Criteriul de congruență LUL (latură-unghi-latură)

Imaginează-ți că un arhitect desenează planul a două ferestre triunghiulare și vrea să fie sigur că sunt absolut identice — fără să le decupeze și să le suprapună. Cum poate ști asta măsurând cât mai puține lucruri? Exact aici intervine criteriul de congruență LUL: cu doar trei măsurători potrivite (două laturi și unghiul dintre ele) putem garanta că două triunghiuri sunt perfect la fel. În lecția trecută ai aflat ce înseamnă două triunghiuri congruente și care sunt elementele corespondente. Acum descoperim prima „rețetă scurtă" prin care demonstrăm congruența fără să verificăm toate cele șase perechi de elemente.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți criteriul LUL (latură-unghi-latură) corect și complet.
• Vei ști să recunoști în figură cele două laturi și unghiul dintre ele.
• Vei ști să verifici dacă unghiul este cuprins între cele două laturi (condiția cheie a criteriului).
• Vei ști să aplici criteriul LUL pentru a stabili dacă două triunghiuri sunt congruente.
• Vei ști să redactezi o justificare cu ipoteză, concluzie și pașii demonstrației.

Hai să descoperim împreună

De la verificarea „lungă" la o rețetă scurtă

În lecția precedentă am stabilit că două triunghiuri sunt congruente atunci când au toate cele șase elemente corespondente egale: cele trei laturi și cele trei unghiuri. Asta înseamnă șase verificări. E mult! E ca și cum, pentru a fi sigur că două telefoane sunt identice, ar trebui să compari fiecare șurub, fiecare buton și fiecare colț.

Matematicienii și-au pus o întrebare practică: chiar avem nevoie de toate cele șase? Sau există un set mai mic de informații care „forțează" automat restul să fie egal? Răspunsul este DA — și se numesc criterii de congruență. Un criteriu este o rețetă scurtă: dacă verifici doar câteva elemente potrivite, ești garantat că triunghiurile sunt congruente complet.

Primul criteriu pe care îl învățăm este LUL.

Ce înseamnă literele L-U-L

Numele criteriului este o prescurtare care îți spune exact ce trebuie să verifici și în ce ordine:

• L = o Latură
• U = un Unghi
• L = o Latură

Citit în ordine, L-U-L înseamnă: latură – unghi – latură. Ordinea nu e întâmplătoare! Ea ne spune că unghiul stă între cele două laturi. Adică unghiul este „prins la mijloc", cu o latură de o parte și o latură de cealaltă parte.

Spunem că unghiul este cuprins (sau format) de cele două laturi. Acest detaliu este inima criteriului. Reține de pe acum o propoziție pe care o vom repeta des:

Unghiul trebuie să fie unghiul dintre cele două laturi date.

Enunțul criteriului LUL

Acum putem scrie enunțul complet, riguros, așa cum apare în manual:

Criteriul LUL (latură-unghi-latură): Dacă două laturi ale unui triunghi și unghiul cuprins între ele sunt respectiv congruente cu două laturi și unghiul cuprins între ele dintr-un al doilea triunghi, atunci cele două triunghiuri sunt congruente.

Pe scurt, dacă „pachetul" latură-unghi-latură dintr-un triunghi se potrivește cu „pachetul" latură-unghi-latură din celălalt, atunci toate cele șase elemente devin automat egale, iar triunghiurile sunt congruente.

Scrierea matematică a criteriului

Hai să scriem acest enunț cu simboluri, pentru triunghiurile $ABC$ și $DEF$.

Ce știm (ipoteza):

• $AB\equiv DE$ (o latură congruentă cu o latură)
• $\hat{A}\equiv \hat{D}$ (unghiul cuprins congruent cu unghiul cuprins)
• $AC\equiv DF$ (a doua latură congruentă cu a doua latură)

Ce obținem (concluzia): $$△ABC\equiv △DEF$$

Observă cu atenție: unghiul $\hat{A}$ este format exact de laturile $AB$ și $AC$. Iar unghiul $\hat{D}$ este format exact de laturile $DE$ și $DF$. Acesta este motivul pentru care criteriul „funcționează": unghiul ține cele două laturi la o distanță fixă una de cealaltă, așa că vârful opus nu mai are unde să se „miște". Triunghiul este complet determinat.

