În triunghiurile $$DEF$$ și $$GHI$$ se dau $$DE \equiv GH$$, $$EF \equiv HI$$ și $$\widehat{D} \equiv \widehat{G}$$. Se poate aplica direct criteriul LUL pentru a demonstra $$\triangle DEF \equiv \triangle GHI$$?

Nu, deoarece unghiul $$\widehat{D}$$ nu este cuprins între laturile date $$DE$$ și $$EF$$

Da, deoarece $$\widehat{D}$$ este unghiul cuprins între $$DE$$ și $$EF$$

Da, deoarece toate cele trei laturi sunt implicit congruente

Nu, deoarece lipsește a treia pereche de laturi congruente

În triunghiurile $$ABC$$ și $$XYZ$$ se dau $$AB \equiv XY$$, $$AC \equiv XZ$$ și $$\widehat{A} \equiv \widehat{X}$$. Se poate aplica direct criteriul LUL pentru a demonstra $$\triangle ABC \equiv \triangle XYZ$$?

Da, deoarece $$\widehat{A}$$ este cuprins între $$AB$$ și $$AC$$, la fel cum $$\widehat{X}$$ este cuprins între $$XY$$ și $$XZ$$

Nu, deoarece lipsește a treia pereche de laturi congruente

Da, dar criteriul folosit este de fapt LLL

Nu, deoarece unghiul $$\widehat{A}$$ nu este cuprins între laturile date

Când se aplică criteriul de congruență LUL?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Criteriul de congruență LUL

Criteriul LUL se aplică atunci când, la fiecare triunghi, cunoști două laturi și unghiul dintre ele, iar cele trei elemente sunt respectiv egale. Poziția unghiului decide totul: vârful lui se așază chiar acolo unde se întâlnesc cele două laturi cunoscute. Dacă $A B \equiv D E$ , $A \equiv D$ și $A C \equiv D F$ , cele două triunghiuri se suprapun. Când unghiul dat stă în fața unei laturi, datele nu mai închid o singură formă, iar concluzia nu se mai poate trage.

Criteriul LUL (latură-unghi-latură) spune că, dacă două laturi ale unui triunghi și unghiul cuprins între ele sunt respectiv congruente cu două laturi și unghiul cuprins dintr-un alt triunghi, atunci cele două triunghiuri sunt congruente.

Ordinea literelor contează: unghiul trebuie să fie exact unghiul format de cele două laturi date, adică vârful lui trebuie să fie punctul din care pleacă ambele laturi. Dacă unghiul cunoscut este la alt vârf (opus uneia dintre laturi), datele sunt de tip „latură-latură-unghi neînvecinat” și nu garantează congruența.

Exemplu. Fie $△ A B C$ și $△ D E F$ cu $A B \equiv D E$ , $A \equiv D$ , $A C \equiv D F$ . Cum $A$ este cuprins între $A B$ și $A C$ (la fel $D$ între $D E$ și $D F$ ), avem LUL, deci $△ A B C \equiv △ D E F$ .

O latură comună sau unghiurile opuse la vârf oferă „gratis” câte o pereche congruentă pentru LUL.

De reținut

două laturi și unghiul dintre ele determină triunghiul
cuvântul-cheie este cuprins: vârful unghiului = punctul comun al laturilor
latura comună și unghiurile opuse la vârf oferă perechi gata egale

Greșeala tipică

Se folosește un unghi așezat în fața uneia dintre laturile date, nu între ele; acele date nu fixează triunghiul, așa că demonstrația trebuie refăcută cu unghiul dintre cele două laturi cunoscute.

Exerciții din această mini-lecție

În triunghiurile $D E F$ și $G H I$ se dau $D E \equiv G H$ , $E F \equiv H I$ și $D \equiv G$ . Se poate aplica direct criteriul LUL pentru a demonstra $△ D E F \equiv △ G H I$ ?
- a) Da, deoarece $D$ este unghiul cuprins între $D E$ și $E F$
- b) Da, deoarece toate cele trei laturi sunt implicit congruente
- c) Nu, deoarece unghiul $D$ nu este cuprins între laturile date $D E$ și $E F$
- d) Nu, deoarece lipsește a treia pereche de laturi congruente
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Nu, deoarece unghiul $D$ nu este cuprins între laturile date $D E$ și $E F$

