Criteriul de congruență LLL (latură-latură-latură)

Imaginează-ți că un prieten îți trimite pe telefon doar trei numere: lungimile celor trei laturi ale unui triunghi. Surprinzător, cu doar aceste trei numere, prietenul tău poate construi exact același triunghi ca tine — nici mai mare, nici mai mic, nici „strâmbat" altfel. Acesta este secretul criteriului de congruență LLL clasa 6: dacă două triunghiuri au toate cele trei laturi respectiv egale, atunci ele sunt congruente. În această lecție vei înțelege de ce funcționează acest criteriu și cum să-l folosești pentru a redacta o justificare matematică corectă.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți criteriul de congruență LLL (latură-latură-latură) folosind notația corectă.
• Vei ști să recunoști în figură cele trei perechi de laturi de care ai nevoie pentru criteriul LLL.
• Vei ști să aplici criteriul LLL pentru a stabili că două triunghiuri sunt congruente.
• Vei ști să redactezi o justificare clară, cu ipoteză, concluzie și criteriul folosit.
• Vei ști să distingi criteriul LLL de celelalte criterii (LUL și ULU) și să alegi criteriul potrivit.

Hai să descoperim împreună

Ce înseamnă, de fapt, „triunghiuri congruente"

Înainte de a vorbi despre criteriul LLL, să ne reamintim ce înseamnă două triunghiuri congruente. Două triunghiuri sunt congruente atunci când se suprapun perfect, ca două foi identice așezate una peste alta. Mai exact, ele au toate cele trei laturi respectiv egale și toate cele trei unghiuri respectiv egale. Despre asta ai învățat deja în lecția Triunghiuri congruente. Elemente corespondente.

Scriem congruența cu semnul „≡". De exemplu, $△ABC\equiv △DEF$ se citește „triunghiul ABC este congruent cu triunghiul DEF".

Aici apare un detaliu foarte important: ordinea literelor. Când scriem $△ABC\equiv △DEF$, spunem că:

• vârful $A$ corespunde vârfului $D$;
• vârful $B$ corespunde vârfului $E$;
• vârful $C$ corespunde vârfului $F$.

De aici rezultă automat ce laturi și ce unghiuri sunt egale. Latura $AB$ corespunde laturii $DE$, latura $BC$ corespunde laturii $EF$, iar latura $AC$ corespunde laturii $DF$.

Problema lentă: trebuie să verificăm toate cele 6 elemente?

Pentru a fi sigur că două triunghiuri sunt congruente, ar trebui, în principiu, să verificăm 6 lucruri: 3 laturi egale și 3 unghiuri egale. Asta înseamnă multă muncă! Imaginează-ți că, de fiecare dată când vrei să arăți că două triunghiuri sunt la fel, trebuie să măsori șase mărimi și să le compari pe toate.

Vestea bună este că matematicienii au descoperit niște scurtături inteligente, numite criterii de congruență. Un criteriu îți spune: „Nu e nevoie să verifici toate cele 6 elemente. Dacă verifici doar anumite 3 elemente potrivite, restul vin automat!"

Ai întâlnit deja două asemenea scurtături:

• Criteriul LUL (latură-unghi-latură) — vezi lecția Criteriul de congruență LUL;
• Criteriul ULU (unghi-latură-unghi) — vezi lecția Criteriul de congruență ULU.

Acum vine al treilea criteriu, poate cel mai simplu de reținut, pentru că nu folosește deloc unghiuri: criteriul LLL.

Enunțul criteriului LLL

Iată regula, scrisă clar și matematic:

Criteriul LLL (latură-latură-latură): Dacă cele trei laturi ale unui triunghi sunt respectiv congruente (egale ca lungime) cu cele trei laturi ale altui triunghi, atunci cele două triunghiuri sunt congruente.

Cu notație matematică, dacă în triunghiurile $ABC$ și $DEF$ avem:

$$AB\equiv DE,BC\equiv EF,CA\equiv FD,$$

atunci

$$△ABC\equiv △DEF.$$

Numele „LLL" vine de la cele trei Laturi: Latură-Latură-Latură. E ușor de ținut minte: trei laturi, niciun unghi.

De ce funcționează? Povestea triunghiului rigid

Te-ai putea întreba: „De ce e suficient să cunosc doar laturile? De ce nu trebuie să verific și unghiurile?" Hai să descoperim împreună răspunsul printr-o poveste.