De ce unghiul TREBUIE să fie între cele două laturi

Aici este partea pe care mulți elevi o ratează. Hai s-o înțelegem temeinic, cu o analogie.

Gândește-te la cele două laturi ca la două brațe ale unui compas (sau ale unei foarfece). Punctul unde se întâlnesc brațele este vârful unghiului. Dacă fixezi:

1. lungimea primului braț (prima latură),
2. unghiul de deschidere dintre brațe (unghiul cuprins),
3. lungimea celui de-al doilea braț (a doua latură),

atunci capetele celor două brațe sunt complet fixate în spațiu. Dacă unești acele capete cu un segment, obții al treilea segment — a treia latură — și nu există decât un singur triunghi posibil. Orice alt triunghi cu aceleași trei date va arăta exact la fel.

Dar dacă unghiul NU este între laturi? Atunci rețeta nu mai garantează nimic. Imaginează-ți că știi o latură, apoi o latură alăturată, dar unghiul pe care îl cunoști este într-un colț îndepărtat, nu între aceste două laturi. În acest caz, vârful liber se poate „balansa" și pot exista forme diferite de triunghi. De aceea combinația latură-latură-unghi (cu unghiul NU între laturi) nu este un criteriu sigur. Reține:

⚠️ LUL funcționează doar dacă unghiul este cel cuprins între cele două laturi. „LLU" cu unghiul în afară nu este criteriu.

Cum recunoști elementele LUL într-o figură — metoda „colțului"

Când primești o problemă, ai nevoie de o metodă de citire a figurii. Folosește metoda colțului:

Pasul 1. Identifică unghiul congruent (cel marcat cu același arc în ambele triunghiuri). Acesta este „U" din LUL. Pune degetul pe vârful lui.

Pasul 2. De la acel vârf pornesc exact două laturi. Acestea sunt cele două „L"-uri care trebuie să fie congruente. Le numim laturile unghiului.

Pasul 3. Verifică dacă chiar acele două laturi (care pleacă din vârful unghiului) sunt date congruente. Dacă da — ai un caz LUL valid. Dacă latura dată congruentă este latura opusă unghiului, atunci NU e LUL.

O strategie utilă: triunghiuri care au o latură comună

În multe figuri de gimnaziu, cele două triunghiuri împart o latură (au o latură comună) sau împart un vârf (cu unghiuri opuse la vârf). Aceste situații sunt „cadouri" pentru criteriul LUL, pentru că îți oferă gratis o pereche de elemente congruente:

• Latura comună: dacă două triunghiuri au o latură comună $XY$, atunci automat $XY\equiv XY$ (orice segment este congruent cu el însuși). Asta îți dă deja unul dintre cele două „L".
• Unghiuri opuse la vârf: dacă în figură se formează unghiuri opuse la vârf, acestea sunt congruente, deci îți pot oferi „U"-ul gata demonstrat.

Vom folosi exact aceste trucuri în exemplele rezolvate.

Cum redactezi o justificare cu LUL (structura completă)

Un răspuns bun la geometrie nu este doar „triunghiurile sunt congruente". Trebuie să arăți de ce, ordonat. Folosește mereu această structură în patru pași:

1. Ipoteza — scrii ce ți se dă (datele problemei), cu simboluri.
2. Concluzia — scrii ce trebuie să demonstrezi.
3. Demonstrația — enumeri cele trei perechi congruente în ordinea L, U, L, fiecare cu motivul ei (din ipoteză, latură comună, opuse la vârf etc.).
4. Concluzia finală — scrii „Conform criteriului LUL, $△\dots \equiv △\dots$".

Iată un mic șablon de redactare pe care îl poți copia mereu:

În triunghiurile $△ABC$ și $△DEF$ avem: – $AB\equiv DE$ (motiv) ........ (L) – $\hat{A}\equiv \hat{D}$ (motiv) ........ (U) – $AC\equiv DF$ (motiv) ........ (L) Conform criteriului LUL, rezultă $△ABC\equiv △DEF$.

Important: ordinea în care scrii vârfurile contează! Vârfurile trebuie să corespundă — adică $A$ să corespundă cu $D$, $B$ cu $E$, $C$ cu $F$. Astfel oricine citește știe că $\hat{B}\equiv \hat{E}$, $\hat{C}\equiv \hat{F}$ și $BC\equiv EF$, fără să le mai scrii.