Laturile date congruente sunt $D E$ și $E F$ , care se întâlnesc în vârful $E$ . Deci unghiul cuprins între ele ar fi $E$ , nu $D$ . Unghiul dat congruent, $D$ , este la un alt vârf, deci nu este cuprins între laturile date — nu avem un caz LUL valid din aceste informații.
Segmentele $P Q$ și $R S$ se intersectează în punctul $T$ , care este mijlocul comun al ambelor segmente. Ce afirmație justifică faptul că $P T R \equiv QT S$ , pereche necesară pentru a aplica LUL în $△ P T R$ și $△ QT S$ ?
- a) Sunt unghiuri opuse la vârf
- b) Sunt unghiuri alterne interne
- c) Sunt unghiuri suplementare
- d) Sunt unghiuri corespondente
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Sunt unghiuri opuse la vârf

Unghiurile $P T R$ și $QT S$ sunt formate de aceleași două drepte care se intersectează în $T$ , fiind situate de o parte și de alta a punctului de intersecție — deci sunt unghiuri opuse la vârf, care sunt întotdeauna congruente. Împreună cu $P T \equiv QT$ și $R T \equiv S T$ (T fiind mijlocul comun), obținem exact tripletul latură-unghi-latură necesar pentru LUL.
În triunghiurile $A B C$ și $X Y Z$ se dau $A B \equiv X Y$ , $A C \equiv X Z$ și $A \equiv X$ . Se poate aplica direct criteriul LUL pentru a demonstra $△ A B C \equiv △ X Y Z$ ?
- a) Da, deoarece $A$ este cuprins între $A B$ și $A C$ , la fel cum $X$ este cuprins între $X Y$ și $X Z$
- b) Nu, deoarece lipsește a treia pereche de laturi congruente
- c) Da, dar criteriul folosit este de fapt LLL
- d) Nu, deoarece unghiul $A$ nu este cuprins între laturile date
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Da, deoarece $A$ este cuprins între $A B$ și $A C$ , la fel cum $X$ este cuprins între $X Y$ și $X Z$

Laturile date congruente sunt $A B$ și $A C$ , ambele plecând din vârful $A$ . Unghiul $A$ este exact unghiul cuprins între ele, la fel cum $X$ este cuprins între $X Y$ și $X Z$ . Avem tripletul latură-unghi-latură complet, deci se aplică direct LUL.

Întrebări conexe

Ce înseamnă că un unghi este cuprins între două laturi?

Înseamnă că vârful unghiului este chiar punctul comun al celor două laturi, iar brațele lui merg de-a lungul lor. În triunghiul $A B C$ , unghiul din $A$ este cuprins între $A B$ și $A C$ . Un unghi din $B$ nu are această poziție față de perechea $A B$ și $A C$ .

Cum ajută unghiurile opuse la vârf la aplicarea criteriului LUL?

Când două segmente se taie, unghiurile opuse la vârf sunt egale, deci una dintre cele trei condiții este îndeplinită fără nicio măsurătoare. Rămâne să arăți doar egalitatea celor două perechi de laturi care pleacă din punctul de intersecție, ceea ce scurtează mult demonstrația.

Ce deduc despre a treia latură după ce am aplicat criteriul LUL?

Din congruența stabilită rezultă că toate elementele corespunzătoare coincid, deci și a treia pereche de laturi este egală, împreună cu celelalte două perechi de unghiuri. Cu trei informații ai obținut încă trei, iar acestea se pot folosi mai departe în problemă.

Cum aleg între criteriul LUL și criteriul LLL într-o problemă?

Te uiți la ce îți dă ipoteza. Dacă apar numai lungimi de laturi, mergi pe LLL. Dacă apare și o măsură de unghi, verifici unde este așezat: între laturile cunoscute înseamnă LUL, iar dacă este alături de o latură și un alt unghi, te îndrepți spre ULU.

Se poate folosi criteriul LUL la triunghiuri dreptunghice?

Da, și este chiar comod: unghiul drept se potrivește automat la ambele triunghiuri. Dacă cele două catete ale unui triunghi sunt egale cu catetele celuilalt, unghiul de $90°$ este cuprins între ele, deci criteriul se aplică imediat, iar ipotenuzele ies egale.

Cum apare criteriul LUL într-o problemă cu mediana unui triunghi?

Mediana taie latura opusă în două bucăți egale, deci creează două triunghiuri care au o latură comună și câte o jumătate de latură egală. Dacă între ele apare și o pereche de unghiuri egale, adesea opuse la vârf, criteriul LUL încheie demonstrația.

Oamenii mai întreabă și: criteriul LUL · latură unghi latură congruență · criteriul de congruență latură unghi latură · unghiul cuprins între două laturi