Gândește-te la trei bețe de lungimi fixe: unul de 3 cm, unul de 4 cm și unul de 5 cm. Vrei să formezi un triunghi lipindu-le capetele. Încearcă mintal: pune bățul de 5 cm jos, ca bază. La un capăt al lui prinzi bățul de 3 cm, la celălalt capăt prinzi bățul de 4 cm. Acum rotești ușor cele două bețe de sus până când vârfurile lor libere se ating.

Câte triunghiuri diferite poți forma? Doar unul! Există un singur loc unde vârfurile libere se întâlnesc. Odată ce ai fixat lungimile celor trei laturi, triunghiul este complet determinat — nu mai poate fi nici mai „turtit", nici mai „înalt".

Aceasta este o proprietate specială a triunghiului: el este o figură rigidă. Spre deosebire de un pătrat (care se poate deforma într-un romb dacă-l împingi într-un colț), un triunghi cu laturi fixe nu se deformează deloc. De aceea vezi triunghiuri în structura podurilor, a macaralelor, a acoperișurilor și a bicicletelor: laturile fixe garantează o formă fixă.

Iată concluzia frumoasă: deoarece trei laturi determină complet un triunghi, dacă două triunghiuri au aceleași trei laturi, ele nu pot fi decât identice ca formă și mărime, adică congruente. Unghiurile lor vor fi automat egale, fără să fie nevoie să le măsurăm. Asta face criteriul LLL atât de puternic.

Atenție: nu orice trei lungimi formează un triunghi

Povestea cu bețele de 3 cm, 4 cm și 5 cm ascunde un detaliu pe care merită să-l scoatem la lumină. Atunci când roteai bețele de sus, vârfurile lor libere s-au întâlnit pentru că lungimile se potriveau. Dar nu orice trei lungimi pot forma un triunghi!

Încearcă mintal cu trei bețe de $1$ cm, $2$ cm și $5$ cm. Pui bățul de $5$ cm jos, ca bază. La capete prinzi bățul de $1$ cm și bățul de $2$ cm. Oricât ai roti, cele două bețe scurte nu se ating niciodată: împreună măsoară doar $1+2=3$ cm, prea puțin ca să acopere baza de $5$ cm. Nu se formează niciun triunghi.

Regula care decide se numește inegalitatea triunghiului: trei lungimi formează un triunghi numai dacă fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două. Pentru laturile $a$, $b$, $c$ trebuie să avem, în același timp:

$$a<b+c,b<a+c,c<a+b.$$

La $3$, $4$, $5$ verificarea reușește ($5<3+4=7$, $4<3+5=8$, $3<4+5=9$), deci triunghiul există. La $1$, $2$, $5$ verificarea cade ($5>1+2$), deci nu există.

De ce contează asta pentru criteriul LLL? Pentru că LLL pornește mereu de la două triunghiuri care există deja în figură sau în enunț. Dacă lungimile dintr-o problemă chiar formează un triunghi, atunci ele îl determină complet — și aici intervine criteriul. Inegalitatea triunghiului este, dacă vrei, „permisul de intrare": odată ce un triunghi se poate construi, cele trei laturi îl fixează în mod unic.

Cum recunoști elementele cerute de criteriul LLL

Pentru a folosi criteriul LLL, ai nevoie să identifici în figură trei perechi de laturi egale, câte una din fiecare triunghi. Iată un mic ghid în pași:

Pasul 1 — Numește cele două triunghiuri. Scrie clar care sunt: de exemplu $△MNP$ și $△RST$.

Pasul 2 — Caută laturile egale. Egalitățile de laturi pot veni din:

• date din enunț (ți se spune direct „$MN=RS$");
• semne pe figură (liniuțe identice pe două laturi înseamnă că sunt egale);
• o latură comună (aceeași latură folosită de ambele triunghiuri — este, evident, egală cu ea însăși);
• proprietăți cunoscute (de exemplu, dacă un punct este mijlocul unui segment, cele două bucăți sunt egale).

Pasul 3 — Potrivește corect perechile. Fii atent să asociezi latura din primul triunghi cu latura corespunzătoare din al doilea. Latura cea mai mare din primul triunghi trebuie să fie egală cu latura cea mai mare din al doilea, și așa mai departe.