Ce câștigi după ce ai demonstrat congruența

După ce ai stabilit $△ABC\equiv △DEF$ cu LUL, ai dreptul să folosești orice dintre cele șase egalități rămase. De exemplu, poți spune că $BC\equiv EF$ sau că $\hat{C}\equiv \hat{F}$, „pentru că triunghiurile sunt congruente". Aceasta este puterea reală a criteriului: cu trei date demonstrezi congruența, apoi „recoltezi" celelalte trei egalități pentru a rezolva problema. Acest tipar îl vei folosi des în metoda triunghiurilor congruente.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — recunoașterea elementelor

Enunț. În triunghiurile $ABC$ și $MNP$ se dau: $AB\equiv MN$, $AC\equiv MP$ și $\hat{A}\equiv \hat{M}$. Poate fi aplicat criteriul LUL? Justifică.

Rezolvare. Verificăm cu metoda colțului. Unghiul dat congruent este $\hat{A}$ (respectiv $\hat{M}$). Din vârful $A$ pleacă laturile $AB$ și $AC$ — exact laturile date congruente cu $MN$ și $MP$. Deci unghiul $\hat{A}$ este cuprins între laturile $AB$ și $AC$, iar $\hat{M}$ este cuprins între $MN$ și $MP$. Avem latură-unghi-latură potrivite corect.

Răspuns. Da, se aplică LUL: $△ABC\equiv △MNP$.

Exemplul 2 — capcana unghiului care nu e cuprins

Enunț. Se dau $RS\equiv XY$, $ST\equiv YZ$ și $\hat{R}\equiv \hat{X}$. Putem folosi LUL pentru a demonstra $△RST\equiv △XYZ$?

Rezolvare. Atenție la „colț". Laturile date congruente sunt $RS$ și $ST$. Care este unghiul cuprins între ele? Laturile $RS$ și $ST$ se întâlnesc în vârful $S$, deci unghiul cuprins este $\hat{S}$ — nu $\hat{R}$! Unghiul dat congruent ($\hat{R}$) este la un alt vârf, deci NU este cuprins între cele două laturi date.

Răspuns. Nu putem aplica LUL aici, fiindcă unghiul congruent nu este cuprins între laturile congruente. (Datele sunt de tip „latură-latură-unghi neînvecinat", care nu este criteriu de congruență.) Concluzia $△RST\equiv △XYZ$ nu poate fi justificată cu LUL din aceste date.

Exemplul 3 — latura comună (demonstrație completă)

Enunț. Fie punctul $O$ mijlocul segmentului $AB$. Pe o dreaptă care trece prin $O$ se iau punctele $C$ și $D$ astfel încât $O$ să fie și mijlocul lui $CD$. Demonstrează că $△AOC\equiv △BOD$.

Rezolvare.

Ipoteză: $O$ mijlocul lui $AB$ $\Rightarrow OA\equiv OB$; $O$ mijlocul lui $CD$ $\Rightarrow OC\equiv OD$.

Concluzie: $△AOC\equiv △BOD$.

Demonstrație. În triunghiurile $△AOC$ și $△BOD$:

• $OA\equiv OB$ (deoarece $O$ este mijlocul lui $AB$) ........ (L)
• $\widehat{AOC}\equiv \widehat{BOD}$ (unghiuri opuse la vârf) ........ (U)
• $OC\equiv OD$ (deoarece $O$ este mijlocul lui $CD$) ........ (L)

Unghiul $\widehat{AOC}$ este cuprins între laturile $OA$ și $OC$; unghiul $\widehat{BOD}$ este cuprins între $OB$ și $OD$. Deci avem corect latură-unghi-latură.

Conform criteriului LUL, $△AOC\equiv △BOD$. $■$

Bonus. Din congruență rezultă imediat $AC\equiv BD$ — un rezultat util pe care l-am obținut „gratis".

Exemplul 4 — folosirea unei lungimi date

Enunț. În figură, $MA\equiv MB$ și $MC\equiv MD$, iar $\widehat{AMC}\equiv \widehat{BMD}$. Se știe că $AC=7$ cm. Cât este lungimea segmentului $BD$?

Rezolvare. Întâi demonstrăm congruența, apoi „recoltăm" latura cerută.

