Se invocă LLL după numai două perechi de laturi egale, completate cu un unghi oarecare; criteriul cere toate cele trei perechi de laturi, iar prezența unui unghi mută problema la LUL sau la ULU.

Exerciții din această mini-lecție

În triunghiurile $M N P$ și $X Y Z$ se știe: $M N \equiv X Y$ , $N P \equiv Y Z$ , $P M \equiv Z X$ . Ce criteriu de congruență se aplică?
- a) Criteriul LUL
- b) Criteriul ULU
- c) Criteriul LLL
- d) Nu se poate aplica niciun criteriu
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Criteriul LLL

Avem exact trei perechi de laturi respectiv egale ( $M N \equiv X Y$ , $N P \equiv Y Z$ , $P M \equiv Z X$ ) și niciun unghi menționat. Aceasta este exact configurația criteriului LLL (latură-latură-latură), deci $△ M N P \equiv △ X Y Z$ .
Care dintre următoarele seturi de trei lungimi nu poate forma un triunghi (deci nu are sens să aplicăm criteriul LLL pentru el)?
- a) $4$ cm, $5$ cm, $6$ cm
- b) $3$ cm, $3$ cm, $3$ cm
- c) $2$ cm, $3$ cm, $7$ cm
- d) $7$ cm, $8$ cm, $9$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $2$ cm, $3$ cm, $7$ cm

Verificăm inegalitatea triunghiului pentru latura cea mai mare: la varianta (c), $7 > 2 + 3 = 5$ , deci inegalitatea nu este respectată și niciun triunghi nu se poate forma cu aceste lungimi. La celelalte variante, latura cea mai mare este mereu mai mică decât suma celorlalte două, deci triunghiul există și abia atunci criteriul LLL îl fixează în mod unic.
În triunghiurile $A B C$ și $D E F$ se știe deja $A B \equiv D E$ și $B C \equiv E F$ . Ce pereche de laturi mai este necesară pentru a aplica criteriul LLL?
- a) $C A \equiv F D$
- b) $A \equiv D$
- c) $A B \equiv E F$
- d) $B C \equiv D E$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $C A \equiv F D$

Criteriul LLL cere exact trei perechi de laturi respectiv congruente, câte una pentru fiecare latură a triunghiului. Avem deja $A B \equiv D E$ și $B C \equiv E F$ ; mai lipsește ultima pereche, care leagă vârfurile rămase: $C A \equiv F D$ . Variantele (b), (c) și (d) nu completează corect tripletul de laturi.

Întrebări conexe

De ce trei laturi fixe dau o singură formă de triunghi?

Pentru că triunghiul este o figură rigidă: cele trei segmente se pot închide într-un singur fel, iar unghiurile ies de la sine. Un patrulater cu laturi fixate se poate strâmba, fiindcă îi lipsește această blocare, motiv pentru care grinzile și podurile se construiesc din triunghiuri.

Cum scriu corespondența vârfurilor când aplic criteriul LLL?

Ordinea literelor din concluzie trebuie să respecte perechile de laturi egale. Dacă latura care pleacă din vârful $A$ se potrivește cu cea care pleacă din $D$ , atunci $A$ se scrie sub $D$ . Numai așa notația arată corect care unghiuri și care laturi se corespund.

Ce verific înainte să aplic criteriul LLL la trei lungimi date?

Verifici dacă lungimile pot forma cu adevărat un triunghi. Aduni cele două valori mai mici și compari suma cu cea mai mare: dacă suma nu o depășește, figura nu se închide. Lungimile $2$ cm, $3$ cm și $7$ cm nu dau niciun triunghi, deci nu are rost să vorbești despre congruență.

Poate fi folosit criteriul LLL la două triunghiuri isoscele?

Da, cu condiția ca toate cele trei perechi de laturi să coincidă. Nu ajunge ca amândouă să fie isoscele, fiindcă baza poate diferi. Dacă însă laturile egale măsoară la fel și bazele sunt egale, criteriul se aplică fără să mai măsori vreun unghi.

Ce rol are mijlocul unui segment în aplicarea criteriului LLL?

Mijlocul împarte segmentul în două bucăți egale, deci îți oferă gratuit o pereche de laturi congruente. În figurile în care apar mediane sau puncte marcate ca mijloc, acea egalitate se scrie direct în ipoteză și completează adesea al treilea element de care ai nevoie.

Unde se folosește rigiditatea triunghiului în afara geometriei?

Apare în structurile care nu trebuie să se deformeze: ferme de acoperiș, macarale, schele, cadre de bicicletă. Constructorii adaugă bare diagonale tocmai ca să transforme dreptunghiurile în triunghiuri, fiindcă un cadru triunghiular își păstrează forma chiar și când este împins din lateral.

Oamenii mai întreabă și: criteriul LLL · latură latură latură congruență · criteriul de congruență latură latură latură · când sunt două triunghiuri congruente prin LLL