Pasul 4 — Verifică: ai chiar TREI perechi de laturi? Dacă da, criteriul LLL se aplică. Dacă ai doar două laturi și un unghi, nu este LLL — ar putea fi LUL.

Latura comună — un truc des întâlnit

În multe probleme, cele două triunghiuri împart o latură. De exemplu, în patrulaterul $ABCD$, diagonala $AC$ împarte figura în triunghiurile $ABC$ și $ACD$. Latura $AC$ aparține amândurora. Atunci putem scrie automat:

$$AC\equiv AC\text{(latura˘ comuna˘)}.$$

Aceasta este una dintre cele trei egalități de laturi de care ai nevoie — pe gratis! Caut-o mereu: când vezi două triunghiuri lipite de-a lungul unui segment, acel segment îți oferă a treia pereche de laturi.

Cum redactezi o justificare cu criteriul LLL

În clasa a VI-a nu e suficient să „vezi" că triunghiurile sunt congruente; trebuie să scrii o justificare ordonată. Iată tiparul pe care îl vei folosi mereu:

1. Scrie ce știi (ipoteza): notează cele trei egalități de laturi, fiecare cu motivul ei.
2. Numește criteriul: scrie „Conform criteriului LLL...".
3. Scrie concluzia: „...rezultă că $△ABC\equiv △DEF$", cu literele puse în ordinea corectă a corespondenței.
4. (Opțional) Trage o consecință: din congruență poți deduce că unghiuri sau laturi corespondente sunt egale (folosind ideea „elemente corespondente ale triunghiurilor congruente sunt egale").

Acest tipar îl vei folosi mai târziu și în Metoda triunghiurilor congruente, unde demonstrezi că două unghiuri sau două segmente sunt egale trecând prin congruența a două triunghiuri.

Un tabel scurt ca să nu confunzi criteriile

Ca să alegi rapid criteriul potrivit, uită-te ce date ai în problemă: numeri câte laturi și câte unghiuri îți sunt date și unde este așezat unghiul (sau latura) „din mijloc".

Singurul rând care nu conține deloc litera „U" (de la unghi) este LLL. Așa că, dacă în datele tale nu apare niciun unghi, ești pe terenul criteriului LLL. În lecția de față ne ocupăm doar de acest rând; despre celelalte două ai citit în lecțiile dedicate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verificare directă cu numere

Se dau triunghiurile $ABC$ și $DEF$ cu: $AB=6$ cm, $BC=8$ cm, $CA=7$ cm și $DE=6$ cm, $EF=8$ cm, $FD=7$ cm. Sunt congruente? Pe baza cărui criteriu?

Rezolvare. Comparăm laturile, pereche cu pereche:

• $AB=6$ cm și $DE=6$ cm, deci $AB\equiv DE$;
• $BC=8$ cm și $EF=8$ cm, deci $BC\equiv EF$;
• $CA=7$ cm și $FD=7$ cm, deci $CA\equiv FD$.

Avem toate cele trei laturi respectiv egale. Conform criteriului LLL, rezultă că $△ABC\equiv △DEF$.

Observă cum am pus literele: $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow F$, exact așa cum se potrivesc laturile.

Exemplul 2 — Latura comună

Fie patrulaterul $ABCD$ în care $AB=CD$ și $BC=AD$. Arată că $△ABC\equiv △CDA$.

Rezolvare. Trasăm diagonala $AC$, care împarte patrulaterul în triunghiurile $ABC$ și $CDA$.

Scriem ipoteza (ce știm):

• $AB\equiv CD$ (din enunț);
• $BC\equiv DA$ (din enunț, căci $BC=AD$);
• $AC\equiv CA$ (latură comună celor două triunghiuri).

Avem trei perechi de laturi egale. Conform criteriului LLL, rezultă:

$$△ABC\equiv △CDA.$$

Acesta este, de fapt, un mod prin care vei demonstra mai târziu că paralelogramul are laturile opuse și unghiurile opuse egale.

Exemplul 3 — Mijlocul unui segment

Punctele $A$, $B$, $C$, $D$ sunt astfel încât $M$ este mijlocul lui $AB$ și totodată mijlocul lui $CD$, iar $AC=BD$. Arată că $△AMC\equiv △BMD$.