În $△MAC$ și $△MBD$:

• $MA\equiv MB$ (dat) ........ (L)
• $\widehat{AMC}\equiv \widehat{BMD}$ (dat) ........ (U)
• $MC\equiv MD$ (dat) ........ (L)

Unghiul $\widehat{AMC}$ este cuprins între laturile $MA$ și $MC$; la fel $\widehat{BMD}$ este cuprins între $MB$ și $MD$. Conform criteriului LUL, $△MAC\equiv △MBD$.

Triunghiurile fiind congruente, laturile corespondente sunt congruente: $AC\equiv BD$. Deci $BD=AC=7$ cm.

Răspuns. $BD=7$ cm.

Exemplul 5 — bisectoare și latură comună (cu redactare)

Enunț. Fie $\widehat{xOy}$ un unghi și $[Ot$ bisectoarea lui, deci $\widehat{xOt}\equiv \widehat{tOy}$. Pe semidreptele $Ox$ și $Oy$ se iau punctele $A$, respectiv $B$, astfel încât $OA\equiv OB$. Notăm cu $P$ un punct pe bisectoare. Demonstrează că $△OAP\equiv △OBP$.

Rezolvare.

Ipoteză: $OA\equiv OB$; $\widehat{AOP}\equiv \widehat{BOP}$ (pentru că $[OP$ este pe bisectoarea unghiului, deci împarte unghiul în două unghiuri congruente); $OP$ latură comună.

Concluzie: $△OAP\equiv △OBP$.

Demonstrație. În $△OAP$ și $△OBP$:

• $OA\equiv OB$ (dat) ........ (L)
• $\widehat{AOP}\equiv \widehat{BOP}$ ($OP$ pe bisectoarea lui $\widehat{xOy}$) ........ (U)
• $OP\equiv OP$ (latură comună) ........ (L)

Unghiul $\widehat{AOP}$ este cuprins între $OA$ și $OP$; unghiul $\widehat{BOP}$ este cuprins între $OB$ și $OP$. Conform criteriului LUL, $△OAP\equiv △OBP$. $■$

De aici rezultă, de exemplu, $PA\equiv PB$: punctul $P$ de pe bisectoare este egal depărtat de punctele $A$ și $B$, luate la aceeași distanță de vârf pe cele două laturi ale unghiului. Vei reîntâlni ideea la bisectoarele unui triunghi.

Exemplul 6 — problemă cu numere și congruență

Enunț. În $△ABC$ și $△DEF$ se știe că $AB=2x+1$, $DE=9$, $\hat{A}\equiv \hat{D}$, $AC=5$ și $DF=5$. Determină valoarea lui $x$ pentru care cele două triunghiuri sunt congruente prin LUL și scrie congruența.

Rezolvare. Pentru a aplica LUL avem nevoie de două perechi de laturi congruente, cu unghiul cuprins între ele.

• Unghiul cuprins: $\hat{A}\equiv \hat{D}$ (dat). Laturile lui sunt $AB,AC$ (la primul) și $DE,DF$ (la al doilea).
• A doua pereche de laturi: $AC=5=DF$, deci $AC\equiv DF$. ✓
• Prima pereche de laturi: trebuie $AB\equiv DE$, adică $2x+1=9$.

Rezolvăm: $2x+1=9\Rightarrow 2x=8\Rightarrow x=4$.

Pentru $x=4$ avem $AB=2\cdot 4+1=9=DE$. Acum:

• $AB\equiv DE$ (L), $\hat{A}\equiv \hat{D}$ (U), $AC\equiv DF$ (L), unghiul fiind cuprins între laturi.

Conform criteriului LUL, $△ABC\equiv △DEF$.

Răspuns. $x=4$ și $△ABC\equiv △DEF$.

Să exersăm

1. Completează: criteriul LUL înseamnă în cuvinte ........... – ........... – ........... . Unghiul trebuie să fie ........... între cele două laturi.

2. Adevărat sau fals? În LUL, unghiul congruent poate fi oricare dintre cele trei unghiuri ale triunghiului, indiferent de poziția laturilor.

3. Încercuiește varianta corectă. Laturile care formează unghiul $\hat{B}$ al triunghiului $ABC$ sunt: a) $AB$ și $AC$; b) $BA$ și $BC$; c) $CA$ și $CB$.

4. Se dau $PQ\equiv UV$, $\hat{Q}\equiv \hat{V}$, $QR\equiv VW$. Se poate aplica LUL pentru $△PQR$ și $△UVW$? Care este unghiul cuprins în fiecare triunghi?