Rezolvare. Scriem ce știm:

• $AM\equiv BM$ (pentru că $M$ este mijlocul lui $AB$, deci $AM=MB$);
• $CM\equiv DM$ (pentru că $M$ este mijlocul lui $CD$, deci $CM=MD$);
• $AC\equiv BD$ (din enunț).

Avem trei perechi de laturi congruente. Conform criteriului LLL:

$$△AMC\equiv △BMD.$$

Atenție la corespondență: $A\leftrightarrow B$, $M\leftrightarrow M$, $C\leftrightarrow D$, fiindcă $AM\equiv BM$, $MC\equiv MD$ și $AC\equiv BD$.

Exemplul 4 — Triunghi isoscel cu mediana

Fie triunghiul isoscel $ABC$ cu $AB=AC$. Fie $M$ mijlocul laturii $BC$. Arată, folosind criteriul LLL, că $△ABM\equiv △ACM$.

Rezolvare. Identificăm cele două triunghiuri: $ABM$ și $ACM$. Scriem laturile egale:

• $AB\equiv AC$ (din enunț, triunghiul este isoscel);
• $BM\equiv CM$ (pentru că $M$ este mijlocul lui $BC$);
• $AM\equiv AM$ (latură comună).

Trei perechi de laturi egale. Conform criteriului LLL:

$$△ABM\equiv △ACM.$$

Bonus (consecință): Din congruență rezultă că unghiurile corespondente sunt egale, deci $\angle ABM\equiv \angle ACM$. Tocmai am demonstrat că într-un triunghi isoscel unghiurile de la bază sunt egale! Vei aprofunda asta în lecția Triunghiul isoscel. Proprietăți.

Exemplul 5 — Recunoaștere: e LLL sau alt criteriu?

Pentru fiecare situație, spune dacă se aplică criteriul LLL.

(a) În $△PQR$ și $△XYZ$: $PQ=XY$, $QR=YZ$, $PR=XZ$. (b) În $△PQR$ și $△XYZ$: $PQ=XY$, $\angle Q=\angle Y$, $QR=YZ$.

Rezolvare. (a) Avem trei perechi de laturi egale (latură-latură-latură). Da, se aplică criteriul LLL, deci $△PQR\equiv △XYZ$.

(b) Avem latură-unghi-latură, cu unghiul cuprins între cele două laturi. Acesta nu este LLL, ci criteriul LUL. Triunghiurile sunt congruente, dar pe baza altui criteriu.

Concluzie: criteriul LLL se folosește doar când cunoști exact cele trei laturi, fără niciun unghi.

Exemplul 6 — Problemă cu „acoperiș"

Două scânduri, $AB$ și $AC$, au aceeași lungime și se sprijină la vârful $A$, formând un acoperiș. La bază, capetele $B$ și $C$ sunt unite printr-o grindă $BC$. Un dulgher pune o bârnă verticală $AD$, unde $D$ este pe $BC$, astfel încât $BD=DC$. Arată că $△ABD\equiv △ACD$ și deduce că bârna $AD$ este perpendiculară pe grinda $BC$.

Rezolvare. Laturile egale:

• $AB\equiv AC$ (scândurile au aceeași lungime);
• $BD\equiv DC$ (din enunț, $D$ este mijlocul lui $BC$);
• $AD\equiv AD$ (latură comună).

Conform criteriului LLL: $△ABD\equiv △ACD$.

De aici, unghiurile corespondente $\angle ADB$ și $\angle ADC$ sunt egale. Dar ele sunt și suplementare (împreună formează unghiul alungit $\angle BDC=180°$). Două unghiuri egale care însumează $180°$ au fiecare $90°$. Deci $AD\perp BC$: bârna este într-adevăr verticală pe grindă.

Exemplul 7 — Întâi verific că triunghiul există, apoi aplic LLL

Se dau triunghiurile $ABC$ și $DEF$ cu $AB=2$ cm, $BC=3$ cm, $CA=4$ cm și $DE=2$ cm, $EF=3$ cm, $FD=4$ cm. Arată mai întâi că aceste lungimi chiar formează un triunghi, apoi stabilește dacă cele două triunghiuri sunt congruente.

Rezolvare. Pasul 1 — există triunghiul? Verificăm inegalitatea triunghiului pentru lungimile $2$, $3$, $4$. Latura cea mai mare este $4$, deci e suficient să verificăm că ea este mai mică decât suma celorlalte două: $4<2+3=5$. Da! Așadar lungimile formează un triunghi (la fel pentru al doilea, având aceleași lungimi).

Pasul 2 — sunt congruente? Comparăm laturile pereche cu pereche: $AB\equiv DE$ ($2=2$), $BC\equiv EF$ ($3=3$), $CA\equiv FD$ ($4=4$). Avem toate cele trei laturi respectiv egale, deci, conform criteriului LLL,

$$△ABC\equiv △DEF.$$

Reține ordinea de lucru: când pornești de la lungimi date, e bine să te asiguri întâi că ele pot forma un triunghi (inegalitatea triunghiului), apoi aplici criteriul LLL pentru congruență. Pentru a verifica rapid inegalitatea, e suficient să compari latura cea mai mare cu suma celorlalte două: dacă cea mai mare este mai mică decât suma celorlalte, atunci automat și celelalte două inegalități sunt adevărate.

Să exersăm

1. Completează: Criteriul LLL afirmă că, dacă două triunghiuri au toate cele trei ________ respectiv egale, atunci triunghiurile sunt ________.

2. Adevărat sau fals? „Pentru a aplica criteriul LLL trebuie să cunosc și măsura unui unghi."

3. În $△ABC$ și $△DEF$ avem $AB=5$, $BC=9$, $CA=7$ și $DE=5$, $EF=9$, $FD=7$ (în cm). Sunt congruente? Pe baza cărui criteriu?

4. Încercuiește varianta care descrie criteriul LLL: (a) latură-unghi-latură; (b) latură-latură-latură; (c) unghi-latură-unghi.

5. În $△ABC$ și $△MNP$ se știe $AB=MN$, $BC=NP$, $AC=MP$. Scrie congruența triunghiurilor cu literele în ordinea corectă.

6. Potrivește fiecare set de date cu criteriul potrivit: (a) $PQ=XY,QR=YZ,RP=ZX$ → criteriul ____ (b) $PQ=XY,\angle P=\angle X,PR=XZ$ → criteriul ____ (c) $\angle P=\angle X,PQ=XY,\angle Q=\angle Y$ → criteriul ____

7. Fie patrulaterul $ABCD$ cu $AB=AD$ și $CB=CD$. Trasează diagonala $AC$ și scrie cele trei perechi de laturi egale care arată că $△ABC\equiv △ADC$.

8. Adevărat sau fals? „Dacă $△ABC\equiv △DEF$ prin LLL, atunci și unghiurile lor sunt respectiv egale."

9. Un triunghi are laturile de $4$ cm, $6$ cm și $8$ cm. Câte triunghiuri diferite ca formă se pot construi cu exact aceste trei laturi? Explică în legătură cu criteriul LLL.

10. În figură, $M$ este mijlocul segmentului $AB$ și mijlocul segmentului $CD$, iar $AD=BC$. Scrie justificarea completă (cele trei laturi + criteriul + concluzia) pentru $△AMD\equiv △BMC$.

11. Desenează două triunghiuri care au o latură comună și marchează semnele care arată că, împreună cu încă două perechi de laturi egale, ele sunt congruente prin LLL.

12. Adevărat sau fals? „Două triunghiuri care au aceleași trei laturi pot avea totuși forme diferite."

13. În triunghiul isoscel $ABC$ cu $AB=AC$, fie $D$ mijlocul bazei $BC$. Redactează justificarea că $△ABD\equiv △ACD$ și precizează ce unghiuri rezultă egale.

14. Se dau punctele astfel încât $AB=CD$, $BC=DA$ și diagonala $AC$ comună. Bifează ce criteriu folosești pentru $△ABC\equiv △CDA$ și scrie cele trei egalități de laturi.

15. (mică problemă) Două triunghiuri $ABC$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ au perimetrele egale și, în plus, $AB=A^{\prime }{B}^{\prime }$ și $BC=B^{\prime }{C}^{\prime }$. Sunt sigur congruente prin LLL? Justifică.

16. (mai greu) Fie segmentul $AB$ și două puncte $C$, $D$ de o parte și de alta a lui $AB$ astfel încât $AC=AD$ și $BC=BD$. Arată că $△ABC\equiv △ABD$ și deduce că $\angle CAB\equiv \angle DAB$.