5. Se dau $AB\equiv DE$, $BC\equiv EF$ și $\hat{A}\equiv \hat{D}$. Se poate aplica direct LUL? Explică pe scurt de ce da sau nu.

6. Potrivește fiecare element din $△KLM$ cu „rolul" său în LUL dacă unghiul folosit este $\hat{L}$: (i) $KL$, (ii) $\hat{L}$, (iii) $LM$, (iv) $KM$. Roluri: prima latură / unghiul cuprins / a doua latură / latura opusă unghiului.

7. În figura cu două segmente $AB$ și $CD$ care se taie în $O$, mijloc al ambelor, scrie cele trei perechi congruente care justifică $△AOC\equiv △BOD$.

8. Completează justificarea: în $△ABD$ și $△CBD$, dacă $AB\equiv CB$, $\widehat{ABD}\equiv \widehat{CBD}$ și latura $BD$ este ........... , atunci, conform criteriului ........... , $△ABD\equiv △CBD$.

9. Desenează două segmente $MN$ și $PQ$ care se intersectează în mijlocul lor comun $O$, apoi marchează cu același simbol perechile de elemente congruente care dau $△MOP\equiv △NOQ$ prin LUL.

10. În $△ABC$ și $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ avem $AB=6$ cm, $A^{\prime }{B}^{\prime }=6$ cm, $AC=8$ cm, $A^{\prime }{C}^{\prime }=8$ cm și $\hat{A}=\widehat{A^{\prime }}=50^{\circ }$. Sunt congruente? Pe ce criteriu?

11. Adevărat sau fals? Dacă $△ABC\equiv △DEF$ a fost demonstrat prin LUL, atunci sigur $BC\equiv EF$.

12. Se dau $OA\equiv OB$, $OC\equiv OD$ și $\widehat{AOC}\equiv \widehat{BOD}$. Demonstrează că $△AOC\equiv △BOD$, redactând complet (ipoteză, concluzie, demonstrație).

13. În figură $MA\equiv MB$, $MC\equiv MD$ și $\widehat{AMC}\equiv \widehat{BMD}$, iar $BD=12$ cm. Cât este $AC$?

14. Problemă. Pe laturile unui unghi $\widehat{xOy}$ se iau $OA\equiv OB$, iar $[OM$ este bisectoarea unghiului, cu $M$ un punct pe ea. Demonstrează că $△OAM\equiv △OBM$ și deduce că $MA\equiv MB$.

15. În $△ABC$ și $△MNP$: $AB=3x-2$, $MN=10$, $AC=MP$, $\hat{A}\equiv \hat{M}$. Află $x$ pentru ca triunghiurile să fie congruente prin LUL.

16. Adevărat sau fals? Combinația „două laturi și un unghi care NU este între ele" (LLU) garantează întotdeauna congruența.

17. Mică problemă. Fie $△ABC$ isoscel cu $AB\equiv AC$ și $[AD$ bisectoarea unghiului $\hat{A}$, $D\in BC$. Demonstrează că $△ABD\equiv △ACD$ folosind LUL.

18. Provocare. În $△ABC$ și $△DEF$ se dau $AB\equiv DE$, $\hat{B}\equiv \hat{E}$. Ce a treia informație (sub formă de laturi) trebuie adăugată pentru a putea aplica LUL? Scrie exact perechea de laturi necesară.

Răspunsuri și explicații

1. latură – unghi – latură; unghiul trebuie să fie cuprins (între cele două laturi). E ordinea care arată că unghiul stă la mijloc.

2. Fals. Unghiul trebuie să fie exact cel cuprins între cele două laturi date congruente. Dacă unghiul este la alt vârf (opus uneia dintre laturi), criteriul LUL nu se aplică.

3. b) $BA$ și $BC$. Laturile care formează unghiul $\hat{B}$ sunt cele două laturi care pleacă din vârful $B$.

4. Da, se aplică LUL. Laturile date sunt $PQ,QR$ (respectiv $UV,VW$); ele se întâlnesc în vârful $Q$ (respectiv $V$), iar unghiul dat $\hat{Q}$ (respectiv $\hat{V}$) este chiar unghiul cuprins. Deci $△PQR\equiv △UVW$.