17. (mai greu) Pe figura unui zmeu (deltoid) $ABCD$ avem $AB=AD$ și $CB=CD$. Folosind criteriul LLL de două ori sau o singură dată, arată că diagonala $AC$ împarte unghiul $\angle BAD$ în două unghiuri egale.

18. (provocare) Explică în 2-3 propoziții, cu cuvintele tale, de ce criteriul LLL nu are nevoie de niciun unghi, în timp ce criteriile LUL și ULU folosesc unghiuri.

19. Pot lungimile $3$ cm, $5$ cm și $9$ cm să formeze un triunghi? Verifică inegalitatea triunghiului și explică legătura cu criteriul LLL.

20. Se dau triunghiurile $ABC$ și $DEF$ cu $AB=7$ cm, $BC=4$ cm, $CA=5$ cm și $DE=7$ cm, $EF=4$ cm, $FD=5$ cm. Arată întâi că lungimile formează un triunghi, apoi stabilește dacă cele două triunghiuri sunt congruente și pe baza cărui criteriu.

Răspunsuri și explicații

1. laturi; congruente. (Criteriul LLL: trei laturi egale ⇒ triunghiuri congruente.)

2. Fals. Criteriul LLL folosește doar laturi, niciun unghi. Tocmai aceasta este forța lui.

3. Da, sunt congruente, pe baza criteriului LLL, fiindcă $AB\equiv DE$ ($5=5$), $BC\equiv EF$ ($9=9$), $CA\equiv FD$ ($7=7$). Deci $△ABC\equiv △DEF$.

4. Varianta (b) latură-latură-latură.

5. $△ABC\equiv △MNP$. (Corespondența: $A\leftrightarrow M$, $B\leftrightarrow N$, $C\leftrightarrow P$, fiindcă $AB\equiv MN$, $BC\equiv NP$, $AC\equiv MP$.)

6. (a) LLL; (b) LUL (unghiul este cuprins între cele două laturi); (c) ULU (latura este cuprinsă între cele două unghiuri).

7. $AB\equiv AD$ (din enunț); $CB\equiv CD$ (din enunț); $AC\equiv AC$ (latură comună). Prin LLL, $△ABC\equiv △ADC$.

8. Adevărat. Triunghiuri congruente au toate elementele corespondente egale, inclusiv unghiurile (chiar dacă criteriul folosit a fost doar pe laturi).

9. Unul singur (ca formă). Odată fixate cele trei laturi, triunghiul este complet determinat — exact ideea pe care se bazează criteriul LLL. (Triunghiurile pot fi rotite sau întoarse, dar rămân congruente între ele.)

10. $AM\equiv BM$ ($M$ mijlocul lui $AB$); $DM\equiv CM$ ($M$ mijlocul lui $CD$); $AD\equiv BC$ (din enunț). Conform criteriului LLL, $△AMD\equiv △BMC$.

11. Răspuns prin desen: două triunghiuri lipite de-a lungul unei laturi comune (marcată identic în ambele), iar celelalte două perechi de laturi marcate cu o liniuță, respectiv două liniuțe. Verifică să ai exact trei perechi egale.

12. Fals. Trei laturi fixe determină o singură formă de triunghi; nu pot exista forme diferite. (Exact ce garantează criteriul LLL.)

13. $AB\equiv AC$ (isoscel); $BD\equiv CD$ ($D$ mijlocul lui $BC$); $AD\equiv AD$ (latură comună). Prin LLL, $△ABD\equiv △ACD$. Rezultă egale: $\angle ABD\equiv \angle ACD$ (unghiurile de la bază) și $\angle ADB\equiv \angle ADC$.

14. Criteriul LLL. Egalitățile: $AB\equiv CD$, $BC\equiv DA$, $AC\equiv CA$ (latură comună). Deci $△ABC\equiv △CDA$.

15. Da, sunt congruente. Dacă perimetrele sunt egale, $AB+BC+CA=A^{\prime }{B}^{\prime }+B^{\prime }{C}^{\prime }+C^{\prime }{A}^{\prime }$. Cum $AB=A^{\prime }{B}^{\prime }$ și $BC=B^{\prime }{C}^{\prime }$, scăzând rezultă și $CA=C^{\prime }{A}^{\prime }$. Avem astfel toate cele trei laturi egale ⇒ LLL ⇒ $△ABC\equiv △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

16. $AC\equiv AD$ (din enunț); $BC\equiv BD$ (din enunț); $AB\equiv AB$ (latură comună). Prin LLL, $△ABC\equiv △ABD$. Din congruență, unghiurile corespondente sunt egale, deci $\angle CAB\equiv \angle DAB$.

17. În triunghiurile $ABC$ și $ADC$: $AB\equiv AD$ (din enunț), $CB\equiv CD$ (din enunț), $AC\equiv AC$ (latură comună). Prin LLL, $△ABC\equiv △ADC$. Rezultă $\angle BAC\equiv \angle DAC$, adică diagonala $AC$ împarte unghiul $\angle BAD$ în două unghiuri egale (este bisectoarea lui).

18. Răspuns model: Criteriul LLL nu are nevoie de unghiuri pentru că trei laturi fixe determină deja, singure, o formă unică de triunghi (triunghiul este rigid). La LUL și ULU avem doar două laturi, respectiv doar o latură; informația lipsă este completată de unul sau două unghiuri, care „blochează" forma triunghiului.

19. Nu. Latura cea mai mare este $9$, iar suma celorlalte două este $3+5=8$. Cum $9>8$, inegalitatea triunghiului nu este respectată, deci nu se poate forma niciun triunghi cu aceste lungimi. Dacă lungimile nici nu construiesc un triunghi, nu are sens să vorbim despre congruență prin LLL — criteriul se aplică doar unor triunghiuri care există.

20. Există triunghiul? Latura cea mai mare este $7$, iar $7<4+5=9$, deci lungimile formează un triunghi. Sunt congruente? $AB\equiv DE$ ($7=7$), $BC\equiv EF$ ($4=4$), $CA\equiv FD$ ($5=5$). Toate cele trei laturi sunt respectiv egale, deci prin criteriul LLL rezultă $△ABC\equiv △DEF$.

De reținut

• Criteriul LLL clasa 6: dacă cele trei laturi ale unui triunghi sunt respectiv egale cu cele trei laturi ale altui triunghi, atunci triunghiurile sunt congruente.
• LLL = Latură-Latură-Latură: trei laturi, niciun unghi.
• Trei laturi fixe determină o singură formă de triunghi — triunghiul este rigid. De aici puterea criteriului.
• Caută mereu latura comună și egalitățile date de mijloc de segment sau de semnele din figură.
• Trei lungimi formează un triunghi doar dacă fiecare este mai mică decât suma celorlalte două (inegalitatea triunghiului); abia după ce triunghiul există, criteriul LLL îl fixează în mod unic.
• O justificare bună are: cele trei egalități de laturi (cu motiv), numele criteriului (LLL) și concluzia cu literele în ordinea corectă.

Greșeli frecvente

• Crezi că ai nevoie și de un unghi. Nu! Dacă ai cele trei laturi egale, criteriul LLL e suficient. Dacă apare un unghi în date, probabil folosești de fapt LUL sau ULU.
• Greșești ordinea literelor în concluzie. Scrii $△ABC\equiv △DEF$ doar dacă $A$ corespunde lui $D$, $B$ lui $E$, $C$ lui $F$. Verifică potrivirea laturilor înainte de a scrie corespondența.
• Uiți latura comună. Când două triunghiuri împart un segment, acela este automat egal cu el însuși și îți dă a treia pereche de laturi. E ușor de trecut cu vederea.
• Confunzi „două laturi egale" cu LLL. Dacă ai doar două perechi de laturi egale, criteriul LLL nu se aplică. Ai nevoie de toate trei.

Joc acasă

1. Triunghiul rigid din paie. Ia trei paie (sau scobitori) de lungimi diferite și unește-le capetele cu bandă adezivă, formând un triunghi. Apoi încearcă să-l „deformezi" apăsând pe un vârf. Vei vedea că nu se mișcă — e rigid. Compară cu un patrulater făcut din patru paie: acesta se înclină ușor. Discută de ce criteriul LLL funcționează tocmai datorită acestei rigidități.

2. Gemenii din carton. Decupează un triunghi din carton. Așază-l pe o altă bucată de carton și conturează-l, apoi decupează al doilea triunghi. Măsoară cu rigla cele trei laturi ale fiecăruia: vor fi egale. Suprapune-le ca să vezi că sunt congruente. Scrie pe spate justificarea: „congruente prin LLL".