5. Nu direct. Laturile date congruente sunt $AB$ și $BC$, care se întâlnesc în $B$; unghiul cuprins ar fi $\hat{B}$. Dar unghiul dat congruent este $\hat{A}$, care nu este între $AB$ și $BC$. Datele sunt de tip „latură-latură-unghi neînvecinat", deci LUL nu se aplică din aceste informații.

6. (i) $KL$ = prima latură (a unghiului $\hat{L}$); (ii) $\hat{L}$ = unghiul cuprins; (iii) $LM$ = a doua latură (a unghiului $\hat{L}$); (iv) $KM$ = latura opusă unghiului $\hat{L}$. (Laturile lui $\hat{L}$ sunt cele care pleacă din $L$: $LK$ și $LM$.)

7. $OA\equiv OB$ (mijloc), $\widehat{AOC}\equiv \widehat{BOD}$ (opuse la vârf), $OC\equiv OD$ (mijloc). Unghiul este cuprins între cele două laturi în fiecare triunghi $\Rightarrow$ LUL.

8. latura $BD$ este comună (deci $BD\equiv BD$); conform criteriului LUL, $△ABD\equiv △CBD$. ($\widehat{ABD}$ este cuprins între $BA$ și $BD$; $\widehat{CBD}$ între $BC$ și $BD$.)

9. Marcaje corecte: $OM\equiv ON$ (o liniuță), $OP\equiv OQ$ (două liniuțe), $\widehat{MOP}\equiv \widehat{NOQ}$ (același arc, opuse la vârf). Acestea sunt L-U-L, cu unghiul cuprins, deci $△MOP\equiv △NOQ$.

segmentele MN și PQ ce se taie în O; OM și ON cu o liniuță, OP și OQ cu două liniuțe, unghiurile din O opuse la vârf cu arce identice

10. Da, sunt congruente, pe criteriul LUL: $AB\equiv A^{\prime }{B}^{\prime }$ (6 cm), $\hat{A}\equiv \widehat{A^{\prime }}$ ($50^{\circ }$, unghiul cuprins), $AC\equiv A^{\prime }{C}^{\prime }$ (8 cm). Deci $△ABC\equiv △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

11. Adevărat. După ce triunghiurile sunt congruente, toate elementele corespondente sunt congruente, inclusiv laturile $BC$ și $EF$. (Cu corespondența $A-D$, $B-E$, $C-F$, latura $BC$ corespunde lui $EF$.)

12. Ipoteză: $OA\equiv OB$, $OC\equiv OD$, $\widehat{AOC}\equiv \widehat{BOD}$. Concluzie: $△AOC\equiv △BOD$. Demonstrație: în $△AOC$ și $△BOD$: $OA\equiv OB$ (dat) — L; $\widehat{AOC}\equiv \widehat{BOD}$ (dat) — U; $OC\equiv OD$ (dat) — L. Unghiul este cuprins între cele două laturi. Conform LUL, $△AOC\equiv △BOD$.

13. $AC=12$ cm. Mai întâi LUL: $MA\equiv MB$, $\widehat{AMC}\equiv \widehat{BMD}$, $MC\equiv MD$ $\Rightarrow △MAC\equiv △MBD$. Din congruență, $AC\equiv BD$, deci $AC=BD=12$ cm.

14. În $△OAM$ și $△OBM$: $OA\equiv OB$ (dat) — L; $\widehat{AOM}\equiv \widehat{BOM}$ ($OM$ bisectoare) — U; $OM\equiv OM$ (latură comună) — L. Unghiul este cuprins între laturi. Conform LUL, $△OAM\equiv △OBM$. De aici $MA\equiv MB$ (laturi corespondente).

15. $3x-2=10\Rightarrow 3x=12\Rightarrow x=4$. Pentru $x=4$, $AB=10=MN$; cu $AC\equiv MP$ și $\hat{A}\equiv \hat{M}$ (unghi cuprins), avem LUL, deci $△ABC\equiv △MNP$.

16. Fals. „LLU" cu unghiul în afara celor două laturi NU este criteriu de congruență. Pot exista triunghiuri diferite cu aceste date. Singura combinație sigură latură-unghi-latură este cea în care unghiul este între laturi (LUL).