3. Detectivul de criterii. Caută în casă obiecte cu structură triunghiulară (umeraș, suport de bicicletă, grilaj, ramă). Pentru fiecare, întreabă-te: dacă aș cunoaște doar lungimile laturilor, aș putea reconstrui exact aceeași formă? Notează „da" la fiecare triunghi — și ai înțeles esența criteriului LLL.

Pentru părinți și învățători

Această lecție introduce al treilea criteriu de congruență (după LUL și ULU) și are avantajul că este cel mai intuitiv: nu cere niciun unghi, ci doar cele trei laturi. Sprijiniți copilul punând accent pe ideea de rigiditate a triunghiului — este conceptul-cheie care explică „de ce" criteriul funcționează, nu doar „că" funcționează.

Întrebări utile pe care le puteți pune:

• „Câte triunghiuri diferite poți construi din trei bețe de lungimi fixe?" (Răspuns: unul — exact baza criteriului LLL.)
• „Ce trebuie să verifici ca să poți spune LLL?" (Trei perechi de laturi egale.)
• „Unde este latura comună în figură?" (Antrenează ochiul pentru segmentul împărțit de cele două triunghiuri.)
• „Pune literele în ordinea corectă: cui îi corespunde fiecare vârf?"

Pentru a verifica înțelegerea, cereți copilului să redacteze cu voce tare o justificare completă: cele trei egalități cu motivul fiecăreia, numele criteriului și concluzia. Dacă sare peste motivarea unei laturi (mai ales latura comună), reluați acel pas. Activitatea practică cu paie (Joc acasă 1) este foarte eficientă pentru elevii care învață mai bine vizual și tactil. Dacă elevul confundă criteriile, faceți împreună un tabel scurt: LLL = 3 laturi, LUL = latură-unghi-latură, ULU = unghi-latură-unghi.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă criteriul LLL la clasa a 6-a? Criteriul LLL (latură-latură-latură) spune că, dacă două triunghiuri au toate cele trei laturi respectiv egale, atunci ele sunt congruente, adică se suprapun perfect. Nu este nevoie de niciun unghi pentru a aplica acest criteriu.

De ce nu am nevoie de unghiuri la criteriul LLL? Pentru că trei laturi de lungimi fixe determină o singură formă de triunghi — triunghiul este o figură rigidă. Odată ce laturile sunt fixate, unghiurile sunt determinate automat, deci nu mai trebuie verificate.

Care e diferența dintre LLL, LUL și ULU? LLL folosește trei laturi (niciun unghi). LUL folosește două laturi și unghiul dintre ele. ULU folosește două unghiuri și latura dintre ele. Toate trei garantează congruența, dar pornesc de la date diferite.

Cum recunosc latura comună într-o figură? Latura comună apare când două triunghiuri sunt „lipite" de-a lungul aceluiași segment, de exemplu o diagonală a unui patrulater. Acel segment aparține ambelor triunghiuri, deci este egal cu el însuși și îți oferă una dintre cele trei perechi de laturi.

Câte perechi de laturi egale îmi trebuie pentru criteriul LLL? Îți trebuie exact trei perechi de laturi respectiv egale. Dacă ai doar două perechi de laturi, criteriul LLL nu se aplică; ai nevoie și de a treia.

Cum scriu corect o justificare cu criteriul LLL? Notează cele trei egalități de laturi, fiecare cu motivul ei (din enunț, latură comună, mijloc de segment etc.), apoi scrie „Conform criteriului LLL" și concluzia $△ABC\equiv △DEF$, cu literele în ordinea care respectă corespondența vârfurilor.

Triunghiurile congruente prin LLL au și unghiurile egale? Da. Orice triunghiuri congruente au toate elementele corespondente egale: cele trei laturi și cele trei unghiuri. Chiar dacă pentru demonstrație ai folosit doar laturile, unghiurile corespondente rezultă automat egale.

Pot folosi criteriul LLL pentru a demonstra că două unghiuri sunt egale? Da, și este o tehnică foarte des întâlnită. Demonstrezi mai întâi că două triunghiuri sunt congruente prin LLL, apoi deduci că anumite unghiuri corespondente sunt egale. Vei aprofunda această tehnică în lecția despre metoda triunghiurilor congruente.