17. Ipoteză: $AB\equiv AC$, $\widehat{BAD}\equiv \widehat{CAD}$ ($AD$ bisectoare). Demonstrație: în $△ABD$ și $△ACD$: $AB\equiv AC$ (dat) — L; $\widehat{BAD}\equiv \widehat{CAD}$ (bisectoare) — U; $AD\equiv AD$ (latură comună) — L. Unghiul este cuprins între $AB$ și $AD$, respectiv $AC$ și $AD$. Conform LUL, $△ABD\equiv △ACD$. (Vei folosi această idee la triunghiul isoscel.)

18. Trebuie adăugată perechea de laturi care, împreună cu $AB$ și $DE$, formează unghiul $\hat{B}$, respectiv $\hat{E}$. Laturile lui $\hat{B}$ sunt $BA$ și $BC$; ale lui $\hat{E}$ sunt $ED$ și $EF$. Cum $AB\equiv DE$ e dat deja, mai trebuie: $BC\equiv EF$. Atunci avem $AB\equiv DE$, $\hat{B}\equiv \hat{E}$ (cuprins), $BC\equiv EF$ $\Rightarrow$ LUL.

De reținut

• LUL = latură-unghi-latură. Verifici două laturi și unghiul cuprins între ele; dacă se potrivesc, triunghiurile sunt congruente.
• Cuvântul-cheie este cuprins: unghiul trebuie să fie exact unghiul dintre cele două laturi date.
• Cu doar trei date demonstrezi congruența, apoi „recoltezi" celelalte trei egalități între laturi și unghiuri.
• În figuri, caută latura comună (congruentă cu ea însăși) și unghiurile opuse la vârf (congruente) — îți oferă gratis perechi pentru LUL.
• Redactează ordonat: ipoteză → concluzie → cele trei perechi L, U, L cu motivul lor → „conform LUL", cu vârfurile scrise în corespondență.

Greșeli frecvente

• Folosești un unghi care nu e cuprins între laturi. Este greșeala numărul unu. Verifică mereu: laturile date congruente trebuie să plece din vârful unghiului congruent. Dacă unghiul e opus unei laturi, NU e LUL.
• Crezi că „LLU" merge la fel ca LUL. Două laturi și un unghi neînvecinat NU formează un criteriu. Doar unghiul între laturi garantează congruența.
• Scrii vârfurile în ordine greșită. Dacă scrii $△ABC\equiv △EDF$ în loc de corespondența corectă, „strici" toate egalitățile deduse. Așază vârfurile astfel încât elementele corespondente să se citească corect.
• Te oprești la „sunt congruente" fără justificare. La gimnaziu trebuie să arăți cele trei perechi și motivul fiecăreia, apoi să invoci numele criteriului. Concluzia fără pași nu se punctează complet.

Joc acasă

1. Detectivul de paie (compasul uman). Ia două paie (sau două bețișoare/creioane) de lungimi diferite, de exemplu unul de 10 cm și unul de 15 cm. Prinde-le la un capăt cu o agrafă, ca brațele unui compas. Fixează un unghi de deschidere (de exemplu deschide-le „un sfert"), apoi unește capetele libere cu un fir. Ai un triunghi. Acum desfă firul, păstrează aceleași lungimi și același unghi de deschidere și reconstruiește. Vei obține mereu același triunghi — exact ce promite LUL. Schimbă doar unghiul: vei obține un triunghi diferit. Concluzie practică: latura-unghi-latură determină triunghiul complet.

2. Oglinda din colț. Desenează un unghi pe o foaie și trasează-i bisectoarea cu rigla (sau pliază hârtia pe bisectoare). Pe cele două laturi marchează două puncte la aceeași distanță de vârf, $A$ și $B$. Alege un punct $M$ pe bisectoare și unește-l cu $A$ și $B$. Măsoară $MA$ și $MB$ cu rigla — vor fi egale! Ai „descoperit cu mâna ta" rezultatul demonstrat la Exemplul 5 prin LUL.

3. Provocarea „X". Desenează două segmente care se taie chiar la mijlocul lor comun (în formă de X), de exemplu $AB$ și $CD$ cu intersecția $O$ mijlocul ambelor. Colorează cu aceeași culoare perechile congruente ($OA$–$OB$, $OC$–$OD$, unghiurile opuse la vârf). Apoi decupează triunghiurile $AOC$ și $BOD$ și suprapune-le. Trebuie să se potrivească perfect — confirmare practică a congruenței prin LUL.

Pentru părinți și învățători

Această lecție introduce primul criteriu de congruență, fundament pentru tot capitolul. Scopul nu este memorarea mecanică, ci înțelegerea ideii că trei informații potrivite determină complet un triunghi.

Cum predați. Începeți cu manipularea fizică (jocul cu paiele): lăsați copilul să simtă că, fixând două lungimi și unghiul dintre ele, triunghiul „nu mai are de ales". Abia apoi treceți la enunțul formal și la simboluri. Insistați pe cuvântul cuprins: cereți copilului să pună degetul pe vârful unghiului și să verifice că laturile date pleacă chiar de acolo.

Întrebări utile de pus:

• „Care este unghiul cuprins între aceste două laturi?" (verifică recunoașterea poziției)
• „Laturile date pleacă din vârful unghiului congruent?" (verifică condiția cheie a LUL)
• „Ce putem spune acum despre celelalte laturi/unghiuri?" (verifică ce se câștigă după congruență)
• „De ce nu merge dacă unghiul e în alt colț?" (verifică înțelegerea, nu doar reproducerea)

Cum sprijiniți redactarea. Folosiți șablonul în patru pași (ipoteză, concluzie, cele trei perechi L-U-L cu motiv, „conform LUL"). Cereți copilului să scrie motivul fiecărei perechi: „dat", „latură comună", „opuse la vârf", „bisectoare". Aceasta este deprinderea care diferențiază un răspuns complet de unul incomplet la teze și la Evaluarea Națională.

Semn că a înțeles: recunoaște rapid când unghiul NU este cuprins (Exemplul 2 / exercițiul 5) și știe să exploateze latura comună și unghiurile opuse la vârf. Dacă greșește, întoarceți-vă la jocul cu paiele înainte de a relua teoria.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă criteriul LUL la clasa a 6-a? LUL înseamnă latură-unghi-latură. Este o regulă care spune că, dacă două triunghiuri au două laturi respectiv congruente și unghiul cuprins între acele laturi congruent, atunci cele două triunghiuri sunt congruente. Cu doar trei elemente potrivite demonstrezi congruența completă.

De ce trebuie ca unghiul să fie între cele două laturi? Pentru că unghiul „prins la mijloc" fixează deschiderea dintre cele două laturi, iar capetele lor devin puncte fixe. Astfel al treilea vârf nu se mai poate mișca și se obține un singur triunghi posibil. Dacă unghiul este în alt colț, datele nu mai determină unic triunghiul, deci criteriul nu se aplică.

Care e diferența dintre LUL și LLU? La LUL unghiul este cuprins între cele două laturi date și este un criteriu sigur de congruență. La „LLU" unghiul este în afara celor două laturi (neînvecinat) și nu garantează congruența — pot exista triunghiuri diferite cu aceleași date. Doar poziția „între laturi" a unghiului face regula să funcționeze.

Cum recunosc elementele LUL într-o figură? Pune degetul pe vârful unghiului congruent. De acolo pleacă exact două laturi — acelea trebuie să fie laturile date congruente. Dacă latura congruentă este cea opusă unghiului, nu este caz LUL.

Câte elemente trebuie să verific ca să aplic LUL? Doar trei: două perechi de laturi congruente și o pereche de unghiuri congruente, cu condiția ca unghiul să fie cuprins între laturi. După ce ai demonstrat congruența, celelalte trei perechi de elemente sunt automat congruente.

Cum scriu corect o demonstrație cu LUL? Scrii ipoteza (ce ți se dă), concluzia (ce demonstrezi), apoi enumeri cele trei perechi congruente în ordinea latură-unghi-latură, cu motivul fiecăreia (dat, latură comună, opuse la vârf, bisectoare). Închei cu „Conform criteriului LUL, triunghiurile sunt congruente", scriind vârfurile în corespondență.

O latură comună mă ajută la criteriul LUL? Da, foarte mult. Orice segment este congruent cu el însuși, deci o latură comună a două triunghiuri îți oferă gratis una dintre cele două perechi de laturi de care ai nevoie pentru LUL. Trebuie doar să mai găsești o pereche de laturi și unghiul cuprins.

LUL este la fel cu celelalte criterii (ULU, LLL)? Toate sunt criterii de congruență, dar verifică elemente diferite. LUL folosește două laturi și unghiul dintre ele; ULU folosește două unghiuri și latura dintre ele; LLL folosește cele trei laturi. Alegi criteriul potrivit în funcție de datele pe care le ai în problemă.